本文以几何方式深入探讨了勒让德变换（Legendre transformation），其核心思想是基于“勒让德提升”（Legendrian lift）这一数学过程。这种方法不仅能够清晰地揭示勒让德变换的诸多特性，例如对偶曲线出现奇点的原因，还将其应用于常微分方程，并将其置于更广泛的接触变换（contact transformation）范畴中进行考察。
文章首先定义了平面曲线的正则点与奇点，其中奇点是指参数化曲线
勒让德变换
勒让德提升 (Legendrian lift) 曲线
的勒让德提升或1-图（1-graph）是在三维空间 （1-射流空间，coordinates ）中的曲线： 其中
代表曲线的斜率。文章讨论了当 时 可能为无穷大，以及曲线奇点处 的定义问题。勒让德提升的1-图不依赖于曲线的参数化。 值得一提的是，勒让德提升在生物学（哺乳动物大脑对平面图像轮廓的感知）和图像处理（修复算法）中也有应用，大脑会使用 作为第三坐标。 勒让德变换与对偶性 (Legendre transformation and duality) 勒让德变换
是 空间到自身的自同构，其映射关系为 ，且坐标之间满足以下等式： 对于平面曲线，其勒让德变换的对偶曲线 是通过以下步骤得到的：首先将 提升到 空间，然后应用勒让德变换 ，最后将结果投影回二维平面 。 对偶曲线 即使在原始曲线 是正则曲线的情况下也可能出现奇点。例如，直线的对偶是单点，抛物线的对偶是另一条抛物线，而三次抛物线的对偶是半立方抛物线，其尖点对应于原始曲线的拐点。 文章通过引理总结了勒让德变换的性质： - 曲线
的正则点对应于 上曲率 的点。当 上的点曲率 但 时， 在对应点具有半立方尖点。 - 若
是函数 的图像，且在原点满足 但 ，则其对偶曲线 在原点附近具有类似形式 。 - 勒让德变换是一个对合（involution），即
是恒等变换，意味着 。 这些性质解释了对偶曲线尖点的出现原因，它们对应于原始曲线的拐点（例如 的对偶曲线在 处有尖点）。 当原始曲线是函数 的图像时，其对偶曲线不总是函数的图像。如果 是严格凸函数（ ）或严格凹函数（ ），则对偶曲线是函数 的图像，其中 被称为 的勒让德变换函数，其定义为： 对于严格凸函数 ： 对于严格凹函数 ： 这种定义通常作为勒让德变换的标准定义，但文章强调几何方法能提供更好的直观性和动机。勒让德变换也可推广到高维函数和超曲面。
- 曲线
克莱罗微分方程 (Clairaut differential equation) 勒让德变换也可应用于微分方程。一阶微分方程
经过勒让德变换会得到对偶方程 ，其中 。勒让德变换保持了 空间的接触结构（contact structure），即它将接触平面 映射到 ，因此它将原方程的积分曲线映射到对偶方程的积分曲线。 克莱罗方程是一种特殊的一阶常微分方程： 。 勒让德变换将其转化为 ，一个不含导数的方程。这意味着克莱罗方程的积分曲线是与函数 的对偶曲线相切的直线族。通过直接计算可知，这条对偶曲线 是克莱罗方程的判别曲线（discriminant curve）和解族的包络（envelope），称为奇解。除了奇解，其他解是形如 的直线族（其中 为常数）。 文章以 为例，其判别曲线为半立方抛物线 ，解族是其切线，这些切线在判别曲线及其尖点附近形成集中的区域，被称为焦散（caustic）。 更一般的克莱罗方程 经过勒让德变换后也得到一个不含导数的方程 。其积分曲线是与曲线 的对偶曲线相切的直线族，奇解由 定义，其他解是形如 且 的直线族。
接触变换 (Contact transformations)
勒让德变换并非唯一保持
总而言之，本文从几何角度出发，通过勒让德提升详细阐述了勒让德变换，解释了其对偶曲线奇点的产生机制，并展示了其在克莱罗微分方程求解中的应用。最后，文章将勒让德变换置于接触变换的框架下，介绍了踏板变换以及索菲斯·李构建的连续接触变换群，丰富了我们对这类变换的理解。
