私は日頃から「数学で一番大事なのは定義だ」と言っている。私が監修している高校赤チャートのコラムにも、そのように書いた。「定義」に関連した話題としては、

• 定義が曖昧なので起こる問題点

• 定義が「相応しくない」ので起こる問題点

の二つがある。今回は後者の方の話題だ。

自然数aとbの最大公約数は、高校までの数学ではaとbの公約数の中で最大のもの●●●●●とされる。この「定義」のよくない点は

1. 本来、整数の整除関係のみに依存する概念である「最大公約数」の扱いに、大小関係が混入している。

2. 本来、二つの整数に対して定義されるべき「最大公約数」だが、この「定義」では0と0の最大公約数が定義できない。

最初の点に関して言うと、例えば、普通の整数ではなくて（最近では暗号理論などでも登場する）ガウス整数\mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid\textrm{$a,b$は整数}\}のような、一般化された整数の概念を考えてみるとよい。\mathbb{Z}[i]でも整数の整除関係と同様の議論ができるが、\mathbb{Z}[i]には大小関係がない。

しかし、もっと注目されるべきなのは2.である。0と0の最大公約数はどうするべきか？0は「すべての整数」を約数にもつ。となると、0と0の最大公約数とは「すべての整数の中で最大の整数」ということになってしまうが、そんなものはもちろん存在しない。

ここで重要なことは、この問題は些細な問題であるとか、便宜上の問題であるとかではないという点だ。「0と0の最大公約数は存在しない」でよいのでは？とか「0の0乗と同じように臨機応変に定義すればいいのでは？」という意見もあるだろう。しかし、この問題はそういう問題ではない。（後で説明するように）「0と0の最大公約数は0である」という唯一の正しい答えが存在する問題である。

しかし、私はこのように言うことで「高校数学の最大公約数の定義は修正すべきだ！」と主張しているわけではない。高校の教科書は自然数の場合だけで閉じているので、これはこれで問題はない。とはいえ、数学を教える立場の人たちを含めて、より多くの人たちに「本当はこうなのだ」ということを、きちんと知ってほしい、とは思う。

「自然数で閉じているのならば、別に0や負の数をも含むすべての整数にまで話を拡張しなくてもいいのでは？」という声も聞こえてきそうだ。この点は「初等整数論」という学問をどのように捉えるかという問題とも関わってくる。「初等整数論」は極めて精緻に組み上げられた見事な数学の理論だ。それは「初等」だからといって「簡単」という意味ではない。「初等」という意味は、ここでは集合論（例えば、イデアル論）を使わないで展開できるという意味だ（と私は解釈している）。そしてその「初等整数論」は集合論を使わず、計算（基本的には「割り算＝互除法」）を中心として展開される、極めて厳密で精緻な科学である。そういう視点で初等整数論を見ると、そこには一般性と抽象性、自然性、そしてそれを超えた現代数学の諸相にも相通じる射程の深さが見えてくる。

その精緻に組み上げることのできる初等整数論という厳密科学の、理論的な中味において、実は最大公約数という概念は極めて重要な役割を果たしている。その最大公約数とは、本来、次のように定義されるものだ。

定義1　整数a,bについて、a=bcとなる整数cが存在するとき、aはbの倍数である、あるいはbはaの約数であるといい、記号でb|aと書く

注意. b|aならば、-b|aやb|-aさらに-b|-aも成り立つ。すなわち、整除関係\cdot |\cdotにおいては、符号の違いは無視される。

定義2　整数a,bの公約数とは、aの約数でもあり、同時にbの約数でもある整数のことである。

定義3　整数a,bについて、整数dが次の2条件を満たすとき、dはa,bの最大公約数であるという。
(a) dはa,bの公約数である。
(b) a,bの任意の公約数はdの約数である。

この定義では、徹頭徹尾、整除関係「\cdot |\cdot」のみを用いていて、大小関係「\cdot <\cdot」は用いていないことに注意。だから、例えば、ガウス整数においてもそのまま使える定義になっている

（このパラグラフは圏論を知っている読者に対してのものである）定義3を見て、圏論の「積」や「pull-back」を思い浮かべる人も多いのではないか。整数全体を整除関係「\cdot |\cdot」で前順序集合と見た場合、これは一つの圏と見做せる。すなわち、整数を対象として、b|aのときにのみ唯一の射b\rightarrow aがあるとすることで圏ができる（例題：この圏では、aと-aは同型であることを示せ）。「0はすべての整数の倍数である」ということ、すなわち、a|0が任意の整数aに対して成立するというのは、0がこの圏の終対称であることを意味しているし、「1は全ての整数の約数である」ということ、すなわち、1|aが任意の整数aに対して成立するというのは、1が（-1も）この圏の始対象であることだ。そして、この解釈では、整数a,bの最大公約数とは、図式a\rightarrow 0\leftarrow bのpull-backのこと、すなわちa,bの圏論的な積に他ならない。

一般に、圏においてpull-backはいつでも存在するとは限らないのと同様に、定義3のように定義された最大公約数も、このままでは存在するか否かは非自明である。そしてここが重要なところだ。本来、最大公約数とは「存在するか否かが極めて非自明で重要な問題●●●●●●●●●」なのだ。普通の整数の世界では（そしてガウス整数においても）、それは実際にいつでも存在するのだが、それは証明が必要なことである。一般の代数体の整数環では、実は、最大公約数は存在するとは限らない。つまり、「任意の整数a,bの最大公約数が存在する」という性質は、整数がもつ数学的に極めて重要で深い性質なのだ。

高校数学は自然数だけに話を限定して、しかも大小関係を混入させた「定義」で最大公約数を導入しているが、こうすると、最大公約数の存在は自明になる。しかし、それが定義3の性質(b)をもつかどうかは非自明だ。それより問題なのは、最大公約数が「存在する」ということの「重み」が消されてしまうことだ。

（定義3で定めた）最大公約数が本当に存在することを示すにはどうしたらよいか。旧課程の数学Aでも「ユークリッドの互除法」は出てきていた。これは二つの自然数の最大公約数を求めるアルゴリズムだ。しかし、厳密科学としての初等整数論の視点からは、このアルゴリズムの本当の意義は「最大公約数の存在を確定させる」ことにある。詳細は拙著『天に向かって続く数』（https://www.amazon.co.jp/dp/4535798060）や、N予備校（https://www.nnn.ed.nico/）での私の2021年4月12日と5月17日の講義（会員登録だけで無料視聴可能）に譲るが、少し説明しよう。

• 定義3で定義された最大公約数dは、存在するならば符号の違いを除いて唯一。

• ユークリッドの互除法によって、どのような整数a,bに対しても最大公約数dが計算できる。

• すなわち、ユークリッドの互除法の手順は高々有限回の操作で終了する。

この議論によって、次の定理を得ることができる。

定理1（最大公約数の存在）任意の整数a,bに対して、その最大公約数は、符号の違いを除いて一意的に存在する。

定理2（最大公約数の表示）任意の整数a,bに対して、その最大公約数（の一つ）をdとするとき、ua+vb=dを満たす整数u,vが存在する。

定理2により、整数において「既約元は素元である」という定理が証明され、そこから「素因数分解の存在と一意性」という「初等整数論の基本定理」が証明される。整数の素因数分解ができる、そして一通りにできるということは、なにしろ中学や高校で習うことでもあるので、漠然とは知られていることと思うが、実はこれらは完璧に精密な議論で証明できる。初等整数論は厳密で精緻な理論なのである。そして、その議論の基層に「最大公約数の存在」という大定理がある。

最後に冒頭の「a=0とb=0の最大公約数は？」という問いに対する答えであるが、d=0が定義3の条件(a)と(b)を同時に満足している。実際、0は0と0の公約数である。また、0と0の公約数とは「すべての整数」であるが、これはもちろん0の約数である。よって、0が0と0の最大公約数というわけだ。

【イデアル論を知っている人への補足】整数a,bの最大公約数とは、イデアル(a,b)を単項イデアル=(d)で書いたときのdのことである。だから、最大公約数の存在とは、ここでは「すべてのイデアルが単項である」ということ（整数全体のなす環がPIDであること）にほかならないとも言える（だから、最大公約数の存在という問題は「重い」のだ）。一般にイデアルI,Jの「最大公約数」はイデアルI+Jのことだ。ここまで来れば、「0と0の最大公約数は0である」というのが「唯一の正しい答え」だというニュアンスも理解されるものと思う。

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