質問があります。 人工衛星に地上と同じくるわない時計をつけて測ったところ人工...

どこでそんな嘘を聞きました？（＾＾；
逆です。ほとんどの衛星の時計は地上より速く進みます。ＧＰＳ衛星の原子時計は、地上の原子時計より、１秒当たり約１００億分の４．４５秒速く進むのです。それは２つの効果によるものです。

１．相対速度による時間の遅れ
地球の重心に対して地表もＧＰＳ衛星も運動してますが、地表よりもＧＰＳ衛星の方が相対速度が大きいのです。そのため地上と比べてＧＰＳ衛星の時計の進みは遅れます。

２．地球の重力による時間の遅れ
地球の重力によって時間の進みが遅れます。地球の重心からの距離が、ＧＰＳ衛星の方が地表より遠いので、ＧＰＳ衛星の時計の進みは、地表と比べて速く進みます。

この２つの効果を比べると２と比べて１は１００分の１程度の影響しか与えません。そのためＧＰＳ衛星の時計は地上の時計より速く進むのです。１００億分の４．４５秒というと小さく感じますが、これは１秒毎に累積されます。長期のずれを見てみます。ずれた時間の間に光がどのくらい進むかも計算してみます。

1日で約１０万分の３．８４４８秒進みます。光は約１１．５ｋｍ進む。
３０日で約１０００分の１．１５３４４秒進みます。光は約３４５．８ｋｍ進む。
１年で約１００分の１．４秒進みます。光は約４２１０ｋｍ進む。
つまり１００年でやっと１．４秒の誤差になる。

光が進む距離は、そのままＧＰＳの精度になります。位置測定の誤差がそれだけ生じるということです。たった１日で１０ｋｍ以上の誤差が生じたのでは、ＧＰＳが機能しなくなる。相対性理論による時間補正は必須なのです。

ちなみに数式で計算してみます。地球を完全球体としてＧＰＳ衛星は円軌道を描くとします。こうすればシュワルツシルト計量が近似として使えます。シュワルツシルト計量の時間形式は、固有時間をτ、地球の重心の時間をｔ、シュワルツシルト半径をａ、重心からの距離をｒ、位置（角）をφとして、
dτ^2=(1-a/r)dt^2 - dr^2/(1-a/r) - r^2(dφ）^2
∴(dτ/dt)^2=(1-a/r) - (dr/dt)^2/(1-a/r) - r^2(dφ/dt)^2
ここで円運動なのでdr/dt=0、また r(dφ/dt)=v（光速単位の速さ）なので、
(dτ/dt)^2=1-a/r - v^2
∴dτ/dt=√(1-a/r - v^2)
となります。ここで主なＧＰＳ衛星と地表のデータは以下のようになる。
ＧＰＳ衛星の軌道半径（R_S）=2.656494e7
ＧＰＳ衛星の速さ（V_S）=1.292326198e-5（光速単位）
地球の半径（R_E）=6.37814e6
地表の速さ（V_E）=1.547175112e-6（光速単位）
地球のシュワルツシルト半径a=4.436374851e-3

地球の重心に対する地表の固有時間をT_E、ＧＰＳ衛星の固有時間をT_Sとして、T_S/T_Eを求めます。つまり
T_S/T_E=√{(1-a/R_S - V_S^2)/(1-a/R_E - V_E^2)}
≒1+4.4624e-10
従ってT_S=(1+4.4624e-10)T_E
となる。例えばT_E=1なら、T_S=1+4.4624e-10なので、4.4624e-10秒、つまり１００億分の４．４６秒だけ速く進むことが分かります。実際の補正値と１兆分の秒の誤差がありますが、これは地球が球体と仮定した計算による誤差です。実際は地球の形状を観測に基づいて取得して計算します。