マジカルバナナの公理化

fumiyaN

2025年6月23日 20:36

マジカルバナナという遊びについて、ルールを持たないことがとても気持ち悪かったのでルールを作ってみた。

マジカルバナナとは

AIによる解説は以下のとおりである

この画像のみでマジカルバナナとはについてイメージはつかめると思うのでこれ以上の説明は省く。

ゲームの出発点

対象をどう扱うか

マジカルバナナにおける「Aと言ったらB」のAとBをマジカルバナナにおける対象とする。
そしてそれらの対象すべては集合として扱われる。
集合として扱われる以上それらは言語的な分類に基づいたもののみが対象となる。

記号の導入

マジカルバナナにおける「Aと言ったらB」を「A Banana B」という論理記号を用いて表し、次のように定義する。
A Banana B ≡ (A in B) or (B in A) or not((A and B) = 0)

日本語で表すならば「A Banana Bは、AがBの要素である、またはBがAの要素である、またはAとBが共通部分を持つことと同値である」

A Banana Bを成立させる条件が
・AがBの要素である
・BがAの要素である
・AとBが共通部分を持つこと
これら3つのうちどれかを満たすことである。

ルールを定める

Bananaという論理記号を導入した今、Bananaという記号を公理的に定めることがマジカルバナナのルールを定めることと一致する。

Bananaの公理

記号の導入と一致するが一つ目の公理として改めて明記する。

A Banana Bは、AがBの要素である、またはBがAの要素である、またはAとBが共通部分を持つことと同値である

最も基本的な記号の導入に関する公理である

非同一性の公理

A Banana Bが成り立つならばAとBは同一ではない。
つまりA Banana AのようなBanana操作の前後に同一の対象を持って来ることを禁止する公理である。

非推移の公理

A Banana Bであり、かつB Banana CであることからA Banana Cを導出できない

A Banana BとB Banana CからA Banana Cを導出することを禁止する公理である

図におけるA Banana Cを不成立とするのが非推移の公理である。
要するに上位分類を跨いで同階層の他の要素に飛ぶようなBanana操作を禁止する公理である。

排他の公理（条件付き任意適用）

この公理を条件付き任意適用としたのはこの公理を適用する場合、マジカルバナナの議論領域となる概念の分類構造が明示的に共有されている必要があるためである。
つまりこの公理を適用しない場合はBananaの公理、非同一性の公理、非推移の公理で十分だが、この公理を適用する場合は次節に示す対象の公理も同時に適用させる必要がある。

A Banana Cが成り立つならば、A Banana B , B Banana Cを成立させるような中間項Bは存在しない

図のようなA Banana Cが成立している場合、それは明示された議論領域において直接的な階層でつながっているというのが排他の公理である。
APG IIIにおいてバナナとバショウ属の間に中間項となる階層は存在しない。

対象の公理

前述の排他の公理を適用する場合に適用する必要のある公理である。
メタ論理的な公理の為日本語で表現したのち、記号で表す。

「任意の対象は明示された議論領域に含まれていなければならない」

この時、Uというのは明示された議論領域であり、排他の公理に用いた図にあるような「議論領域：APG III」のことである。
そしてBanana(A,B)というのはA Banana Bを関数的に表した別表記である。