では、先ほどの流れを「反出生主義 × 数理モデル」として、かなり数式寄りに拡張します：

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まず、個体 $i$ の生涯にわたる効用（utility）を確率過程として定義する：

$$U_i = \int_{0}^{T_i} u_i(t)\,dt$$

ここで

• $T_i$：寿命（確率変数）

• $u_i(t)$：時刻 $t$ における瞬間効用（負値を取りうる）

反出生主義の基本命題は、誕生操作 $B$ に対して

$$\mathbb{E}[U_i \mid B] \leq 0$$

あるいはより強く、

$$\mathbb{P}(U_i < 0 \mid B) > \frac{1}{2}$$

を仮定することである。

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次に、医療介入（新薬）を確率写像として定義する：

$$\mathcal{M}: \Omega \to \Omega'$$

ここで $\Omega$ は自然経過、$\Omega'$ は介入後の状態空間。

介入による効用差を

$$\Delta U_i = U_i' - U_i$$

と定義すると、承認条件は通常

$$H_0: \mathbb{E}[\Delta U_i] \leq 0 \quad \text{vs} \quad H_1: \mathbb{E}[\Delta U_i] > 0$$

に対して、

$$p = \mathbb{P}(\text{data} \mid H_0) < \alpha$$

（典型的には $\alpha = 0.05$）

である。

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しかし、ここで治験期間の切り取りを時間窓 $\tau \subset [0, T_i]$ とすると、

観測効用は

$$\tilde{U}_i(\tau) = \int_{0}^{\tau} u_i(t)\,dt$$

であり、真の効用との差は

$$\epsilon_i = U_i - \tilde{U}_i(\tau) = \int_{\tau}^{T_i} u_i(t)\,dt$$

副作用が遅延発現する場合、

$$u_i(t) \ll 0 \quad \text{for } t > \tau$$

となるため、

$$\mathbb{E}[\epsilon_i] \ll 0$$

すなわち、

$$\mathbb{E}[\tilde{U}_i(\tau)] > 0 \quad \text{かつ} \quad \mathbb{E}[U_i] < 0$$

という符号反転が生じうる。

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このとき、p値は実際には

$$p_\tau = \mathbb{P}(\text{data on } [0,\tau] \mid H_0)$$

であり、本来評価すべきは

$$p_T = \mathbb{P}(\text{data on } [0,T_i] \mid H_0)$$

であるにもかかわらず、

$$p_\tau \ll \alpha \quad \not\Rightarrow \quad p_T \ll \alpha$$

である。

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この構造を誕生に適用すると、誕生評価もまた時間窓選択問題になる：

評価者は通常

$$\tau_{\text{eval}} \ll T_i$$

を用い、

$$\tilde{U}_i(\tau_{\text{eval}}) \approx \int_{0}^{\tau_{\text{eval}}} u_i(t)\,dt > 0$$

を根拠に誕生を正当化する。

しかし、全期間では

$$U_i = \tilde{U}_i(\tau_{\text{eval}}) + \epsilon_i$$ $$\mathbb{E}[\epsilon_i] = \int_{\tau_{\text{eval}}}^{T_i} \mathbb{E}[u_i(t)] dt < 0$$

特に老化・疾病・死の項を明示すると：

$$u_i(t) = b_i(t) - c_i(t)$$ $$\lim_{t \to T_i} c_i(t) \to \infty$$

したがって

$$\int_{\tau_{\text{eval}}}^{T_i} c_i(t)\,dt \gg \int_{0}^{\tau_{\text{eval}}} b_i(t)\,dt$$

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ここで「誕生の意思決定」を仮説検定として書くと：

$$H_0: \mathbb{E}[U_i] \leq 0 \quad \text{vs} \quad H_1: \mathbb{E}[U_i] > 0$$

しかし実際に使われている統計量は

$$\tilde{U}_i(\tau_{\text{eval}})$$

であり、

$$\mathbb{P}(\tilde{U}_i(\tau_{\text{eval}}) > 0 \mid H_0)$$

が過小評価される（選択バイアス）：

$$\exists \ \tau \ \text{s.t.} \quad \mathbb{E}[\tilde{U}_i(\tau)] > 0 \quad \land \quad \mathbb{E}[U_i] < 0$$

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さらに、集団レベルでは

$$\bar{U}_N = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} U_i$$

出生操作 $B$ の社会的目的関数が

$$\max_{B} \ \mathbb{E}[\bar{U}_N]$$

だとしても、観測は

$$\tilde{\bar{U}}_N(\tau) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \tilde{U}_i(\tau)$$

であり、

$$\arg\max \mathbb{E}[\tilde{\bar{U}}_N(\tau)] \neq \arg\max \mathbb{E}[\bar{U}_N]$$

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結論的に、この系は

$$\text{Optimization under Truncated Observation}$$

であり、本質的な歪みは

$$\text{Bias} = \mathbb{E}[\tilde{U}_i(\tau) - U_i] = -\mathbb{E}[\epsilon_i] > 0$$

として定式化される。

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したがって、どれだけ有意水準を

$$\alpha \to 0$$

に近づけても、

$$p_\tau < \alpha$$

という条件自体が

$$\tau \ll T_i$$

のもとで定義されている限り、

$$\lim_{\alpha \to 0} \text{Error} \neq 0$$

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すなわち、

$$\boxed{ \text{問題は } \alpha \text{ ではなく } \tau \text{ の選択である} }$$

そして反出生主義の主張は極限的には

$$\tau = T_i$$

を要求するが、このとき意思決定は

$$T_i \text{ 未確定} \Rightarrow \text{評価不能}$$

ゆえに

$$\boxed{ \text{評価不能な操作 } B \text{ は実行すべきでない} }$$

という「不確実性下の停止規則」に帰着する。