2026/03/13作成 2026/03/13更新

微分積分学IA 過去問（地球社会基盤学類2025）

【info】

数式表示にMathJaxを使用しています。正しく表示されない場合（\( \sin^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \)←こんな感じ）連絡してください。
PDFでない場合、基本的にレイアウトは実際とは異なります。

備考: A3 2枚。計算スペースあり。氏名等は両方書く。ロピタル使用可（明言はなし？）。

令和７年度 Q1　微分積分学IA　定期試験　地球社会基盤学類対象
月曜３限　担当：加勢順子，早川貴之

学籍番号　　　　　　　　　　　　名列番号　　　　　　名前　　　　　　　　　　　　　　　　

1. 次の値を求めよ．ただし，結果のみで良い．

(1)

\sin^{- 1} \frac{\sqrt{3}}{2}

(2)

\cos^{- 1} (- \frac{1}{2})

(3)

\sin^{- 1} (- \frac{1}{\sqrt{2}})

(4)

\tan^{- 1} \sqrt{3}

2. 次の極限値を求めよ．途中の過程も簡単に記すこと．

(1)

lim_{x \to 0} \frac{\tan 3 x}{2 x}

(2)

lim_{x \to 0} \frac{\sin^{- 1} 2 x}{x}

(3)

lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} \sin \frac{4}{x}

(4)

lim_{x \to 0} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{x}}

(5)

lim_{x \to 0} \frac{\log (1 + 4 x)}{x}

3. 次の関数を微分せよ．途中の過程も簡単に記すこと．

(1)

y = \sin^{- 1} \sqrt{4 - x^{2}} （ただし， \sqrt{3} < | x | < 2 ）

(2)

y = {(\tan^{- 1} 3 x)}^{2}

(3)

y = \cos^{- 1} \frac{1}{x^{2}} （ただし， | x | > 1 ）

(4)

y = x^{e^{x}} （ただし， | x | > 0 ）（ヒント：対数微分法）

4. 次の関数の

n

次導関数を求めよ．ただし，数学的帰納法による厳密な証明は求めません．

(1)

y = \frac{1}{3 x + 1}

(2)

y = x^{2} \sin x

a_{1} = 3, a_{n + 1} = \frac{1}{6} (a_{n}^{2} + 8)

で定められた数列

{a_{n}}

について次の問いに答えよ．

(1)

2 \leq a_{n} \leq 4

を示せ．（ヒント: 数学的帰納法を用いる．）

(2)

a_{n} \geq a_{n + 1}

を示せ．（ヒント: (1)と漸化式を用いる．）

(2)

lim_{x \to \infty} a_{n}

を求めよ．(ヒント:

x \to \infty

のとき，

a_{n}

と

a_{n + 1}

は同じ極限に収束する．)