[ブルーアーカイブ]旧ガチャ仕様が何故支持されているかを考えてみる

5.5周年生放送から賛否を呼んでいる生徒募集システム、新仕様の方が期待値が高いという検証結果が出ているのにも関わらず、依然として旧仕様派が存在します。
確率としては新仕様の方が優勢なのになぜ「旧仕様に戻せ!」という声がやまないのか、旧仕様派側の視点に立って考えてみました。

生徒募集システムの仕様変更

　内容は割愛します。公式サイトを参照してください。

新仕様の期待値

やんけいおりさんの記事が有名かと思いますので、参照してください。

PU生徒2人の場合、募集回数特典を考慮すると新仕様のほうが全面的に期待値が高いという結果が出ています。

旧仕様が有利な面を考える

新仕様のダメな点

書くまでもないことかもしれませんが、

新仕様の呼び出しチャージがピックアップ（以下PU）生徒獲得時にリセットされてしまう

この一点に尽きると思います。
特にネガティブに感じやすいのは次のようなパターンではないでしょうか?

• PU生徒2人の場合、旧仕様なら200回募集以内にPU生徒を1人引けば呼び出しポイントの交換でPU生徒2人とも獲得できるが、新仕様の呼び出しチャージはPU生徒獲得時にリセットされてしまう。極論199回目でPU生徒を獲得した場合、旧仕様なら募集1回で呼び出しポイント交換ができたが、新仕様はここからさらに最大200回🤮

ということで、まずは実際に200回でPU生徒2人を狙った際の確率を見ていきたいと思います。

※400回以降の繰り返し特典に募集チケットがないことから、それ以上の募集を重ねることで新仕様のうまみが落ちていくようですが、私はそこまで回すことがなく、その状況でのイメージが湧かないため割愛します。

200回募集でPU生徒2人を獲得する確率

前提条件

• PU生徒を獲得する確率は0.7%（数式ではPa）

• PU対象に設定していない、もう一方のPU生徒を獲得する確率は星3獲得率が2.3%、これを書いている時点での対象生徒が113人いるので0.023/ 113\approx0.00020354となり約0.0204%（数式ではPb）

• 旧仕様に合わせ、引き継ぎはない新規状態

旧仕様の場合

旧仕様は200回以内にPU生徒のどちらかを引ければ呼び出しポイントでもう1人のPU生徒も獲得できるので、200回以内にどちらか1人のPU生徒を獲得できる確率を考えます。

募集1回でどちらかのPUを引く確率は
p = Pa + Pb = 0.00720354
200回連続で外す確率は
q=(1-p)^{200} \approx 0.23552879
で約23.55%、
200回以内にPU生徒どちらか1人を引ける確率は
100 - q = 76.45
となり、200回募集した場合に約76.45%でPU生徒2人が確保できました。

新仕様の場合

新仕様では、チャージ100に達した時点で50%の確率でPU生徒が引け、チャージ200の時に100%の確率でPU生徒が引ける。ただしPU生徒を引いた時点でチャージがリセットされます。
募集を行う場合の状態を4パターンに分類して考えます。
PU生徒2人をA・Bとし、AからPUに挑戦します。

• 状態

  • 状態0: 2人とも未獲得（Aの確率: 0.7%、Bの確率: 0.0204%）

  • 状態1: Bをすり抜けで獲得済み、Aが未獲得（Aの確率: 0.7%）

  • 状態2: Aを獲得済み、Bが未獲得でPUをBに切り替え(Bの確率: 0.7%）

  • 状態3: 2人とも獲得（成功）

• 遷移ルール

  • 通常時（チャージが1 〜 99, 101 〜 199）

    • 状態0からは0.7％の確率で状態2へ遷移しチャージが0へ、0.0204%の確率で状態1へ遷移してチャージ加算、どちらの場合も外れたら遷移せずチャージ加算

    • 状態1または状態2から0.7％の確率で状態3へ遷移

  • チャージ100になった場合

    • 状態0では50％の確率で状態2へ遷移しチャージが0へ

    • 状態1は50％の確率で状態3へ遷移

    • 状態2は50％の確率で状態3へ遷移

  • チャージ200になった場合

    • 状態0は100％の確率で状態2へ遷移しチャージが0へ

    • 状態1は100％の確率で状態3へ遷移

    • 状態2は100％の確率で状態3へ遷移

このルールで200回目までの確率の動きを全て足し合わせると、約65.23%でPU生徒2人が獲得できることになります。

新仕様+募集回数特典を考慮した場合

新仕様では呼び出しチャージとは別に募集回数によって特典があり、200回募集を行うことで募集チケットが40回分もらえます。
旧仕様と同じ青輝石で240回募集を行うことができるというわけなので、新仕様で240回募集を行ってPU生徒2人を獲得する確率を求めます。
計算方法は先ほどの処理を240回分で行うだけで、結果約77.25%となります。

PU生徒を1人引いた前提で考える

ここまでをまとめると、200回募集でPU生徒2人を獲得できる確率は

旧仕様: 76.45%
新仕様: 65.23%
新仕様+募集回数特典: 77.25%

となり、チャージリセットがあっても新仕様の方が若干確率が上、体感的にはほぼ同じとなります。
このままでは旧仕様派の完敗なのでチャージリセットに焦点を当てて考えてみます。
1人目のPU生徒を獲得できたタイミングごとに、残りの募集回数でPU生徒2人目が獲得できる確率を求めます。

前提条件

• 1人目を引いたタイミング: k 回目(1 \le k \le 240) 

• 残りのガチャ回数: N = 240 - k 回

• 通常時の外れ確率: q = 1 - 0.007 = 0.993

募集回数特典を考慮して上限を240回とします。残りN回の募集をチャージ0からスタートした場合、PU生徒を最低1回引く確率P(k)を求めます。
チャージ100とチャージ200を考慮して式は3つに分かれます。

PU生徒1人目を40回までに引いた場合

残り回数Nが200以上あるため必ずチャージ200に到達し、100％獲得できます。

1 \le k \le 40の場合
P(k)= 1.0

PU生徒1人目を41回〜140回目に引いた場合

残り回数Nが100回以上かつ199回以下になります。チャージ100には届くものの、チャージ200には届きません。

41 \le k \le 140の場合
P(k)= 1- 0.5 q^{239-k}

PU生徒1人目を141回目以降に引いた場合

残り回数Nが99回以下なのでチャージ100にも届きません。

141 \le k \le 240の場合
P(k)= 1- q^{240-k}

結果

計算結果をグラフに表すと以下のようになります。

ようやく旧仕様派に有利な数字を出せました。
さらに旧仕様ではPU生徒1人目を獲得できれば200回目で必ず獲得できます。これをグラフに重ねるとこうなります。

新仕様では特典の募集チケットを含めた240回募集でPU生徒2人を獲得できる確率は約77.25%と旧仕様よりも高いものの、1人目のPU生徒を獲得できるタイミングによって大きく異なります。
一方旧仕様では、200回までに1人PU生徒引けば100%2人目も獲得できます。
旧仕様の絶対的な安心感と、新仕様の早く引けなければ成功率が下がっていくという絶望感が旧仕様に戻せと声高に叫ぶ理由と考えてよいでしょうか?

あとがき

冒頭にも書きましたが、新仕様の方が期待値が高いのに何故旧仕様派がいるのか、その理由を知りたくて自分でも計算してみました。
確率の切り口として「旧仕様の方がよい、戻して欲しい」と思わせる値を見つけられたかなと思います。400回募集以降の場合は割愛しましたが、
「こんなことで怒っているんじゃない」
などありましたら教えていただけると助かります。

ちなみに筆者のポジションとしては、過去にPU2人で2天井、200連で星3ゼロなどを経験したことから

• PUはそもそも引けない

• 欲しい生徒は天井分の石を用意する

をルールとしています。今回200連(分の石)で2PUが77.25%と計算しましたが、そんなの引けるわけない。PU生徒2人ならは基本400連。
という考えなので、新制度で天井が下がったのと200連で星3ゼロをくらうことがなくなる、これだけでも嬉しいです。
後ろ向きなスタンスだと思いますが、この心構えで↓みたいなの引くと、嬉しさも格別ですよ。旧仕様で300連計算していたところが実質66連で済むんだから!