各 $A_j$ に対し、式 $\displaystyle\sum_{l = L_i}^{R_i}\sum_{r = l}^{R_i}\sum_{j = l}^{r} A_j$ で $A_j$ が足される回数を考えます。

$j < L_i$ または $R_i < j$ のときは $A_j$ は足されないので、$L_i \leq j \leq R_i$ なる $j$ についてのみ考えます。

$A_j$ は $l \leq j \leq r$ のとき $1$ 度ずつ足されるので、$A_j$ が足される回数の合計は $L_i \leq l \leq j \leq r \leq R_i$ を満たす整数組 $(l, r)$ の数に等しいです。

$L_i \leq l \leq j$ なる整数 $l$ は $j - L_i + 1$ 個、$j \leq r \leq R_i$ なる整数 $r$ は $R_i - j + 1$ 個であることから、上の条件を満たす整数組 $(l, r)$ の個数は $(j - L_i + 1)(R_i - j + 1)$ です。

したがって、求める式の値は $\displaystyle\sum_{j = L_i}^{R_i} (j - L_i + 1)(R_i - j + 1)A_j$ であり、展開すると $\displaystyle\sum_{j = L_i}^{R_i} -j^2A_j + (L_i + R_i)jA_j + (-L_i + 1)(R_i + 1)A_j$ となります。

これにより、クエリが $1$ つの場合は上式を用いて $O(N)$ 時間で計算できます。

$Q$ 個のクエリに対応するためには、$j^2A_j, jA_j, A_j$ の累積和を持っておき、区間和を取ったのちに係数を掛け合わせて和を取ればよいです。