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Eserciziario di Meccanica
applicata alle macchine
Prof. Messina - Scaraggi
A cura di Francesco Figini.
Se scrivo la velocità del punto E rispetto ad O 1 avrò che essa sarà perpendicolare al pendolo E-O 1 , se la scrivo rispetto al punto O 2 avrò che sarà perpendicolare rispetto ad E-O 2 , questo possiamo vederlo come una sorta di paradosso, la velocità dovrà quindi per forza essere nulla. Le direzioni della velocità nei due casi sono disegnate in blu. Oppure lo possiamo vedere semplicemente come un sistema isostatico composto da 2 aste (6 gradi di libertà tot.) e con 6 gradi di vincolo (ogni cerniera ha 2 gradi di vincolo). In ogni caso arriviamo alla conclusione che le velocità angolari delle aste E0 (^2) e E0 1 sono nulle.
Il metodo migliore per risolvere il problema è sfruttare i centri di istantanea rotazione. Innanzitutto partiamo dal dato fornitoci cioè la velocità angolare dell’asta AO 1 che ci permette immediatamente di calcolare la velocità del punto A.
𝑣𝑣(A) = 𝑤𝑤 𝑥𝑥 (𝐴𝐴 − 𝑂𝑂 1 )
Essendo la w oraria il punto “A” si sposterà verso destra. Nota la velocità di A possiamo trovare il centro di istantanea rotazione del corpo ABC (in realtà potevamo farlo anche senza conoscerla). Ricordiamo che per trovare il C.I.R. dobbiamo tracciare le ortogonali alle rispettive velocità. Quindi otteniamo:
Come abbiamo trovato il C.I.R.: per quanto riguarda il punto A conosciamo la velocità e ne abbiamo mandata la perpendicolare, la velocità di B è ortogonale a BO 2 e possiamo mandare la perpendicolare che si incontrerà nel punto Ct2 con l’ortogonale alla velocità di A. Conseguentemente l’ortogonale alla velocità del punto C dovrà passare dal punto K. Notiamo che AO 1 e BO 2 sono due pendoli quindi per trovare il C.I.R. basta prolungarli (motivo per cui non ci serviva la velocità di A per trovare il centro di istantanea rotazione ma ci servirà tra poco per trovare la velocità angolare del corpo ABC).
Per calcolare la velocità angolare del corpo ABC possiamo scrivere la velocità di A (che conosciamo) considerato però appartenente al corpo ABC e non al corpo AO 1 :
velocità del punto C la conosciamo (basterà quindi tracciare l’ortogonale alla direzione della velocità).
Trovato il centro di istantanea rotazione del corpo CDF possiamo trovare la velocità del punto F ragionando allo stesso modo di prima:
Trovo la velocità angolare del corpo CDF essendo nota la velocità del punto C;
Calcolo F nota la velocità angolare trovata.
𝑣𝑣(𝐶𝐶) = 𝑤𝑤 3 𝑥𝑥 (𝐶𝐶 − 𝐶𝐶𝐶𝐶 3 )
La velocità di C è nota, posso quindi trovare la w 3 (che sarà antioraria) dal rapporto tra il modulo della velocità di C e la distanza C-Ct 3 (sempre misurata con il righello).
Calcolata la w 3 posso calcolare la velocità del punto F:
𝑣𝑣(𝐹𝐹) = 𝑤𝑤 3 𝑥𝑥 (𝐹𝐹 − 𝐶𝐶𝐶𝐶 3 )
Abbiamo risolto i primi due punti.
- Applico il teorema dell’energia cinetica.
𝐶𝐶 ◦ W1 + F ◦ v(F) = 0
Quindi calcolo la F:
F = |𝐶𝐶 𝑤𝑤| |𝑣𝑣(𝐹𝐹)|
della freccia della reazione che ci interessa (in questo caso Rc) e con una semplice proporzione fatta rispetto ad F troviamo il valore numerico di Rc.
Esempio: F è 1 N e l’ho disegnata di 1 cm se Rc esce lungo 1,3 cm il suo valore sarà 1,3 N.
Ultima considerazione: l’esercizio in esame poteva essere svolto anche senza passare dai C.I.R. ma è un metodo meno rapido che sarà descritto ma non svolto visto che il professore in sede d’esame l’ha svolto con i centri di istantanea rotazione: una volta nota la velocità di A possiamo trovare la velocità del corpo ABC scrivendo la velocità del punto B prima di tutto considerandolo appartenente al pendolo BO 2 (di cui è nota la direzione che sarà appunto perpendicolare a BO 2 ), poi la scriviamo considerandolo appartenente al corpo ABC e sarà data dalla velocità di A (che conosciamo) + la velocità angolare del corpo 2 per la distanza tra B e A. Abbiamo quindi tre vettori, uno noto in modulo, verso e direzione (cioè la velocità di A) e due noti solo in direzione (la velocità di B rispetto al pendolo B0 2 che come già detto è perpendicolare al pendolo e la velocità angolare del corpo ABC x la distanza B-A che sarà perpendicolare a B-A), con il triangolo di vettori troviamo la velocità angolare del corpo ABC e quindi la velocità di C. Se non voglio usare il C.I.R. neanche sull’asta DCF posso scrivere la velocità di C che è nota considerandolo appartenente a quest’asta, essa sarà data dalla velocità di D + la velocità angolare del corpo DCF x (C-D). Anche in questo caso abbiamo un dato noto al 100% (la velocità di C) e due noti in direzione (la velocità di D che sarà perpendicolare a DE (ricordiamo che il punto E è fermo quindi lo possiamo considerare una cerniera esterna) e la velocità angolare del corpo DCF x (C-D) che sarà perpendicolare a CD), possiamo quindi fare il triangolo di vettori per trovare la velocità richiesta dal problema e la velocità del punto F.
ESERCIZIO SVOLTO DAL PROFESSORE IN SEDE D’ESAME:
- Possiamo considerare 5 corpi se contiamo le guide in G come corpi a sé stanti, oppure possiamo ragionare con 3 corpi: 3 x 3 = 9 g.d.l. – 2(O 1 ) – 2(O 2 ) – 2(E) – 1(G□) – 1(B□) = 1 g.d.l. (Soluzione scelta dal professore)
Oppure:
5 x 3 = 15 g.d.l. - 2(O 1 ) – 2(O 2 ) – 2(E) – 2(G□) – 2(Go) – 2(B□) – 2(Bo) = 1 g.d.l.
Ricordiamo che il rettangolino e il cerchietto servono a distinguere i gradi di vincolo dovuti rispettivamente all’accoppiamento prismatico e rotoidale dei corsoi.
- Innanzitutto con il dato fornitoci (la velocità angolare del corpo 1) possiamo trovare la velocità del punto E che ci permetterà di trovare il C.I.R. del corpo 2 (l’asta EGB).
𝑣𝑣(𝐸𝐸) = 𝑤𝑤 𝑥𝑥 (𝐸𝐸 − 𝑂𝑂 1 )
Una volta trovata la velocità del punto E trovo il C.I.R. del corpo 2.
- Per la velocità del punto A mi serve la velocità angolare del corpo 3 (asta A-O 2 -B). Sfrutto la cinematica relativa per il punto B. Considero l’osservatore appartenente al corpo 3 e il punto B appartenente al corpo 2.
𝑣𝑣(𝐵𝐵)𝑎𝑎 = 𝑣𝑣(𝐵𝐵)𝑟𝑟 + 𝑣𝑣(𝐵𝐵)𝑡𝑡
La velocità di B assoluta l’abbiamo appena calcolata, quella relativa sappiamo essere parallela a BO 2 (la guida prismatica costringe il corsoio a muoversi secondo la direzione BO 2 ) e quella di trascinamento sarà data da:
𝑣𝑣(𝐵𝐵)𝑡𝑡 = 𝑤𝑤 3 𝑥𝑥 (𝐵𝐵 − 𝑂𝑂 2 )
Quindi abbiamo la velocità assoluta di cui conosciamo tutto avendola già calcolata mentre della relativa e della velocità di trascinamento conosciamo le direzioni. Possiamo quindi disegnare il triangolo di vettori.
Nota la velocità di trascinamento di B possiamo trovare la velocità angolare del corpo 3.
Nota la w 3 possiamo calcolare la velocità di A.
𝑣𝑣(𝐴𝐴) = 𝑤𝑤 3 𝑥𝑥 (𝐴𝐴 − 𝑂𝑂 2 )
Che sarà diretta verso sinistra.
- Studio le reazioni vincolari:
Facendo lo schema di corpo libero del corpo 2 avremo che le due guide prismatiche forniscono una reazione perpendicolare alla direzione di scorrimento e passante per le due cerniere sui corsoi (quindi in G avremo una reazione orizzontale, in B una reazione perpendicolare a B-0 2 ), le due reazioni si incontrano in K, per l’equilibrio la reazione in E dovrà passare da lì. Non posso però fare il triangolo di vettori perché non è nota nessuna delle 3. Procedo quindi trovando la reazione in E andando a studiare il corpo 1.
La reazione in E deve equilibrare la coppia C (dato del problema) che è antioraria, quindi dovrà generare una coppia oraria, di conseguenza è diretta verso destra, il modulo sarà dato dalla coppia C diviso il braccio della reazione E rispetto a O 1 (b).
ESERCIZIO SVOLTO DAL PROFESSORE IN SEDE D’ESAME:
Appello del 14/09/
La traccia non è stata caricata online.
Calcolare i gradi di libertà del sistema;
Trovare la velocità angolare del corpo 2;
Trovare la velocità del punto B e del punto D;
Calcolare la coppia da applicare al corpo 2 per equilibrare F;
Calcolare la reazione della cerniera in O.
Dati: velocità di A e forza F applicata.
- Se consideriamo 3 corpi (come fatto dal professore) avrò:
3 x 3 = 9 g.d.l. – 2(B) – 2(O) – 1(D) – 3(A)
Se considero i due corsoi come corpi:
5 x 3 = 15 g.d.l. – 4(A◦) – 2(A□) – 2(B) – 2(D□) – 2(D◦) – 2(O) = 1 g.d.l.
L’accoppiamento rotoidale in A toglie 4 gradi di vincolo perché collega 3 corpi (le due aste e il corsoio).
- Facciamo delle considerazioni: Il corpo 3 trasla, questo lo capiamo perché il suo C.I.R. è all’infinito. La velocità del punto A, fornita come dato, è orizzontale, quindi per trovare il centro di istantanea rotazione tracciamo la perpendicolare ad essa, il punto B possiamo studiarlo guardando il corpo 2, la sua velocità sarà:
𝑣𝑣(𝐵𝐵)^ = 𝑤𝑤 2 𝑥𝑥 (𝐵𝐵 − 𝑂𝑂)
Non conosciamo il valore numerico ma notiamo che essa avrà direzione perpendicolare all’asta BO, quindi anch’essa è perfettamente orizzontale. Tracciando la perpendicolare anche alla direzione di v(B) notiamo che il C.I.R. va all’infinito.
Conosciamo solo la forza F essendo un dato, l’accoppiamento prismatico ci fornisce la reazione 𝑅𝑅𝑅𝑅 perfettamente verticale, poi abbiamo le reazioni dei due pendoli 1 e 2 di cui non sappiamo nulla se non la direzione. Risulta utile studiare lo schema di corpo libero del corsoio in D:
Sul corsoio in D agiscono due forze, la reazione dell’accoppiamento prismatico perpendicolare al corsoio e la reazione del pendolo 1. Come sappiamo se le reazioni sono solo due affinché sia rispettato l’equilibrio esse dovranno trovarsi sulla stessa retta d’azione ed essere uguali ed opposte ma in questo caso la retta d’azione non è la stessa, di conseguenza il corsoio in D è scarico e le due reazioni sono nulle.
Tornando al corsoio A avremo quindi:
La reazione R1 è nulla quindi la possiamo togliere, compongo il triangolo di vettori:
Ho trovato R3, ora posso spostarmi a studiare il corpo 3 che è sul pendolo, su cui abbiamo:
E infine trovo la reazione richiesta studiando lo schema di corpo libero del corpo 2:
