どうやって計算するか覚えてる？「ルート109760を簡単にしなさい」→正しく計算できる

中学生の時に習った平方根の考え方を覚えていますか。式変形が面倒なのがこの平方根の特徴です。符号や計算の間違いも多くある問題なので、それらに注目しながら確認していきましょう。桁数が大きいのでそれにも注意して計算しましょう。

問題

次の根号を簡単にしなさい。
√109760

根号の変形について、どのように考えればいいのかを見ていきましょう。

答えは「56√35」です。

どのように変形したか、次の「ポイント」で確認しましょう。

まずは、平方根や根号について確認してみます。

＜平方根と根号＞
・二乗してaになる数をaの平方根という。表し方は√aになる。
・√は根号という記号で、ルートと読む。
・√の中身は必ず正の数になる。

次に、√の計算について考えます。√どうしの掛け算は整数と同じように分解することができます。109760を素因数分解してから考えます。

109760=(2^6)×5×(7^3)

では、実際に式変形していきます。二乗の数でまとめて計算すると変形できます。

√109760
=√{(2^6)×5×(7^3)}
=√(2^2)×√(2^2)×√(2^2)×√(7^2)×√(5×7)
=2×2×2×7×√(35)
=56√35

このように解くことができました。上記のように変形した理由は、√(2^2)や√(7^2)は整数に直せるからです。

「1^2」「2^2」「3^2」のように、ある整数を二乗した数を平方数といいます。

√（平方数）は必ず整数になるので、根号を簡単にする問題では「平方数が含まれる根号の掛け算を考える」のが大事になりますよ。

根号の中は必ず正の数になると書きましたが、高校数学では負の数がくることもあります。これを虚数といい、iと表現します。以下をみてみましょう。

＜虚数＞
・i^2=−1
・√(−1)= i
例；√(−6)=√6 i
(3i)^2=9×i^2=−9

本来、数を二乗すると必ず正の数になるのに、虚数は二乗すると負の数になります。

ルートは奥深いものなので、もっと気になる方は自分で調べてみるのもいいかもしれませんね。

根号を簡単にする方法を理解できたでしょうか。素因数分解をすることによって桁の大きい数でも対応することができます。

新しい記号が出てきても、言葉の意味を覚えていれば特に問題はありません。平方根を求める問題や、根号を外す問題は、1から10までの整数の二乗の値を覚えていると、すぐに答えを出すことができます。

計算は、一問や二問だけしてもあまり意味がありません。計算こそたくさん演習を積んで、理解度を深めていくことがとても大事になってきます。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。
あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：ニシケン
2年間、地方の学習塾に勤めて独立。現在はプロの家庭教師として働きながら、都内の難関私立中学や高校の予想問題や適性検査の執筆活動を行っている。たくさんの受験生のためになる良質な問題を作成し、どんな人が見てもわかりやすい解答解説作成を志す。

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