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角度の問題では、図の中にある条件や印に注目し、それらを整理して考えることが大切です。
特に、角の二等分線や外角の関係を利用すると、複雑に見える図形もシンプルに捉えることができます。
今回は、二つの三角形が重なった図形から角度を求める問題に取り組んでみましょう。
問題
次の図で、角xの大きさを求めなさい。
図には二つの三角形があり、それぞれに角の二等分線が引かれています。
これらの関係をどのように活用するかがポイントです。
解説
今回の問題の答えは「56°」です。
この角度を求めるために、次の性質を利用します。
三角形の内角の二等分線と、別の頂点の外角の二等分線が交わるとき、その交点でできる角の大きさは、残りの内角の半分になる。
黄色の三角形に注目すると、一方は内角、もう一方は外角の二等分線になっています。図より28°はxの半分にあたります。
では、なぜこの関係が成り立つのかを、数式を使って確認していきましょう。
解説のため、図の点をA,B,C,D,Eとします。
また、◯で示した角の大きさをa、△で示した角の大きさをbとします。
まず、左側の三角形ABCに注目します。
外角の性質より、次の関係が成り立ちます。
角CAB+角ABC=角ACE
つまり
x+2a=2b・・・(1)
次に、右側の三角形DBCについても外角の関係を使います。
角CDB+角DBC=角DCE
つまり
28+a=b・・・(2)
ここで式(2)を2倍すると、
56+2a=2b・・・(3)
式(1)と式(3)を比べると、
x=56
であることが分かります。
したがって、求める角の大きさは「56°」です。
まとめ
一見複雑な図形でも、角の二等分や外角の性質に注目することで、関係式を立てることができます。
複数の三角形がある場合は、それぞれに分けて考えることが解決のポイントです。
図の情報を整理しながら、落ち着いて取り組んでいきましょう。
※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。
あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。
文（編集）：SAJIMA
日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」
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