なめらかな床の上に置かれたなめらかな斜面を持つ台の上を小物体が高さh滑り降りる

このとき次のような式が成り立ちます

¹/₂mv²+¹/₂MV²=mgh

市販の問題集の模範解答には当たり前のようにこの式が書かれています

でも、この式不思議じゃありませんか？どうして小物体の位置エネルギーが台にも配分されてしまうのでしょう

小物体の位置エネルギーが小物体の運動エネルギーになる

¹/₂mv²=mgh

これが当たり前じゃないんでしょうか？この疑問に答えるために運動の過程で働く力をすべて挙げてみましょう

図の5つの力が働いています

次にするべきことは働く力それぞれが仕事をするかしないか調べることです

台は鉛直方向には動かないのでn,Mgは仕事をしません。小物体は鉛直方向に変位するのでmgは仕事をします

問題は2つのNです。台は水平方向に変位し、台に働くNには水平成分があるので、このNは仕事をしますね

小物体に働くNはどうでしょうか？垂直抗力は斜面に垂直で小物体は斜面に沿って運動するので仕事はしないと考えてしまったら間違いです

台が運動しているので、床から見ると小物体は斜面に平行には運動していません。だから小物体に働くNは仕事をしています

仕事をする力はmgと2つのNだと分かりました。mgがした仕事はmghだとして、Nがした仕事はどう扱えば良いのでしょうか？

ここから少し工夫をします。台から小物体に働く垂直抗力をベクトルNとすると、作用反作用の法則より小物体から台に働く垂直抗力はマイナスベクトルNです。そして小物体の変位ベクトルをx、台の変位ベクトルをXとしましょう

すると垂直抗力が小物体・台にした仕事はN･xと(-N)･Xですね。仕事は力ベクトルと変位ベクトルの内積でした

これで仕事がすべて出揃ったので、小物体と台それぞれのエネルギーの原理の式を立てます

ちなみにエネルギーの原理とはされた仕事の分だけ運動エネルギーが変化するという法則です

小物体：¹/₂mv²=mgh+N･x

台：¹/₂MV²=-N･X

こうですね。

この2式の辺々を加えます

¹/₂mv²+¹/₂MV²=mgh+N･(x-X)

ここでこの式をよく見ると(x-X)は台から見た小物体の相対変位です。台から見ると小物体は斜面に平行にすべっていますね。したがって垂直抗力Nと(x-X)は垂直です

N⊥(x-X)
∴N･(x-X)=0
∴ ¹/₂mv²+¹/₂MV²=mgh

このようにくだんの式が導かれました

市販の問題集の模範解答では無前提に“力学的エネルギー保存の法則が成り立つから”としか説明していないものが多いです。2物体の運動だから2物体のエネルギーが保存するのは当たり前だと。しかしそれでは説明不足というものです。私は当たり前だと思いません

キチンと力をすべて挙げて仕事をするかしないか調べるべきです。力学的エネルギー保存の法則が成立する条件を満たしているかどうかを確認しないで力学的エネルギー保存の法則を用いるというのは感心しません

以上、2物体のエネルギー保存の法則でした

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