なぜ0乗は1なのか？ その理由を解説【前編】

2³（2の3乗）が「2×2×2」で8になることは直感的に分かりやすいのに対して、2⁰が1であることはイマイチピンときません。今回はその理由について解説します。

計算の説明に入る前に、まずは「何乗」という計算に関する用語について整理しておきましょう。

冪・冪乗・累乗・指数・底

四則演算であるたし算（加法）、ひき算（減法）、かけ算（乗法）、割り算（除法）の計算結果がそれぞれ和、差、積、商です。a^bの計算結果を冪（べき）、a^bの演算を冪乗またはべき乗と呼びます。

冪（べき）とは、おおい隠すことです。冪＝冖（べき）＋幕ですが、「冖」は布で物を覆うこと、「幕」でおおい隠すことを示しています。略字として「巾」と書くこともあります。

累とは、かさねることです。累乗は「かさねた乗算」の意味です。わが国の教科書では累乗が使われています。冪は常用漢字・当用漢字には含まれていません。そこで代わりに使われることになったのが平仮名の「べき」と「累」です。

もともとの冪と後から使われることになる累ですが、使い方に違いがあります。指数が自然数の場合の冪乗を累乗と区別する使い方もありますが、冪乗・べき乗・累乗はほとんど同じ意味で使われます。

演算結果は冪であり、累ではありません。また、冪級数・巾級数という数学用語はありますが、累級数とはいいません。

なぜaの0乗は1なのか？

説明その1｜aが自然数の場合

下の図のようにaが1、2、3についてa³、a²、a¹そしてa⁰と順に見ていくと、1⁰、2⁰、3⁰が1であることがわかります。a=1の場合は3乗、2乗、1乗が1になるので0乗も1と考えることができます。

aが2の場合には指数が3から2、2から1と1小さくなると冪は「÷2」で小さくなります。したがって、指数が1から0に小さくなるときも同じように「÷2」となると考えると2の0乗は1と考えることができます。

aが1より小さい場合でもこれと同じように説明できて、(1/2)⁰＝1、(1/3)⁰＝1となります。したがって、aが自然数と1/自然数の場合にa⁰＝1が説明できます。

説明その2｜aがe（=2.718…）の場合

aがネイピア数eの場合はオイラーの公式によって0乗が1であることを説明できます。オイラーの公式は、指数関数と三角関数が虚数の関係を表したものです。指数関数の底、ネイピア数eとは微分積分にとって欠かすことができない数です。

ネイピア数eは円周率π(=3.14…）と並んで重要な数学定数です。その値もπに近く、2.718281828459045…で、無理数であることもπと同じです。

この公式のxに0を代入してみます。左辺はe⁰、右辺はcos 0＝1、sin 0＝0となりe⁰＝1が導かれます。

説明その3｜指数法則による説明

実はaは自然数、1/自然数だけでなく、すべての正の実数aに対してa⁰＝1であることが、指数法則から説明できます。指数法則とは次のような計算です。

2³×2⁴＝(2×2×2)×(2×2×2×2)＝2³⁺⁴＝2⁷

図のように指数法則において、y=0とするとa⁰＝1が導かれます。

後編に続きます。