サイコロの確率の練習問題(高校入試・中学数学)を難問まで難易度別に解説

大のサイコロの目と小のサイコロの目の積を書き込んだ表をつくり、積が１２となるマス目を数え上げます。

にゃんこ

４通りありましたね。

目の出方は全部で３６通りあるので、確率は$\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$ということです。

坂田先生

サイコロの積に関する確率の問題は、このように碁盤の目を書いて数え上げるとよいです。

にゃんこ

中学数学で学習する、サイコロの確率を解く練習の基本はは『まず表を書け。そして数えよ。』です。

ここで紹介している練習問題を使い、高校入試までの対策をしてください。

なので、二つのサイコロを振って、その和が素数になるのは１５通り。

よって、$a+b$が素数になる確率は $\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$

奇数×奇数＝奇数を利用して解くとこうなります。

大のサイコロの目が奇数になるのは１，３，５の３通り。

小のサイコロの目が奇数になるのは１，３，５の３通り。

よって２つのサイコロの目の積が奇数になるのは、３×３＝９通り。

したがって、$\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$

坂田先生

この表より、数え上げてもいいが次のように考えることもできます。

二つのサイコロの目の数をたして奇数となるのは

偶数＋奇数＝奇数

奇数＋偶数＝奇数

となる場合である。

大のサイコロの目が奇数になるのは１，３，５の３通り。

小のサイコロの目が偶数になるのは２，４，６の３通り。

よって、大のサイコロで奇数の目が出て、小のサイコロで偶数の目が出る場合は

３×３＝９通り

また

大のサイコロの目が偶数になるのは２，４，６の３通り。

小のサイコロの目が奇数になるのは１，３，５の３通り。

よって、大のサイコロで偶数の目が出て、小のサイコロで奇数の目が出る場合は

３×３＝９通り

よって９通＋９＝１０通りが求める場合の数になる。

したがって二つのサイコロを投げて目の和が奇数になる確率は$\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$

なので、その場合は上の表より、８通りとなる。

よってルートabの値が整数となる確率は $\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$

大小２つのサイコロの目を、問題文にしたがって分数にして考えます。

その際、分母がｂなので、上の表で縦にそって$\frac{a}{b}$ が整数になるかどうかのチェックをしていくとわかりやすいです。

坂田先生

一見すると難しそうな問題でも、表を埋めることでかなり難易度が下がる場合があります。

なので中学数学でサイコロの確率の問題を対策する場合、このページで解説している練習問題を使って、『問題文を見ながら表を完成される練習』を繰り返してください。

よって、これらの色のついているエリアが、求める場合のところです。

にゃんこ

数え上げると上の表のように３２通りとなります。

しかし「少なくとも」という表現があった場合、『少なくとも１つの目が３以上となる場合以外（余事象）』は何通りあるかを数えたほうが早いことが多いです。

それはつまり『サイコロの目が両方とも２以下の場合』となります。

大のサイコロで１または２の２通り。
小のサイコロで１または２の２通り。

よって求める場合の余事象は２×２で４通りあることになります。

なので、３６－４＝３２通りが求める場合の数になります。
（数え上げた結果と同じになりましたね。）

坂田先生

したがって求める確率は $\frac{32}{36}=\frac{8}{9}$ です。

ちなみに、余事象が起こる確率は $\frac{4}{36}$ なので、余事象が起こらない確率が求める確率となります。

にゃんこ

その場合このように計算しても求めることができます。

$1-\frac{4}{36}$

$=\frac{36}{36}-\frac{4}{36}$

$=\frac{36-4}{36}$

$=\frac{32}{36}$

$=\frac{8}{9}$

奇数の目は１，３，５の目しかありませんので、３通り×３通り＝９通りとなります。

にゃんこ

これが上の表の✕のところですね。

なので、それ以外の場合（求める場合の数）は３６－９＝２７通りとなります。

坂田先生

よって、二つのサイコロを投げて、少なくとも１つの目が偶数となる確率は $\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$ となります。

にゃんこ

余事象の確率$\frac{9}{36}$ から計算するなら、このようにして求めます。

$1-\frac{9}{36}$

$=\frac{36}{36}-\frac{7}{36}$

$=\frac{36-9}{36}$

$=\frac{27}{36}$

$=\frac{3}{4}$

サイコロを４回投げた場合の目の出方は全部で $6^4$ 通り。

よって、求める確率は $\frac{6}{6^4}=\frac{1}{216}$

２回目のサイコロの目は、１回目のサイコロで出た目以外の５通り

３回目のサイコロの目は、１回目と２回目のサイコロで出た目以外の４通り

４回目のサイコロの目は、１回目から３回目のサイコロで出た目以外の３通り

よって、すべての目が異なるのは

６×５×４×３＝３６０通り

サイコロを４回投げた場合の目の出方は全部で $6^4$ 通り。

したがって求める確率は、 $\frac{360}{6^4}=\frac{5}{18}$

サイコロを４回投げた場合の目の出方は全部で $6^4=1296$ 通りです。

なので、求める確率は $\frac{15}{1296}=\frac{5}{432}$ となります。

と表記すると

「同」になる目としては全部で６通りあり

「異」になる目は「同」の目以外の５通りあります。

なので、

「同」と「異」の目の組み合わせは全部で６×５＝３０通りあります。

坂田先生

例えば、３回「６の目」が出て、１回だけ「２の目」が出る、と言ったような組み合わせが３０通りあるということです。

この３０通りの「同」と「異」の目の組み合わせ対して、次の４パータンの「目の出る順番の組み合わせ」があります。

(同,同,同,異)
(同,同,異,同)
(同,異,同,同)
(異,同,同,同)

にゃんこ

例えば、３回「６の目」が出て、１回だけ「２の目」が出る場合、「目の出る順番の組み合わせ」まで考えるなら
(６,６,６,２)
(６,６,２,６)
(６,２,６,６)
(２,６,６,６)
の４パターンあるワケです。

なので、求める場合の数は、全部で３０×４＝１２０通りあります。

よって、求める確率は $\frac{120}{6^4}=\frac{5}{54}$ となります。

（立教新座高校）

AとBの目の組は

Aが１から６までの６通り

BがAで出た目以外の５通り

よって６×５＝３０通りある。

この３０通りに対して、「出る目が２種類になる」目の出方が次の７通りある。

１回だけ異なる目が出る場合
AAAB
AABA
ABAA
BAAA

２回ずつ２種類出る場合
AABB
ABBA
ABAB
よって、出る目が２種類になるのは３０×７＝２１０通り

求める確率は $\frac{210}{6^4}=\frac{35}{216}$

（慶応義塾志木高校）