2023　大学入学共通テスト　本試験　数学II・IIBMathJax

【１】

［１］　三角関数の値の大小関係について考えよう．

(1)　$x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき$\sin x\text{ア}\sin 2x$であり，$x={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$のとき$\sin x\text{イ}\sin 2x$である．

　$\text{ア}\text{，}$$\text{イ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(2)　$\sin x$と$\sin 2x$の値の大小関係を詳しく調べよう．

$\sin 2x-\sin x$$=\sin x(\text{ウ}\cos x-\text{エ})$

であるから，$\sin 2x-\sin x>0$が成り立つことは

$\text{「}\sin x>0$かつ$\text{ウ}\cos x-\text{エ}>0\text{」}$$\cdots \text{①}$

または

$\text{「}\sin x<0$かつ$\text{ウ}\cos x-\text{エ}<0\text{」}$$\cdots \text{②}$

が成り立つことと同値である．$0\leqq x\leqq 2\pi$のとき，$\text{①}$が成り立つような$x$の値の範囲は

$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{\text{オ}}}$

であり，$\text{②}$が成り立つような$x$の値の範囲は

$\pi <x<{\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}\pi$

である．よって，$0\leqq x\leqq 2\pi$のとき，$\sin 2x>\sin x$が成り立つような$x$の値の範囲は

$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{\text{オ}}}\text{，}$$\pi <x<{\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}\pi$

である．

(3)　$\sin 3x$と$\sin 4x$の値の大小関係を調べよう．

　三角関数の加法定理を用いると，等式

$\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )=2\cos \alpha \sin \beta$$\cdots \text{③}$

が得られる．$\alpha +\beta =4x\text{，}$$\alpha -\beta =3x$を満たす$\alpha \text{，}$$\beta$に対して$\text{③}$を用いることにより，$\sin 4x-\sin 3x>0$が成り立つことは

$\text{「}\cos \text{ク}>0$かつ$\sin \text{ケ}>0\text{」}$$\cdots \text{④}$

または

$\text{「}\cos \text{ク}<0$かつ$\sin \text{ケ}<0\text{」}$$\cdots \text{⑤}$

が成り立つことと同値であることがわかる．

　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，$\text{④}\text{，}$$\text{⑤}$により，$\sin 4x>\sin 3x$が成り立つような$x$の値の範囲は

$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{\text{コ}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}\pi <x<{\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}\pi$

である．

　$\text{ク}\text{，}$$\text{ケ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(4)　(2)，(3)の考察から，$0\leqq x\leqq \pi$のとき，$\sin 3x>\sin 4x>\sin 2x$が成り立つような$x$の値の範囲は

${\displaystyle \frac{\pi }{\text{コ}}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{\text{ソ}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}\pi <x<{\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}}\pi$

であることがわかる．

【１】

［２］(1)　$a>0\text{，}$$a\ne 1\text{，}$$b>0$のとき，${\log }_{a}b=x$とおくと，$\text{ツ}$が成り立つ．

　$\text{ツ}$の解答群

(2)　様々な対数の値が有理数か無理数かについて考えよう．

(ⅰ)　${\log }_{5}25=\text{テ}\text{，}$${\log }_{9}27={\displaystyle \frac{\text{ト}}{\text{ナ}}}$であり，どちらも有理数である．

(ⅱ)　${\log }_{2}3$が有理数と無理数のどちらであるかを考えよう．

　${\log }_{2}3$が有理数であると仮定すると，${\log }_{2}3>0$であるので，二つの自然数$p\text{，}$$q$を用いて${\log }_{2}3={\displaystyle \frac{p}{q}}$と表すことができる．このとき，(1)により${\log }_{2}3={\displaystyle \frac{p}{q}}$は$\text{ニ}$と変形できる．いま，$2$は偶数であり$3$は奇数であるので，$\text{ニ}$を満たす自然数$p\text{，}$$q$は存在しない．

　したがって，${\log }_{2}3$は無理数であることがわかる．

(ⅲ)　$a\text{，}$$b$を$2$以上の自然数とするとき，(ⅱ)と同様に考えると，$\text{「}\text{ヌ}$ならば${\log }_{a}b$はつねに無理数である」ことがわかる．

　$\text{ニ}$の解答群

　$\text{ヌ}$の解答群

【２】

［１］(1)　$k$を正の定数とし，次の$3$次関数を考える．

$f(x)=x^2(k-x)$

　$y=f(x)$のグラフと$x$軸との共有点の座標は$(0,0)$と$(\text{ア},0)$である．

　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$は

$f^{\prime }(x)=\text{イウ}{x}^2+\text{エ}kx$

である．

　$x=\text{オ}$のとき，$f(x)$は極小値$\text{カ}$をとる．

　$x=\text{キ}$のとき，$f(x)$は極大値$\text{ク}$をとる．

　また，$0<x<k$の範囲において$x=\text{キ}$のとき$f(x)$は最大となることがわかる．

　$\text{ア}\text{，}$$\text{オ}\text{〜}$$\text{ク}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(2)　右の図のように底面が半径$9$の円で高さが$15$の円$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$に内接する円柱を考える．円柱の底面の半径と体積をそれぞれ$x\text{，}$$V$とする．$V$を$x$の式で表すと

$V={\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}\pi x^2(\text{サ}-x)$$\text{（}0<x<9\text{）}$

である．(1)の考察より，$x=\text{シ}$のとき$V$は最大となることがわかる．$V$の最大値は$\text{スセソ}\pi$である．

【２】

［２］(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{30}}({\displaystyle \frac{1}{5}}x+3)\mathit{dx}$の値は$\text{タチツ}$である．

　また，関数${\displaystyle \frac{1}{100}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{6}}x+5$の不定積分は

${\displaystyle \int }({\displaystyle \frac{1}{100}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{6}}x+5)\mathit{dx}$$={\displaystyle \frac{1}{\text{テトナ}}}{x}^3-{\displaystyle \frac{1}{\text{ニヌ}}}{x}^2+\text{ネ}x+C$

である．ただし，$C$は積分定数とする．

(2)　ある地域では，毎年$3$月頃「ソメイヨシノ（桜の種類）の開花予想日」が話題になる．太郎さんと花子さんは，開花日時を予想する方法の一つに，$2$月に入ってからの気温を時間の関数とみて，その関数を積分した値をもとにする方法があることを知った．ソメイヨシノの開花日時を予想するために，二人は図１の$6$時間ごとの気温の折れ線グラフを見ながら，次のように考えることにした．

　$x$の値の範囲を$0$以上の実数全体として，$2$月$1$日午前$0$時から$24x$時間経った時点を$x$日後とする．（例えば，$10.3$日後は$2$月$11$日午前$7$時$12$分を表す．）また，$x$日後の気温を$y\mathrm{°C}$とする．このとき，$y$は$x$の関数であり，これを$y=f(x)$とおく．ただし，$y$は負にはならないものとする．

　気温を表す関数$f(x)$を用いて二人はソメイヨシノの開花日時を次の設定で考えることにした．

　設定のもと，太郎さんは気温を表す関数$y=f(x)$のグラフを図２のように直線とみなしてソメイヨシノの開花日時を考えることにした．

(ⅰ)　太郎さんは

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{5}}x+3$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$

として考えた．このとき，ソメイヨシノの開花日時は$2$月に入ってから$\text{ノ}$となる．

　$\text{ノ}$の解答群

(ⅱ)　太郎さんと花子さんは，$2$月に入ってから$30$日後以降の気温について話をしている．

　花子さんは気温を表す関数$f(x)$を，$0\leqq x\leqq 30$のときは太郎さんと同じように

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{5}}x+3$$\cdots \text{①}$

とし，$x\geqq 30$のときは

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{100}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{6}}x+5$$\cdots \text{②}$

として考えた．なお，$x=30$のとき$\text{①}$の右辺の値と$\text{②}$の右辺の値は一致する．花子さんの考えた式を用いて，ソメイヨシノの開花日時を考えよう．(1)より

${\displaystyle {\int }_0^{30}}({\displaystyle \frac{1}{5}}x+3)\mathit{dx}=\text{タチツ}$

であり

${\displaystyle {\int }_{30}^{40}}({\displaystyle \frac{1}{100}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{6}}x+5)\mathit{dx}=115$

となることがわかる．

　また，$x\geqq 30$の範囲において$f(x)$は増加する．よって

${\displaystyle {\int }_{30}^{40}}f(x)\mathit{dx}\text{ハ}{\displaystyle {\int }_{40}^{50}}f(x)\mathit{dx}$

であることがわかる．以上より，ソメイヨシノの開花日時は$2$月に入ってから$\text{ヒ}$となる．

　$\text{ハ}$の解答群

　$\text{ヒ}$の解答群

【３】　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて正規分布表を用いてもよい．

(1)　ある生産地で生産されるピーマン全体を母集団とし，この母集団におけるピーマン$1$個の重さ（単位は$\mathrm{g}\text{）}$を表す確率変数を$X$とする．$m$と$\sigma$を正の実数とし，$X$は正規分布$N(m,{\sigma }^2)$に従うとする．

(ⅰ)　この母集団から$1$個のピーマンを無作為に抽出したとき，重さが$m\mathrm{g}$以上である確率$P(X\geqq m)$は

$P(X\geqq m)=P({\displaystyle \frac{X-m}{\sigma }}\geqq \text{ア})={\displaystyle \frac{\text{イ}}{\text{ウ}}}$

である．

(ⅱ)　母集団から無作為に抽出された大きさ$n$の標本$X_1\text{，}$$X_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$X_n$の標本平均を$\bar{X}$とする．$\bar{X}$の平均（期待値）と標準偏差はそれぞれ

$E(\bar{X})=\text{エ}\text{，}$$\sigma (\bar{X})=\text{オ}$

となる．

　$n=400\text{，}$標本平均が$30.0\mathrm{g}\text{，}$標本の標準偏差が$3.6\mathrm{g}$のとき，$m$の信頼度$90\mathrm{\%}$の信頼区間を次の方針で求めよう．

　方針において，$z_0=\text{カ}.\text{キク}$である．

　一般に，標本の大きさ$n$が大きいときには，母標準偏差の代わりに，標本の標準偏差を用いてよいことが知られている．$n=400$は十分に大きいので，方針に基づくと，$m$の信頼度$90\mathrm{\%}$の信頼区間は$\text{ケ}$となる．

　$\text{エ}\text{，}$$\text{オ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{ケ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

(2)　(1)の確率変数$X$において，$m=30.0\text{，}$$\sigma =3.6$とした母集団から無作為にピーマンを$1$個ずつ抽出し，ピーマン$2$個を$1$組にしたものを袋に入れていく．このようにしてピーマン$2$個を$1$組にしたものを$25$袋作る．その際，$1$袋ずつの重さの分散を小さくするために，次のピーマン分類法を考える．

(ⅰ)　ピーマンを無作為に$50$個抽出したとき，ピーマン分類法で$25$袋作ることができる確率$p_0$を考えよう．無作為に$1$個抽出したピーマンが$\mathrm{S}$サイズである確率は${\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$である．ピーマンを無作為に$50$個抽出したときの$\mathrm{S}$サイズのピーマンの個数を表す確率変数を$U_0$とすると，$U_0$は二項分布$B(50,{\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}})$に従うので

$p_0={}_{50}C_{\text{シス}}\times {\left({\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}\right)}^{\text{シス}}$${\times (1-{\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}})}^{50-\text{シス}}$

となる．

　$p_0$を計算すると，$p_0=0.1122\cdots$となることから，ピーマンを無作為に$50$個抽出したとき，$25$袋作ることができる確率は$0.11$程度とわかる．

(ⅱ)　ピーマン分類法で$25$袋作ることができる確率が$0.95$以上となるようなピーマンの個数を考えよう．

　$k$を自然数とし，ピーマンを無作為に$(50+k)$個抽出したとき，$S$サイズのピーマンの個数を表す確率変数を$U_k$とすると，$U_k$は二項分布$B(50+k,{\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}})$に従う．

　$(50+k)$は十分に大きいので，$U_k$は近似的に正規分布$N(\text{セ},\text{ソ})$に従い，$Y={\displaystyle \frac{U_k-\text{セ}}{\sqrt{\text{ソ}}}}$とすると，$Y$は近似的に標準正規分布$N(0,1)$に従う．

　よって，ピーマン分類法で，$25$袋作ることができる確率を$p_k$とすると

$p_k=P(25\leqq U_k\leqq 25+k)$$=P(-{\displaystyle \frac{\text{タ}}{\sqrt{50+k}}}\leqq Y\leqq {\displaystyle \frac{\text{タ}}{\sqrt{50+k}}})$

となる．

　$\text{タ}=\alpha \text{，}$$\sqrt{50+k}=\beta$とおく．

　$p_k\geqq 0.95$になるような${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$について，正規分布表から${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}\geqq 1.96$を満たせばよいことがわかる．ここでは

${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}\geqq 2$$\cdots \text{①}$

を満たす自然数$k$を考えることとする．$\text{①}$の両辺は正であるから，${\alpha }^2\geqq 4{\beta }^2$を満たす最小の$k$を$k_0$とすると，$k_0=\text{チツ}$であることがわかる．ただし，$\text{チツ}$の計算においては，$\sqrt{51}=7.14$を用いてもよい．

　したがって，少なくとも$(50+\text{チツ})$個のピーマンを抽出しておけば，ピーマン分類法で$25$袋作ることができる確率は$0.95$以上となる．

　$\text{セ}\text{〜}$$\text{タ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

【４】　花子さんは，毎年の初めに預金口座に一定額の入金をすることにした．この入金を始める前における花子さんの預金は$10$万円である．ここで，預金とは預金口座にあるお金の額のことである．預金には年利$1\mathrm{\%}$で利息がつき，ある年の初めの預金が$x$万円であれば，その年の終わりには預金は$1.01x$万円となる．次の年の初めには$1.01x$万円に入金額を加えたものが預金となる．

　毎年の初めの入金額を$p$万円とし，$n$年目の初めの預金を$a_n$万円とおく．ただし，$p>0$とし，$n$は自然数とする．

　例えば，$a_1=10+p\text{，}$$a_2=1.01(10+p)+p$である．

(1)　$a_n$を求めるために二つの方針で考える．

　$3$年目の初めの預金$a_3$万円について，$a_3=\text{ア}$である．すべての自然数$n$について

$a_{n+1}=\text{イ}{a}_n+\text{ウ}$

が成り立つ．これは

$a_{n+1}+\text{エ}=\text{オ}(a_n+\text{エ})$

と変形でき，$a_n$を求めることができる．

　$\text{ア}$の解答群

　$\text{イ}\text{〜}$$\text{オ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　もともと預金口座にあった$10$万円は，$2$年目の初めには$10\times 1.01$万円になり，$3$年目の初めには$10\times {1.01}^2$万円になる．同様に考えると$n$年目の初めには$10\times {1.01}^{n-1}$万円になる．

・$1$年目の初めに入金した$p$万円は，$n$年目の初めには$p\times {1.01}^{\text{カ}}$万円になる．

・$2$年目の初めに入金した$p$万円は，$n$年目の初めには$p\times {1.01}^{\text{キ}}$万円になる．

$⋮$

・$n$年目の初めに入金した$p$万円は，$n$年目の初めには$p$万円のままである．

　これより

$a_n=10\times {1.01}^{n-1}$$+p\times {1.01}^{\text{カ}}$$+p\times {1.01}^{\text{キ}}+\cdots +p$

$=10\times {1.01}^{n-1}$$+p{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{1.01}^{\text{ク}}$

となることがわかる．ここで，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{1.01}^{\text{ク}}=\text{ケ}$となるので，$a_n$を求めることができる．

　$\text{カ}\text{，}$$\text{キ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{ク}$の解答群

　$\text{ケ}$の解答群

(2)　花子さんは，$10$年目の終わりの預金が$30$万円以上になるための入金額について考えた．

　$10$年目の終わりの預金が$30$万円以上であることを不等式を用いて表すと$\text{コ}\geqq 30$となる．この不等式を$p$について解くと

$p\geqq {\displaystyle \frac{\text{サシ}-\text{スセ}\times {1.01}^{10}}{101({1.01}^{10}-1)}}$

となる．したがって，毎年の初めの入金額が例えば$18000$円であれば，$10$年目の終わりの預金が$30$万円以上になることがわかる．

　$\text{コ}$の解答群

(3)　1 年目の入金を始める前における花子さんの預金が$10$万円ではなく，$13$万円の場合を考える．すべての自然数$n$に対して，この場合の$n$年目の初めの預金は$a_n$万円よりも$\text{ソ}$万円多い．なお，年利は$1\mathrm{\%}$であり，毎年の初めの入金額は$p$万円のままである．

　$\text{ソ}$の解答群

【５】　三角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$$\mathrm{PABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とおく．また，$\mathrm{\angle PAB}=\mathrm{\angle PAC}$とし，この角度を$\theta$とおく．ただし，$0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$は

$\overrightarrow{\mathrm{AM}}={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

と表せる．また

${\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}}=\text{オ}$$\cdots \text{①}$

である．

　$\text{オ}$の解答群

(2)　$\theta =45\mathrm{°}$とし，さらに

$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|=3\sqrt{2}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{PB}}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{PC}}\right|=3$

が成り立つ場合を考える．このとき

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\text{カ}$

である．さらに，直線$\mathrm{AM}$上の点$\mathrm{D}$が$\mathrm{\angle APD}=90\mathrm{°}$を満たしているとする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\text{キ}\overrightarrow{\mathrm{AM}}$である．

(3)

$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\text{キ}\overrightarrow{\mathrm{AM}}$

で定まる点を$\mathrm{Q}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が垂直である三角錐$\mathrm{PABC}$はどのようなものかについて考えよう．例えば(2)の場合では，点$\mathrm{Q}$は点$\mathrm{D}$と一致し，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は垂直である．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が垂直であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を用いて表して考えると，$\text{ク}$が成り立つ．さらに$\text{①}$に注意すると，$\text{ク}$から$\text{ケ}$が成り立つことがわかる．

　したがって，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が垂直であれば，$\text{ケ}$が成り立つ．逆に，$\text{ケ}$が成り立てば，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は垂直である．

　$\text{ク}$の解答群

　$\text{ケ}$の解答群

(ⅱ)　$k$を正の実数とし

$k\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$

が成り立つとする．このとき，$\text{コ}$が成り立つ．

　また，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AP}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AP}$との交点を${\mathrm{B}}^{\prime }$とし，同様に点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AP}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AP}$との交点を${\mathrm{C}}^{\prime }$とする．

　このとき$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が垂直であることは，$\text{サ}$であることと同値である．特に$k=1$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が垂直であることは，$\text{シ}$であることと同値である．

　$\text{コ}$の解答群

　$\text{サ}$の解答群

　$\text{シ}$の解答群