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Teoria delle Strutture Vol. II
Federico II Scienze dell’Architettura
Prof. Sessa a.a 2020/
Appunti di Teoria delle Strutture Vol.
a.a 2020/2021 Prof.Sessa
Indice
1 Analisi del continuo tridimensionale
2 Descrizione del processo di deformazione
7 Analisi della deformazione : Formula di Cauchy
13 Analisi della tensione
14 Lemma di Cauchy
16 Formula di Cauchy
20 Equazioni indefinite dell’equilibrio
23 Componenti principali della tensione
26 Cerchio di Mohr
31 Legame elastico - Legge di Hooke generalizzata
38 Criteri di resistenza
39 Tresca
40 Von Mises
43 Problema di De Saint Venant
46 Geometria delle aree
47 Momento Statico
49 Momento d’inerzia
55 Flessione composta
58 Sforzo normale centrato - Flessione retta intorno ad X
59 Flessione reta intorno ad Y - Flessione deviata
64 Torsione uniforme
Parliamo di campo di spostamenti , che è una funzione vettoriale di una variabile vettoriale. Ciò significa che se io prendessi un qualsiasi punto del corpo nella configurazione C , otterrei un altro vettore spostamento, ovvero un punto analogo, nella configurazione C'. Questo tipo di funzione deve essere biettiva , ovvero deve avere due caratteristiche:
- Dev'essere Iniettiva , ad ogni elemento di C corrisponde uno e un solo elemento di C'. In questo modo scongiuriamo una situazione in cui se prendo un punto P in C , trovo due punti P' corrispondenti in C' , come nel caso di un taglio, una lacerazione.
- Dev'essere Suriettiva , ad ogni punto della configurazione C' corrisponde un solo punto della configurazione iniziale. In questo modo scongiuriamo il fatto che se prendo due punti P' e P'' nella configurazione iniziale, si ritrovino sovrapposti in C' , come nel caso di una compenetrazione. Ci riferiamo di solito alla configurazione C come indeformata , e alla configurazione C' come deformata. In sintesi vogliamo caratterizzare un campo di spostamenti che ci descriva il comportamento del continuo tridimensionale. Descrizione del processo di deformazione Consideriamo un corpo, e al suo interno un punto P , di cui prendiamo l'intorno. All'interno di quest'intorno identifichiamo un secondo punto Q. Questi due punti si sposteranno in due punti differenti P' e Q' della deformata. Il vettore spostamento di P è chiamato u p e quello di Q, u q. Per mettere in relazione questi spostamenti utilizziamo la linearizzazione. L'abbiamo utilizzata quando abbiamo introdotto l'atto di moto rigido, infinitesimo e linearizzato. In questo caso agiamo allo stesso modo. Rappresentiamo u q mediante linearizzazione dello spostamento u p. La linearizzazione è quella che abbiamo visto come caso particolare dello sviluppo in serie di Taylor fermandosi al primo ordine. In ambito tridimensionale quest'operazione la compio attraverso il gradiente dello spostamento ∇ u. u Q = u p + ∇ u dx in forma compatta, in forma matriciale invece: Questo termine posso scriverlo anche raccogliendo a fattor comune dx, dy e dz, e andandolo a rappresentare mediante un prodotto matrice-vettore. La matrice di sinistra rappresenta il gradiente ∇ u , chiamata matrice gradiente di spostamento F , il vettore di destra è chiamato dx.
Finora se prendo un intorno del punto P , posso rappresentare questo campo di spostamenti all'interno dell'intorno come linearizzazione tra il punto P e il punto Q. Esiste un particolare procedimento in algebra che mi permette di rappresentare le matrici quadrate mediante la somma di una matrice simmetrica e una matrice emisimmetrica. La matrice F = E + Ω E è la matrice simmetrica (sym) Ω è la matrice emisimmetrica (-sym) Le formule per calcolarle sono le seguenti: La matrice simmetrica E ha i termini fuori diagonale uguali, quella emisimmetrica Ω ha la diagonale nulla e i termini fuori diagonale opposti. Anche la matrice di rotazione è emisimmetrica, poiché avendo gli zeri lungo la diagonale ci consente di trasformarla in un prodotto vettoriale. La matrice Ω rappresenta quindi la rotazione rigida dell'intorno del punto P. La matrice E si chiama matrice della deformazione pura o tensore della deformazione. La matrice di deformazione ha delle componenti che assumono dei nomi convenzionali ε e γ. I termini fuori diagonale gamma γ, sono simmetrici, ma per convenzione vanno indicati con i pedici relativi a riga e colonna.
Le ε e le γ sono le componenti della deformazione , e si chiamano così perché vanno a
descrivere la maniera in cui si va a deformare l’intorno, ed è associato loro un preciso senso fisico.
Per descrivere il senso fisico delle ε posso partire da una qualsiasi, poiché il ragionamento si
ripete identico per le altre. Mi posiziono su un piano XY, con origine proprio nel punto P , e prendo un’altro punto A appartenente all’intorno. Chiamiamo la distanza PA, e la poniamo proprio uguale a. Per effetto dello stato deformativo, i due punti si spostano, e se prendo lo spostamento di P sono in grado di determinare le nuove posizioni di P e di A. P si sposta in P’ e consideriamo solo la componente orizzontale dello spostamento , che possiamo scrivere anche come.
l 0 d x
uP
u ( x , y , z )
Nel caso della vediamo come si dilata una fibra, nel caso della vediamo come cambiano direzione mutua le fibre; quindi se volessi andare a rappresentare le tre su un cubetto: Per quanto riguarda la graficamente è più complessa da rappresentare: Lo spostamento del punto Q è uguale allo spostamento del punto P, centro dell’intorno, più la matrice di rotazione che moltiplica , più la matrice di deformazione E , che moltiplica. Posso dunque decomporre il mio atto di moto in tre diversi contributi, la traslazione , la rotazione rigida e la deformazione pura E. Ci sono tre moti deformativi che ci permettono di andare a descrivere come si comporta l’intorno di un punto. COEFFICIENTE DI DILATAZIONE CUBICA Considerato sempre un cubo rappresentativo dell’intorno di P , il coefficiente di dilatazione cubica ci da informazioni su cosa succede al volume. Diciamo che il volume iniziale è uguale al prodotto delle tre dimensioni Immagino una deformazione del cubo, le lunghezze diventano , e. Il mio volume finale sarà . Posso calcolare il volume in questo modo
x
y
z
Ω d x d x
uQ = uP + Ω d x + Ed x
uP
vo = d x d yd z
d y ( 1 + εy ) d z ( 1 + εz )
d x ( 1 + εx )
Vf = d x ( 1 + εx ) d y ( 1 + εy ) d z ( 1 + εz )
perché posso assimilarlo ad un parallelepipedo, per cui se ci sono spostamenti infinitesimi posso anche trascurare le , ovvero il fatto che i lati possano essersi leggermente deformati. Se andiamo a sviluppare quindi questo prodotto otteniamo: Se gli spostamenti sono grandezze infinitesime lo saranno anche le loro derivate, ci troviamo in un regime di piccoli spostamenti e piccole deformazioni , che è proprio la proprietà che ci permette di linearizzare e fare varie approssimazioni. In quest’equazione ho dei termini di primo grado, e dei termini che sono il prodotto di due o tre deformazioni, che rappresentano infinitesimi di ordine superiore e li posso trascurare nel calcolo. Se calcoliamo l’aumento percentuale di volume, la cosiddetta dilatazione cubica abbiamo: Se svolgiamo il prodotto troviamo che la dilatazione cubica è esattamente la somma delle tre. Somma che possiamo anche scrivere come traccia della matrice E , la traccia di una matrice è la somma dei tre elementi sulla diagonale, la dilatazione cubica quindi è la traccia della matrice di deformazione. Applicazione pratica Per meglio comprendere il senso fisico delle componenti della deformazione infinitesima, si consideri un corpo rettangolare di lunghezza l = 30 ed altezza h = 6; A questo corpo associo un campo di spostamento , definito nel piano xy con ed , e che ha questa forma: Tra gli esercizi per l’esame può capitare un esercizio del genere in cui è dato un campo di spostamenti ed è richiesto trovare la matrice della deformazione associata al campo o la matrice di rotazione. In questo caso per analizzare la deformazione si operano le derivate. Il valore dei coefficienti dipende dalla geometria, dalle condizioni di vincolo, dai carichi applicati. A titolo d’esempio assumiamo i seguenti valori: Una volta assegnati i coefficienti è p o s s i b i l e d i s e g n a r e l a configurazione deformata su matlab. Si consideri l’intorno del punto di coordinate (29.75, -2.75) che può
Vf = d xdydz ( 1 + εx + εy + εz + εxεy + εyεz + εzεx + εxεyεz ) Vf = d xdydz ( 1 + εx + εy + εz ) εv = vf − v 0 vo = εx + εy + εz ε
εv = tr ( E )
0 ≤ x ≤ l
− h
≤ y ≤
h
ux = a 1 x^3 y + a 2 x^2 y + a 3 x y + a 4 y + a 5
uy = a 6 x^4 + a 7 x^3 + a 8 x^2 + a 9 x + a 10
a 1 , a 2 ,... an
NB: attenzione a non confondere i deformativi con il coseno direttore del versore che non ha pedice Se io prendo queste componenti e voglio scomporle a loro volta, la componente allineata lungo sarà , viceversa la componente ortogonale la possiamo chiamare. La possibilità di scomporre la deformazione del punto Q in un aliquota normale e una di scorrimento ci dice che qualunque direzione consideriamo, possiamo applicare lo stesso ragionamento fatto sulle direzioni XYZ in cui c’è una parte della deformazione che rappresenta la dilatazione e una parte che rappresenta lo scorrimento, il cambio di giacitura tra fibre non parallele. Queste componenti di deformazione cambiano a seconda della direzione di. È possibile trovare una o più direzioni tali che la componente , ovvero ci sia esclusivamente una dilatazione , attraverso un problema di autovalori e autovettori. Se voglio che la sia orientata lungo il vettore , posso trattarla come uno scalare. Il prodotto tra la matrice E ed un versore per il momento incognito, è uguale alla norma di moltiplicato sempre per.
Portiamo tuto al primo membro. Possiamo raccogliere a a fattor comune la , ma
non dimentichiamo che questa sottrazione non la posso fare, perché è una matrice ed è uno scalare. Per poter effettuare l’operazione bisogna introdurre la matrice identità
Scriviamo ora l’operazione per componenti, e dovrebbe essere anche più chiara la formula, prendendo ad esempio una riga della matrice vista prima , le altre righe seguono lo stesso principio. Se voglio annullare l’equazione , devo risolvere un sistema di equazioni omogeneo, perché non compaiono termini noti. Questo tipo di sistemi ammette solo due soluzioni, quella banale dove le incognite , e sono nulle, è una soluzione che però non ci è utile perché è un versore è ha una norma > 0. Per trovare soluzioni non banali di un sistema di equazioni omogeneo(come quando abbiamo ricavato le soluzioni autoequilibrante dei sistemi ipersatatici) devo verificare che la matrice associata al sistema abbia determinante nullo
Questa è la matrice di cui devo annullare il determinate, utilizzando il teorema di Rouché-Capelli. Ciò che viene fuori è un equazione di terzo grado nella , e cioè Risolvere quest’equazione è molto complesso ma è importante stabilire chi sono questi termini , e che sono detti invarianti. è la traccia della matrice E è il determinante della matrice E || || Le soluzioni a questa equazione differenziale consistono in 3 valori di , che possiamo chiamare , e e vengono dette deformazioni principali o valori principali della deformazione.
γ γ n
n
εn n
γn
εn n
γn
γ n
ε εn n n εn
n
En − εnn = 0 n E εn ( E − εnI ) n = 0
εn
( E − εnI ) n = 0
n
E − εnI
εn ε n^3 − I 1 ε n^2 + I 2 εn − I 3 = 0
I 1 I 2 I 3
I 1 I 1 = trE = εx + εy + εz
I 3 I 3 = E
I 2 I 2 = εzεy + εyεz + εzεx +
( γ x^2 y + γ y^2 z + γ z^2 x )
εn
εxα +
( γx y β + γxzγ ) − εnα
εx − εn
1 2
γx y
1 2
γxz
1
2 γyx^ εy^ −^ εn
1
2 γyz
1
2 γz^ x
1
2 γzy^ εz^ −^ εn
En = εnn
Nell’equazione degli autovettori abbiamo calcolato ma ci manca ancora la. Vado a risolvere il sistema in cui moltiplico E per il vettore , associato di volta in volta a ciascuna delle tre , e lo pongo uguale ad :
In questa equazione E è nota, così come a cui sostituisco di volta in volta , e , posso
calcolare. Anche è composto da tre componenti per cui il sistema ammette infinite soluzioni, essendo che identifica una direzione per cui ho infiniti vettori associati con una direzione. Per poter ottenere una sola soluzione devo aggiungere questa condizione: Questa seconda condizione è detta condizione di normalizzazione , cioè non cerco un vettore qualsiasi ma proprio il versore di quella direzione. È possibile dimostrare che, se calcolo i versori , ed associati alle tre principali, sono tra di loro ortogonali, e che quindi costituiscono una base ortonormale nel continuo tridimensionale della deformazione. , ed sono una base che è composta dalle tre direzioni principali della deformazione. Se scrivo il tensore E in questa base allora la matrice associata diventa una matrice diagonale: Lo scopo è proprio quello di trovare un sistema di riferimento per diagonalizzare il tensore della deformazione. Esempi di grafici della deformazione Utilizzando la stessa matrice e quindi la stessa deformazione, ma utilizzando direzioni differenti ottengo deformate di forme differenti. Nel secondo caso le direzioni associate ai lati del provino non sono rimaste ortogonali tra loro, ciò significa che non sono direzioni principali, ovvero le direzioni che dopo la deformazione restano tra loro ortogonali. In questo caso le direzioni principali sono proprio la X e la Y, gli assi del grafico. CRITERI DI RESISTENZA Molti criteri di resistenza sono definiti in base alle direzioni principali. Consideriamo che su un continuo tridimensionale, caricato con più forze, riesco ad individuare il punto più sollecitato, rappresentato da un cubetto. Devo verificare se questo cubo si rompe o meno, ciò che mi dice se ciò succede o meno è detto criterio di resistenza. Tutti i criteri di resistenza che useremo sono definiti nello spazio delle direzioni principali. Inoltre quando andiamo a realizzare modelli di calcolo, ad esempio di una palazzina in muratura, utilizzeremo tanti elementi finiti che funzionano come delle “mattonelle”. Per poter definire il
En = εnn εn n
ni
ε εini
Eni = εini
εi ε 1 ε 2 ε 3
ni ni
n 1 ̂ n 2 ̂ n 3 ̂ ε
n 1 ̂ n 2 ̂ n 3 ̂
Eni = εini
α^2 + β^2 + γ^2 = | ni | = 1
E * =
Possibili Esercizi Consideriamo un tensore della deformazione assegnato
- Prendiamo un versore associato , quanto fa la deformazione lungo questa direzione? Bisogna fare , ovvero il prodotto righe per colonne Se voglio la componente normale, ovvero una componente orientata lungo la , devo prendere questo risultato e moltiplicarlo scalarmente per.
- Calcoliamo le direzioni principali e le deformazioni principali associate con questo tensore. Dovremmo risolvere l’equazione secolare ma il fatto che nel tensore E siano presenti degli 0 ci facilita il lavoro. Non dobbiamo scrivere l’equazione secolare nella forma completa 3x3 che rappresenta solo una formula generale. È preferibile scrivere il determinante con la regola di Rouché-Capelli. Posso scrivere 1 che moltiplica il complemento algebrico segnato in rosso: Il semplice ricordare cos’è l’equazione secolare ci evita la scrittura complessa di un’equazione di terzo grado. Scrivendo l’equazione in questo modo, come prodotto di due termini, e porla uguale a 0 significa che uno dei due termini si annulla, e li posso trattare come due equazioni diverse. La prima equazione mi da già il primo valore della deformazione , Il resto dei valori lo troviamo sviluppando il resto dell’equazione: Questa è un’equazione di secondo grado quindi se ho le radici saranno uguali
E =
[
]
n ̂=
1 2 1 2
εn = E n ̂
εn =
3 2
4 2 4 2
11 2
3 2
n ̂
n ̂
−( 2 + εn )
−( 2 + εn )[( 3 − εn )( 11 − εn ) − 16 ] = 0
2 + εn = 0 ε 1 = − 2
( 3 ⋅ 11 ) − ( 11 ⋅ εn ) − ( 3 ⋅ εn ) + ε n^2 − 16 = 17 − 14 εn + ε n^2 = 0
a x^2 + bx + c = 0
E =
3 − εn 4 0
4 11 − εn 0
0 0 − 2 − εn
a , ovvero Dopodiché, risolta l’equazione facciamo
− b ±^ b^2 − 4 ac
2 a
14 ±^142 − 4 ⋅ 17
E
[
γ ]^
− εi
[
γ ]^
Prendiamo in considerazione questa figura attraverso la quale passa un piano, che vado ad identificare attraverso una normale. Il piano interseca la figura lungo una superficie, che ci permette di spezzare il corpo in due parti e. Avrò anche le azioni che le due superfici si scambiavano. Dato che non è nostro interesse studiare l’intero taglio, vado ad identificare soltanto una porzione di questa superficie, che chiamo , cioè un area che si trova intorno ad un punto P. Per descrivere tutte le forze interne che le due superfici si scambiavano posso utilizzare dei descrittori statici , ovvero il vettore risultante dalla somma degli altri ed il vettore momento risultante. Se svolgo l’operazione di limite sull’intorno sostanzialmente restringo il campo d’interesse al punto e nella regione di continuo immediatamente circostante. Cauchy introduce delle ipotesi di modello (vogliamo introdurre modelli matematici della realtà) che comporta due postulati:
- Il limite del rapporto tra la forza agente, e la superficie su cui agisce, per la superficie tendente a zero, è uguale ad un vettore che viene detto tensione di Cauchy (traction). Il vettore dipende dal punto P: (P)
- Il limite per la superficie tendente a zero, del rapporto tra momento risultante e l’area su cui agisce, allora questo limite è uguale al vettore nullo. Tutti i corpi (continui tridimensionali) che soddisfano entrambe queste condizioni vengono chiamati corpi di Cauchy ( o continui di Cauchy). Stiamo sostenendo che considerando un’area molto piccola le azioni che si scambiano sono esclusivamente di tipo forza, non ci sono coppie concentrate. LEMMA DI CAUCHY Se sulla superficie della porzione abbiamo stabilito che c’è una forza , sulla superficie corrispondente su ci sarà una forza uguale e contraria. Consideriamo quindi un intorno di P differente, rappresentato da un parallelepipedo nel cui baricentro si trova il punto. La superficie superiore viene identificata dal versore , quella inferiore ha un versore normale. Abbiamo detto che sulla faccia superiore agisce un descrittore statico , sulla superficie inferiore abbiamo Per determinare le dimensioni di quest’oggetto considero le due dimensioni in pianta, il parallelepipedo ha base quadrata di dimensione con. Lo spessore del parallelepipedo lo consideriamo come (ancora più piccolo del lato). Se facciamo l’equilibrio di questo oggetto, sulla faccia superiore abbiamo , che è una forza diviso una superficie, quindi se voglio trovare l’azione devo moltiplicarla per l’area su cui agisce, ovvero (lato per lato). Dobbiamo considerare poi la forza che agisce sulla superficie di sotto per. Inoltre consideriamo ulteriori forze esterne moltiplicate per la superficie laterale ( base per altezza). è un infinitesimo di ordine superiore quindi si annulla. Bisogna aggiungere in oltre le forze di volume b , moltiplicate per il volume. Anche quest’ultimo termine è un infinitesimo di ordine superiore. =
n ̂
P 1 P 2
Δ An
Δ Fn
Δ Mn
t
n
lim
Δ An → 0
Δ Fn
Δ An
= tn tn tn
lim
Δ An → 0
Δ Mn
Δ An
P 1
Δ Fn P 2
n ̂
− n ̂
tn
t − n
ε^2
tn
ε^2
t − n ε^2
fl ε^3
flε^3
ε^4
tnε^2 + t − nε^2 + flε^3 + bε^4
Posso semplificare le e posso dire che = - ovvero che le due forze sono uguali e opposte Questo risultato che sembra banale, in realtà ci permette di utilizzare la tensione di Cauchy per capire cosa accade nell’intorno di un punto dal punto di vista statico, esattamente come abbiamo visto dal punto di vista cinematico per la deformazione. Se prendo una superficie generica , il vettore ha componenti. Quando abbiamo introdotto la formula di Cauchy per la deformazione abbiamo visto come lo spostamento di un punto può essere decomposto in due termini, uno longitudinale alla fibra chiamato e uno trasversale chiamato. Analogamente possiamo fare lo stesso anche per la tensione: se prendo una superficie che ha normale e abbiamo un vettore tensione. Possiamo prendere una componente allineata lungo il versore e una trasversale. La componente di tensione normale alla superficie di riferimento la chiamo , mentre la componente trasversale è chiamata. Entrambe queste componenti sono delle forze per unità di superficie, e per calcolarle ho bisogno delle componenti del vettore , che già abbiamo espresso, e le componenti del versore che possiamo indicare come. La componente è la proiezione di su , per proiettare un vettore su un altro ho bisogno di fare un prodotto scalare. Questa è la norma di , se voglio proprio il vettore devo moltiplicare di nuovo la norma per : (stavolta questa è un operazione di uno scalare per un vettore). Operativamente partiamo dal prodotto scalare:. Se moltiplico questa norma nuovamente per il versore ottengo proprio. La la si calcola come differenza tra = - ed è anch’essa un vettore. Proviamo a specializzare questo discorso in modo da applicarlo alle facce del nostro cubo, ovvero quelle ortogonali agli assi. Cominciamo con una faccia la cui normale uscente è , scompongo il vettore tensione in una componente normale che chiameremo proprio. La componente può essere a sua volta divisa in altre due componenti, una verticale, che è sempre una tensione tangenziale , di normale ma anche orientata verticalmente (lungo l’asse ) che chiameremo quindi. Per lo stesso ragionamento l’altra componente orizzontale, è una tensione tangenziale sulla faccia di normale ,
ma anche orientata lungo , la chiameremo dunque. Possiamo ovviamente ripetere il
ragionamento per tutte e sei le facce.
ε^2 t
− n
t
n
tn = − tn
tn
tn x
t
n
y
tnz
n εn
γn
n ̂ tn
n ̂
σn τn
tn
n ̂=
[
γ ]
σn tn n ̂
σn = tn ⋅ n ̂ σn
n ̂ σn = σn n ̂
σn = tn xα + tn yβ + tnzγ
n ̂ σn
τn τn t
n
σn
nx tn
σx τ
τ x
z τxz
x
y τxy
precedentemente però abbiamo indicato , estendendo questo ragionamento alle altre facce avremo: Divido tutti i termini per : Siccome ci riferiamo sempre ad elementi infinitesimi del continuo tridimensionale, immaginiamo di fare il limite per , ovvero consideriamo che il volume del nostro tetraedro sia infinitamente piccolo. Si riducono contemporaneamente sia la che le varie. Il limiti di questi tre rapporti sono proprio i coseni direttori di , posso andare a moltiplicare quindi i vettori per :. Questa equazione la posso anche scrivere come prodotto righe per colonne del tensore T per : ovvero posso scrivere che. Questa è la formula di Caucy per la tensione che è analoga a quella per la deformazione. Esempi di Esercizi
tx =
σx
τxy
τxz
tn Δ An − Δ Ax
σx
τxy
τxz
− Δ Ay
τyx
σy
τyz
− Δ Az
τz x
τzy
σz
tn Δ An = Δ Ax
σx
τxy
τxz
+ Δ Ay
τyx
σy
τyz
+ Δ Az
τz x
τzy
σz
Δ An tn =
Δ Ax
Δ An
σx
τxy
τxz
Δ Ay
Δ An
τyx
σy
τyz
Δ Az
Δ An
τz x
τzy
σz
Δ An → 0
Δ An Δ Ax , y , z
n ̂=
[
γ ]
tx , ty , tz α , β , γ tn = α
σx
τxy
τxz
τyx
σy
τyz
τz x
τzy
σz
σx τxy τxz
τyx σy τyz
τz x τzy σz [
γ ]^
tn = T n ̂
εn = E n ̂
Innanzitutto rappresentiamo le componenti di tensione, abbiamo il primo termine -3 che rappresenta la. Siccome c’è il segno meno sarà contraria all’asse nella parte frontale e concorde con l’asse sul retro. Poi abbiamo che vale 9 e ha la normale uscente concorde con l’asse sul fronte e discorde sul retro. (se le forze di sinistra sono entranti o uscenti dal cubo anche le forze di destra saranno rispettivamente entranti o uscenti, ad esempio se c’è una forza di compressione da un lato, anche l’altra sarà di compressione ecc.) Abbiamo poi con valore -3 e si ripete lo stesso ragionamento di. Infine abbiamo una sola che è la che agisce sulla faccia di normale x, lungo y. Agisce per simmetria anche sulla faccia di normale y, lungo x. (Sulle due facce contigue le due frecce della vanno sempre l’una contro l’altra) Dopodiché, abbiamo il versore con componenti , dobbiamo c a l c o l a r e. Per trovare la componente tangenziale Questa è la norma di perché il vettore va poi ancora moltiplicato per : La Di questo genere di esercizi c’è una variante, perché si può anche chiedere il contrario, ovvero si calcoli la giacitura associata ad un certo. Dobbiamo fare l’esatto inverso di prima, ovvero se la formula ci Cauchy ci dice che dobbiamo invertire questo rapporto. S i c c o m e i n v e r t i re u n a matrice 3x3 è complicato è più facile fare ancora una volta un prodotto righe per colonne.
σx
σy
σz σx
τ τxy
n ̂= [−0,277 −0,396 0,876]
T
tn
tn =
σn
tn ⋅ n ̂= (−2,337)(−0,277) + (−5,78)(−0,396) + (−2,628)(0,876) = 0,65 + 2,29 − 2,3 = − 0,
σn n ̂−0,
τ = tn − σn
tn
tn = T n ̂
