【球体の体積】中学生に分かるように真剣に考えてみた

はじめに

全記事をまとめてあります．

ぜひ下のリンクから確認してください．

uchii-memo.hatenablog.com

この記事の目的：球体の体積を求める式の意味を中学生にもわかるように説明する．

球の体積

体積V=43πr3${\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^3}$

目標：上式で求まる理由を知る（積分等の高校数学を使わずに）

２つの方法を考えた．

方法①：微小な四角錐を考える 

考え方

球の中に図のような四角錐を考える．

四角錐の底面積(S1$S_1$) はなるべく小さいものとする．

四角錐は底面積S1$S_1$，高さr$r$ であるため，体積は次式で表せる．

S1×r×13=r3S1${\displaystyle S_1\times r\times \frac{1}{3}=\frac{r}{3}{S}_1}$

この四角錐がたくさん集まると球になるのではないか．

よって球の体積は，この三角錐をたくさん集めたものなので，

V=r3S1+r3S2+…+r3S100${\displaystyle V=\frac{r}{3}{S}_1+\frac{r}{3}{S}_2+\dots +\frac{r}{3}{S}_{100}}$

　=r3(S1+S2+…+S100)${\displaystyle =\frac{r}{3}(S_1+S_2+\dots +S_{100})}$

(S1+S2+…+S100)$(S_1+S_2+\dots +S_{100})$とは球の表面積に相当するため，

(S1+S2+…+S100)=4πr2$(S_1+S_2+\dots +S_{100})=4\pi r^2$

よって，

　=r3(S1+S2+…+S100)${\displaystyle =\frac{r}{3}(S_1+S_2+\dots +S_{100})}$

　=r34πr2${\displaystyle =\frac{r}{3}4\pi r^2}$

　=43πr3${\displaystyle =\frac{4}{3}\pi r^3}$

∴$\therefore$ 球の体積V=43πr3${\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^3}$

方法②：カヴァリエリの原理を使う

カヴァリエリの原理 

カヴァリエリの原理

切り口の面積が常に等しい2つの立体は，等しい体積をもつ．

適当に二つの立体を準備して並べます．

適当な位置で切ります．

このときできた切り口の面積（ピンク）を確認します．

違う位置で同様の作業を行います．

どの位置で切っても常に切り口の面積が等しい場合

＝２つの体積は等しい，といえる．

立体を二つ準備する

①球体

②砂時計型（下図の立体）

砂時計型の体積を調べる．

円柱の体積＝πr2×2r=2πr3$\pi r^2\times 2r=2\pi r^3$

三角錐の体積＝πr2×r×13=13πr3${\displaystyle \pi r^2\times r\times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\pi r^3}$

砂時計型の体積＝円柱−$-$三角錐=2πr3−13πr3×2=43πr3${\displaystyle =2\pi r^3-\frac{1}{3}\pi r^3\times 2=\frac{4}{3}\pi r^3}$

砂時計型の体積は，球の体積の公式と同じ式で表される．

 指針（流れ）

あなたは今、球の体積を求める公式を知らないものとします．

砂時計型の体積＝球の体積を示すことで，

（砂時計型の体積＝43πr3${\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3}$なので，）

球の体積＝43πr3${\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3}$ を示すことができる．

カヴァリエリの原理を使う

①二つを並べて真ん中で切る

どちらも半径r$r$の円であるため，面積（ピンク）は等しいことは自明．

②中心からr2${\displaystyle \frac{r}{2}}$ の位置で切る

(ⅰ) 球体の切り口＝半径3–√r2${\displaystyle \frac{\sqrt{3}r}{2}}$ の円

　面積＝3–√r2×3–√r2×π=34πr2${\displaystyle \frac{\sqrt{3}r}{2}\times \frac{\sqrt{3}r}{2}\times \pi =\frac{3}{4}\pi r^2}$

(ⅱ) 砂時計型の切り口＝半径r$r$ の円から半径r2${\displaystyle \frac{r}{2}}$ の円を切り抜いた形．

　面積＝πr2−(r2×r2×π)=34πr2${\displaystyle \pi r^2-(\frac{r}{2}\times \frac{r}{2}\times \pi )=\frac{3}{4}\pi r^2}$

(ⅰ)(ⅱ)より，球体の切り口＝砂時計型の切り口

どうやらどの位置で切っても，切り口の面積は同じになりそうだ．

一般化して確認してみる．

一般化する

③中心からh$h$の高さで切る（0≤h≤r$0\le h\le r$）

(ⅰ) 球体の切り口＝半径r2−h2−−−−−−√$\sqrt{r^2-h^2}$ の円

　面積＝r2−h2−−−−−−√×r2−h2−−−−−−√×π=π(r2−h2)$\sqrt{r^2-h^2}\times \sqrt{r^2-h^2}\times \pi =\pi (r^2-h^2)$

(ⅱ) 砂時計型の切り口＝半径r$r$ の円から半径h$h$ の円を切り抜いた形

　面積＝πr2−πh2=π(r2−h2)$\pi r^2-\pi h^2=\pi (r^2-h^2)$

(ⅰ)(ⅱ)より，球体の切り口＝砂時計型の切り口

したがってカヴァリエリの原理から2つの立体の体積は等しい

∴$\therefore$ 球の体積＝砂時計型の体積=43πr3${\displaystyle =\frac{4}{3}\pi r^3}$

最後に

全記事をまとめてあります．

ぜひ下のリンクから確認してください．

uchii-memo.hatenablog.com