(cache)다이어그램을 범주론적으로 이해하기 2트

https://arca.live/b/math/172745797

limit / colimit 설명 들으면서 다이어그램은 functor고 다이어그램들의 범주가 functor category다 까진 이해했는데

범주가 아닌 quiver를 shape로 하는 다이어그램이 어케 다이어그램이지? 항상 범주여야 하는 게 아닌가? 싶었음.

근데 슬슬 화살표쟁이식 사고방식에 익숙해지니깐 이제

quiver J에서 범주 C로 가는 quiver morphism (C를 quiver로 보고) D

다시 쓰면 D : J -> U(C)

잘 알려진 free adjunction에 의해 해당 morphism은

D' : F(J) -> C 꼴의 functor와 essentially the same

따라서 그냥 quiver-shaped 다이어그램이라고 해도 문제가 없다!

라고 자연스럽게 이해돼서 좋더라

가장 헷갈렸던 부분은 왜 다이어그램이 commute할 조건이 왜 image가 thin subcategory가 아닌가였는데, 이상한 반례를 보고나서 commutative한건 사실 diagram의 성질이 아니라 shape의 성질에 가깝구나 하고 깨달아버림

그래서 thin category로 factor한다는 말이 앞부분에선 commutativity를 강제하고 뒷부분에선 일반적인 diagram assignment를 허용한다 식으로 이해함

근데 이러고도 이번주 숙제 아직 남아있는 내 인생이 레전드

이 내용이 무한범주론적으로도 일반화됨. simplicial sets(higher dimensional enhancement of quiver but without direction above 1-cells) 위에서 infinity category theory를 개발할때, "infinity category C와 simplicial set X에 대해 internel hom Hom(X,C)가 다시 infinity category이다"라는 정리가 있는데 이걸 "collection of diagrams from quiver into category forms again category"의 직접적인 고차 일반화라고 볼 수 있음. 실제로 quiver J를 1-dimensional simplicial set으로 보면 i:J->N(F(J))가 fibrant replacement(free generation of all higher morphism, not just arrow)를 계산해줌. (여기서 N은 nerve) 그리고 N(Hom_Cat(F(J)),C)=Hom(N(F(J)),N(C))->Hom(J,N(C)) 얘네가 전부 isomorphism이 됨. 그러나 isomorphism같은 strict한 개념은 무한범주의 세계에선 잘 작동하지 않고 실제로 일반적인 simplicial set X에 대한 fibrant replacement X->FX는 precomposition on internel hom을 했을때 infinity-categorical equivalence만 제공함.

이건 카시와라 샤피라 2장 연습문제에서 본 내용인데, 임의의 small category J에 대해서 cofinal functor P->J with domain poset이 존재한다는 명제가 있음(cofinal functor은 colimit을 바꾸지 않는 functor임) 그래서 (co)limit에 대한 명제를 증명할때 domain을 poset으로 가정해도 일반성을 잃지 않음.