(1) 開集合系 $\mathcal{O}$ が与えられ、主張のように $\mathcal{F}$ を定めているとします。$\varnothing ,X\in \mathcal{F}$ は明らかです。部分集合 $\mathcal{V}\subset \mathcal{F}$ を取ります。このとき、各 $F\in \mathcal{V}$ に対して $F^c\in \mathcal{O}$ なので $\bigcup _{F\in \mathcal{V}}{F}^c\in \mathcal{O}$ です。よって、$$\bigcap _{F\in \mathcal{V}}F={\left(\bigcup _{F\in \mathcal{V}}{F}^c\right)}^c\in \mathcal{F}$$です。同様に、有限部分集合 $\mathcal{V}\subset \mathcal{F}$ に対して $\bigcap _{F\in \mathcal{V}}{F}^c\in \mathcal{O}$ なので$$\bigcup _{F\in \mathcal{V}}F={\left(\bigcap _{F\in \mathcal{V}}{F}^c\right)}^c\in \mathcal{F}$$です。よって、$\mathcal{F}$ は閉集合系です。

(2) (1)と同様です。

(3) 開集合系全体からなる集合を $\mathfrak{O}$、閉集合系全体からなる集合を $\mathfrak{F}$ とおくことにします。また、写像 $\phi :\mathfrak{P}(2^X)\to \mathfrak{P}(2^X):\mathcal{A}\mapsto \{A^c\mid A\in \mathcal{A}\}$ を取ります。明らかに ${\phi }^2={\mathrm{Id}}_{\mathfrak{P}(2^X)}$ です。(1), (2)はそれぞれ制限 $\xi :\mathfrak{O}\to \mathfrak{F}$, $\eta :\mathfrak{F}\to \mathfrak{O}$ が定まっているということを意味し、${\phi }^2={\mathrm{Id}}_{\mathfrak{P}(2^X)}$ から $\eta \circ \xi ={\mathrm{Id}}_{\mathfrak{O}}$ と $\xi \circ \eta ={\mathrm{Id}}_{\mathfrak{F}}$ が従います。よって、これらの対応は全単射です。

(1) 内部と閉包の定義から明らか。

(2) 各 $x\in \mathrm{Int}A$ に対して $x\in U_x$ かつ $U_x\subset A$ となる開集合 $U_x$ を取ります。当然、任意の $y\in U_x$ に対しても $y\in U_x$ かつ $U_x\subset A$ なので $y$ も $A$ の内点であり、$x\in U_x\subset \mathrm{Int}A$ です。よって、$$\bigcup _{x\in \mathrm{Int}A}{U}_x=\mathrm{Int}A$$ですが、左辺は開集合であるので $\mathrm{Int}A$ は開集合です。

(3) $x\in X$ が $A$ の触点であることの否定は、$x\in U$ かつ $A\cap U=\varnothing$ を満たす開集合 $U$ が存在するということですが、$A\cap U=\varnothing \iff U\subset A^c$ なので、これは $x$ が $A^c$ の内点であることに同値です。よって、$(\mathrm{Cl}A{)}^c=\mathrm{Int}{A}^c$ です。

(4) (3)より $\mathrm{Int}{A}^c$ が開集合であることを確かめればよいですが、これは(2)よりよいです。

(5) (3)の $A$ を $A^c$ で取り換え、両辺の補集合を取ればよいです。

(6) (1)で示したものとは逆の包含関係 $A\subset \mathrm{Int}A$ を示せばよいです。$x\in A$ 対し、$A$ が開集合なので直ちに $x$ は $A$ の内点であり、$x\in \mathrm{Int}A$ です。よって、$A\subset \mathrm{Int}A$ です。

(7) (3)より $\mathrm{Cl}A=(\mathrm{Int}{A}^c{)}^c$ であり、$A^c$ が開集合であることと(6)から $\mathrm{Cl}A=A^{cc}=A$ です。

(8) (9) (10) (11) 定義から明らか。

(1) $\partial A$ は閉集合 $\mathrm{Cl}A$ と $\mathrm{Cl}{A}^c$ の共通部分なので閉集合です。

(2) $\mathrm{Out}A=\mathrm{Int}{A}^c$ から明らかです。

(3) $\partial A=\mathrm{Cl}A\cap \mathrm{Cl}{A}^c=\mathrm{Cl}A\cap (\mathrm{Int}A{)}^c$ であり、$\mathrm{Int}A\subset \mathrm{Cl}A$ からこれは $\mathrm{Cl}A\setminus \mathrm{Int}A$ に等しいです。

(4) (3)より明らかです。

(5) $X=A\cup A^c\subset \mathrm{Cl}A\cup \mathrm{Cl}{A}^c$ より $\mathrm{Cl}A\cup \mathrm{Cl}{A}^c=X$ です。そして、(4)より $\mathrm{Cl}A\cup \mathrm{Cl}{A}^c=\mathrm{Int}A\cup \partial A\cup \mathrm{Out}A$ と $\mathrm{Int}A\cap \partial A=\varnothing$, $\mathrm{Out}A\cap \partial A=\varnothing$ です。また、$\mathrm{Int}A\subset A$, $\mathrm{Out}A=\mathrm{Int}{A}^c\subset A^c$ と $A\cap A^c=\varnothing$ より $\mathrm{Int}A\cap \mathrm{Out}A=\varnothing$ です。以上より、$X=\mathrm{Int}A\bigsqcup \partial A\bigsqcup \mathrm{Out}A$ です。

(1) ⇔ (2) 命題2.1.9で示しています。

(2) ⇒ (3) 命題2.1.10より $\mathrm{Int}A\cap \partial A=\varnothing$ なので、仮定より $A\cap \partial A=\varnothing$ です。

(3) ⇒ (2) $A\cap \partial A=\varnothing$ とすると、$A=A\cap \mathrm{Cl}A=A\cap (\mathrm{Int}A\cup \partial A)=\mathrm{Int}A\cup (A\cap \partial A)=\mathrm{Int}A$ です。途中で命題2.1.10を使用。

(1) ⇔ (2) 命題2.1.9で示しています。

(2) ⇒ (3) 命題2.1.10より $\partial A\subset \mathrm{Cl}A=A$ です。

(3) ⇒ (2) $\partial A\subset A$ とすると $A\cap \partial A=\partial A$ です。よって、$A=A\cap \mathrm{Cl}A=A\cap (\mathrm{Int}A\cup \partial A)=\mathrm{Int}A\cup (A\cap \partial A)=\mathrm{Int}A\cup \partial A=\mathrm{Cl}A$ です。途中で命題2.1.10を使用。

(1) ⇒ (2) $S$ は $S\subset A$ を満たす開集合なので $S\in \mathcal{U}$ です。よって、$S\subset \bigcup _{U\in \mathcal{U}}U$ です。逆の包含関係は内点の定義から明らかです。

(2) ⇒ (3) まず、(2)から $S$ が $A$ に含まれる開集合であることは明らかです。そして、$U$ を $A$ に含まれる開集合とすれば $U\in \mathcal{U}$ なので $U\subset \bigcup _{U\in \mathcal{U}}U=S$ です。

(3) ⇒ (1) まず、$\mathrm{Int}A$ が $A$ に含まれる開集合なので $\mathrm{Int}A\subset S$ です。また、$S$ 自体が $A$ に含まれる開集合であることから、その各点は $A$ の内点であり、$S\subset \mathrm{Int}A$ も従います。

(1)は $S^c=\mathrm{Int}{A}^c$ であることと同値。(2)は $\mathcal{U}:=\{U\in \mathcal{O}\mid U\subset A^c\}$ とおいて $S^c=\bigcup _{U\in \mathcal{U}}U$ であることと同値。(3)は $S^c$ が $A^c$ に含まれる開集合であり、$A^c$ に含まれる任意の開集合 $U$ に対して $U\subset S^c$ を満たすことと同値。あとは命題2.1.13の同値性からから従います。

(1) 任意の ${\lambda }^{\prime }\in \mathrm{\Lambda }$ に対して $\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }\subset A_{{\lambda }^{\prime }}$ であることから $\mathrm{Int}\left(\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }\right)\subset \mathrm{Int}{A}_{{\lambda }^{\prime }}$ であり、$\mathrm{Int}\left(\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }\right)\subset \bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\mathrm{Int}{A}_{\lambda }$ です。

有限集合族の場合、$\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\mathrm{Int}{A}_{\lambda }$ は $\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }$ に含まれる開集合なので $\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\mathrm{Int}{A}_{\lambda }\subset \mathrm{Int}\left(\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }\right)$ が成立します。

(2) 任意の ${\lambda }^{\prime }\in \mathrm{\Lambda }$ に対して $A_{{\lambda }^{\prime }}\subset \bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }$ であることから $\mathrm{Cl}{A}_{{\lambda }^{\prime }}\subset \mathrm{Cl}\left(\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }\right)$ であり、$\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\mathrm{Cl}{A}_{\lambda }\subset \mathrm{Cl}\left(\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }\right)$ です。

有限集合族の場合、$\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\mathrm{Cl}{A}_{\lambda }$ は $\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }$ を含む閉集合なので $\mathrm{Cl}\left(\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }\right)\subset \bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\mathrm{Cl}{A}_{\lambda }$ が成立します。

(3) 任意の ${\lambda }^{\prime }\in \mathrm{\Lambda }$ に対して $\mathrm{Int}{A}_{{\lambda }^{\prime }}\subset \mathrm{Int}\left(\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }\right)$ です。

(4) 任意の ${\lambda }^{\prime }\in \mathrm{\Lambda }$ に対して $\mathrm{Cl}\left(\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }\right)\subset \mathrm{Cl}{A}_{{\lambda }^{\prime }}$ です。

(1) $U\cap \mathrm{Cl}(U\cap A)\subset U\cap \mathrm{Cl}A$ は明らかなので、逆の包含関係を示します。$x\in U\cap \mathrm{Cl}A$ とします。$x\in \mathrm{Cl}A$ より $x\in V$ を満たす任意の開集合 $V$ に対して $V\cap (U\cap A)=(V\cap U)\cap A\ne \varnothing$ であり、$x$ は $U\cap A$ の触点です。よって、$x\in U\cap \mathrm{Cl}(U\cap A)$ であり、$U\cap \mathrm{Cl}A\subset U\cap \mathrm{Cl}(U\cap A)$ が確かめられました。

(2) $U\cap \bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\mathrm{Cl}(U\cap A_{\lambda })=\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}U\cap \mathrm{Cl}(U\cap A_{\lambda })=\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}U\cap \mathrm{Cl}{A}_{\lambda }=U\cap \bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\mathrm{Cl}{A}_{\lambda }$ です。真ん中の等号に(1)を使用。

(3) $U\cap \mathrm{Cl}(\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}(U\cap A_{\lambda }))=U\cap \mathrm{Cl}(U\cap \bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda })=U\cap \mathrm{Cl}\left(\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }\right)$ です。後ろの等号に(1)を使用。

各点 $x\in X$ に対して $x\in \bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\mathrm{Cl}{A}_{\lambda }\iff x\in \mathrm{Cl}\left(\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }\right)$ であることを示します。$x\in X$ を固定し、$x\in U$ かつ $\{\lambda \in \mathrm{\Lambda }\mid U\cap A_{\lambda }\ne \varnothing \}$ が有限集合となる開集合 $U$ を取ります。補題2.1.18より$$U\cap \bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\mathrm{Cl}{A}_{\lambda }=U\cap \bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\mathrm{Cl}(U\cap A_{\lambda }),$$$$U\cap \mathrm{Cl}\left(\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }\right)=U\cap \mathrm{Cl}(\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}(U\cap A_{\lambda }))$$ですが、$U$ の取り方から $U\cap A_{\lambda }\ne \varnothing$ となる $\lambda \in \mathrm{\Lambda }$ は高々有限個なので、命題2.1.15より$$\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\mathrm{Cl}(U\cap A_{\lambda })=\mathrm{Cl}(\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}(U\cap A_{\lambda }))$$です。よって、$U\cap \bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\mathrm{Cl}{A}_{\lambda }=U\cap \mathrm{Cl}\left(\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }\right)$ なので、示したかった $x\in \bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\mathrm{Cl}{A}_{\lambda }\iff x\in \mathrm{Cl}\left(\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }\right)$ が示されました。各 $A_{\lambda }$ が閉集合のとき、$$\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }=\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\mathrm{Cl}{A}_{\lambda }=\mathrm{Cl}\left(\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }\right)$$より和集合は閉集合です。

(1) ⇒ (2) 明らかです。

(2) ⇒ (1) 任意の $U\in \mathcal{O}$ に対して $U\in {\mathcal{O}}^{\prime }$ であることを(i)のみを用いて示します。各点 $x\in U$ に対して $U$ は $x$ の近傍なので、ある $V_x\in {\mathcal{V}}_x$ であって $V_x\subset U$ となるものが取れます。また、仮定の(i)よりある $V_x^{\prime }\in {\mathcal{V}}_x^{\prime }$ であって $V_x^{\prime }\subset V_x$ となるものが取れます。開集合系 ${\mathcal{O}}^{\prime }$ に対する内部を ${\mathrm{Int}}^{\prime }$ により表すとして、各 $x\in U$ に対して $x\in {\mathrm{Int}}^{\prime }{V}_x^{\prime }\subset U$ であることから$$U=\bigcup _{x\in U}{\mathrm{Int}}^{\prime }{V}_x^{\prime }$$であり、$U\in {\mathcal{O}}^{\prime }$ です。よって、$\mathcal{O}\subset {\mathcal{O}}^{\prime }$ が分かりました。

同様に、(ii)から ${\mathcal{O}}^{\prime }\subset \mathcal{O}$ が従い、$\mathcal{O}={\mathcal{O}}^{\prime }$ です。

(1) ⇒ (2) 明らかです。

(2) ⇒ (1) 近傍系は基本近傍系なので、命題2.1.22より直ちに従います。

$\mathcal{O}$ を部分集合 $U\subset X$ であって次の条件(C)を満たすもの全体からなる集合族として定めます。

以下のことを順に示せばよいです。

(step 1) $\varnothing \in \mathcal{O}$ は自明です。$X\in \mathcal{O}$ を示します。$x\in X$ とします。(i)の ${\mathcal{U}}_x\ne \varnothing$ よりその元 $U^{\prime }$ を取ることができますが、明らかに $U^{\prime }\subset X$ です。よって、$X$ は条件(C)を満たすので $X\in \mathcal{O}$ です。

(step 2) 部分集合 $\mathcal{U}\subset \mathcal{O}$ を取り、$x\in \bigcup _{U\in \mathcal{U}}U$ とします。$U_x\in \mathcal{U}$ であって $x\in U_x$ を満たすものを取るとき、この $U_x$ は条件(C)を満たすので $U^{\prime }\in {\mathcal{U}}_x$ かつ $U^{\prime }\subset U_x$ を満たすものが存在します。この $U^{\prime }$ に対して $U^{\prime }\in {\mathcal{U}}_x$ かつ $U^{\prime }\subset \bigcup _{U\in \mathcal{U}}U$ が成立しています。よって、$\bigcup _{U\in \mathcal{U}}U$ は条件(C)を満たし $\bigcup _{U\in \mathcal{U}}U\in \mathcal{O}$ です。

(step 3) 有限部分集合 $\mathcal{U}\subset \mathcal{O}$ を取り、$x\in \bigcap _{U\in \mathcal{U}}U$ とします。各 $U\in \mathcal{U}$ が条件(C)を満たすことから、それぞれに対して $V_U\in {\mathcal{U}}_x$ であって $V_U\subset U$ を満たすものを取ります。$\{V_U\mid U\in \mathcal{U}\}$ は ${\mathcal{U}}_x$ の有限部分集合なので(iv)より $\bigcap _{U\in \mathcal{U}}{V}_U\in {\mathcal{U}}_x$ です。また、明らかに $\bigcap _{U\in \mathcal{U}}{V}_U\subset \bigcap _{U\in \mathcal{U}}U$ を満たします。よって、$\bigcap _{U\in \mathcal{U}}U$ は条件(C)を満たし $\bigcap _{U\in \mathcal{U}}U\in \mathcal{O}$ です。

(step 4) $V\in {\mathcal{V}}_x$ とします。近傍の定義より $x\in \mathrm{Int}V\in \mathcal{O}$ であり、$\mathrm{Int}V$ が条件(C)を満たすことから $V^{\prime }\in {\mathcal{U}}_x$ かつ $V^{\prime }\subset \mathrm{Int}V$ を満たす $V^{\prime }$ が存在します。この $V^{\prime }$ に対して(iii)を使用し $V\in {\mathcal{U}}_x$ が従います。

(step 5) $U\in {\mathcal{U}}_x$ とします。(v)により $V\in {\mathcal{U}}_x$ であって任意の $y\in V$ に対して $U\in {\mathcal{U}}_y$ となるものを取ります。この $V$ が $V\subset U$ を満たす $x$ の開近傍であることを示します。

まず $V\subset U$ であることは、$y\in V$ に対して $U\in {\mathcal{U}}_y$ であることと(ii)より $y\in U$ なので従います。また、$x\in V$ であることも同じく $V\in {\mathcal{U}}_x$ と(ii)から分かります。

後は $V\in \mathcal{O}$ であること、つまり、条件(C)を満たすことを示せばよいです。$y\in V$ とします。(v)により $V^{\prime }\in {\mathcal{U}}_y$ であって任意の $z\in V^{\prime }$ に対して $V\in {\mathcal{U}}_z$ を満たすものを取ります。(ii)より $y\in V^{\prime }$ なので、$z=y$ として $V\in {\mathcal{U}}_y$ が従います。$V\subset V$ は自明です。よって、$V$ は条件(C)を満たします。

(step 6) 系2.1.23より明らかです。

(1) $\varnothing ,X\in \mathcal{O}$ は明らかです。部分集合 $\mathcal{U}\subset \mathcal{O}$ を取るとき、各 $\lambda \in \mathrm{\Lambda }$ に対して $\mathcal{U}\subset {\mathcal{O}}_{\lambda }$ であり、$\bigcup _{U\in \mathcal{U}}U\in {\mathcal{O}}_{\lambda }$ となるので $\bigcup _{U\in \mathcal{U}}U\in \mathcal{O}$ です。有限部分集合 $\mathcal{U}\subset \mathcal{O}$ に対して $\bigcap _{U\in \mathcal{U}}U\in \mathcal{O}$ であることも同様です。

(2) 明らかです。

命題2.1.27より明らかです。