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角度の問題は、図形にある条件や性質を組み合わせて考えることで理解が深まります。
線が交わる図形では、内角や外角の関係に注目することが重要です。
今回は、外角の性質を利用して角度を求める問題に取り組んでみましょう。
問題
次の図で、角xの大きさを求めなさい。
図には二つの三角形が重なるように配置されています。
それぞれの三角形における外角の関係を、どのように使うかがポイントです。
解説
今回の問題の答えは「50°」です。
この角度を求めるために、次の性質を利用します。
三角形の内角の二等分線と、別の頂点の外角の二等分線が交わるとき、その交点でできる角の大きさは、残りの内角の半分になる。
黄色の三角形に注目すると、一方は内角、もう一方は外角の二等分線になっています。図より25°はxの半分にあたります。
では、なぜこの関係が成り立つのかを、数式を使って確認していきましょう。
解説のため、図の点をA,B,C,D,Eとします。
また、◯で示した角の大きさをa、△で示した角の大きさをbとします。
まず、左側の三角形ABCに注目します。
外角の性質より、次の関係が成り立ちます。
角CAB+角ABC=角ACE
つまり
x+2a=2b・・・(1)
次に、右側の三角形DBCについても外角の関係を使います。
角CDB+角DBC=角DCE
つまり
25+a=b・・・(2)
ここで式(2)を2倍すると、
50+2a=2b・・・(3)
式(1)と式(3)を比べると、
x=50
であることが分かります。
以上より、今回の問題の答えは「50°」となります。
まとめ
一見すると複雑に見える図形でも、三角形ごとに外角の関係を整理することで解きやすくなります。
内角と外角の性質を正しく使うことが、角度問題を解く近道です。
他の問題でも、同じ考え方を意識して取り組んでみてください。
※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。
あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。
文（編集）：SAJIMA
日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」
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