【数学】ゲーム開発で覚えておくべきQuaternion（クォータニオン/四元数）の性質

3D空間で回転を計算する時によく使われるQuaternion（四元数）について簡単にまとめます。
ゲーム開発で必要な知識のみ。深入りはしません。

Quaternionとその表現方法

Quaternionとは複素数のように、虚数部分を持つ数です。
ただし複素数と違い、虚数単位を3つ持ちます。

${\displaystyle q=xi+yj+zk+w}$

$x$、$y$、$z$、$w$は実数、$i$、$j$、$k$は虚数単位です。
上記の式は各実数を便宜的に4次元ベクトルの要素とみなして次のようにも表現されます。

${\displaystyle q=(x,y,z,w)}$

さらに便宜的に虚数部の$(x,y,z)$を3次元ベクトル$\overrightarrow{v}$とみなすことで次のようにも表現されます。

${\displaystyle q=(\overrightarrow{v},w)}$

まとめると以下のようになります。
表現の形が違うだけですべてQuaternionを表しています。

${\displaystyle q=xi+yj+zk+w=(x,y,z,w)=(\overrightarrow{v},w)}$

基礎知識

Quaternionで回転の計算をするのに必要な基礎知識がいくつかあります。

まず、Quaternionをベクトルとみなしたとき、
ベクトルと同様にノルム（長さ）が求められます。

${\displaystyle |q|=\sqrt{x^2+y^2+z^2+w^2}}$

次に、虚数部に-1を掛けたものを共役Quaternion $q^{\ast }$として定義します。

${\displaystyle q^{\ast }=-xi-yj-zk+w}$

Quaternionと共役Quaternionとの間には、
積がノルムの二乗になるという関係があります。

${\displaystyle q{q}^{\ast }=|q{|}^2}$

次に逆Quaternion $q^{-1}$を定義します。
逆Quaternionはは元のQuaternionとの積が1となるQuaternionです。

${\displaystyle q{q}^{-1}=1}$

この式はここまでの知識を使って次のように変形できます。

${\displaystyle q^{-1}=\frac{1}{q}=\frac{q^{\ast }}{|q{|}^2}}$

したがって、 $q$のノルムが1(単位Quaternion)ならば、
逆Quaternionと共役Quaternionは等しくなります。

${\displaystyle q^{-1}=q^{\ast }}$

Quaternionの積

Quaternion同士の積は次のように計算できます。

${\displaystyle q_1{q}_2=(\overrightarrow{v_1}\times \overrightarrow{v_2}+w_2\overrightarrow{v_1}+w_1\overrightarrow{v_2},w_1{w}_2-\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_1})}$

これを頑張って解くと次のようになります。

${\displaystyle \begin{array}{r}{q}_1{q}_2=(x_1{w}_2+w_1{x}_2-z_1{y}_2+y_1{z}_2,\\ y_1{w}_2+z_1{x}_2+w_1{y}_2-x_1{z}_2,\\ z_1{w}_2-y_1{x}_2+x_1{y}_2+w_1{z}_2,\\ w_1{w}_2-x_1{x}_2-y_1{y}_2-z_1{z}_2)\end{array}}$

回転に使う

単位ベクトル$\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)$ を軸として$\theta$だけ回転させるとき、 まずは下記のようなQuaternionを定義します。

${\displaystyle q=(\overrightarrow{u}sin(\frac{\theta }{2}),cos(\frac{\theta }{2}))}$

三次元のベクトル$p=(p_1,p_2,p_3)$を上記のQuaternionで回転させたベクトル$p^{\prime }$を求めるには、

${\displaystyle p^{\prime }=qp{q}^{\ast }}$

を求めます。
ただしQuaternionと次元数を合わせるために、計算上は$p=(p_1,p_2,p_3,1)$とします。

ここで$\overrightarrow{u}$は単位ベクトルなので、$|q|=1$となります。（$si{n}^2\theta +co{s}^2\theta =1$）
よって$q^{-1}=q^{\ast }$なので、上の式は次のように変換できます。

${\displaystyle p^{\prime }=qp{q}^{-1}}$

実装してみる

さてここまでの内容をUnityで実装してみます。

using UnityEngine;

namespace Sample
{
    [System.Serializable]
    public struct Quaternion
    {
        public float x;
        public float y;
        public float z;
        public float w;
        
        /// <summary>
        /// 共役Quaternion
        /// </summary>
        private Quaternion Conjugated
        {
            get { return new Quaternion(-x, -y, -z, w); }
        }

        public static Quaternion operator*(Quaternion a, Quaternion b)
        {
            // Quaternion同士の積の計算
            return new Quaternion(
                a.x * b.w + a.w * b.x - a.z * b.y + a.y * b.z,
                a.y * b.w + a.z * b.x + a.w * b.y - a.x * b.z,
                a.z * b.w - a.y * b.x + a.x * b.y + a.w * b.z,
                a.w * b.w - a.x * b.x - a.y * b.y - a.z * b.z
            );
        }
        
        public static Vector3 operator *(Quaternion a, Vector3 b)
        {
            // ベクトルをQuaternionに変換
            var bQuaternion = new Quaternion(b.x, b.y, b.z, 1);
            // q * p * q^-1 でベクトルを回転
            var pos = a * bQuaternion * a.Conjugated;
            return new Vector3(pos.x, pos.y, pos.z);
        }
        
        /// <summary>
        /// 回転角度と回転軸からQuaternionを作成する
        /// </summary>
        public static Quaternion AngleAxis(float angle, Vector3 axis)
        {
            var rad = angle * Mathf.Deg2Rad;
            var halfRad = rad * 0.5f;
            var sin = Mathf.Sin(halfRad);
            var cos = Mathf.Cos(halfRad);
            axis.Normalize();
            
            return new Quaternion(axis.x * sin, axis.y * sin, axis.z * sin, cos);
        }

        public Quaternion(float x, float y, float z, float w)
        {
            this.x = x;
            this.y = y;
            this.z = z;
            this.w = w;
        }
    }
}

とりあえずQuaternion同士の積とVectorの回転をできるようにしました。
パフォーマンスとかは気にしてません。

これを使うスクリプトを書いてみます。

using UnityEngine;

public class QuaternionSample : MonoBehaviour
{
    private Sample.Quaternion _rotate;
    
    private void Awake()
    {
        transform.position = Vector3.up;
        _rotate = Sample.Quaternion.AngleAxis(1, Vector3.forward) * Sample.Quaternion.AngleAxis(1, Vector3.up);
    }

    private void Update()
    {
        transform.position = _rotate * transform.position;
    }
}

QuaternionをAwake()であらかじめ合成して、Update()でベクトルを回転させています。

結果

前節のスクリプトを適当なGameObjectにアタッチして再生してみます。

うまく動いていそうです。

関連

light11.hatenadiary.com

参考

qiita.com

http://www.mss.co.jp/technology/report/pdf/18-07.pdf