今回は正射影ベクトルについて。
ベクトルの勉強をしていたらたまに出てくる。
必須ではないが知っておいて損はない...くらいの物だが簡単に書いてみる。
途中私がふと思いついた証明を書いているので間違えてたらすみません。

まずは射影について考えてみる。

なんの変哲もないy=xのグラフなのだが、これのx成分だけ取り出すこと(x軸への射影)を考えてみる。
イメージはy=0へ押しつぶす感じ。

それを数学的にどう表現しようか。
例えば(t,t)と媒介変数表示をしてみると、
写像P:ℝ^2→ℝを
(t,t)→(t,0)で定めれば良さそうである。

つまり必要な成分以外を忘れると(0としてあげれば)射影が出来上がる。

より詳しくは以下を参照

正射影ベクトルについて

さて、ベクトルに話を戻す。
こちらもイメージは先ほどと同じである。
不要な成分を忘れる(0にする)のがポイント。

ここでは二次元平面におけるベクトルを考える。
Oを原点と思う。
\overrightarrow{OA}と\overrightarrow{OB}は一次独立と思う。
(そうでない時は明らかなので...)

この時Oを中心に\overrightarrow{OA}を左に90°回転した方向のベクトル\overrightarrow{OC}(とする)を考える。
するとこの二つは一次独立である。

さて、この二つのベクトルの大きさを1にしてそれぞれ \boldsymbol{e_1}, \boldsymbol{e_2}と表す。

すると \boldsymbol{e_1}, \boldsymbol{e_2}は一次独立ゆえ、\overrightarrow{OB}はその線型結合で書ける。

このとき、 \boldsymbol{e_2}(方向の)成分を忘れたものを\overrightarrow{OB}の\overrightarrow{OA}への正射影ベクトルという。

これではよくわからないのでもう少し直感的に捉えてみる。

例えばこのような時に上からライトを当てることを考える。
するとx軸に\overrightarrow{OB}の影が出来るのだが、その影を考えている。
つまり次の図でいう赤い部分が正射影ベクトルである。

これが最初に書いた第二成分を忘れる(0にする)ということに繋がってくる。

たまたま\overrightarrow{OA}がx軸に重なっている状態を考えているが、回転させれば重ねられるので問題ではない。

ではそんな正射影ベクトルをどうやって求めるのか？

求め方

具体的に計算してみよう。
\overrightarrow{OA}=(a_1,a_2),\overrightarrow{OB}=(b_1,b_2)とする。
すると
\boldsymbol{e_1}=\dfrac{(a_1,a_2)}{|\overrightarrow{OA}|}, \boldsymbol{e_2}=\dfrac{(-a_2,a_1)}{|\overrightarrow{OA}|}と書ける。
そこで、s,tを実数として、
\overrightarrow{OB}=s\boldsymbol{e_1}+t\boldsymbol{e_2}
と書ける。
ここで両辺に \boldsymbol{e_1}をかけることで、
s= \overrightarrow{OB}・\boldsymbol{e_1}
となり、これを計算すると
s=\dfrac{\overrightarrow{OA}・\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|}

よって求める正射影は第一成分を見てあげればよかったのでPと書くと
P=s\boldsymbol{e_1}=\dfrac{\overrightarrow{OA}・\overrightarrow{OB}}{{|\overrightarrow{OA}|}^2}\overrightarrow{OA}

これが求めるものであった。

なんとも複雑そうな形をしているが...

どんな問題で使えるの？という話だが、
三角形において垂線の足を考える時に役に立つ。
が、正直これを使ったことはあまりない...

あとがき的な

今回は正射影について考えてみた。
多くのサイトとは違う感じで書いてみたのだが、その場のノリで書いていたのでだいぶテキトーになったな...と思う。
特に成分については元のAやCについてなのか変換したあとのeについてなのかがややこしいかもしれない。

そしてまあせっかくなのでよくある証明も与えておく。
なおここではベクトルはaやpといった表記をする。

まず射影pはある実数kを使ってp=kaと書ける。
ところでa・b=|a||b|cosθ=|a||p|より
k=a・b/|a|^2
よってp=(a・b/(|a|^2) )a

確かにこちらの方が短いし良さそうにも思う。
が、この証明ではなんか変形したら上手く行った！だけになってしまわないか？と思う。
意味をベースにするなら最初に紹介した方法の方が分かりやすいと思うが...
まあそちらは私が即興で考えたので間違えているかもしれないが、、