二次曲線の極方程式と離心率

 

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二次曲線の極方程式の公式

二次曲線の極方程式は、実は次のような形で書けます。

 

${\displaystyle r=\frac{ea}{1+e\cos \theta }}$

 

$e$ という何やら奇妙な文字がありますが、これは

 

離心率

 

と呼ばれる値です。この値は何かというと、簡単に言えば

 

$e$ の値によってどの二次曲線なのか（放物線・楕円・双曲線）が決まる

 

ものです。$e$ の値というのは既にわかっていて

 

$0<e<1$ の時は楕円

$e=1$ の時は放物線

$e>1$ の双曲線

 

となることが知られています。今回はこの離心率について学習し、最終的に二次曲線の極方程式を求めてみましょう。

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離心率とは何か

さて、先ほど出てきた「離心率」ですが、これは二次曲線を次のように考えたときに出てくる値です。

 

ある定点Fを考え、そのFを通らない定直線lからの距離の比が $e:1$ である点Pの軌跡を考えると、その軌跡の方程式は $e$ の値によって放物線・楕円・双曲線となる

 

ことが知られています。何やらごちゃごちゃしていますが、一つずつ確認していきましょう。一番わかりやすい状況としては

 

 

このように定点Fを考えて、その点を通る直線(点線)に垂直な直線lを考えると良いでしょう。そこでこの点Fと直線lからの距離が $e:1$ になればいいわけですから、

 

 

このような点Pをたくさん考えて、軌跡を求めればいいわけです。

 

とここで一度冷静になって考えてみると、なんかこれどこかで見たことありませんか。

そうです。もし $e$ が $1$ なら放物線を考えた時と全く同じではありませんか。

 

 

この時点Fは「焦点」、直線lは「準線」と呼びましたね。先ほど $e=1$ の時は「放物線」を表すと何気なく言っていましたが、定義からして当たり前なわけです。

ですから今回離心率 $e$ という値を使うのは

 

放物線は離心率 $e=1$ が当てはまるが、実はこの $e$ を $1$ でない値にすると、二次曲線が全て求められてしまう

 

のでこの離心率 $e$ を使うと一般的に二次曲線を表せてしまうというただそれだけの理由なのです。

つまり二次曲線を一般的に書き表したかったら、先ほど最初に定義で説明した通り

 

 

これが全てなのです。実際にこの離心率 $e$ を入れて軌跡を書かせてみるとちゃんと楕円や双曲線になることが確認できます。

そしてこの時定点Fは二次曲線の「焦点」、直線lを二次曲線の「準線」と言います。放物線は特殊な例だったのでその名称をそのまま使っていましたが、実は楕円や双曲線にも準線が存在していたのですね。

 

というわけで覚えて欲しいことは以下の2点です。

 

ちょっと複雑ですが、二次曲線を一般的に表せるんだということをおさえていただければと思います。

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離心率を使った二次曲線の極方程式

さて、ここまでで離心率について説明してきましたが、

 

式が全然出てこなくて結局分類しかできていないではないか！

 

と思う人も少なくないはずです。本当にその通りで、離心率を考えるメリットは極方程式にすると明白です。それは一番最初に示した通り実は

二次曲線の極方程式は、

 

${\displaystyle r=\frac{ea}{1+e\cos \theta }}$

 

なのです。ここに離心率が出てきて、この値を見るだけでこの極方程式が放物線・楕円・双曲線のどれを表しているのかがわかってしまうのです。$a$ は定直線が通る点が $(a,0)$（極座標です）を表していますが、今から作り方を見ればすぐにわかります。

さて、離心率は

 

ある定点Fを考え、そのFを通らない定直線lからの距離の比が $e:1$ である点Pの軌跡が二次曲線となる

 

ことから出てきましたので、これを極座標で考えてみましょう。

極座標で考えるので、焦点を極に置いた方が楽です。

さらに準線は角度を測る関係上

 

 

このようにした方がわかりやすいでしょう。ここで $a$ という値が出てきましたが、これは準線が通る極座標 $(a,0)$ です。ここで出てきます。

先ほどとの違いは、最初に考えた状況では準線が焦点の左側にありましたが、極座標表示では焦点の右側になりますので注意してください。やることは変わりませんが。

では早速点Pを考えていきます。定義は同じなので図に表すとこんな感じになりますね。

 

 

点Pの座標が $(r,\theta )$ です。OP$:$PH$=e:1$ というのが条件でしたから、

 

${\displaystyle \mathrm{PH}=\frac{\mathrm{OP}}{e}}$

 

ですね。$\mathrm{OP}=r$ ですから、${\displaystyle \mathrm{PH}=\frac{r}{e}}$ です。

OAは極から準線が通る偏角が $0$ の点までの距離ですので OA$=a$ です。

この状況で、条件を立てるためにはこの状況で必ず成り立つ関係を求めればいいですね。

$a$ がありますから、PHは先ほどの求め方以外にも

 

$\mathrm{PH}=a-r\cos \theta$

 

とできますね。もちろんこれは

 

 

ここに直角三角形を作ればすぐにわかります。というわけで

 

${\displaystyle \frac{r}{e}=a-r\cos \theta }$

 

が常に成り立つのでこれを整理すれば

 

$$\begin{array}{rcl}r& =& ae-re\cos \theta \\ r+re\cos \theta & =& ae\\ r(1+e\cos \theta )& =& ae\\ r& =& \frac{ae}{1+e\cos \theta }\end{array}$$

 

と公式が出てきました。ですから $a$ は準線の通る点であり、$e$ は離心率ですね。これで

 

 

 

ことがわかりました。大変でしたが求めることができましたね。

まとめ

二次曲線の極方程式をしっかりやっている人は意外と少ないと思いますが、極方程式を理解した後はやはりやっておきたい内容ではあります。離心率という腑に落ちない値が出てきて苦しいですが、一度受け入れると便利な値であるとわかります。物理の惑星の運動で使いますので知っておくとすんなり内容が入ってくるかもしれません。

ではまた。