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三角形や四角形の内角の和は丸暗記している人も多いでしょう。
しかし、五角形以上については、内角の和を覚えるより「和を求めるための計算方法」を覚える方が応用が利きます。
今回は、二十二角形の内角の和を求める方法を考えてみましょう。
問題
二十二角形の内角の和を求めなさい。
解答
正解は、「3600°」です。
二十二角形は角の数が多いので、頭の中で具体的な形を思い浮かべようとしても、なかなか難しいかもしれません。
そんなときは、より角の数の少ない四角形や五角形をもとに、多角形の内角の和の求め方を考えていくのがおすすめです。
次の「ポイント」では、考え方を具体的に解説しています。ぜひ、ご覧ください。
ポイント
この問題のポイントは「二十二角形を三角形に分割して考えること」です。
三角形の内角の和は180°と決まっています。この知識を使って、多角形の内角の和を求めます。
そのためには、まず、多角形を三角形に分割する必要があるのです。
分割の方法は、二通りあります。それぞれ、どんな方法か見てみましょう。
【方法1】一つの頂点から他の頂点に線を引く方法
一つ目の方法は、「一つの頂点から他の頂点に線を引く方法」です。
しかし、二十二角形のように角の数が多い多角形に線を引いていくのは大変ですから、もっと角の数が少ない多角形で分割の仕組みを考えていくことにしましょう。
まず、上の図を見てください。四角形（図左）のAという頂点から他の頂点に線を引くと、三角形が二個できます。
ここで、四角形に頂点を一つ足すと五角形（図中央）ができます。頂点を一つ足すと分割によってできる三角形の数も一つ増えるのが分かりますね。よって、五角形は三角形三個に分割できます。
同じく、五角形に頂点を一つ足して作った六角形（図右）も分割しましょう。六角形を分割してできる三角形の数は五角形の場合から一つ増えて四個になります。
この後も頂点が一つ増えるたびに分割できる三角形の数は一個ずつ増えていくと考えられます。
ここで、n角形（nは3以上の整数）は、何個の三角形に分割できるか考えてみると、n−2という式が作れます。n−2のnに4、5、6の数を当てはめると、この式が各多角形を分割してできる三角形の数を正しく表せることが分かりますよ。
n角形はn−2個の三角形に分割できる（nは3以上の整数）
n=4（四角形の場合）4−2=2
n=5（五角形の場合）5−2=3
n=6（六角形の場合）6−2=4
二十二角形であれば、この式にn=22を代入すれば分割できる三角形の数が分かります。
n=22（二十二角形の場合）22−2=20
ここで、三角形の内角の和は180°ですから、二十二角形の内角の和は三角形二十個分の内角の和と同じになります。よって、次の式で答えを求めることができます。
180°×20=3600°←二十個の三角形の内角の和
【方法2】多角形内部の点から各頂点に線を引く方法
もう一つの方法は、「多角形内部の点から各頂点に線を引く方法」です。
六角形を例に考えてみましょう。
この方法だと、分割してできる三角形の数は多角形の頂点の数と一致します。六角形なら六個です。
ただし、三角形の角のうち中央に集まっているものは、六角形の内角に含まれません。この六角形の内角に含まれない角度の合計は、上の図の通り360°になります。
よって、まず三角形六個分の内角の和を求め、後から360°を引くと、六角形の内角の和が算出されます。
二十二角形でも同じように考えます。
まずは、二十二角形を二十二個の三角形に分割し、その三角形の内角の合計を求めます。その後、中央に集まった二十二角形の内角には含まれない角度（360°）を引くのです。
180°×22−360°←三角形二十二個の内角の和から360°を引く
=3960°−360°
=3600°
方法1の場合と答えは同じになりましたね。
まとめ
多角形の内角の和をどうやって求めたらよいのか、具体的な考え方が理解できたでしょうか。
今回解説した「三角形に分割して考える」方法を式にまとめると、次のようになります。
<n角形の内角の和>(nは3以上の整数)
180°×(n−2)=180°×n−360°
左辺は方法1、右辺は方法2の考え方をもとに作ることができます（ちなみに左辺の式の括弧を外して計算すると右辺の式になります）。
どちらの式を使っても同じ答えになりますので、問題によって使いやすい方を選ぶとよいでしょう。
※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。
文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。
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