結論から言うと、この命題は未解決問題です。
つまり、

任意の正の整数 $n$ に対して、区間 $(2^n,\,2^{n+1})$ に必ず素数が存在するか

は、現在の数学では証明も反例も見つかっていません。

位置づけ（どれくらい難しい問題か）

これは素数分布に関する問題で、次のような古典的問題と近い位置にあります：

• ルジャンドル予想
  → $n^2$ と $(n+1)^2$ の間に素数があるか（これも未解決）

今回の問題は、平方ではなく指数関数的に広がる区間ですが、やはり「どの区間にも必ず素数があるか」というタイプの難問です。

何が分かっているか

完全な証明はないものの、関連する強い結果はいくつかあります：

• 素数定理
  → 大雑把には「数が大きくなるほど素数は減るが、完全には消えない」

• より強い結果として
  「十分大きな数 $x$ に対して、区間 $(x, x + x^{0.525})$ に素数がある」
  などが知られています（ベーカー–ハーマン–ピンツの結果）

しかし

なので、この区間は長さ $2^n$ と非常に大きく、直感的には「素数がありそう」に見えますが、それを全ての n で保証する証明はまだないという状況です。

計算的事実

実際にはかなり大きな範囲まで計算機で確かめられており、
少なくとも「かなり大きな n」までこの区間には素数が存在することが確認されています。

直感的な理解

素数の密度はだいたい

程度なので、区間の長さが $2^n$ もあるなら

• 期待される素数の個数 ≈ $\frac{2^n}{n\log 2}$

となり、むしろたくさん存在するはずです。

それでも証明できないのは、
素数が「局所的に全く存在しない区間」がどれくらい長くなり得るか、
という問題が非常に難しいためです。

まとめ

• 命題：未解決

• 直感：ほぼ確実に真っぽい

• しかし：厳密証明はまだない

必要なら、この問題と「素数ギャップ（prime gaps）」との関係や、どこまで分かっているか（最新の研究レベル）も整理して説明できます。

結論：発散します（無限大になります）。

定理

素数 $p$ 全体についての逆数和

は発散します。

これは古典的な結果で、18世紀に
レオンハルト・オイラー
によって示されました。

どういう意味か

例えば調和級数

が発散するのは有名ですが、素数はずっと「まばら」に現れるにもかかわらず、

• $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \cdots$

もやはり無限に大きくなる、というのがポイントです。

直感（なぜ発散するのか）

鍵になるのは、オイラーの有名な関係式です：

これは
オイラー積
と呼ばれます。

• 左辺（調和級数）は発散

• 右辺は素数だけで構成されている

もし素数の逆数和が収束してしまうと、右辺の積も有限に収まってしまい、左辺の発散と矛盾します。
したがって、素数の逆数和も発散せざるを得ません。

どれくらいゆっくり発散するか

実はかなり遅く、

という増え方をします（非常にゆっくり）。

例えば：

• $x = 10^{10}$ にしても $\log\log x$ はまだ小さい

つまり

• 発散はするが、極端にゆっくり

まとめ

• 素数の逆数和は 発散

• ただし増え方は $\log\log x$ 程度で非常に遅い

• 背景にはオイラー積という深い構造がある

必要なら、この結果の「初等的証明（エルデシュ型）」も解説できます。