こんにちは、Meguriです。
先週ちょっと曲作れてうれしーです

今回の記事は何？

今回は前回の記事の関連記事で、SilentroomさんのNhelvのBPMを数学的に算出しようというものです。

前回の記事読んでない人はこちらから！

Nhelvについて

BOFU2017個人素点部門優勝曲であるSilentroomさんのNhelvですが、一曲通して微分音であることは前回の記事で言ったとおりです。中でもこの曲はちょっと変わった作り方で作られています。

この投稿から分かるように、NhelvははじめにBPM180で曲を作り、BPMを低下させることで狙った微分音を作り出しています。

そのため、中途半端なBPMになっています。
BMSではBPMは175.89、音ゲー収録では174.59になっているそうです。

BPM175.89の方が0.4半音下げた方らしいので今回はこちらをゴールとしましょう。（174.59のほうはなんなのかわかんなかった）

0.1半音って何倍すればいいの？

前回、周波数は一定の間隔なら一定倍の関係になるということをお話ししたと思います。

0.1半音は半音の\frac{1}{10}なので、0.1半音は半音上げる時の倍数の10乗根ということになります。

前回の記事から、半音上げるときは周波数を\sqrt[12]{2}倍にすればよかったので、0.1半音上げるときは周波数を\sqrt[10]{\sqrt[12]{2}}={\sqrt[120]{2}}倍にしてあげれば良いです。

（10乗根は解が10個あるはずなんだからちゃんと吟味しろっていうネタは前回やったからもういいでしょ...）

BPMを算出していくぞ！

NhelvのBPMをxとします。BPMを180→xにして、0.4半音あげたらもとに戻ったという方程式を立てます。（つまり周波数の方程式）

速さを2倍にしたら周波数も2倍になるので、BPMを\frac{x}{180}倍にしたら周波数も\frac{x}{180}倍になります。

また、0.4半音上げるというのは0.1半音を上げるのを4回繰り返すので、周波数を(\sqrt[120]{2})^{4}=\sqrt[30]{2}倍してあげれば良いです。

この二つの工程をA（=440Hz）に行って、440に戻ってくればOKです。では方程式を立てましょう。

440×\frac{x}{180}×\sqrt[30]{2}=440

って感じですね。440は要らなそうですがわかりやすくするために入れてます。

めんどくさいので電卓にぶち込みます。

x≒175.88879らしい。175.89と近いので合ってそうですね！

つまりNhelvの厳密なBPMは90\sqrt[30]{2^{29}}であるということです。

これからは、皆さんが人に「NhelvのBPM教えてくれませんか？」と聞かれたら「90\sqrt[30]{2^{29}}だよ」って教えてあげましょうね。

結論

BMS版NhelvのBPMは{90\sqrt[30]{2^{29}}}

音ゲー版はわからない