(cache)2.7 誘導位相

2.7 誘導位相

2.7.4.1 弱位相

2.7.4.2 位相空間の帰納極限

2.7.4.3 直積に関する補題

2.7.4.4 位相空間の射影極限

2.7.5 商空間と分離公理

2.7.5.1 Hausdorff性が保たれるケース

2.7.5.2 正規性が保たれるケース

2.7.1 誘導位相

集合間の写像 $f : X \to Y$ が与えられ、さらに $X, Y$ の一方に位相が与えられているとき、もう一方にも誘導位相と呼ばれる性質のよい位相を定めることができます。以下、この誘導位相についてまとめます。(普遍性に絡めた議論を多用します。商集合の普遍性など集合レベルのことは分かっている前提でまとめます。あと、具体例は基本的な多様体を知っている前提で書いてしまっています…)

終域側の誘導位相

まずは始域側にあらかじめ位相が与えられている場合の終域側の位相の定め方について述べます。これは後で述べる商集合の標準的な位相 $($ 応用上とても重要 $)$ を一般的な形で述べているものになります。

命題2.7.1

(終域側の誘導位相)

位相空間 $(X, O_{X})$ と写像 $f : X \to Y$ が与えれらているとする。 $Y$ の部分集合族 $O_{f}$ を $O_{f} := {V \subset Y ∣ f^{- 1} (V) \in O_{X}}$ により定めるとき、これは $Y$ の開集合系である。この $O_{f}$ を写像 $f$ が $($ 終域側に $)$ 誘導する位相という。

証明

(1) $f^{- 1} (\emptyset) = \emptyset \in O_{X}$ , $f^{- 1} (Y) = X \in O_{X}$ より $\emptyset, Y \in O_{f}$ です。部分集合 $V \subset O_{f}$ に対して $⋃_{V \in V} V \in O_{f}$ であることは、各 $V \in V$ に対して $f^{- 1} (V) \in O_{X}$ であることから $f^{- 1} (⋃_{V \in V} V) = ⋃_{V \in V} f^{- 1} (V) \in O_{X}$ となるのでよいです。有限部分集合 $V \subset O_{f}$ に対して $⋂_{V \in V} V \in O_{f}$ であることも同様に $f^{- 1} (⋂_{V \in V} V) = ⋂_{V \in V} f^{- 1} (V) \in O_{X}$ となることからよいです。

例2.7.2

位相空間 $X, Y$ について、直積空間からの射影 ${pr}_{1} : X \times Y \to X$ が終域側に定める誘導位相はもとの $X$ の位相に一致します。

まず、終域側の誘導位相がどのような位相なのかについて。

命題2.7.3

(終域側の誘導位相の強さ)

$(X, O_{X})$ を位相空間、 $f : X \to Y$ を写像とする。 $Y$ に $f$ が誘導する位相 $O_{f}$ を与えるとき、 $f$ は連続である。また、写像 $f : X \to Y$ が連続となるような任意の $Y$ の位相 $O$ について $O \leq O_{f}$ が成立する。 $($ つまり、終域側の誘導位相は写像を連続とする最強の位相である。 $)$

証明

$O_{f}$ の定義から任意の $V \in O_{f}$ に対して $f^{- 1} (V) \in O_{X}$ なので $f$ は連続です。また、 $f$ が連続となるような $Y$ の位相 $O$ について、その各元 $V \in O$ は $f^{- 1} (V) \in O_{X}$ をみたすので $V \in O_{f}$ であり、 $O \leq O_{f}$ が従います。

次の意味での普遍性を持ちます。

命題2.7.4

(終域側の誘導位相の普遍性)

$X$ を位相空間、 $f : X \to Y$ を全射応用上は全射の場合が重要なので課しています。全射を課さなくとも、このあと出てくる写像 $h$ の一意性を外せばそのまま成立します。とし、 $Y$ には $f$ による誘導位相を与えるとする。連続写像 $g : X \to Z$ が任意の $x, x^{'} \in X$ に対して $f (x) = f (x^{'}) \Rightarrow g (x) = g (x^{'})$ を満たすならば連続写像 $h : Y \to Z$ であって $g = h \circ f$ を満たすものが一意に存在する。

証明

$f$ の全射性から集合間の写像として $g = h \circ f$ を満たすものが一意に存在します。その $h$ の連続性を示せばよいです。 $Z$ の任意の開集合 $W$ に対し、 $g$ の連続性から $g^{- 1} (W) = f^{- 1} (h^{- 1} (W))$ は $X$ の開集合です。よって、誘導位相の定義より $h^{- 1} (W)$ は $Y$ の開集合であり、 $h$ は連続です。

逆に、連続な全射が普遍性を持てば終域側には誘導位相が入っています。

命題2.7.5

(終域側の誘導位相の普遍性による特徴付け)

$X, Y$ を位相空間、 $f : X \to Y$ を連続全射とする。 $f$ が次の条件を満たすとき、 $Y$ の位相は $f$ による誘導位相に一致する。

• 連続写像

g : X \to Z

が任意の

x, x^{'} \in X

に対して

f (x) = f (x^{'}) \Rightarrow g (x) = g (x^{'})

を満たすならば連続写像

h : Y \to Z

であって

g = h \circ f

を満たすものが一意ここの一意性は

f

の全射性から従うので明示的に書く必要はないですが、分かりやすさのために書いています。証明中でも使いません。に存在する。

証明

部分集合 $V \subset Y$ に対して $f^{- 1} (V)$ が $X$ の開集合であるとして $V$ が $Y$ の開集合であることを示せばよいです。集合 $Z := {0, 1}$ に開集合系 ${\emptyset, {1}, {0, 1}}$ を与えて位相空間とし、写像 $g : X \to Z$ を $g (x) := {\begin{cases} 1 & (x \in f^{- 1} (V)) \\ 0 & (x \notin f^{- 1} (V)) \end{cases}$ により定めます。 $g^{- 1} (1) = f^{- 1} (V)$ が開集合であることから $g$ は連続です。いま、 $f (x) = f (x^{'})$ を満たす任意の $x, x^{'}$ に対して $x, x^{'} \in f^{- 1} (V)$ または $x, x^{'} \in f^{- 1} (V^{c}) = f^{- 1} (V)^{c}$ であることから任意の $x, x^{'} \in X$ に対して $f (x) = f (x^{'}) \Rightarrow g (x) = g (x^{'})$ を満たし、条件より $g = h \circ f$ を満たす連続写像 $h : Y \to Z$ が存在します。 $f$ の全射性から $V = f (f^{- 1} (V)) = f (g^{- 1} (1)) = f (f^{- 1} (h^{- 1} (1))) = h^{- 1} (1)$ であり、 $V$ は $Y$ の開集合です。

以上のことを単純な形でまとめると次の通りです。

系2.7.6

$X, Y$ を位相空間、 $f : X \to Y$ を連続全射とする。次は同値である。

(1)

Y

は

f

による誘導位相を持つ。

(2)

g = h \circ f

を満たす任意の写像

g : X \to Z

と

h : Y \to Z

に対し、

g

が連続であることと

h

が連続であることとは同値である。

始域側の誘導位相

応用上はそんなに現れることはないですが、終域側の誘導位相と双対的な概念として始域側の誘導位相についても紹介します。

命題2.7.7

(始域側の誘導位相)

位相空間 $(X, O_{X})$ と写像 $f : Y \to X$ が与えれられているとする。 $Y$ の部分集合族 $O_{f}$ を $O_{f} := {f^{- 1} (U) ∣ U \in O_{X}}$ により定めるとき、これは $Y$ の開集合系である。この $O_{f}$ を写像 $f$ が $($ 始域側に $)$ 誘導する位相という。

証明

$f^{- 1} (\emptyset) = \emptyset$ , $f^{- 1} (X) = Y$ より $\emptyset, Y \in O_{f}$ です。部分集合 $V \subset O_{f}$ に対して $⋃_{V \in V} V \in O_{f}$ であることは、各 $V \in V$ に対して $V = f^{- 1} (U_{V})$ となる $U_{V} \in O_{X}$ を固定することで $⋃_{V \in V} V = ⋃_{V \in V} f^{- 1} (U_{V}) = f^{- 1} (⋃_{V \in V} U_{V})$ となるのでよいです。有限部分集合 $V \subset O_{f}$ に対して $⋂_{V \in V} V \in O_{f}$ であることも同様に $⋂_{V \in V} V = f^{- 1} (⋂_{V \in V} U_{V})$ となることからよいです。

補足2.7.8

位相空間 $X$ とその部分集合 $A \subset X$ について、包含写像 $i : A \to X$ が始域側に誘導する位相は相対位相に一致します。一般に、単射 $f : Y \to X$ に対して始域側に誘導位相が入っていることと埋め込みであることとは同値です。いずれも定義から容易に分かります。

始域側の誘導位相についても終域側の誘導位相で示したようなことが成立します。まずは誘導位相の強さについて。

命題2.7.9

(始域側の誘導位相の強さ)

$(X, O_{X})$ を位相空間、 $f : Y \to X$ を写像とする。 $Y$ に $f$ が誘導する位相 $O_{f}$ を与えるとき、 $f$ は連続である。また、写像 $f : Y \to X$ が連続となるような任意の $Y$ の位相 $O$ について $O_{f} \leq O$ が成立する。 $($ つまり、始域側の誘導位相は写像を連続とする最弱の位相である。 $)$

証明

$O_{f}$ の定義から任意の $V \in O_{f}$ に対して $f^{- 1} (V) \in O_{X}$ なので $f$ は連続です。また、 $f$ が連続となるような任意の $Y$ の位相 $O$ について $O_{f} \leq O$ であることは定義から明らかです。

次の意味での普遍性を持ちます。

命題2.7.10

(始域側の誘導位相の普遍性)

$X$ を位相空間、 $f : Y \to X$ を単射とし、 $Y$ には $f$ による誘導位相を与えるとする。連続写像 $g : Z \to X$ が $Img g \subset Img f$ を満たすならば連続写像 $h : Z \to Y$ であって $g = f \circ h$ を満たすものが一意に存在する。

証明

$f$ の単射性から集合間の写像として $g = f \circ h$ を満たすものが一意に存在します。その $h$ の連続性を示せばよいです。 $Y$ の開集合 $V$ に対し、誘導位相の定義から $X$ の開集合 $U$ であって $V = f^{- 1} (U)$ を満たすものが取れるので、 $h^{- 1} (V) = h^{- 1} (f^{- 1} (U)) = g^{- 1} (U)$ より $h^{- 1} (V)$ は $Z$ の開集合です。よって、 $h$ は連続です。

逆に、連続な単射が普遍性を持てば始域側には誘導位相が入っています。

命題2.7.11

(始域側の誘導位相の普遍性による特徴付け)

$X, Y$ を位相空間、 $f : Y \to X$ を連続単射とする。 $f$ が次の条件を満たすとき、 $Y$ の位相は $f$ による誘導位相に一致する。

• 連続写像

g : Z \to X

が

Img g \subset Img f

を満たすならば連続写像

h : Z \to Y

であって

g = f \circ h

を満たすものが一意に存在する。

証明

$Z := Img f \subset X$ として包含写像 $g : Img f \to X$ を考えます。仮定より誘導写像 $h : Img f \to Y$ は連続であり、また、これが制限 $f : Y \to Img f$ の逆写像であることも容易に分かり、同相 $Y ≅ Img f$ を得ます。これは $Y$ に誘導位相が入っていることを意味します。

以上のことを単純な形でまとめると次の通りです。

系2.7.12

$X, Y$ を位相空間、 $f : Y \to X$ を連続単射とする。次は同値である。

(1)

Y

は

f

による誘導位相を持つ。

(2)

g = f \circ h

を満たす任意の写像

g : Z \to X

と

h : Z \to Y

に対し、

g

が連続であることと

h

が連続であることとは同値である。

2.7.2 商空間と商写像

商空間と商写像

誘導位相としては終域側に誘導されるものを考えるケースが多いのですが、その中でも特に多いのが位相空間 $X$ 上に与えられた同値関係 $\sim$ による商集合 $X / \sim$ に対して商写像に関する誘導位相を与えるケースです。この状況においては商集合に定まる誘導位相のことを商位相ともいい、商集合の方は商空間、等化空間などと呼ばれます。

終域側の誘導位相と全く同じことですが、その定義と普遍性を述べ直しておきます。

定義2.7.13

(商位相・商空間)

$(X, O)$ を位相空間、 $\sim$ を $X$ 上の同値関係とし、 $p : X \to X / \sim$ を商写像とする。このとき、商集合 $X / \sim$ の部分集合族 $O^{'} = {U \subset X / \sim ∣ p^{- 1} (U) \in O}$ は位相であり、これを商位相という。商集合をこの位相により位相空間と考えたものを商空間や等化空間と呼ぶ。

命題2.7.14

(商空間の普遍性)

$X$ を位相空間、 $\sim$ を $X$ 上の同値関係とし、それらによる商空間 $X / \sim$ を考える。また、商写像を $p$ とおく。連続写像 $g : X \to Z$ が任意の $x, x^{'} \in X$ に対して $x \sim x^{'} \Rightarrow g (x) = g (x^{'})$ を満たすならば連続写像 $h : X / \sim \to Z$ であって $g = h \circ p$ を満たすものが一意に存在する $h$ は具体的には $[x] \mapsto g (x)$ でした。。

よって、一般に $g = h \circ p$ を満たす任意の写像 $g : X \to Z$ と $h : X / \sim \to Z$ に対して $g$ が連続であることと $h$ が連続であることとは同値である。

また、商空間をこの普遍性により特徴付けることも可能です。というのは、位相空間 $Y$ と連続全射 $q : X \to Y$ の対 $(Y, q)$ であって次の条件を満たすものが与えられたとき、同相写像 $φ : Y \to X / \sim$ であって $p = φ \circ q$ を満たすものが標準的に定まり、それによる同一視が可能です。特に、 $Y$ は $q$ による誘導位相を持ちます。

(i) 連続写像

g : X \to Z

が任意の

x, x^{'} \in X

に対して

x \sim x^{'} \Rightarrow g (x) = g (x^{'})

を満たすならば連続写像

h : Y \to Z

であって

g = h \circ q

を満たすものが一意に存在する。

(ii) 任意の

x, x^{'} \in X

に対して

x \sim x^{'} \Rightarrow q (x) = q (x^{'})

が成立する。

実際、商写像 $p : X \to X / \sim$ は当然常に $x \sim x^{'} \Rightarrow p (x) = p (x^{'})$ を満たすので連続写像 $φ : Y \to X / \sim$ であって $p = φ \circ q$ を満たすものを一意に誘導し、また、 $q : X \to Y$ についても常に $x \sim x^{'} \Rightarrow q (x) = q (x^{'})$ であるという条件から連続写像 $ψ : X / \sim \to Y$ であって $q = ψ \circ p$ を満たすものを一意に誘導し、 $ψ \circ φ \circ q = q$ , $φ \circ ψ \circ p = p$ であることと条件中の写像 $h$ の一意性から $ψ \circ φ$ , $φ \circ ψ$ はともに恒等写像となるので $φ$ は同相写像です。

補足2.7.15

(商写像)

連続全射 $f : X \to Y$ であって $Y$ に $f$ による誘導位相が入っているものについて、 $Y$ を $X$ 上の $x \sim x^{'} :\Leftrightarrow f (x) = f (x^{'})$ により定義される同値関係 $\sim$ による商空間と思うことができるので、その意味でこのような連続写像 $f$ も商写像と呼びます。

商写像であるための十分条件

商空間に関する例を挙げる前に、連続な全射が商写像になるための十分条件をいくつか紹介しておきます。連続性まで分かっていれば、終域側の部分集合であって逆像が開集合になるようなものが開集合になることを確かめればよいことに注意します。

命題2.7.16

商写像 $f : X \to Y$ と連続写像 $g : X \to Z$ , $h : Y \to Z$ が与えられ、 $g = h \circ f$ が満たされているとする。次は同値である。

(1)

g

は商写像である。

(2)

h

は商写像である。

特に、商写像どうしの合成は商写像である。

証明

$g$ の全射性と $h$ の全射性が同値であることは明らかです。

(1) ⇒ (2) $W \subset Z$ に対して $h^{- 1} (W)$ が $X$ の開集合であるとします。 $f$ が連続であることから $f^{- 1} (h^{- 1} (W)) = g^{- 1} (W)$ は $X$ の開集合であり、 $g$ が商写像であることから $W$ は $Z$ の開集合です。

(2) ⇒ (1) $W \subset Z$ に対して $g^{- 1} (W)$ が $Y$ の開集合であるとします。 $g^{- 1} (W) = f^{- 1} (h^{- 1} (W))$ と $f$ が商写像であることから $h^{- 1} (W)$ は $Y$ の開集合であり、 $h$ が商写像であることから $W$ は $Z$ の開集合です。

補足2.7.17

(a) 連続写像

i : X \to Y

j : Y \to Z

に対し、

j \circ i

が埋め込みならば

i

は埋め込みです

j \circ i

が埋め込みのとき、制限

i : X \to i (X)

の逆写像が制限

j : i (X) \to (j \circ i) (X)

と同相

j \circ i : X \to (j \circ i) (X)

の逆写像の合成により得られるので

i : X \to Y

は埋め込みです。。

(b) 連続写像

p : X \to Y

q : Y \to Z

に対し、

q \circ p

が商写像ならば

q

は商写像です命題2.7.16の証明において、

g = h \circ f

が商写像であることから

h

が商写像であることを導くために

f

が商写像であることを使用していませんでした。。

命題2.7.18

$f : X \to Y$ を連続全射とする。 $f$ が開写像、もしくは閉写像ならば商写像である。

証明

$f$ が開写像であったとします。 $Y$ の部分集合 $V$ に対して $f^{- 1} (V)$ が $X$ の開集合ならば $V = f (f^{- 1} (V))$ も開集合なので $f$ は商写像です。 $f$ が閉写像の場合も同様です。

命題2.7.19

$f : X \to Y$ を商写像とする。 $B$ を $Y$ の部分空間とし、 $A := f^{- 1} (B)$ とする。次の場合、制限 $f |_{A} : A \to B$ は商写像である。

(1)

B

は開集合。

(2)

f

は開写像。

(3)

B

は閉集合。

(4)

f

は閉写像。

証明

(1) $B$ の部分集合 $V$ に対して $f |_{A}^{- 1} (V)$ が $A$ の開集合であったとします。 $A$ が $X$ の開集合なので $f^{- 1} (V)$ も $X$ の開集合であり、 $f$ が商写像であることから $V$ は $Y$ 、従って $B$ の開集合です。

(2) $B$ の部分集合 $V$ に対して $f |_{A}^{- 1} (V)$ が $A$ の開集合であったとします。 $X$ の開集合 $U$ であって $f^{- 1} (V) = U \cap A$ を満たすものを取ります。 $f$ が開写像なので $f (U)$ は $Y$ の開集合です。 $V = f (U) \cap B$ より $V$ は $B$ の開集合です。

(3) (4) 上の証明の開を閉で置き換えればよいです。

補足2.7.20

一般には商写像の制限がまた商写像であるとは限りません。 $X := (R \times {0}) ⊔ ((0, + \infty) \times {1})$ とします。ただし、 $(0, + \infty) \times {1}$ には密着位相を与えます。明らかな射影 $p : X \to R$ を考え、終域側に商位相を与えた空間を $Y$ とします。 $Y$ の開集合は通常の $R$ における開集合であって $(0, + \infty)$ と交わらないもの、もしくは $(0, + \infty)$ を含むものになります。 $B := (- \infty, 0] \cup {1}$ , $A := p^{- 1} (B) = ((- \infty, 0] \times {0}) ⊔ ({1} \times {0, 1})$ について写像 $p |_{A} : A \to B$ は商写像ではありません。 $(- \infty, 0]$ は $B$ の開集合ではないですが、 $p^{- 1} ((- \infty, 0]) = (- \infty, 0] \times {0}$ は $A$ の開集合です。

連続全射が $($ 連続な $)$ 切断を持てば商写像になります。

命題2.7.21

$f : X \to Y$ を連続全射とする。切断 $s : Y \to X$ が存在するとき、 $f$ は商写像である。

証明

$Y$ に部分位相を考えたものをそのまま $Y$ 、 $f$ に関する商位相を考えたものを $Y^{'}$ とし、商写像は $p : X \to Y^{'}$ と書くことにします。商空間の普遍性から連続写像 $g : Y^{'} \to Y$ が誘導され、また、切断 $s : Y \to X$ と商写像 $p : X \to Y^{'}$ との合成により連続写像 $h = p \circ s : Y \to Y^{'}$ が得られます。 $g, h$ が互いに $($ 集合間の写像として $)$ 逆写像であることを示せばよいですが、これは、集合間の写像としては $p = f$ であることに注意して、誘導写像として $g = {Id}_{Y = Y^{'}}$ であること、また、 $h = p \circ s = f \circ s = {Id}_{Y = Y^{'}}$ であることからよいです。

より一般に、終域の各点近傍での局所的な切断を持てば商写像ということも分かります。

補題2.7.22

$f : X \to Y$ を連続全射とする。次が成立する。

(1)

Y

の開被覆

{V_{λ}}_{λ \in Λ}

であって各制限

f_{λ} : f^{- 1} (V_{λ}) \to V_{λ}

が商写像になるものが存在するとき、

f

は商写像である。

(2)

Y

の局所有限な閉被覆

{F_{λ}}_{λ \in Λ}

であって各制限

f_{λ} : f^{- 1} (F_{λ}) \to F_{λ}

が商写像になるものが存在するとき、

f

は商写像である。

証明

(1) 次の可換図式を考えます。 $p, q$ はそれぞれ包含写像たちの直和であり、 $r$ は制限 $f_{λ}$ たちの直和です。( $p, q$ と $r$ で直和の意味が違うけど気にしない。)

$p, q$ は連続全射かつ開写像なので商写像、 $r$ も $f_{λ}$ が商写像であることと商写像の定義から商写像と分かります。命題2.7.16から合成 $q \circ r$ は商写像です。 $p, q \circ r$ が商写像であることと $q \circ r = f \circ p$ と再び命題2.7.16から $f$ は商写像です。

(2) (1)と同様の可換図式を考えるとき、 $p, q$ は連続全射かつ閉写像であることから商写像であり、あとは同様にして $f$ が商写像であることが分かります。

命題2.7.23

$f : X \to Y$ を連続全射とする。 $Y$ の各点の周りで局所的に切断が存在する、つまり、各 $y \in Y$ に対してその開近傍 $V$ を制限 $f |_{f^{- 1} (V)} : f^{- 1} (V) \to V$ が切断を持つように取れるとき、 $f$ は商写像である。

証明

命題2.7.21と補題2.7.22より明らかです。

次も基本的です。

命題2.7.24

コンパクト空間 $X$ からHausdorff空間 $Y$ への連続全射 $f : X \to Y$ は商写像である。

証明

$Y$ の部分集合 $F$ に対して $f^{- 1} (F)$ が $X$ の閉集合であったとき、 $F$ が $Y$ の閉集合であることを示せばよいです。 $f^{- 1} (F)$ が $X$ の閉集合のとき、これはコンパクト部分空間であるので、その像 $F$ もコンパクト、よって、 $Y$ のHausdorff性より閉です。 $($ 要するに、 $f$ が閉写像なので商写像ということ。 $)$

商写像 $f : X \to Y$ と位相空間 $Z$ の恒等写像との直積 $f \times {Id}_{Z} : X \times Z \to Y \times Z$ は適切な条件の下で商写像になります。(一般には反例あり。)

命題2.7.25

$f : X \to Y$ を商写像とし、 $Z$ を局所コンパクトHausdorff空間とする。写像 $g := f \times {Id}_{Z} : X \times Z \to Y \times Z$ は商写像である。

証明

部分集合 $V \subset Y \times Z$ に対して $(f \times {Id}_{Z})^{- 1} (V)$ が $X \times Z$ の開集合であったとします。各 $(y_{0}, z_{0}) \in V$ が内点であることを示します。 $x_{0} \in f^{- 1} (y_{0})$ を一つ固定します。 $Z$ の局所コンパクトHausdorff性から ${x_{0}} \times K \subset (f \times {Id}_{Z})^{- 1} (V)$ となる $z_{0} \in Z$ のコンパクト近傍 $K$ を取ります。 $X$ の部分集合 $U$ を $U := {x \in X ∣ {x} \times K \subset (f \times {Id}_{Z})^{- 1} (V)}$ により定め、以下のことを示します。

(i)

U

は

X

の開集合である。

(ii)

U = f^{- 1} (f (U))

である。

(i) 各 $x \in U$ が内点であることを示します。 $U$ の定め方より ${x} \times K \subset (f \times {Id}_{Z})^{- 1} (V)$ です。各 $z \in K$ に対して $(x, z)$ の $(f \times {Id}_{Z})^{- 1} (V)$ に含まれる開近傍を $X$ の開集合 $U_{z}$ と $Z$ の開集合 $W_{z}$ の直積 $U_{z} \times W_{z}$ の形であるように固定します。 ${W_{z}}_{z \in K}$ は $K$ の開被覆であり、 $K$ のコンパクト性から有限部分被覆 ${W_{z}}_{z \in K^{'}}$ を取ります。このとき、 $(⋂_{z \in K^{'}} U_{z}) \times K \subset ⋃_{z \in K^{'}} (U_{z} \times W_{z}) \subset (f \times {Id}_{Z})^{- 1} (V)$ であり、 $x$ の開近傍 $⋂_{z \in K^{'}} U_{z}$ が $U$ に含まれるので、 $x$ は $U$ の内点です。

(ii) $U \subset f^{- 1} (f (U))$ は明らかであり、この逆の包含関係を示せばよいです。まず、 $U \times K \subset (f \times {Id}_{Z})^{- 1} (V)$ からただちに $f (U) \times K \subset V$ です。従って、 $f^{- 1} (f (U)) \times K = (f \times {Id}_{Z})^{- 1} (f (U) \times K) \subset (f \times {Id}_{Z})^{- 1} (V)$ であり、 $f^{- 1} (f (U)) \subset U$ です。以上により $U = f^{- 1} (f (U))$ です。

いま、 $(y_{0}, z_{0}) \subset f (U) \times Int K \subset (f \times {Id}_{Z}) (U \times K) \subset V$ ですが、(i)と(ii)と $f$ が商写像であったことから $f (U)$ は開集合であり、 $(y_{0}, z_{0})$ は $V$ の内点です。以上により $V$ は開集合です。

2.7.3 位相空間の等化に関する例

具体的な位相空間に対して適当な同値関係を導入したときの商空間がどのようなものになるか、その基本的な例を紹介していきます。

周期的な同一視による等化

まずはある意味での「周期的な同一視」についてより正確には、よい性質を持つ群作用 $($ 3.2.1節 $)$ による商集合 $($ 軌道空間 $)$ を考えること。ただし、ここの「よい性質」というのはなにをもって「周期的」とするかによって変わる、正確ではない表現です。。

例2.7.26

(群作用による同一視)

(a) 実数体

R

を周期

1

で同一視した空間、つまり、

R

上の同値関係

\sim

として

x \sim y :\Leftrightarrow y - x \in Z

を考えたときの商空間は円周

S^{1}

に同相です。実際、

S^{1}

を平面

R^{2}

における単位円周と考えたときの連続写像

f : R \to S^{1} : x \mapsto (\cos 2 π x, \sin 2 π x)

がこの同値関係に関する商写像になっています。実際、集合レベルでの商写像になっていることは

f (x) = f (y) \Leftrightarrow y - x \in Z

であることからよく、位相的にも商写像になっていることも

f

が開写像であることから確かめられます。

(b)

n

を正整数とします。平面

R^{2} = C

において原点中心の

\frac{2 π k}{n}

回転で重なる点どうしを同一視して得られる空間、つまり、

C

上の同値関係

\sim

として

z \sim w :\Leftrightarrow^{\exists} k \in Z s.t. w = e^{2 π i k / n} z

を考えたときの商空間は

C

自身に同相です。多項式関数

f : C \to C : z \mapsto z^{n}

がこの同値関係に関する商写像になっていることを示します。まず、集合レベルでの商写像になっていることは

w^{n} - z^{n} = \prod_{k = 0}^{n - 1} (w - e^{2 π i k / n} z)

であることから

f (z) = f (w) \Leftrightarrow^{\exists} k \in Z s.t. w = e^{2 π i k / n} z

なのでよいです。そして、

f

が閉写像であること閉集合

F \subset C

に対して

f (F) = ⋃_{k = 1}^{\infty} f (F \cap (D_{k + 1} ∖ Int D_{k}))

であること、右辺が局所有限な閉集合族の和であることから

f (F)

は閉集合です。よって、

f

は閉写像です。から位相的にも商写像であることも確かめられます。

連続写像を介した等化

続いて、幾何学的な意味合いとして「境界どうしの貼り合わせ」とも呼べる例を挙げます。

例2.7.27

(境界における貼り合わせ)

(a) 単位区間

I := [0, 1]

に対してその端点

0

と

1

を同一視して得られる空間、つまり、(かなりラフな言い方だけど)

0 \sim 1

となる同値関係による商空間は円周

S^{1}

に同相です。

I

から

S^{1} \subset R^{2}

への連続写像

f : I \to S^{1} : t \mapsto (\cos 2 π t, \sin 2 π t)

を考えれば、これが命題2.7.24より商写像であることと

f (0) = f (1)

であることに注意して

I / \sim ≅ S^{1}

が得られます。

(b) 区間の積

I \times I

を正方形と思って対辺どうしを向きをそのまま同一視して得られる空間、つまり、各

t \in I

について

(t, 0) \sim (t, 1)

および

(0, t) \sim (1, t)

となる同値関係による商空間はトーラス

T^{2}

に同相です。例えば

S^{1} \times S^{1} \subset R^{2} \times R^{2}

とみなすことにして、連続写像

f : I \times I \to S^{1} \times S^{1} : (s, t) \mapsto (\cos 2 π s, \sin 2 π s, \cos 2 π t, \sin 2 π t)

を考えれば、これが命題2.7.24より商写像であることと常に

f (t, 0) = f (t, 1)

f (0, t) = f (1, t)

であることに注意して

(I \times I) / \sim ≅ S^{1} \times S^{1}

が従います。

(c)

2

つの閉球体

D^{n}

をその境界の間の恒等写像によって貼り合わせた空間は球面

S^{n}

に同相です。より具体的には

D^{n} \times {- 1, + 1}

から各

x \in S^{n - 1}

について

(x, - 1) \sim (x, + 1)

となる同値関係による商を取ったものですが、これが

S^{n}

に同相であることは連続写像

f : D^{n} \times {- 1, + 1} \to S^{n} : (x, s) \mapsto (x, s \sqrt{1 - ‖ x ‖^{2}})

を考えることで分かりますちなみに、球面

S^{n - 1}

の自己同相写像

φ : S^{n - 1} \to S^{n - 1}

が球体

D^{n}

の自己同相写像

\tilde{φ} : D^{n} \to D^{n}

に拡張するという事実を用いると、

2

つの閉球体

D^{n}

の境界をどのような同相写像によって等化しても球面

S^{n}

に同相となることが分かります。。また、この等化空間は

D^{n} \cup_{{Id}_{S^{n - 1}}} D^{n}

のように表します。

(d)

2

つの

S^{1} \times D^{2}

をその境界

S^{1} \times S^{1}

の自己同相写像

φ

により貼り合わせて得られる空間はその自己同相写像の取り方に依存します。

φ

として恒等写像を取ると

S^{1} \times (D^{2} \cup_{{Id}_{S^{1}}} D^{2}) = S^{1} \times S^{2}

が得られ、

φ

として成分の順序を入れ換えるもの

φ (x, y) := (y, x)

を取ると球面

S^{3}

が得られるここでは厳密な説明は避けますが、同相

D^{4} ≅ D^{2} \times D^{2}

に注意して両方の境界を取ると

S^{3} ≅ (S^{1} \times D^{2}) \cup (D^{2} \times S^{1})

が得られ、その貼り合わせ方

φ

は成分の入れ換えによるものと考えることができるためです。ことが知られています。このほかにも貼り合わせ方によって様々な空間が構成され、それらを総称してレンズ空間と呼びます。

例2.7.28

(写像トーラス)

位相空間 $X$ とその自己同相写像 $f : X \to X$ に対し、 $X \times I$ における $X \times {1}$ と $X \times {0}$ を各 $x \in X$ に対する $(x, 1) \sim (f (x), 0)$ という関係により同一視した空間 $T_{f}$ を写像トーラスといいます。

(a)

f

が恒等写像なら

T_{f} = X \times S^{1}

です。例えば、

X = I

なら

T_{f}

はアニュラスであり、

X = S^{1}

なら

T_{f}

はトーラスです。

(b)

X = I

f : t \mapsto 1 - t

としたとき、

T_{f}

はMöbiusの帯と呼ばれる空間になります。

(c)

X = S^{1}

f : (x, y) \mapsto (x, - y)

としたとき、

T_{f}

はKleinの壺と呼ばれる空間になります。

補足2.7.29

一般に位相空間 $A, X_{1}, X_{2}$ と連続写像 $i_{1} : A \to X_{1}$ , $i_{2} : A \to X_{2}$ が与えられたとき、直和空間 $X_{1} ⊔ X_{2}$ 上の同値関係 $\sim$ を各 $a \in A$ に対して $i_{1} (a) \sim i_{2} (a)$ であるように与えて商を取った空間を $(X_{1} ⊔ X_{2}) / (i_{1} (a) \sim i_{2} (a) : a \in A)$ や $X_{1} \cup_{(i_{1}, i_{2})} X_{2}$ などで表します。 $Y := X_{1} \cup_{(i_{1}, i_{2})} X_{2}$ とおくとして、明らかな写像 $f_{1} : X_{1} \to Y$ , $f_{2} : X_{2} \to Y$ との組 $(Y, f_{1}, f_{2})$ のことを連続写像の対 $(i_{1}, i_{2})$ の押し出しと呼びます。単に商空間 $Y$ のことを連続写像 $i_{1}, i_{2}$ の押し出しと呼ぶこともあります。

押し出し $(Y, f_{1}, f_{2})$ は $f_{1} \circ i_{1} = f_{2} \circ i_{2}$ を満たし、さらに次の普遍性を持ちます。

• 任意の位相空間

Z

と連続写像

g_{1} : X_{1} \to Z

g_{2} : X_{2} \to Z

の組

(Z, g_{1}, g_{2})

であって

g_{1} \circ i_{1} = g_{2} \circ i_{2}

を満たすものに対し、次の図式を可換にする連続写像

h : Y \to Z

が一意に存在する。

$i_{1}$ が埋め込みの場合は $A$ を $X_{1}$ の部分空間と考え、 $X_{1}$ と $X_{2}$ を写像 $i_{2} : A \to X_{2}$ により等化した $($ もしくは貼り合わせた $)$ 空間といいます。記号も単に $X_{1} \cup_{i_{2}} X_{2}$ で表します。

一点につぶす等化

次に、「部分空間を一点につぶす」操作について考えます。 $X$ を位相空間、 $A$ をその部分空間とするとき、任意の $a, a^{'} \in A$ に対して $a \sim a^{'}$ であるような $X$ 上の同値関係による商空間を部分空間 $A$ を等化した $($ もしくは一点につぶした $)$ 空間といい $X / A$ と書きます。 $A$ が空集合の場合の $X / A$ は便宜的に一点空間 ${*}$ ここの $*$ という記号はワイルドカードとして使っています。つまり、具体的にどれとは固定はしないが何かしらの点を表す「都合のいい」記号として使っています。同じ文脈中に $*$ が複数現れる場合においても、それらが同一の点を表すとは限りません。との直和 $X_{+} := X ⊔ {*}$ と考えますちなみに、そもそもの $X$ の部分空間 $A$ を等化した空間 $X / A$ を $X$ と ${*}$ を写像 $f : A \to {*}$ により等化して得られる空間と考えれば $A = \emptyset$ の場合も統一的に扱えます。。一つ補題を挙げます。

命題2.7.30

$X$ をHausdorff空間、 $U \subset X$ を相対コンパクト開集合とする。 $U$ の補空間を等化した等化空間 $X / U^{c}$ は $U$ の一点拡大 $\hat{U} = U ⊔ {\infty}$ に同相である。

証明

写像 $g : X \to \hat{U}$ を $g (x) := {\begin{cases} x & (x \in U) \\ \infty & (x \in U^{c}) \end{cases}$ により定めます。 $\infty \in \hat{U}$ の任意の開近傍 $V$ に対して $V^{c}$ は $U$ のコンパクト閉集合であり、よって、 $g^{- 1} (V) = X ∖ V^{c}$ は開集合になるので $g$ は $U^{c}$ の各点で連続です。また、 $g$ が $U$ の各点で連続であることも明らか一点拡大における包含写像 $U \to \hat{U}$ が埋め込みであったことに注意すると制限 $g |_{U} : U \to U$ は互いの開集合間の同相写像です。であり、 $g$ は連続です。従って、商空間の普遍性より連続全単射 $h : X / U^{c} \to \hat{U}$ が誘導されます。後は以下のことを示せばコンパクト空間からHausdorff空間への連続全単射が同相写像であったこと $($ 定理2.6.13 $)$ から同相 $X / U^{c} ≅ \hat{U}$ を得られます。

(i)

X / U^{c}

はコンパクト空間である。

(ii)

\hat{U}

はHausdorff空間である。

(i) $X / U^{c}$ の開被覆 ${U_{λ}}_{λ \in Λ}$ を取ります。商写像 $f : X \to X / U^{c}$ による逆像により $X$ におけるコンパクト部分空間 $\overset{―}{U}$ の開被覆 ${f^{- 1} (U_{λ})}_{λ \in Λ}$ が得られ、その有限部分被覆 ${f^{- 1} (U_{λ})}_{λ \in Λ^{'}}$ を取ることができます。 ${U_{λ}}_{λ \in Λ^{'}}$ が $X / U^{c}$ の有限部分被覆を与えています。よって、 $X / U^{c}$ はコンパクト空間です。

(ii) $\overset{―}{U}$ がコンパクトHausdorff空間なので、その開集合である $U$ は局所コンパクトHausdorff空間、従って、その一点コンパクト化 $\hat{U}$ はHausdorff空間です。

例2.7.31

(球体の境界の等化)

$D^{n} / S^{n - 1} ≅ S^{n}$ です。まず、 $Int D^{n}$ が $D^{n}$ における相対コンパクト開集合であることと同相 $Int D^{n} ≅ R^{n}$ により $D^{n} / S^{n - 1}$ は $R^{n}$ の一点コンパクト化 $\hat{R^{n}}$ に同相です。そして、 $\hat{R^{n}}$ が $S^{n}$ に同相であったこと $($ 例2.6.32 $)$ から目的の同相が従います。

開集合どうしの貼り合わせ

最後に、ファイバー束やベクトル束を変換関数の族から構成する際などに現れる、位相空間たちを互いの開集合間の同相写像によって貼り合わせる際に基本的な補題を用意しておきます。

補題2.7.32

${U_{λ}}_{λ \in Λ}$ を位相空間の族、 $Y$ を集合、 ${p_{λ} : U_{λ} \to Y}_{λ \in Λ}$ を単射の族とし、以下の条件が満たされているとする。

(i)

Y = ⋃_{λ \in Λ} Img p_{λ}

(ii) 各

λ, μ \in Λ

に対して

V_{λ}^{μ} := p_{λ}^{- 1} (Img p_{λ} \cap Img p_{μ})

は

U_{λ}

の開集合である。

(iii) 各

λ, μ \in Λ

に対して

p_{λ}

の制限

q_{λ}^{μ} : V_{λ}^{μ} \to p_{λ} (V_{λ}^{μ})

を取る。各

λ, μ \in Λ

に対して写像

ψ_{μ λ} := (q_{μ}^{λ})^{- 1} \circ q_{λ}^{μ} : V_{λ}^{μ} \to V_{μ}^{λ}

は同相写像である。

$Y$ に直和 $p := ⨆_{λ \in Λ} p_{λ} : ⨆_{λ} U_{λ} \to Y$ に関する誘導位相を与えるとき、各 $p_{λ}$ は開埋め込みになる。

証明

$Y$ に誘導位相を入れたときに各 $p_{λ}$ が開写像であることを示せばよいです。 $U_{λ}$ の開集合 $W_{λ}$ を取ります。各 $μ$ に対して $\begin{array}{rcl} p_{μ}^{- 1} (p_{λ} (W_{λ})) & = & p_{μ}^{- 1} (p_{λ} (W_{λ}) \cap Img p_{μ}) \\ = & (q_{μ}^{λ})^{- 1} (p_{λ} (W_{λ}) \cap Img p_{μ}) = (q_{μ}^{λ})^{- 1} (q_{λ}^{μ} (W_{λ} \cap V_{λ}^{μ})) = ψ_{μ λ} (W_{λ} \cap V_{λ}^{μ}) \end{array}$ であり、これは $U_{μ}$ の開集合です。よって、 $p_{λ} (W_{λ})$ は $Y$ の開集合であり、 $p_{λ}$ は開写像です。

2.7.4 弱位相と帰納極限

弱位相

弱位相を導入します。

定義2.7.33

$X$ を位相空間、 ${A_{λ}}_{λ \in Λ}$ をその被覆とする。任意の $X$ の部分集合 $U$ に対して次の $2$ つの条件が同値であるとする。

(i)

U

は開集合。

(ii) 任意の

λ \in Λ

に対して

U \cap A_{λ}

は

A_{λ}

の開集合である。

そのとき、 $X$ は被覆 ${A_{λ}}_{λ \in Λ}$ に関する弱位相 $($ weak topology $)$ を持つという。

容易に確かめられるように、定義中の開を閉で置き換えたものと同値です。

次は弱位相が商位相の特別な場合に他ならないことを意味し、その特徴付けとして重要になります。

命題2.7.34

$X$ を位相空間、 ${A_{λ}}_{λ \in Λ}$ をその被覆とする。次は同値である。

(1)

X

は被覆

{A_{λ}}_{λ \in Λ}

に関する弱位相を持つ。

(2) 包含写像

i_{λ} : A_{λ} \to X

の直和

⨆_{λ \in Λ} i_{λ} : ⨆_{λ \in Λ} A_{λ} \to X

は商写像である。

証明

両者の定義を見比べれば明らかです。

系として、弱位相を持つ空間からの連続写像の特徴付けが得られます。

系2.7.35

$X$ を位相空間、 ${A_{λ}}_{λ \in Λ}$ をその被覆とする。次は同値である。

(1)

X

は被覆

{A_{λ}}_{λ \in Λ}

に関する弱位相を持つ。

(2) 任意の位相空間

Z

と写像

g : X \to Z

について次は同値である。

(i)

g : X \to Z

は連続。

(ii) 任意の

λ \in Λ

に対して制限

g |_{A_{λ}} : A_{λ} \to Z

は連続。

証明

(2)における(ii)は制限の直和 $⨆_{λ \in Λ} g_{λ} : ⨆_{λ \in Λ} A_{λ} \to Z$ の連続性に同値であり、よって、(i)と(ii)の同値性は連続写像 $⨆_{λ \in Λ} i_{λ} : ⨆_{λ \in Λ} A_{λ} \to X$ が商写像であることを意味します。

よって、位相空間が与えられた被覆に関する弱位相を持つための十分条件として次が得られます。

系2.7.36

$X$ を位相空間とする。次が成立する。

(1)

{A_{λ}}_{λ \in Λ}

を

X

の開被覆とするとき、

X

はこの被覆に関する弱位相を持つ。

(2)

{A_{λ}}_{λ \in Λ}

を

X

の局所有限な閉被覆とするとき、

X

はこの被覆に関する弱位相を持つ。

証明

(1) 連続写像 $⨆_{λ \in Λ} i_{λ} : ⨆_{λ \in Λ} A_{λ} \to X$ は開写像であることから商写像です。

(2) 連続写像 $⨆_{λ \in Λ} i_{λ} : ⨆_{λ \in Λ} A_{λ} \to X$ は閉写像であることから商写像です。

別証明

補題2.2.14が連続全射 $⨆_{λ \in Λ} i_{λ} : ⨆_{λ \in Λ} A_{λ} \to X$ が普遍性を持ち商写像であることを意味し、よって、 $X$ は被覆に関する弱位相を持ちます。

位相空間 $X$ とその被覆 ${A_{λ}}_{λ \in Λ}$ が与えられたとき、一般には弱位相を持つとは限りませんが、各 $A_{λ}$ に定まる相対位相を保ったまま被覆に関する弱位相を持つように $X$ の位相を取り換えることができます。この取り換えによる新たな位相を被覆 ${A_{λ}}_{λ \in Λ}$ に関する弱位相といい、取り換えのことを被覆 ${A_{λ}}_{λ \in Λ}$ に関する弱位相を入れるなどといいます。

命題2.7.37

$X$ を位相空間、 ${A_{λ}}_{λ \in Λ}$ をその被覆とする。 $X$ に包含写像 $i_{λ} : A_{λ} \to X$ の直和 $⨆_{λ \in Λ} i_{λ} : ⨆_{λ \in Λ} A_{λ} \to X$ による商位相を与えたものを $X^{'}$ とおき、 $X^{'}$ の部分空間としての $A_{λ}$ は $A_{λ}^{'}$ と書くとする。このとき、各 $λ \in Λ$ について $A_{λ}$ と $A_{λ}^{'}$ は同相である。

証明

商空間の普遍性から恒等写像 $j : X^{'} \to X$ は連続なので、その制限 $j_{λ} : A_{λ}^{'} \to A_{λ}$ は連続、つまり、 $A_{λ}$ の開集合は $A_{λ}^{'}$ の開集合です。あとは $A_{λ}^{'}$ の開集合が $A_{λ}$ の開集合であることを示せばよいです。 $U$ を $A_{λ}^{'}$ の開集合とします。 $X^{'}$ の開集合 $V$ であって $U = V \cap A_{λ}^{'}$ を満たすものを取るとき、 $X^{'}$ の位相の定め方から $U = V \cap A_{λ}$ は $A_{λ}$ における開集合です。

次は応用上重要例えば、位相空間の帰納極限 $($ この後導入します $)$ のhomotopy群などを計算する際に使用されます。な補題です。

命題2.7.38

$X$ を $T_{1}$ 空間、 ${A_{n}}_{n \in N}$ を $X$ の単調増加部分集合列であって被覆になるものとする。さらに、 $X$ は被覆 ${A_{n}}_{n \in N}$ に関する弱位相を持つとする。 $X$ の任意のコンパクト部分空間 $K$ に対し、ある $n \in N$ であって $K \subset A_{n}$ を満たすものが存在する。

証明

任意の $n \in N$ に対して $K ⊄ A_{n}$ として矛盾を導きます。常に $x_{n} \in K \cap A_{n}^{c}$ を満たす $X$ の点列 ${x_{n}}_{n \in N}$ を取ります。以下のことを示します。

(i) 任意の

n \in N

に対して

B_{n} := {x_{k} ∣ k \geq n}

はコンパクト閉集合である。

(ii)

⋂_{n \in N} B_{n} = \emptyset

である。

もしこれらが示されれば、空でないコンパクト閉集合の単調減少列の共通部分が空でないこと $($ 命題2.6.15 $)$ に矛盾します。

(i) 任意の $m \in N$ に対して $A_{m} \cap B_{n}$ は $x_{k} \in A_{m} \Rightarrow k < m$ であることより有限集合であり、さらに $T_{1}$ 性より閉集合になります。よって、 $B_{n}$ は閉集合です。コンパクト部分空間 $K$ の閉集合なのでコンパクトでもあります。

(ii) 常に $B_{n} \subset A_{n}^{c}$ なので $⋂_{n \in N} B_{n} \subset ⋂_{n \in N} A_{n}^{c} = {(⋃_{n \in N} A_{n})}^{c} = \emptyset$ であり、 $⋂_{n \in N} B_{n} = \emptyset$ です。

位相空間の帰納極限

位相空間に対して帰納系と帰納極限を導入します。集合の場合については1.3.4節で説明しています。

定義2.7.39

(位相空間の帰納系)

有向集合 $Λ$ を添字集合にもつ位相空間の族 ${X_{λ}}_{λ \in Λ}$ と連続写像の族 ${f_{λ μ} : X_{λ} \to X_{μ}}_{λ \leq μ \in Λ}$ であって次を満たすものが与えれられているとする。

(i) 任意の

λ \in Λ

に対して

f_{λ λ} = {Id}_{X_{λ}}

(ii) 任意の

λ \leq μ \leq ν \in Λ

に対して

f_{μ ν} \circ f_{λ μ} = f_{λ ν}

これらの対を単に $(X_{∙}, f_{∙ ∙})_{Λ}$ などと書き、位相空間の帰納系 $($ inductive system $)$ という。

帰納系が与えられたとき、その帰納極限として新たな位相空間が構成されます。 $($ 位相のことを別にすれば集合の場合と同じです。 $)$

定義2.7.40

(位相空間の帰納極限)

位相空間の帰納系 $(X_{∙}, f_{∙ ∙})_{Λ}$ が与えられているとする。直和空間 $⨆_{λ \in Λ} X_{λ}$ における同値関係 $\sim$ を各 $x_{λ} \in X_{λ}$ と $x_{λ} \in X_{μ}$ に対して $x_{λ} \sim x_{μ} :\Leftrightarrow^{\exists} ν \in Λ s.t. f_{λ ν} (x_{λ}) = f_{μ ν} (x_{μ})$ とすることで与える。それによる商空間 $\underset{λ}{\lim_{\to}} X_{λ} := (⨆_{λ \in Λ} X_{λ}) / \sim$ を位相空間の帰納系 $(X_{∙}, f_{∙ ∙})_{Λ}$ の帰納極限という。

商写像の $X_{λ}$ への制限により定まる連続写像を $f_{λ} : X_{λ} \to \underset{λ}{\lim_{\to}} X_{λ}$ と表すことにします。これは任意の $λ \leq μ \in Λ$ に対して $f_{μ} \circ f_{λ μ} = f_{λ}$ を満たしています。

この帰納極限 $\underset{λ}{\lim_{\to}} X_{λ}$ は次の意味で普遍性を持ちます。

命題2.7.41

(位相空間の帰納極限の普遍性)

$(X_{∙}, f_{∙ ∙})_{Λ}$ を位相空間の帰納系とする。位相空間 $Z$ と連続写像の族 ${g_{λ} : X_{λ} \to Z}_{λ \in Λ}$ が与えられ、任意の $λ \leq μ \in Λ$ に対して $g_{μ} \circ f_{λ μ} = g_{λ}$ を満たしているとする。このとき、連続写像 $h : \underset{λ}{\lim_{\to}} X_{λ} \to Z$ であって常に $g_{λ} = h \circ f_{λ}$ を満たすものが一意に存在する。

この写像 $h$ は $\underset{λ}{\lim_{\to}} g_{λ}$ で表すことにする。

証明

集合レベルでの $h$ の一意存在は命題1.3.32で示しています。あとは連続性ですが、これは写像 $⨆_{λ \in Λ} g_{λ} : ⨆_{λ \in Λ} X_{λ} \to Z$ の連続性と商空間の普遍性 $($ 命題2.7.14 $)$ より従います。

$2$ つの帰納系 $(X_{∙}, f_{∙ ∙})_{Λ}$ , $(Y_{∙}, g_{∙ ∙})_{Λ}$ が与えられているとします。連続写像の族 ${φ_{λ} : X_{λ} \to Y_{λ}}_{λ \in Λ}$ であって任意の $λ \leq μ \in Λ$ に対して $φ_{μ} \circ f_{λ μ} = g_{λ μ} \circ φ_{λ}$ を満たすものを帰納系の間の射と呼びます。これは帰納極限の間の連続写像を誘導します。

命題2.7.42

(位相空間の帰納極限の間の誘導写像)

$(X_{∙}, f_{∙ ∙})_{Λ}$ , $(Y_{∙}, g_{∙ ∙})_{Λ}$ を帰納系とし、その間の射 ${φ_{λ} : X_{λ} \to Y_{λ}}_{λ \in Λ}$ が与えられているとする。このとき、帰納極限の間の連続写像 $Φ : \underset{λ}{\lim_{\to}} X_{λ} \to \underset{λ}{\lim_{\to}} Y_{λ}$ であって任意の $λ \in Λ$ に対して $Φ \circ f_{λ} = g_{λ} \circ φ_{λ}$ を満たすものが一意に存在する。この写像 $Φ$ は $\underset{λ}{\lim_{\to}} φ_{λ}$ で表すことにする。

証明

集合レベルでの $Φ$ の一意存在は命題1.3.33で示しています。あとは連続性ですが、これは各 $g_{λ} \circ φ_{λ}$ の連続性と帰納極限の普遍性 $($ 命題2.7.41 $)$ より従います。

応用上よく現れるのは各 $f_{λ μ} : X_{λ} \to X_{μ}$ が埋め込みになっている場合です。そのとき重要なのは、商写像の制限 $f_{λ} : X_{λ} \to \underset{λ}{\lim_{\to}} X_{λ}$ が埋め込みになっていること、帰納極限 $\underset{λ}{\lim_{\to}} X_{λ}$ が各 $X_{λ}$ を部分空間とみなすことで得られる被覆 ${X_{λ}}_{λ \in Λ}$ に関する弱位相を持つことです。

命題2.7.43

$(X_{∙}, f_{∙ ∙})_{Λ}$ を帰納系とし、各 $f_{λ μ} : X_{λ} \to X_{μ}$ は埋め込みとする。次が成立する。

(1) 各

λ \in Λ

に対して

f_{λ} : X_{λ} \to \underset{λ}{\lim_{\to}} X_{λ}

は埋め込みである。

(2) 帰納極限

\underset{λ}{\lim_{\to}} X_{λ}

は被覆

{X_{λ}}_{λ \in Λ}

に関する弱位相を持つ。

証明

(1) $V$ を $Img f_{λ}$ の開集合とするとき $f_{λ}^{- 1} (V)$ が $X_{λ}$ の開集合であることは明らかです。 $Img f_{λ}$ の部分集合 $V$ に対して $f_{λ}^{- 1} (V)$ が $X_{λ}$ の開集合であったき、 $V$ が $Img f_{λ}$ の開集合であることを示します。各 $μ \geq λ$ に対して $f_{λ μ} : X_{λ} \to X_{μ}$ が埋め込みであることから $X_{μ}$ の開集合 $U_{μ}$ であって $f_{λ μ}^{- 1} (U_{μ}) = f_{λ}^{- 1} (V)$ を満たすものが存在しますが、そのうち包含関係に関して最大のものを $U_{μ}$ として固定します。 $W := ⋃_{μ \geq λ} f_{μ} (U_{μ})$ が $\underset{λ}{\lim_{\to}} X_{λ}$ の開集合でありかつ $V = W \cap Img f_{λ}$ を満たすことを以下の流れで示します。

(step 1) 任意の

(λ \leq) μ \leq ν

に対して

U_{μ} = f_{μ ν}^{- 1} (U_{ν})

である。

(step 2) 任意の

μ \geq λ

に対して

U_{μ} = f_{μ}^{- 1} (W)

である。

(step 3) 任意の

μ \in Λ

に対して

f_{μ}^{- 1} (W)

は

X_{μ}

の開集合である。よって、

W

は開集合である。

(step 4)

V = W \cap Img f_{λ}

である。

これらより直ちに $V$ が $Img f_{λ}$ の開集合であることが従います。

(step 1) $U_{ν}$ の取り方から $f_{λ}^{- 1} (V) = f_{λ ν}^{- 1} (U_{ν}) = f_{λ μ}^{- 1} (f_{μ ν}^{- 1} (U_{ν}))$ であり、 $U_{μ}$ の最大性より $f_{μ ν}^{- 1} (U_{ν}) \subset U_{μ}$ です。 $f_{μ ν}$ が埋め込みなので $X_{ν}$ の開集合 $U_{ν}^{'}$ であって $f_{μ ν}^{- 1} (U_{ν}^{'}) = U_{μ}$ を満たすものが取れますが、この $U_{ν}^{'}$ に対して $f_{λ ν}^{- 1} (U_{ν}^{'}) = f_{λ μ}^{- 1} (f_{μ ν}^{- 1} (U_{ν}^{'})) = f_{λ μ}^{- 1} (U_{μ}) = f_{λ}^{- 1} (V)$ が成立し、 $U_{ν}$ の最大性から $U_{ν}^{'} \subset U_{ν}$ となるため $U_{μ} = f_{μ ν}^{- 1} (U_{ν}^{'}) \subset f_{μ ν}^{- 1} (U_{ν})$ を得ます。よって、 $U_{μ} = f_{μ ν}^{- 1} (U_{ν})$ です。

(step 2) まず、明らかに $U_{μ} \subset f_{μ}^{- 1} (f_{μ} (U_{μ})) \subset f_{μ}^{- 1} (W)$ です。 $f_{μ}^{- 1} (W) = ⋃_{ν \geq λ} f_{μ}^{- 1} (f_{ν} (U_{ν}))$ より各 $ν \geq λ$ に対して $f_{μ}^{- 1} (f_{ν} (U_{ν})) \subset U_{μ}$ を示せば逆の包含関係が従います。 $μ, ν$ の上界 $ξ$ を取ります。 $f_{ν} (U_{ν}) \subset f_{ξ} (U_{ξ})$ であること、 $f_{ξ}$ の単射性から $U_{ξ} = f_{ξ}^{- 1} (f_{ξ} (U_{ξ}))$ であることを用いて $f_{μ}^{- 1} (f_{ν} (U_{ν})) \subset f_{μ}^{- 1} (f_{ξ} (U_{ξ})) = f_{μ ξ}^{- 1} (f_{ξ}^{- 1} (f_{ξ} (U_{ξ}))) = f_{μ ξ}^{- 1} (U_{ξ}) = U_{μ}$ です。

(step 3) $λ, μ$ の上界 $ξ$ を取ります。 $f_{μ}^{- 1} (W) = f_{μ ξ}^{- 1} (f_{ξ}^{- 1} (W)) = f_{μ ξ}^{- 1} (U_{ξ})$ なので $f_{μ}^{- 1} (W)$ は $X_{μ}$ の開集合です。よって、 $W$ は開集合です。

(step 4) $f_{λ}^{- 1} (W) = U_{λ} = f_{λ λ}^{- 1} (U_{λ}) = f_{λ}^{- 1} (V)$ であり、両辺の $f_{λ}$ による像を取ることで $W \cap Img f_{λ} = V \cap Img f_{λ} = V$ です。

(2) 位相の定め方より明らかです。

また、帰納系の間の射の誘導写像について、命題2.7.42にいくつかバリエーション追加したものを述べておきます。

定理2.7.44

(位相空間の帰納極限の間の誘導写像(追加版))

$(X_{∙}, f_{∙ ∙})_{Λ}$ , $(Y_{∙}, g_{∙ ∙})_{Λ}$ を帰納系とする。また、帰納系の間の射 ${φ_{λ} : X_{λ} \to Y_{λ}}_{λ \in Λ}$ が与えられているとし、帰納極限の間に誘導される写像 $\underset{λ}{\lim_{\to}} φ_{λ} : \underset{λ}{\lim_{\to}} X_{λ} \to \underset{λ}{\lim_{\to}} Y_{λ}$ を単に $Φ : X \to Y$ と書くとする。このとき、次が成立する。

(1) 誘導写像

Φ : X \to Y

は連続である。

(2) 各

φ_{λ}

が商写像ならば

Φ

も商写像である。

(3) 以下の条件を満たすとき、

Φ

は閉埋め込みである。

(i) 各

f_{λ μ}, g_{λ μ}

は埋め込みである。

(ii) 各

φ_{λ}

は閉埋め込みである。

(iii) 任意の

λ \leq μ \in Λ

に対して

Img φ_{λ} = Img φ_{μ} \cap Img g_{λ μ}

である。

(4) 以下の条件を満たすとき、

Φ

は開埋め込みである。

(i) 各

f_{λ μ}, g_{λ μ}

は埋め込みである。

(ii) 各

φ_{λ}

は開埋め込みである。

(iii) 任意の

λ \leq μ \in Λ

に対して

Img φ_{λ} = Img φ_{μ} \cap Img g_{λ μ}

である。

証明

(1) 命題2.7.42で確認しています。

(2) 次の可換図式において $Φ$ 以外が商写像であることと命題2.7.16から $Φ$ は商写像です。

(3) 主張の条件が満たされているとします。条件(i)と(ii)より集合レベルでは常に $X_{λ} \subset Y_{λ}$ , $X_{λ} \subset X_{μ} \subset X \subset Y$ , $Y_{λ} \subset Y_{μ} \subset Y$ とみなすことができます。注意として、条件の(iii)は任意の $λ \leq μ \in Λ$ に対して $X_{λ} = X_{μ} \cap Y_{λ}$ であるという意味になります。 $X$ における閉集合 $F$ が $Y$ における閉集合であることを示せばよく、そのためには任意の $λ \in Λ$ に対して $F \cap Y_{λ}$ が閉集合であることを示せばよいですが、それは $\begin{array}{rcl} F \cap Y_{λ} & = & (⋃_{μ \geq λ} F \cap X_{μ}) \cap Y_{λ} = ⋃_{μ \geq λ} (F \cap X_{λ}) = F \cap X_{λ} \end{array}$ であること、 $F \cap X_{λ}$ が $X_{λ}$ における閉集合であることと $φ_{λ} : X_{λ} \to Y_{λ}$ が閉写像であることから従います。

(4) (3)の証明の閉を開で置き換えればよいです。

例2.7.45

(位相空間の帰納系の例)

(a) 非負整数

n \leq m

に対して標準的な包含写像

i_{n m} : R^{n} \to R^{m}

を

(x_{0}, \dots, x_{n - 1}) \mapsto (x_{0}, \dots, x_{n - 1}, 0, \dots, 0)

により定めることができますが、明らかに

i_{n n} = {Id}_{R^{n}}

i_{m l} \circ i_{n m} = i_{n l}

が成立しており、帰納系

(R^{∙}, i_{∙ ∙})_{N}

が得られます。この帰納極限を

R^{\infty}

で表し、無限次元Euclid空間といいます。

(b) 非負整数

n \leq m

に対して標準的な包含写像

j_{n m} : S^{n} \to S^{m}

をEuclid空間の間の標準的な包含写像

i_{n + 1, m + 1} : R^{n + 1} \to R^{m + 1}

の制限に取ることで帰納系

(S^{∙}, j_{∙ ∙})_{N}

が得られます。この帰納極限を

S^{\infty}

で表し、無限次元球面といいます。

例2.7.46

(無限次元Euclid空間の位相)

無限次元Euclid空間 $R^{\infty}$ が箱位相を与えた $R^{N}$ における部分空間 $R := {(x_{n})_{n \in N} ∣^{\exists} m \in N,^{\forall} n \in N, n \geq m \Rightarrow x_{n} = 0}$ とみなせることを確認します。まず、明らかな包含写像 $φ_{n} : R^{n} \to R^{N} : (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) \mapsto (x_{0}, \dots, x_{n - 1}, 0, \dots)$ が連続であること、 $n \leq m$ に対して $φ_{n} = φ_{m} \circ i_{n m}$ であることと普遍性により誘導写像 $Φ : R^{\infty} \to R^{N}$ が得られ連続です。各 $φ_{n}$ の単射性から $Φ$ も単射であり、 $Img Φ$ が集合として $R$ に一致することも容易です。あとは、もう集合としては $R^{\infty} \subset R^{N}$ であると考えて、 $R^{\infty}$ の開集合 $U$ に対して $R^{N}$ の開集合 $V$ であって $U = V \cap R^{\infty}$ となるものを構成すれば $Φ$ が埋め込みになっていることが従いますが、そのためには各 $x \in U$ に対してその $R^{N}$ における開近傍 $V_{x}$ であって $V_{x} \cap R^{\infty} \subset U$ となるものを構成すればよいです。 $x = (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) \in R^{n}$ であったとして、まず、 $R^{n}$ における $x$ の閉近傍を有界閉区間の直積 $I_{0} \times \dots \times I_{n - 1}$ の形かつ $U \cap R^{n}$ に含まれるように取ります。以降、 $m \geq n$ に対して有界閉区間 $I_{m}$ を以下の条件を満たす様に構成します。

•

0 \in Int I_{m}

•

I_{0} \times \dots \times I_{m} \subset U \cap R^{m + 1}

実際、 $I_{m - 1}$ まで構成されているとき、 $U \cap R^{m + 1}$ が $R^{m + 1}$ の開集合であることと $I_{0} \times \dots \times I_{m - 1} \times {0} \subset U \cap R^{m + 1}$ のコンパクト性により条件を満たす $I_{m}$ が容易に構成されます。

いま、直積 $V_{x} := \prod_{n \in N} Int I_{n}$ は箱位相を与えた $R^{N}$ における $x$ の開近傍 $R^{N}$ に直積位相を与えた場合はこのような形の $V_{x}$ を取ることがでないため上手くいきません。であり、その構成から $V_{x} \cap R^{\infty} \subset U$ を満たします。以上により、 $R^{\infty}$ を箱位相を入れた $R^{N}$ の部分空間と見なせることが分かりました。

例2.7.47

(無限次元球面の位相)

無限次元球面 $S^{\infty}$ は包含写像 $S^{n} \to R^{n + 1}$ が閉埋め込みであること、 $n \leq m$ に対して $S^{n} = S^{m} \cap R^{n + 1}$ であることと定理2.7.44により無限次元Euclid空間 $R^{\infty}$ の部分空間、従って、箱位相を与えた $R^{N}$ の部分空間とみなせます。

直積に関する補題

$X$ を位相空間、 ${A_{λ}}_{λ \in Λ}$ をその被覆とし、 $X$ はこの被覆に関する弱位相を持つとします。一般の位相空間 $Z$ について、直積空間 $X \times Z$ が被覆 ${A_{λ} \times Z}_{λ \in Λ}$ に関する弱位相を持つとは限りませんが、 $Z$ を局所コンパクトHausdorff空間としておけばそうなります。

系2.7.48

$X$ を位相空間、 ${A_{λ}}_{λ \in Λ}$ をその被覆とし、 $X$ はこの被覆に関する弱位相を持つとします。局所コンパクトHausdorff空間 $Z$ に対し、直積空間 $X \times Z$ は被覆 ${A_{λ} \times Z}_{λ \in Λ}$ に関する弱位相を持つ。

証明

包含写像たちの直和 $i : ⨆_{λ \in Λ} A_{λ} \to X$ が商写像であったので、 $Z$ が局所コンパクトHausdorff空間であることと命題2.7.25より $i \times {Id}_{Z}$ も商写像です。よって、直積空間 $X \times Z$ は被覆 ${A_{λ} \times Z}_{λ \in Λ}$ に関する弱位相を持ちます。

帰納極限に対しても同様のことが成立します。

系2.7.49

$(A_{∙}, f_{∙ ∙})_{Λ}$ を位相空間の帰納系、 $Z$ を局所コンパクトHausdorff空間とする。このとき、同相 $\underset{λ}{\lim_{\to}} (A_{λ} \times Z) ≅ (\underset{λ}{\lim_{\to}} A_{λ}) \times Z$ が成立する。ただし、左辺は帰納系 $(A_{∙} \times Z, f_{∙ ∙} \times {Id}_{Z})_{Λ}$ に関する帰納極限である。

証明

$f := ⨆_{λ \in Λ} f_{λ} : ⨆_{λ \in Λ} A_{λ} \to \underset{λ}{\lim_{\to}} A_{λ}$ が商写像であったので、 $Z$ が局所コンパクトHausdorff空間であることと命題2.7.25から $f \times {Id}_{Z} : ⨆_{λ \in Λ} (A_{λ} \times Z) \to (\underset{λ}{\lim_{\to}} A_{λ}) \times Z$ も商写像です。よって、同相 $\underset{λ}{\lim_{\to}} (A_{λ} \times Z) ≅ (\underset{λ}{\lim_{\to}} A_{λ}) \times Z$ が成立します。

また、局所コンパクトHausdorff空間の増大列については帰納極限と $($ 有限個の $)$ 直積は交換します。

補題2.7.50

局所コンパクトHausdorff空間の帰納系 $(X_{∙}, f_{∙ ∙})_{N}, (Y_{∙}, g_{∙ ∙})_{N}$ が与えられ、各 $f_{n m}, g_{n m}$ はいずれも埋め込みとする。このとき、同相 $\underset{n}{\lim_{\to}} (X_{n} \times Y_{n}) ≅ \underset{n}{\lim_{\to}} X_{n} \times \underset{n}{\lim_{\to}} Y_{n}$ が成立する。

証明

帰納系 $(X_{∙}, f_{∙ ∙})_{N}, (Y_{∙}, g_{∙ ∙})_{N}$ は増大列 $X_{0} \subset X_{1} \subset X_{2} \subset \dots,$ $Y_{0} \subset Y_{1} \subset Y_{2} \subset \dots$ と考えることにして、示したい同相の両辺を集合としては明らかな方法で同一視ことにします。 $\underset{n}{\lim_{\to}} X_{n} \times \underset{n}{\lim_{\to}} Y_{n}$ の開集合が $\underset{n}{\lim_{\to}} (X_{n} \times Y_{n})$ の開集合であることは明らかであり、その逆を示せばよいです。

$W$ を $\underset{n}{\lim_{\to}} (X_{n} \times Y_{n})$ の開集合とします。その各点 $(x_{0}, y_{0}) \in W$ が直積空間 $\underset{n}{\lim_{\to}} X_{n} \times \underset{n}{\lim_{\to}} Y_{n}$ に関して内点であることを示せばよいです。 $(x_{0}, y_{0}) \in X_{m_{0}} \times Y_{m_{0}}$ となる $m_{0} \in N$ を固定し、 $X_{m_{0}}, Y_{m_{0}}$ の局所コンパクトHausdorff性からコンパクト近傍 $K_{m_{0}} \times L_{m_{0}} \subset W \cap (X_{m_{0}} \times Y_{m_{0}})$ を取ります。以下、 $K_{m - 1} \times L_{m - 1}$ の $W \cap (X_{m} \times Y_{m})$ におけるコンパクト近傍 $K_{m} \times L_{m}$ が取れたとして、その $K_{m} \times L_{m}$ の $W \cap (X_{m + 1} \times Y_{m + 1})$ におけるコンパクト近傍 $K_{m + 1} \times L_{m + 1}$ を $K_{m} \times L_{m} \subset Int K_{m + 1} \times Int L_{m + 1}$ であるように取っていきます。極限 $\underset{m}{\lim_{\to}} K_{m}, \underset{m}{\lim_{\to}} L_{m}$ はそれぞれ $\underset{n}{\lim_{\to}} X_{n}, \underset{n}{\lim_{\to}} Y_{n}$ における $x_{0}, y_{0}$ の近傍であり、 $(x_{0}, y_{0})$ は直積空間において $W$ の内点になっています。

位相空間の射影極限

位相空間の射影極限についても紹介しておきます。

定義2.7.51

(位相空間の射影系)

有向集合 $Λ$ を添字集合にもつ位相空間の族 ${X_{λ}}_{λ \in Λ}$ と連続写像の族 ${f_{λ μ} : X_{μ} \to X_{λ}}_{λ \leq μ \in Λ}$ であって次を満たすものが与えれられているとする。

(i) 任意の

λ \in Λ

に対して

f_{λ λ} = {Id}_{X_{λ}}

(ii) 任意の

λ \leq μ \leq ν \in Λ

に対して

f_{λ μ} \circ f_{μ ν} = f_{λ ν}

これらの対を単に $(X_{∙}, f_{∙ ∙})_{Λ}$ などと書き、位相空間の射影系 $($ projective system $)$ という。

定義2.7.52

(位相空間の射影極限)

位相空間の射影系 $(X_{∙}, f_{∙ ∙})_{Λ}$ が与えられているとする。直積空間 $\prod_{λ \in Λ} X_{λ}$ の部分空間 $\underset{λ}{\lim_{\leftarrow}} X_{λ} := {(x_{λ})_{λ \in Λ} ∣ x_{λ} = f_{λ μ} (x_{μ}) for any λ \leq μ \in Λ}$ を位相空間の射影系 $(X_{∙}, f_{∙ ∙})_{Λ}$ の射影極限という。

各成分への射影の制限を $f_{λ} : \underset{λ}{\lim_{\leftarrow}} X_{λ} \to X_{λ}$ と表すことにします。これは任意の $λ \leq μ \in Λ$ に対して $f_{λ μ} \circ f_{μ} = f_{λ}$ を満たします。

命題2.7.53

(位相空間の射影極限の普遍性)

$(X_{∙}, f_{∙ ∙})_{Λ}$ を位相空間の射影系とする。位相空間 $Z$ と連続写像の族 ${g_{λ} : Z \to X_{λ}}_{λ \in Λ}$ が与えられ、任意の $λ \leq μ \in Λ$ に対して $f_{λ μ} \circ g_{μ} = g_{λ}$ を満たしているとする。このとき、連続写像 $h : Z \to \underset{λ}{\lim_{\leftarrow}} X_{λ}$ であって常に $g_{λ} = f_{λ} \circ h$ を満たすものが一意に存在する。

この写像 $h$ は $\underset{λ}{\lim_{\leftarrow}} g_{λ}$ で表すことにする。

証明

集合レベルでの $h$ の一意存在は命題1.3.40で示しています。あとは連続性ですが、これは写像 $h$ の具体的な表示 $h = (g_{λ})_{λ \in Λ} : z \mapsto (g_{λ} (z))_{λ \in Λ}$ から明らかです。

$2$ つの射影系 $(X_{∙}, f_{∙ ∙})_{Λ}$ , $(Y_{∙}, g_{∙ ∙})_{Λ}$ が与えられているとします。連続写像の族 ${φ_{λ} : Y_{λ} \to X_{λ}}_{λ \in Λ}$ であって任意の $λ \leq μ \in Λ$ に対して $f_{λ μ} \circ φ_{μ} = φ_{λ} \circ g_{λ μ}$ を満たすものを射影系の間の射と呼びます。これは射影極限の間の写像を誘導します。

命題2.7.54

(位相空間の射影極限の間の誘導写像)

$(X_{∙}, f_{∙ ∙})_{Λ}$ , $(Y_{∙}, g_{∙ ∙})_{Λ}$ を射影系とし、その間の射 ${φ_{λ} : Y_{λ} \to X_{λ}}_{λ \in Λ}$ が与えられているとする。このとき、射影極限の間の連続写像 $Φ : \underset{λ}{\lim_{\leftarrow}} Y_{λ} \to \underset{λ}{\lim_{\leftarrow}} X_{λ}$ であって任意の $λ \in Λ$ に対して $f_{λ} \circ Φ = φ_{λ} \circ g_{λ}$ を満たすものが一意に存在する。この写像 $Φ$ は $\underset{λ}{\lim_{\leftarrow}} φ_{λ}$ で表すことにする。

証明

集合レベルでの $Φ$ の一意存在は命題1.3.41で示しています。あとは連続性ですが、これは各 $φ_{λ} \circ g_{λ}$ の連続性と射影極限の普遍性 $($ 命題2.7.53 $)$ より従います。

2.7.5 商空間と分離公理

一般に商空間はもとの空間で満たしていた分離公理を満たすとは限りません例えば、 $R / Q$ は密着位相を持ち、 $T_{1}$ 空間ですらありません。。しかし、次が成立します。(別のページで使うことのみ、それ用の形で書いています。必ずしも筋のよい定式化ではないと思います。)

Hausdorff性が保たれるケース

命題2.7.55

$X$ をその任意の開集合が正規空間となる位相空間、 $Y$ をHausdorff空間、 $A$ を $X$ の閉集合とする。連続写像 $f : A \to Y$ による等化空間 $Z := X \cup_{f} Y$ はHausdorff空間である。

証明

$z \neq z^{'} \in Z$ として分離する開集合を構成します。 $z \in X ∖ A$ のときは $z$ の $X$ における閉近傍 $F$ であって ${z^{'}} \cup A$ と交わらないものを取れば $Int F, Z ∖ F$ が $z, z^{'}$ を分離する開集合になります。 $z^{'} \in X ∖ A$ の場合も同様です。 $z, z^{'} \in Y$ とします。 $Y$ のHausdorff性から $Y$ における分離開集合 $U, U^{'}$ を取ります。 $X^{'} := X ∖ (A ∖ f^{- 1} (U ⊔ U^{'}))$ は $X$ の開集合であり、仮定より正規空間です。 $f^{- 1} (U), f^{- 1} (U^{'})$ は $X^{'}$ における互いに非交叉な閉集合なので分離開集合 $V, V^{'}$ が取れます。 $p : X ⊔ Y \to Z$ を商写像とすれば $W := U \cap p (V)$ , $W^{'} := U^{'} \cap p (V^{'})$ が $Z$ において $z, z^{'}$ を分離する開集合になります。よって、 $Z$ はHausdorff空間です。

正規性が保たれるケース

命題2.7.56

$X, Y$ を正規空間、 $A$ を $X$ の閉集合とする。連続写像 $f : A \to Y$ による等化空間 $Z = X \cup_{f} Y$ は正規空間である。

証明

$B, C \subset Z$ を互いに非交叉な閉集合とします。Tietzeの拡張定理 $($ 定理2.3.30 $)$ より連続写像 $g : Y \to I$ であって $g |_{B \cap Y} \equiv 0$ かつ $g |_{C \cap Y} \equiv 1$ を満たすものを取ります。 $p : X ⊔ Y \to Z$ を商写像とし、連続写像 $h : X ⊔ Y \to I$ をまず閉集合 $(A ⊔ Y) \cup p^{- 1} (B ⊔ C)$ において $h (x) := {\begin{cases} (g \circ p) (x) & (x \in A ⊔ Y) \\ 0 & (x \in p^{- 1} (B)) \\ 1 & (x \in p^{- 1} (C)) \end{cases}$ と定め、これをこれを再びTietzeの拡張定理より $X ⊔ Y$ に拡張することで構成します。これは $Z$ 上の連続写像であって $B$ 上で常に $0$ かつ $C$ 上で常に $1$ を取るものを誘導し、ただちに $B, C$ を分離する開集合が得られます。これより $Z$ は正規です。

命題2.7.57

$(X_{∙}, i_{∙ ∙})_{N}$ を位相空間の帰納系とし、以下の条件を満たすとする。

(i) 各

n \in N

に対して

X_{n}

は正規空間である。

(ii) 各

n \leq m \in N

に対して

i_{n m} : X_{n} \to X_{m}

は閉埋め込みである。

このとき、帰納極限 $X = \underset{n}{\lim_{\to}} X_{n}$ は正規空間である。

証明

各 $X_{n}$ は $X$ の閉集合と考えることにします。 $B, C \subset X$ を互いに非交叉な閉集合とします。連続写像の列 ${f_{n} : X_{n} \to I}_{n \in N}$ であって以下の条件を満たすものを構成します。

•

f_{n} |_{B \cap X_{n}} \equiv 0

•

f_{n} |_{C \cap X_{n}} \equiv 1

•

n \geq 1

において

f_{n} |_{X_{n - 1}} = f_{n - 1}

$f_{n - 1}$ まで構成できているとき、 $f_{n}$ をまずは閉集合 $X_{n - 1} \cup ((B ⊔ C) \cap X_{n})$ 上で $f_{n} (x) = {\begin{cases} f_{n - 1} (x) & (x \in X_{n - 1}) \\ 0 & (x \in B \cap X_{n}) \\ 1 & (x \in C \cap X_{n}) \end{cases}$ として定義し、Tietzeの拡張定理 $($ 定理2.3.30 $)$ より $X_{n}$ 全体に拡張すればよいので実際に構成されます。帰納極限 $f := \underset{n}{\lim_{\to}} f_{n} : X \to I$ は $f |_{B} \equiv 0$ かつ $f |_{C} \equiv 1$ を満たす連続写像であり、ただちに $B, C$ を分離する開集合が得られ、従って、 $X$ は正規です。

以上です。

メモ

特になし。

参考文献

[1] 服部晶夫位相幾何学Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ 岩波書店 (1977-1979)

[2] 田村一郎微分位相幾何学Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ 岩波書店 (1977-1978)

更新履歴

▪ 2022/03/02

新規追加

▪ 2022/05/02

帰納系の添字の取り方を慣習にならうように修正。

▪ 2022/06/02

位相空間の帰納系

(A_{∙}, f_{∙ ∙})_{Λ}

の定義における各

f_{λ μ}

が埋め込みという条件を削除。

有向集合についての記述を別ページに移動。位相空間の射影系について追加。

▪ 2022/10/02

合成が埋め込み・商写像であることから分かることについて補足を追加。(twitter上での会話から)

分離性質が保たれるケースについて今後使う範囲で追記。

▪ 2023/10/02

全体的に表現の見直し、図式の追加、誤植の修正。

連続全射が終域の各点の周りで切断を持てば商写像であることを追加。押し出しについて追加。

「開集合どうしの貼り合わせ」と称してごちゃごちゃ書いていた部分を

1

つの単純な補題に変更。

帰納極限、射影極限については全体的に記号を変更。構成も若干変更。

▪ 2024/07/02

局所コンパクトHausdorff空間の増大列に関する帰納極限と直積の可換性について追加。

その他の軽微な誤植修正。