の続き：

そして、角の接続（corner connections）がすべて B 内に含まれるように、さらに S が {\partial}B と横断的（transverse）になるように S を押し出します。S はループのシステムとして {\partial}B と交わり、S と B の交差成分のそれぞれは少なくとも1つの角の接続を含むため、それは N(1) と少なくとも2回交わります。もし S \cap B の任意の成分が円板（disk）でない場合、そのような成分のうち「最も内側の」成分 S_i が存在します。その場合、その境界成分のすべては B 内で、したがって S 内で円板の境界となります。S は球面（sphere）ではないため、S 内のこれらの円板の1つが S_i を含みます。それを B 内の円板に置き換えます。

これは、N(1) との交差数を増やすことなく行うことができます。なぜなら、{\partial}B 内のすべてのループは、N(1) と高々2回交わる B 内の円板の境界となるからです。 さて、もし B 内で接触する2つの角の接続が存在する場合、S \cap B のある成分は N(1) と少なくとも3回交わります。この成分は円板であるため、N(1) と高々2回交わる円板に置き換えることができ、それによって S が単純化されます（したがって、任意の頂点において接続できる角は高々2つです）。 ここで、S がそのイソトピー類（isotopy class）において N(1) との交差数が最小であると仮定します。

I, II, III, および IV をそれぞれ、S と辺 I, II, III, および IV との交差数とします（これによって混乱は生じないはずです）。残るは、それぞれの可能性をケースバイケースで分析することです。 I, II, III, IV のいずれも 0 ではないと仮定します。すると、各六角形には2つの角に接続があります。六角形Aにおける角の接続の可能性は以下の通りです。 もし角の接続が a と b にある場合、六角形Aにおける図は以下の形になります。

これは II = I + III + II + I + IV を意味しますが、この場合4つの数はすべて正であるため、これは不可能です。同様の議論により、六角形Aにおける c-d, d-e, a-f, b-f, および c-e の可能性、さらに六角形Bにおける h-i, i-j, k-l, g-l, g-k、および h-j の可能性も排除されます。 a-c の可能性は、それらが隣接する角であるため発生し得ません。同じ理由で、a-e, b-d, d-f, g-i, i-k, h-l, および j-l も排除できます。 各六角形は少なくとも2つの角の接続を持つため、各頂点において向かい合う2つの角に接続を持たなければなりません。これは、ある角の接続が1つわかれば、もう1つの角の接続もわかることを意味します。これを利用することで、六角形Aについて a-d 以外のすべての可能な角の接続を排除できます。

もし a-d が発生する場合、I + IV + II = I + III + II、すなわち III = IV となります。頂点における向かい合う角の要件により、六角形Bにおいては i と l に角の接続があり、これは I = II を意味します。x = III および y = I とします。このとき、図は以下のようになります。

この図から指定されたパターンで x + y 個のアニュラス（円環）を貼り合わせることにより、S と N の近傍、すなわち N(N) との交差を再構築することができます。これにより x + y 個の穴あきトーラス（punctured tori）が得られます。もし x-曲面（x-surface）が頂点を越えて押し下げられると、y-曲面（y-surface）が得られ、同様に y-曲面を押し下げると x-曲面が得られます。したがって、S \cap N(N) は x + y 個の平行な穴あきトーラスのコピーであり、これは N(N) \approx M の S^1 上のファイブレーション（fibration）のファイバーであることがわかります。N(N) の外側で何が起こるかについては後で議論します（何も起こりません）。

ここで、I, II, III, IV のうち少なくとも1つが 0 であるケースに進みます。図には多くの対称性があるため、I = 0 のケースが代表的です。 まず、I = 0 かつ II, III, IV のいずれも 0 ではないサブケースを考えます。もし六角形Bが h に1つだけ角の接続を持っていたとすると、III + IV = II + IV + III となり、II > 0 と矛盾します。

他のすべての角についても同じ推論を用いることで、六角形Bは少なくとも2つの角の接続を必要とすることがわかります。いかなる角の接続も辺 I を含むことができないため、N の各頂点の近傍には高々1つの角の接続しか存在し得ません。

したがって、六角形Bは正確に2つの角の接続を持たなければならず、六角形Aは角の接続を持ちません。不等式を確認することで、唯一の可能性は g-h における角の接続であることがわかります。I の近くの逆像 T^2 \times {1} における図を見ると、I の周りにループがあることがわかります。このループは非圧縮性（incompressibility）により S 内の円板の境界となり、

その円板を六角形を横切って押し出すことで、N(1) との交差数が少なくとも2つ減少します（図に描かれている4つの交差を失い、紙面の上方で2つの交差を得る可能性があります）。S はすでに N(1) との交差数が最小となっているため、このサブケースは起こり得ません。

次に、I = 0 かつ II = 0 のサブケースを考えます。

六角形Aの図は以下のようになり、III = IV を意味します。 六角形Bの図は、角 l における角の接続の数を y、x = IV - y としたものです。

確認すべき3つのサブケースは、x と y が共に 0 でない場合、x = 0 の場合、および y = 0 の場合です。 もし x と y が共に 0 でない場合、S には辺 I と II の周りにループが存在します。

このループは S 内の円板の境界となり、その円板を六角形を横切って押し出すことで交差数が少なくとも2つ減少し、最小性に矛盾します。したがって、x と y は共に 0 になることはありません。

もし I = II = 0 かつ x = 0 の場合、S \cap N(N) は y 個の平行な穴あきトーラスのコピーとなります。

もし I = II = 0 かつ y = 0 の場合、S \cap N(N) は x/2 個の2つ穴あきトーラスのコピーと、もし x が奇数の場合はさらに1つのクラインの壺（Klein bottle）のコピーで構成されます。

次に、I = III = 0 のサブケースを考えます。もし S が背骨（spine）N と交わる場合、六角形Aにより II \neq 0、六角形Bにより IV \neq 0 となります。しかしこれは、辺 I と III の周りにループが存在することを意味し、S はさらに単純化される可能性があり、最小性に矛盾します。

I = IV = 0 のサブケースも、S と N(1) の交差数の最小性により起こり得ません。その図がここにあります。

対称的な推論により、もう1つだけ起こり得るケースがあることがわかります。それは III = IV = 0 で I = II となるケースです。これらの図は前のものと対称的です。

定理の証明を終えるために、残るは M - N(N) = T^2 \times [0, .99] における S の振る舞いを理解することです。明らかに、S \cap (T^2 \times [0, .99]) は非圧縮性（incompressible）でなければなりません（さもなければ、例えば S と N(1) の交差数を減らすことができるからです）。S が境界と平行であるか、またはアニュラスの和集合であるかのいずれかであると演繹するのは難しくありません。もし S が両側的（two-sided）であると仮定したくない場合、これは S \cap (T^2 \times [0, .99]) と非分離的（non-separating）なアニュラスとの交差を調べることで達成できます。 もし S \cap (T^2 \times [0, .99]) のいずれかのアニュラスが T^2 \times .99 内に両方の境界成分を持っている場合、ケースを調べることで、S は非圧縮性にならないことがわかります。したがって、S \cap (T^2 \times [0, .99]) は（円 \times [0, .99]）の形へとイソトピー変形（isotope）できることになります。（S が連結している場合）5つの可能性があります。慎重に比較することで、 S_2, \dots, S_6 の記述へと導かれます。