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実微分可能写像のヤコビアンは、複素座標を使うとどう書けるか？について少し書きました。
小平複素多様体論だと導出が完全に省略されていますが、以下のように線形写像の複素化を使うと、計算なしで綺麗に示せるので、一般のnの場合でもスッキリ示せてhappy！たしかこの方法は講義で知った。
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虚心坦懐
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サナトリウム虚心坦懐
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数学をやっています。 なんとか頑張っています。大学院を卒業した。数学の本体は真理の中における調和の精神。
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最近塾の方で、dy/dxは分数じゃないけど分数のように扱っていいみたいな説明が耳に入ってきて、洗脳されてるなぁというお気持ちになったわね。
同じ話題を定期的に見かける気がするけど、dy/dxは数学的に厳密に分数とみなせるというのは中々広まらないですね。洗脳済みの人が多過ぎるんだろうな。
普通の塾で教えたことある人は分かると思うけど、必要十分条件を理解してる高校生なんて稀。しかもそういう人に軌跡領域教えるとき必要十分条件の説明しても反応が悪いことが多い。彼らは、必要十分条件という単元を勉強している時以外ではそんなものどうでも良くて、答えさえ出せれば良いと思ってる。
GPT-4oちょっと使ってみたけど、難しい定理でも証明がよく知られているようなものはかなりきちんとしたことを答えてくれるけど、検索しても出てこないようなある条件を満たす関数の例を挙げてくれみたいなこと言うと、それっぽいけど堂々と間違った答え言ってくるし指摘しても全然正解に辿りつかない。
X,Y≧0に対して、X≦Yという不等式が欲しいとき、任意のM≧1に対して、X^M≦CY^M（C:Mによらない正定数）
が言えれば、1/M乗してM→∞とすることでX≦Yが得られる。
これをtensor power trickというらしい。こうやって有用な証明テクニックに名前が付くの良いよね。
dyやdxというのは1次元余接ベクトル空間と呼ばれるものの元であり、これはモノとしては関数です。私は超準解析とかは知らないですが、幾何学だと「dyやdxは無限小のような決まった数ではなく」、接ベクトルを受け取ってそれに対する変化を返すような実数値関数と考えます。そしてその比が微分dy/dx。
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サナトリウム虚心坦懐
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最近塾の方で、dy/dxは分数じゃないけど分数のように扱っていいみたいな説明が耳に入ってきて、洗脳されてるなぁというお気持ちになったわね。
同じ話題を定期的に見かける気がするけど、dy/dxは数学的に厳密に分数とみなせるというのは中々広まらないですね。洗脳済みの人が多過ぎるんだろうな。
微積分で多変数関数に苦手意識がある人が多いのは、どう考えても教え方や本の書き方が悪いのが原因だと思う。
多変数関数を調べるとき、多変数関数に曲線を合成した一変数関数を調べることが基本で、これが分かってない人が多い気がする。基本的な定理は大体これとチェーンルールで得られている。
めちゃ数学出来る人に監視されながらゼミをやるのが一番力付くよな。
指摘に答えられなくて黒板の前で数十分右往左往したりしたこともあって、マジで恐怖と自己嫌悪でぐちゃぐちゃになったけど、それくらい荒療治してもらうことでまともに数学が出来るようになった。
杉浦のこれ、もちろん間違いではないけどうーんってなるよね。こういうこと書くからεδが苦手な人間が増える気がする。δは小さくする必要が生じたときに後から調整するもので、こういう風にεにぴったし合わせるδが「正確に」いくつなのかというのに拘る必要は全くない。
修論を書いた経験から、まずgptに写真を撮ったのを渡して先にLaTeXのコードを一気に書いてもらって、それを下地にスマホでフリック入力することにより、かなりの速度で手書きのノートをLaTeX化出来ることに気付いたのデカい。
ヨビノリでも何でもそうだけど、常に批判的な精神で見た方がいい。特にYoutubeなんて今や誰でも動画を投稿出来るのだから、尚更内容を疑ってかかるべきだと思う。
というかそもそもな話、誰かに寄りかかって勉強するなんてことはすぐ辞めるべき。楽して何かを学ぼうという魂胆が透けて見える。
微積分はやっぱこれと杉浦よ。積分パートは伝統的な杉浦の方が良いけど、これは特に極限や微分のパートが新しい構成で従来の微積分の本より格段に分かりやすい。※なお、ここでの分かりやすいとは、純粋数学が好きな人には特にウケが良さそうという意味。
数学をやる上で効率とかそういうのを考えるのはあまり良いこととは思えない。大学の微積分を勉強する上で、数3で沢山の問題に触れた経験はかなり活きたと思う。どうしても時間が限られている時なら仕方ないかもしれないが、腰を据えて勉強する時間があるなら数3からやるのが佳い。
準同型定理は確かに常識なんだけど、個人的にはさらに↓みたいな命題が自分の常識になってから世界が変わった気がした。これを呼吸のように使えると、例えば第二、第三同型定理とかも本当の意味ですぐに導出出来る。
軌跡と領域の問題、その辺の普通の高校生に正しく理解してもらうハードル高すぎて悩む。ありがちなテキトーに変数消去して答えっぽいものを出すみたいな状態を脱してもらうには、まず必要十分条件から教えないといけないし、さらに存在条件の扱いにも慣れてもらったりなど、相当きつい。
例えばAhlforsだと微分形式をかなり前面に押し出していて、実数値調和関数の全微分に対して、そのconjugate differentialなる1形式を使うと、共役な調和関数を具体的に計算するときに凄く役に立つ！
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サナトリウム虚心坦懐
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複素解析ってやっぱり微分形式を知ってるか否かで、理解度にかなり差が生まれる気がする。
線形代数の世界はすごい本ですよ。
最初から最後まで余す事なく全て面白くて勉強になります。
難点として、初学者が自力で埋めるのがきつい行間がちょいちょいある事くらいですかね。
これはもう慣れるしかない。
P({ω ∈ Ω | X(ω) ∈ S})という集合論的記法は確率論ではむしろ避けた方がよくて、積極的にP(X ∈ S)と書いていく方がよい。
というのも、標本空間Ωをexplicit に表す表記法自体が確率論的でない。標本空間は、都度拡張されていくものなので。
例えば広義積分の収束判定では関数のオーダーを見るのが肝なので、こういう問題が簡単に分かるようになる（多元数理2022）好きな問題なので再掲載。
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サナトリウム虚心坦懐
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ビッグオーとかビッグシータみたいなのを使えるの解析だと超重要だけど、微積の授業では何故かスモールオーしか教えないみたいなのが流行ってるよな。
今までほぼ死んでました。
ようやく数学のモチベが戻ってきたので、記念に好きな問題投下。
Dも△も簡単な領域だが、一見どうすればいいか分からない。しかし、とても初等的かつ明快な同相写像の作り方があって素晴らしい、ので良いと思う。
松島多様体入門に書いてあるようなことは大体どれも重要で全部必要なのに、この本は絶望的なまでに読み辛いのヤバいと思う。
本来ならもっとスッキリ書けるものが、紙面の都合だとは思うのだけど凄く過密に書かれていて、とても通読する気が起きない。これで勉強しろと言われたらそりゃ心折れるよ。
数学、やはり定義を理解するのが一番難しい。読んでる本の定義でやっている内に、なんだか議論がスッキリしない部分が出てきて、もっと良い定義があるんじゃないかと複数の本の色々な定義を見比べることが良くある。
複素平面の領域が単連結であるとは、方程式f^2=gの正則な解が存在するような領域のことである、と言い換えられること、位相的な性質が解析的な性質で特徴付けられていて個人的に凄く良い話だと思うのだけどあまり知られてない気がするので広めたい。（f’=gやexp(f)=gの方程式の解の存在とも同値。）
どの数学書にも必ずミスはあるので、そういうのを自分で黙って正しく修正して読む能力が求められるが、これが数学にかなり慣れた人でないと中々難しいよな。
たまに、この本にはこう書いてあるからこれは正しいんだと主張する人もいたりするが、この人本当に数学科の人間か？と厳しい気持ちになる。
厳密さや論理は確かに大事なんだけど、それは数学の表面的な部分に過ぎなくて、論理が追えるだけでは分かった気がしない。
もっと無意識のうちに、感覚的に何かを把握するというのが数学を理解する上で大事なはずで、それは高校数学で論理を然程気にせず色々な例に触れることでも養われている気がする
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サナトリウム虚心坦懐
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数学をやる上で効率とかそういうのを考えるのはあまり良いこととは思えない。大学の微積分を勉強する上で、数3で沢山の問題に触れた経験はかなり活きたと思う。どうしても時間が限られている時なら仕方ないかもしれないが、腰を据えて勉強する時間があるなら数3からやるのが佳い。
supやinfを使ったmini-max型の定理が解析をやっていると大量に出て来るけれども、昔は何を目標に示せば良いか戸惑って自力でどう思い付くのだろうと疑問に思っていた記憶がある。
ここら辺の証明テクニックは、完全にTaoのブログを読んだお陰で身に付いたからマジで初心者にオヌヌメ。
就活←バカ量産システムです。絶対滅んだ方がいい文化です。こんなことしてたら頭が悪くなります。一日でも早く終わらせた方が良いです。こんなことしてる自分に吐き気を催すレベルの害悪…
平均値の定理を殊更に強調して教えるのはもう辞めないか？
最初から有限増分不等式を教えれば、こんな問題で手が止まる人も減ると思うんだ。さらに微積分の基本定理と結び付けて、積分を取って関数の振る舞いを穏やかにしてから評価するという解析学における重要な手法も教えられる。
別にεδ論法に限らずとも、「任意のε>0に対して…|〜|<εである」みたいな主張を示したかったら、εの代わりに0≦k(ε)→0(ε→0+)なるk(ε)で置き換えたものを示せば良いんだぞ。
εにぴったり揃えるために頑張るのは頑張る方向を間違えていて、もっと本質的な部分に脳のリソースを割いた方が良い。
数学科の人間でも、まともに数学の議論が出来る人間って意外と希少なんだなと最近認識した。今までの知り合いはちゃんとした人ばかりだったので、錯覚していた。恵まれてたんだな。
暇つぶしにこれから学ぶ予定の人向け？or自分用メモに、私が思うポイントを思い付く限り列挙しておく。
・そもそも、ルベーグ積分は非負の理論と、符号付きの理論の二つから成っていると認識しておいた方が良い。これを混ぜて考えると余計に分かりにくいので、絶対に分けて考えた方が良いです。
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サナトリウム虚心坦懐
虚心坦懐@math095562
ルベーグ積分は結構内容が盛り沢山だけど、一度理解したら不思議と頭の中できちんと整理出来てるから、ちょっとだけ自分凄いなと感じたりもする()
学び始めた当初は難しいし量も多いし無理…となっていた記憶がある。
証明を読むというのは、別に本当に論証に誤りがないかどうかだけチェックしている訳ではないんですよね。
証明を読んだことがないと、なんとなくその定理の印象が薄くなって、結局自力で応用できないみたいなことが自分には起きてしまう。
だから、証明を読むのは定理を脳に刻み込む作業？なのかなと。
本文があっさりしている数学書は実は演習問題が本体なので、問題集だと思って使っている。
というかむしろ、数学は本文は前座で、演習問題を解いてようやく始まる。そして最後に演習問題を自分で作るまでやって概ね完了。
物理やる上の道具として数学を使うなら、集合位相に限らず証明なんてほぼ要らないんじゃないかな。数学を真面目にやっていたら、何年経っても物理出来なさそうに思える。
詳しくはこれを読みましょう。
terrytao.wordpress.com/2010/01/01/254
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サナトリウム虚心坦懐
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これはもう慣れるしかない。
P({ω ∈ Ω | X(ω) ∈ S})という集合論的記法は確率論ではむしろ避けた方がよくて、積極的にP(X ∈ S)と書いていく方がよい。
というのも、標本空間Ωをexplicit に表す表記法自体が確率論的でない。標本空間は、都度拡張されていくものなので。
確率論は確率空間を研究する理論ではないということ、今まで繰り返し似たこと言ってきた気がするけどこの意識が本当に大事だなと。
この視点を持つことで、高校までの古典的確率論から脱却できる。
コルモゴロフの公理的確率論によって、研究対象が確率空間そのものの実体に依存しない性質に変わった。