微積と線形代数のスレ 微分積分 解析入門 線型代数 [転載禁止]©5ch.net
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0001１３２人目の素数さん
2015/03/15(日) 18:50:57.57ID:gWGz0YmI0002１３２人目の素数さん
2015/03/15(日) 18:53:39.71ID:oOFQiyuQ0003１３２人目の素数さん
2015/03/15(日) 19:09:08.24ID:9pj/T5cq0004１３２人目の素数さん
2015/03/15(日) 19:11:57.97ID:0AASebDn0005１３２人目の素数さん
2015/03/15(日) 19:32:34.62ID:9pj/T5cq0006１３２人目の素数さん
2015/03/16(月) 00:30:27.62ID:U4FChmw40007１３２人目の素数さん
2015/03/16(月) 20:30:59.61ID:905zB39u0008１３２人目の素数さん
2015/03/17(火) 13:18:15.74ID:GY/4AFJc何が言いたいのかわからないセクションがあります。
第5章セクション4（とくに重要なベクトル場）です。
そのセクションの画像をアップしたら、何を言いたいのか
説明してくださる方、いらっしゃいますか？
0009１３２人目の素数さん
2015/03/17(火) 13:29:37.96ID:GY/4AFJchttp://nagamochi.info/src/up152542.jpg
http://nagamochi.info/src/up152543.jpg
http://nagamochi.info/src/up152544.jpg
http://nagamochi.info/src/up152545.jpg
一応、画像をアップロードしました。 👀
0010１３２人目の素数さん
2015/03/17(火) 13:33:45.73ID:GY/4AFJchttp://nagamochi.info/src/up152543.jpg
の「われわれはこの結果をもっと改良することができる。」以降です。 👀
0011１３２人目の素数さん
2015/03/17(火) 13:42:20.10ID:Gwu47FU70012１３２人目の素数さん
2015/03/17(火) 15:49:16.41ID:GY/4AFJcありがとうございます。
平面から細い扇形を取り除く必要があるのはなぜでしょうか？
「この関数φ(x,y)=θが、陰影の部分を取り除いた平面上で、ベクトル場G
に対するポテンシャル関数となっていることは、容易に検証することができる。」
とありますが、直線x=0やy=0上ではどうやって検証するのでしょうか？
0013１３２人目の素数さん
2015/03/17(火) 15:57:51.88ID:GY/4AFJcθ=arctan(y/x)
x=0, y>0
θ=π/2：
第2象限：
θ=arctan(y/x)+π
y=0, x<0：
θ=π
第3象限：
θ=arctan(y/x)+π
x=0, y<0：
θ=3π/2
第4象限の陰影の部分を取り除いた部分：
θ=arctan(y/x)
0014１３２人目の素数さん
2015/03/17(火) 16:18:12.72ID:GY/4AFJcy>0, h>0
{φ(0+h,y)-φ(0,y)}/h = {arctan(y/h)-π/2}/h
lim[h→+0] {φ(0+h,y)-φ(0,y)}/h
=
lim[h→+0] {arctan(y/h)-π/2}/h
= （ロピタルの定理)
lim[h→+0] {-y/h^2}/{1+(y/h)^2}
=
lim[h→+0] -y/(h^2+y^2)
=
-1/y
-------------------------------------------------
y>0, h<0
{φ(0+h,y)-φ(0,y)}/h = {arctan(y/h)+π-π/2}/h
lim[h→-0] {φ(0+h,y)-φ(0,y)}/h
=
lim[h→-0] {arctan(y/h)+π-π/2}/h
= （ロピタルの定理)
lim[h→-0] {-y/h^2}/{1+(y/h)^2}
=
lim[h→-0] -y/(h^2+y^2)
=
-1/y
0015１３２人目の素数さん
2015/03/17(火) 16:35:31.19ID:GY/4AFJc第4象限の陰影の部分を取り除いた部分：
θ=arctan(y/x)+2π
0016１３２人目の素数さん
2015/03/17(火) 16:51:20.49ID:GY/4AFJcx>0, y=0であるような点で、
∂φ/∂yが存在しないからでしょうか？
0017１３２人目の素数さん
2015/03/17(火) 19:15:26.27ID:2qTNXMyx一変数と多変数を分けるよりは
代数関数と超越関数を分けるべきだと思った
0018１３２人目の素数さん
2015/03/17(火) 19:17:15.20ID:GY/4AFJcそれはサージ・ラングの解析入門（1変数）と続解析入門（多変数）に
ついての意見でしょうか？
0019１３２人目の素数さん
2015/03/17(火) 19:21:11.89ID:GY/4AFJcよく英語の微積の本で「Early Transcendentals」という
バージョンがありますが、これはどういう意味なのでしょうか？
「Early Transcendentals」じゃない本では、
逆に指数関数や対数関数、三角関数などが最初のほうには全く
登場しないのでしょうか？ちょっと考えにくいのですが。。。
どういうことなのでしょうか？
0020１３２人目の素数さん
2015/03/17(火) 19:26:56.12ID:GY/4AFJc日本に住んでいると、高校で三角関数、指数関数、対数関数について習うので
よく状況が分かりませんが、三角関数などを知らずに大学に入る学生もいると
いうことなんですかね？
0021１３２人目の素数さん
2015/03/17(火) 19:33:05.33ID:GY/4AFJc1変数の微積分を十分にマスターしてから多変数の微積分に進むのがいいのか？
それとも十分にマスターしていなくてもラングの本のような厳密ではない本
を読み始めて、1変数、多変数とも次第に厳密に理解することを目指すほうが
いいのか？
0022１３２人目の素数さん
2015/03/17(火) 20:22:47.81ID:2qTNXMyx超越関数の知識を使わないで超越関数を定義する例
楕円関数論から見た初等超越関数論
http://mathsoc.jp/publication/tushin/0103/watanabe1-3-2.pdf
0023１３２人目の素数さん
2015/03/17(火) 21:31:44.62ID:GY/4AFJc0024１３２人目の素数さん
2015/03/18(水) 13:26:54.22ID:dD9ao2pT図の線は赤い線が正しいのではないかと思うのですが、いかがで
しょうか？
0025１３２人目の素数さん
2015/03/18(水) 13:30:24.43ID:dD9ao2pThttp://i.imgur.com/FXTghY6.jpg
0026１３２人目の素数さん
2015/03/18(水) 13:41:35.29ID:dD9ao2pThttp://i.imgur.com/SgBQz8u.jpg
0027１３２人目の素数さん
2015/03/18(水) 14:27:29.27ID:jZSRPvFr自分がやり易い方法をとれば良い
0028１３２人目の素数さん
2015/03/18(水) 20:03:55.99ID:dD9ao2pTそうですか。ありがとうございました。
線積分について質問です。
ラングの『続解析入門』に、「曲線に沿うベクトル場の積分は、
パラメーター表示された曲線に対して定義されている。」とあ
ります。
曲線のパラメータ表示は複数ありますが、どのパラメータ表示を
採用しても積分の値が変わらないということは示す必要はないの
でしょうか？ラングの本ではそのことについて何も触れていません。
0029１３２人目の素数さん
2015/03/18(水) 20:08:22.63ID:dD9ao2pT志村五郎という人の本にラングの本はいい加減だから注意したほうが
いいと書いてあると聞いたことがありますが、やっぱりいい加減なん
ですかね？
0030１３２人目の素数さん
2015/03/18(水) 20:12:39.79ID:dD9ao2pT分かりやすいという部分もあるんですかね？
清濁併せ呑む的なところがないとダメなんですかね？
0031１３２人目の素数さん
2015/03/18(水) 20:37:22.42ID:OLDjg7PX0032１３２人目の素数さん
2015/03/18(水) 22:16:38.72ID:YxcV7zlE対称性の綻びが見えるようで深遠ですね
0033１３２人目の素数さん
2015/03/18(水) 22:22:39.99ID:cxdfU4pY0034１３２人目の素数さん
2015/03/19(木) 13:08:35.48ID:1mDV72tdp.134の問7（線積分の問題）なんですが、自分の答えと解答とが合いません。
問7：
放物線x=y^2/4に沿う(0,0)から(1,2)までの(y^2,-x)の積分。
答えには4/3と書かれていますが、僕が計算した結果は、2/5です。
何度も見直したのですが、2/5になってしまいます。
どっちが正しいのでしょうか？
0035１３２人目の素数さん
2015/03/19(木) 13:21:27.70ID:HC7J4qW7どんな計算したんだ
0036１３２人目の素数さん
2015/03/19(木) 13:58:11.54ID:1mDV72tdありがとうございました。
パラメータ曲線：
x = t^2/4
y = t
(0≦t≦2)
∫y^2 dx + (-x) dy
=
∫[t=0,t=2] t^2*(1/2)*t dt + (-t^2/4) dt
Wolframで計算したら、4/3になりました。
お騒がせしました。済みません。
integrate t^2*(1/2)*t + (-t^2/4) dt from t=0 to 2
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+t%5E2*%281%2F2%29*t+%2B+%28-t%5E2%2F4%29+dt+from+t%3D0+to+2
∫[t=0,t=2] t^2*(1/2)*t dt + (-t^4/4) dt
を計算していました。ケアレスミスです。
0037１３２人目の素数さん
2015/03/19(木) 18:27:39.96ID:46aG4jiT1微積分があやしい
2.ベクトル解析を勉強する
3.多様体を勉強する
4.精進する
.
0038１３２人目の素数さん
2015/03/19(木) 18:59:52.11ID:1mDV72td「1」です。
金子 晃 著『線形代数講義』に以下のような記述がありました：
---------------------------------------------------------
平面には極座標というものもあります。直角座標との対応
(x, y) ←→ (r, θ)
は
x = r*cosθ
y = r*sinθ
逆に、
r = sqrt(x^2+y^2)
θ=Arctan(y/x)
で与えられます。
---------------------------------------------------------
これだと、(x, y) = (-1, 1)を極座標で表すと、
r = sqrt((-1)^2+1^2)=sqrt(2)
θ=Arctan(1/(-1))=Arctan(-1)=-π/4
となってしまいます。
r = sqrt(2)
θ=3π/4
が正しいはずです。
金子先生の記述は誤っていますか？
0039１３２人目の素数さん
2015/03/19(木) 19:05:41.23ID:1mDV72td0040１３２人目の素数さん
2015/03/19(木) 19:23:16.62ID:FVAfXXsn0041１３２人目の素数さん
2015/03/19(木) 21:06:56.36ID:bV+WkNkA-π/4＋π＝3π/4
0042１３２人目の素数さん
2015/03/20(金) 00:11:23.20ID:m9fZEf6i超関数入門お勧め
LangならAlgebra
0043１３２人目の素数さん
2015/03/20(金) 09:35:47.54ID:ddwVZ4Xwこの問題の解答をお願いいたします。
0044１３２人目の素数さん
2015/03/20(金) 10:21:55.19ID:m9fZEf6i0045１３２人目の素数さん
2015/03/20(金) 10:48:57.57ID:WYbmvuv/0 1 0
0 0 1
0046１３２人目の素数さん
2015/03/20(金) 13:44:33.71ID:ddwVZ4Xw一般形でお願いします。
0047１３２人目の素数さん
2015/03/20(金) 13:49:15.15ID:EQPAoyQA[2ab aa bb]
[0 0 1]
0048１３２人目の素数さん
2015/03/20(金) 14:08:41.86ID:ddwVZ4Xwありがとうございました。
なんか直観的に分かりにくいですね。
a≠0という条件は必要ですよね？
0049１３２人目の素数さん
2015/03/20(金) 14:19:52.13ID:EQPAoyQAa≠0 は敢えてつけなかった
0050１３２人目の素数さん
2015/03/20(金) 14:22:37.45ID:ddwVZ4Xwなるほど、どうもありがとうございました。
0051１３２人目の素数さん
2015/03/20(金) 14:37:02.99ID:0Wjq5aW40052１３２人目の素数さん
2015/03/20(金) 16:31:11.71ID:A0+D116e自分は大学の授業がわかりやすかったからけっきょく使うことなく来てしまった
0053１３２人目の素数さん
2015/03/20(金) 16:45:12.45ID:0Wjq5aW40054１３２人目の素数さん
2015/03/20(金) 19:30:55.86ID:ddwVZ4Xw授業で杉浦光夫先生の本みたいに詳しくやる時間はないのではないでしょうか？
0055１３２人目の素数さん
2015/03/20(金) 19:33:45.47ID:ddwVZ4Xwある本を読んでいて分からないところがある場合、その本の説明が
悪いから分からない場合がありますけど、杉浦先生の本を読んでい
て分からない場合、分からない自分が悪いと思えます。
0056１３２人目の素数さん
2015/03/21(土) 00:27:57.63ID:PQAPD8jG0057１３２人目の素数さん
2015/03/21(土) 08:37:41.68ID:/j04KCTRこの人は物理に疎い人なのでしょうか？
2つの点電荷により作られるベクトル場のことを言っているのだと思いますが、
「2つの電源がおかれた場合にも」とか言っています。
これは訳者が電荷を電源と訳したのかも知れませんけど。
物理に疎い数学者ってなんでいるんですかね？関心の範囲が狭すぎやしませんか？
数学が得意なんだから、ちょっと勉強すれば物理も理解できると思うんですよね？
みなさん、どう思いますか？
0058１３２人目の素数さん
2015/03/21(土) 08:43:53.79ID:/j04KCTRこんなこと書いています↓
場合1．D_2 f ≠ D_1 g ならばFはポテンシャル関数を持たない。
場合2．D_2 f ＝ D_1 g でUが長方形ならばポテンシャル関数は存在する。
場合3．D_2 f ＝ D_1 gで、Uが長方形でないならば、ポテンシャル関数は存在することもしないこともある。
場合4．長方形でない開集合Uで定義され、D_2 f ＝ D_1 g を満たし、ポテンシャル関数をもつベクトル場が存在する。
場合4は場合3に含まれますよね？この場合分けは論理的じゃないですね。
0059１３２人目の素数さん
2015/03/21(土) 11:22:59.79ID:7q49zvcm君は偉いね、出版社か著者に知らせてあげたら
0060１３２人目の素数さん
2015/03/21(土) 11:28:30.78ID:/j04KCTR問題がいい加減すぎませんか？
なんかピントの合わない問題が多いように思います。
やっぱり志村五郎という人がいい加減と言っていたのは正しいのではないでしょうか？
0061１３２人目の素数さん
2015/03/21(土) 12:44:00.32ID:vzbJx1C70062１３２人目の素数さん
2015/03/21(土) 13:05:24.34ID:TzcV2ln40063１３２人目の素数さん
2015/03/21(土) 13:15:35.39ID:Chnf/C2W大学生なら杉浦か笠原読め
0064１３２人目の素数さん
2015/03/21(土) 13:20:46.17ID:/j04KCTR笠原先生の本も難しいですけど、どこがいいのか分かりません。
小林昭七先生の本と金子晃先生の本は購入済みですので、ラングの次は
それらを読むことになると思います。
0065１３２人目の素数さん
2015/03/21(土) 14:10:20.33ID:o2Vv7Bqo0066１３２人目の素数さん
2015/03/21(土) 15:44:25.64ID:miTG2HxD分かりやすい事と詳しい事は違うよ
0067１３２人目の素数さん
2015/03/21(土) 23:49:15.54ID:jUHC77T+年齢が70超えたジジイはもうかなりボケてるから
ジジイの書いた本ややめたほうがいい
0068１３２人目の素数さん
2015/03/22(日) 07:32:38.21ID:b1qcgEWnそうなんですか。でも数学書って老人の書いた本が多いですよね。
斎藤毅先生の本は難しそうだし。
0069１３２人目の素数さん
2015/03/22(日) 15:23:25.92ID:inhELTBw0070１３２人目の素数さん
2015/03/22(日) 15:37:42.26ID:ip3s0mEp小林昭七の本のミスを何度もあげつらっているが、一度も賛辞や同調や得たことがないのでムキになってるんだと思う
0071１３２人目の素数さん
2015/03/22(日) 16:02:20.68ID:b1qcgEWnには期待しています。
ラングの本よりもずっと難しそうですけど。
0072１３２人目の素数さん
2015/03/22(日) 16:45:54.60ID:eDvFHY4M0073１３２人目の素数さん
2015/03/22(日) 17:04:46.97ID:7Euoqn7m基礎から応用まで段階的に身につけられるものがありがたいです。
よろしくお願いします。
0074１３２人目の素数さん
2015/03/22(日) 17:27:09.50ID:b1qcgEWn小寺平治さんの本はどうでしょうか？
0075１３２人目の素数さん
2015/03/22(日) 17:55:05.83ID:b1qcgEWnもし持っている方でこの本を理解している方に質問なのですが、
p.148の定理4の「場合1」の証明が全く分かりません。
どうしてポテンシャル関数φを持つのでしょうか？
0076１３２人目の素数さん
2015/03/22(日) 18:09:44.24ID:aawLLVbK0077１３２人目の素数さん
2015/03/24(火) 10:46:35.89ID:YV69qEGWp.264 例2．関数f(x,y)=x^2*e^(-x^4-y^2)の最大値を求めよ。
答えが((1/2)^(1/4),0)となっていますが、明らかに(-(1/2)^(1/4),0)も
解です。
翻訳者もそのまま間違ったまま訳しているんですね。
志村五郎という人の言っていたことはどうやら正しいようですね。
0078１３２人目の素数さん
2015/03/24(火) 10:56:40.88ID:YV69qEGW0079１３２人目の素数さん
2015/03/24(火) 11:36:08.25ID:RTrK+R6g0080１３２人目の素数さん
2015/03/24(火) 12:44:53.60ID:tpuaU/mN0081１３２人目の素数さん
2015/03/24(火) 13:26:50.19ID:hOEXH4NC0082１３２人目の素数さん
2015/03/24(火) 15:11:19.23ID:fWYzAK4P0083１３２人目の素数さん
2015/03/24(火) 17:05:18.92ID:9fSJkCeT0084１３２人目の素数さん
2015/03/24(火) 18:08:32.81ID:YV69qEGWあまりにもいい加減なため、読むのをやめ、松坂和夫著『解析入門1-6』を
借りてきて読むことにしました。
分からないところがありましたら質問させていただきますので、よろしく
お願いいたします。
0085１３２人目の素数さん
2015/03/24(火) 18:09:49.54ID:YV69qEGW0086１３２人目の素数さん
2015/03/24(火) 18:24:30.10ID:YV69qEGW「ただ、著者の非力や健康上の障害などのため、結果はやはり、両氏
の期待や理想からは程遠いものになった。そのことは遺憾であるけれ
ども、やむを得ないことでもある。」
なんて書いてありました。テンションが下がりますよね。
松坂和夫先生が参考にした主な本は、
高木貞治著『解析概論』
赤攝也著『微分学・積分学』
Ahlfors著『Complex Analysis』
Rudin著『Principles of Mathematical Analysis』
だそうです。翻訳までしたラングさんの本は参考に
していないんですね。
0087１３２人目の素数さん
2015/03/24(火) 20:14:50.96ID:tpuaU/mN0088１３２人目の素数さん
2015/03/24(火) 20:19:49.11ID:2ZrlWrq6学校の教科書以外の書物に触れたことがないとか、自発的に何かを知りたいと思ったことがないとか、そんなところだろうか
0089１３２人目の素数さん
2015/03/24(火) 20:22:44.03ID:As7FrkWM0090１３２人目の素数さん
2015/03/24(火) 20:32:35.99ID:HzQIwKxq0091１３２人目の素数さん
2015/03/24(火) 23:02:36.95ID:MWLCa3Qx頼むからコテハンでやってくれ。
0092１３２人目の素数さん
2015/03/25(水) 05:48:37.26ID:fAw9Fj8U大学以上のテキストに間違いが含まれることはよくあること
演習問題の解答が間違っていることなど典型的
0093１３２人目の素数さん
2015/03/25(水) 09:08:32.35ID:lyLvADUf第1章「数」は読まず第2章「数列と級数」から読み始めました。
この本、各ページの端のほうの3分の1くらいが空白になっていて
もったいないですね。全部使っていたなら全6巻が4巻くらいで
済んだと思うんです。
0094１３２人目の素数さん
2015/03/25(水) 09:35:59.17ID:lyLvADUfp.70の例1です。
a_(n+1) = (2*a_n+2)/(a_n+2)であり、
数列(a_n)がαに収束するとき、
α = (2*α+2)/(α+2)
が成り立つとさらっと書いてありますけど、本当は、以下のようにしなければ
ならないのではないでしょうか？
極限の四則により、任意の正の実数εに対し、ある正の整数Nが存在して、
n≧N ⇒ |(2*a_n+2)/(a_n+2)-(2*α+2)/(α+2)|<ε
が成り立つ。
a_(n+1) = (2*a_n+2)/(a_n+2)だから、
n≧N ⇒ |a_(n+1)-(2*α+2)/(α+2)|<ε
これは数列(a_n)が(2*α+2)/(α+2)に収束することを示す。
一方、数列(a_n)はαに収束する。
p.60 定理1により、収束する数列の極限は一意に定まる。
よって、α = (2*α+2)/(α+2)が成り立つ。
0095１３２人目の素数さん
2015/03/25(水) 11:51:28.63ID:lyLvADUf小形正男『キーポイント多変数の微分積分』
石井俊全『1冊でマスター大学の微分積分』
を速習用に借りてきました。
分からないところがありましたら質問させていただきますので、
よろしくお願いいたします。
0096１３２人目の素数さん
2015/03/25(水) 13:01:11.26ID:OCWfZ6Nn0097１３２人目の素数さん
2015/03/25(水) 13:15:51.63ID:lyLvADUfこんな本読んでも多変数の微積分を理解することは不可能ですね。
ラングよりもひどい。
0098１３２人目の素数さん
2015/03/25(水) 13:42:35.66ID:UTQoQcdZ0099１３２人目の素数さん
2015/03/25(水) 13:49:03.17ID:lyLvADUf今まで見た微積の本の中で最低の本でした。
大学生に単位を取らせることが目的の本だと書いてありました。
直ぐに図書館に返そうと思います。
0100１３２人目の素数さん
2015/03/25(水) 13:52:05.97ID:lyLvADUf石井俊全『1冊でマスター大学の微分積分』
はアマゾンのレビューで評判が良かったので借りてきたのですが、
あてになりませんね＞アマゾン。
0101１３２人目の素数さん
2015/03/25(水) 15:31:13.65ID:wiAZAbKB0102１３２人目の素数さん
2015/03/25(水) 18:02:57.50ID:2NqGGsAo暗愚君ｗｗｗ
0103１３２人目の素数さん
2015/03/25(水) 19:52:25.48ID:lyLvADUf明らかだと書かれていることなんですが、念のため証明を考えてみました。
↓が松坂先生が明らかだと書いている命題なんですが、
証明はあっていますか？なんか自信が持てないのですよね。
A, B（⊂R）を空でない集合とする。
A∪B=RかつA∩B=φとする。
Bの任意の元はAの下界であり、Aの任意の元はBの上界であるとする。
inf A = sup B
を証明せよ。
【証明】
Bの任意の元bはAの下界であるから、Aの最大下界であるinf A以下である。
b≦inf A
これは、inf AがBの上界であることを示す。sup BはBの最小上界であるから、
sup B≦inf A
もしも
sup B<inf Aと仮定すると、
sup B < r < inf Aとなるようなr∈Rが存在する。
r∈Aまたはr∈Bであるが、もしr∈Aと仮定すると、
r < inf Aは、inf AがAの下界であることに反する。
もしr∈Bと仮定すると、sup B < rは、sup BがBの
上界であることに反する。
したがって、sup B = inf Aでなければならない。
0104１３２人目の素数さん
2015/03/25(水) 20:20:25.45ID:JJMJRNBBそれで全部解決すんだろ
0105１３２人目の素数さん
2015/03/26(木) 13:36:23.88ID:ySa1+hRp杉浦光夫先生の本ですかー。
ちょっと通読するにはきついと思うんですよね。
上極限、下極限について杉浦先生の本を調べてみました。
結構詳しく載っていますね。丁寧な解説で有名な松坂先生
の解析入門よりも丁寧です。
でも杉浦先生の本ですが、早速誤りを発見してしまいました。
p.366に命題1.4,c)と書いてありますが、定理1.4,c)が正しいです。
0106１３２人目の素数さん
2015/03/26(木) 13:44:40.09ID:lg3z4cdZ0107１３２人目の素数さん
2015/03/26(木) 13:45:01.11ID:ySa1+hRp説明にむらがありますね。
無茶苦茶丁寧な部分があるかと思えば、一方で、
「数列(a_n)の最大の部分列極限、最小の部分列極限を、それぞれ(a_n)の
上極限、下極限とよび、それぞれ記号
lim sup a_n, lim inf a_n
で表す。もちろん一般にlim inf a_n ≦ lim sup a_nであって、両者が
一致するときに、これがlim a_nとなるのである。」
などと書いてあるところがあります。
他の人の本ではこのことの証明に1ページ以上費やしています。
まあ、松坂先生本人も駄作だとまえがきに書いてありますから大目に
見てあげようと思います。
0108１３２人目の素数さん
2015/03/26(木) 13:51:59.76ID:sdTvovbc何故わざとそう振る舞っているかと言えば、根本に>>88から産まれた視野の狭さと驕りがあるせいではなかろうか
0109１３２人目の素数さん
2015/03/26(木) 14:27:25.61ID:CG2e0hkT0110１３２人目の素数さん
2015/03/26(木) 15:56:40.35ID:yvn6ryj6猿知恵暗愚
0111１３２人目の素数さん
2015/03/27(金) 19:37:52.00ID:lPmHANvj上極限、下極限が使われる重要な場面ってありますか？
とばしちゃっても大丈夫ですかね？
コーシー・アダマールの定理では使われるようですけど。
0112１３２人目の素数さん
2015/03/27(金) 19:48:43.93ID:Y8zUU2nV0113１３２人目の素数さん
2015/03/27(金) 19:51:51.34ID:T7BzA7N1／／／）
／,.=ﾞ''"／
／ i f ,.r='"-‐'つ＿＿＿_ こまけぇこたぁいいんだよ！！
/ / _,.-‐'~／⌒ ⌒＼
／ ,i ,二ﾆ⊃（ ●）. （●）＼
/ ﾉ ilﾞフ::::::⌒（__人__）⌒::::: ＼
,ｲ｢ﾄ､ ,!,!| |r┬-| |
/ iﾄヾヽ_/ｨ"＼ `ー'´ ／
0114１３２人目の素数さん
2015/03/27(金) 20:03:37.55ID:lPmHANvjありがとうございます。
とばして先に進もうと思います。
0115１３２人目の素数さん
2015/03/27(金) 20:29:25.83ID:kuKFwKdM／ ／ヽヽ|/⌒＼ii|＼
|／ ／ヾゞ//／＼＼|
|／ |;;;;;;| ＼|
|;;;;;;|
|;;;;;;|ﾍ⌒ヽﾌ ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣＼
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|;;;;⊂ ｝ ＜ ブタもおだてりゃ木にのぼる |
|;;;;⊂,____,ノｅ | |
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|;;;;;;|
0116１３２人目の素数さん
2015/03/28(土) 15:00:17.63ID:E6CHfLN6ちょっと雑なところがありますね。
p.86 例3 級数Σ1/nは発散する。
という命題の証明で、
「この級数
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...
を、級数
1+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+1/8+1/8+...
と比較すると、対応する項は前者の方が後者に等しいかまたはそれより大きく、かつ後者の級数は
1+1/2+1/2+1/2+...
であるから発散する。」
などと書かれています。
「後者の級数は1+1/2+1/2+1/2+...である」のところがおかしいですよね。
松坂先生の論法によるならば、
級数
1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+...
は
0+0+0+0...
であるから0に収束する。
ということが導けてしまいますよね。
0117１３２人目の素数さん
2015/03/28(土) 15:04:43.44ID:cvOxqsq30118１３２人目の素数さん
2015/03/28(土) 15:05:02.34ID:E6CHfLN6で、その杉浦先生の『解析入門1』ですが、p.45の下のほうに
integrate x^n dx from x=0 to 1 = 1/n
などと書かれています。
integrate x^n dx from x=0 to 1 = 1/(n+1)
が正しいですよね？
0119１３２人目の素数さん
2015/03/28(土) 16:32:04.27ID:chnIJU350120１３２人目の素数さん
2015/03/28(土) 18:08:10.28ID:E7/Es/Qf>松坂先生の論法によるならば、
> 級数
>1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+...
>は
>0+0+0+0...
>であるから0に収束する。
松坂先生の論法だとどうしてそんなことが言えるのだ？
松坂先生の論法は、評価したい級数(Sn)が既知の級数(Ln)より大きいから(Sn>Ln)、
Ln→∞なら、Sn→∞と言っているだけだろう。
この論法で、Ln→0の場合、どうしてSn→0なんて言えるのだ？
そんなことは、とても言えそうにないと思うな。
0121１３２人目の素数さん
2015/03/28(土) 18:17:17.31ID:E7/Es/Qf飛ばしちゃだめ。
上極限、下極限は、数列の極限の存在が言えないような場合の証明手段として非常に重要だ。
これがわからないようでは、極限操作を用いた証明や評価などできないと思うぞ。
0122１３２人目の素数さん
2015/03/28(土) 19:02:45.04ID:E7/Es/Qfan→αなら、そんな証明までしなくてもいいんじゃないのか。
bn→β(≠0)、bn≠0として、
lim(an+bn)=lim(an)+lim(bn)
lim(an・bn)=lim(an)・lim(bn)
lim(an/bn)=lim(an)/lim(bn)
が成り立つから、当たり前じゃないのか。
0123１３２人目の素数さん
2015/03/28(土) 20:50:03.26ID:GqZu28ai0124１３２人目の素数さん
2015/03/29(日) 12:19:55.55ID:OuUzlg2GΣsqrt(a_n)/n
も収束することを示せ。
という問題が分かりません。
sqrt(a_n)/n ≦ (1/2)*(a_n + 1/n^2)
に注意すればよいというヒントがあります。
この不等式はどうすれば導けるのでしょうか？
0125１３２人目の素数さん
2015/03/29(日) 12:24:06.13ID:PWWhmcVK・右-左を計算
・凸不等式
すきなのえらべ
0126１３２人目の素数さん
2015/03/29(日) 12:25:48.43ID:OuUzlg2Gありがとうございました。
分かりました。
0127１３２人目の素数さん
2015/03/29(日) 12:49:57.45ID:A4NWRkpPコーシー・シュワルツ
コーシー・ビャンコフスキー
好きなの選べ
0128１３２人目の素数さん
2015/03/29(日) 17:52:53.76ID:OuUzlg2G松坂和夫著『解析入門』全6巻、開始価格3000円で出品されていますね。
http://page18.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/w118506332
0129１３２人目の素数さん
2015/03/29(日) 19:02:28.84ID:YrxJyara0130１３２人目の素数さん
2015/03/29(日) 19:03:15.24ID:Yh77hjBk0131１３２人目の素数さん
2015/03/30(月) 18:16:42.00ID:G/o6fv9dこのあたりからかなり説明が雑になってきますね。「簡単だから読者に任せる」
という言葉が増えてきますね。
この本が他の本の参考文献に挙げられているのを見たことがありませんし、
松坂先生自信駄作だと認めていますけど、その理由が徐々に分かってき
ました。
1653年に大学を卒業した丸山哲郎さんって長生きですね。1959年に本を出版しています。
http://auctions.c.yimg.jp/images.auctions.yahoo.co.jp/image/bi530/users/7/7/2/9/rialo88asa-imgbatch_1427442528/600x450-2015032700047.jpg
関孝和が1640年頃に生まれですので、関孝和よりも早く生まれていますね。
若いころは和算を勉強していたのに、その後、西洋数学を吸収し、現代数学
まで修得するってすごいですよね。激動の数学人生ですよね。まだ生きてい
る人かどうか知りませんが、伝記があれば読んでみたいです。
0132１３２人目の素数さん
2015/03/30(月) 18:20:43.30ID:mtfHkzH7それにしても、よくもまあ見つけるもんだな
0133１３２人目の素数さん
2015/03/30(月) 18:21:08.40ID:G/o6fv9dまだ講師です。
300年も数学をやっていても才能がない人はダメなんですね。
学習曲線ってすぐに傾きが水平に近くなるって話ですけど、本当なんですね。
0134１３２人目の素数さん
2015/03/30(月) 18:26:27.49ID:FUXjGbGn0136１３２人目の素数さん
2015/03/30(月) 18:34:26.20ID:YzU8wydJ>松坂先生自信駄作だと認めています
どこにそんな記述が？
0138１３２人目の素数さん
2015/03/30(月) 19:11:52.06ID:G/o6fv9dまえがきに以下のように書いています。
「ただ、著者の非力や健康上の障害などのため、結果はやはり、両氏
の期待や理想からは程遠いものになった。そのことは遺憾であるけれ
ども、やむを得ないことでもある。」
0139１３２人目の素数さん
2015/03/30(月) 19:13:45.39ID:mFx1P1if0140１３２人目の素数さん
2015/03/30(月) 19:22:31.49ID:YzU8wydJこの記述があるからといって「駄作だと認めています」と言い切るのは
無理があるのでは。
0141１３２人目の素数さん
2015/03/30(月) 21:06:08.69ID:G/o6fv9dlim x→∞ f(x)=α
のε-δ式の定義が書いていない（限りなく大きくなるとき、
なんたらという定義が書いてある）んですけど、問題では、
ε-δ式の証明を要求しているんでよね。
微積の本は、松坂先生の本だけを読んで勉強しているという人には、
無茶苦茶不親切な本ですよね。
0142１３２人目の素数さん
2015/03/30(月) 21:20:06.61ID:slzmAqFi0143１３２人目の素数さん
2015/03/30(月) 22:41:33.43ID:uQQo1B0c本文にε-δ式の定義がなくて、問題の解答がε-δ式で書かれているのか。
もしそうなら、確かに一貫性がないな。
ひょっとして、問題は別の人が書いたのかもしれないな。
0144１３２人目の素数さん
2015/03/31(火) 00:02:51.22ID:41XWlgZ20145１３２人目の素数さん
2015/03/31(火) 00:06:08.35ID:qByzNhvG0146１３２人目の素数さん
2015/03/31(火) 00:48:59.16ID:NvCiW9b20147１３２人目の素数さん
2015/03/31(火) 10:02:17.49ID:Rwj1XtKy挙げられていていますし、評判もいいようですね。
0148１３２人目の素数さん
2015/03/31(火) 10:39:14.81ID:n4A6rp4oε-δ論法自体はもちろん説明されていて、いろいろな定理の証明で
使われています。でも
lim x→∞ f(x)=α
とか
lim x→a+ f(x)=α
とかはε-δ式には定義されていないんです。
>>147
笠原先生の本はどこがいいのか分かりません。
0149１３２人目の素数さん
2015/03/31(火) 10:48:54.74ID:FcPUXY7u0150１３２人目の素数さん
2015/03/31(火) 11:10:27.06ID:n4A6rp4o小平邦彦先生の『解析入門1、2』ですね。
微積の本の参考文献紹介を読むと、溝畑茂先生の『数学解析上下』と
小平先生の『解析入門1、2』がなぜか杉浦光夫先生の『解析入門1、2』
よりも上であるかのように書かれている場合があります。
なぜなのでしょうか？
例えば、
「ひとりの数学者の目を通して見た微分積分学の全体像、論理の展開を
知りたい読者には、やはり、この講座を読了後に、次のいずれかにふれる
ことを勧める。」などと小平先生と溝畑先生の本が勧められています。
一方、杉浦先生の本は、
「次の教科書にはおよそすべてのことが書かれている。」などと紹介
されています。
杉浦＝詳しい教科書
小平、溝畑＝偉い数学者の書いた含蓄に富む数学書
的に紹介されることが多いんですよね。
0151１３２人目の素数さん
2015/03/31(火) 15:15:19.73ID:IAMo0JXH小平解析入門：微分方程式は扱っていないが微分方程式で必要な実解析関数を扱っている。
また、ワイエルシュトラス関数の例など、歴史的に意義がある事柄も載っている。
デデキント切断による実数論も載っている。解析概論の影響は、一応受けている。
溝畑数学解析上下：解析やりますって感じで微分積分を展開している。ベクトル解析も載っているとは聞く。
杉浦解析入門：主に解析概論と溝畑の厳密な多変数の微分積分の導入の部分を参考にして厳密に書かれた。
微分方程式や、小平解析入門に載っている実解析関数が載っていない。
解析概論：多変数の微分積分を厳密に展開していなく、今日では使えないといわれることが多い。
詳しいなら、藤原松三郎の微分積分学も、杉浦解析入門と同様に詳しい筈なのだ。
こんなとこじゃないか。
0152１３２人目の素数さん
2015/03/31(火) 17:59:39.38ID:n4A6rp4oなるほど、参考になりました。
数学のガイドブックに、上野健爾先生が解析概論は多変数の微積分の説明が杜撰の
一言につきる、どうして名著と言われているのか理解に苦しむ、というようなこ
とを書いていました。上野健爾先生のおすすめは、一松信先生の『解析学序説上下』
の旧版だそうです。
0153１３２人目の素数さん
2015/03/31(火) 18:47:49.66ID:6tUnYrVa入手困難な絶版本を薦めるのはどうなのかね
0154１３２人目の素数さん
2015/03/31(火) 22:40:02.63ID:vN7gfhfF心理学も大事
人の粗探しをしてしまう心理
http://www.counselingservice.jp/lecture/lec275.html
0155１３２人目の素数さん
2015/04/01(水) 00:47:59.76ID:qUH602Os大学数学科２年のまだまだ未熟者ですがひとこと。
『解析学序説』(旧版)は大学の図書館で見つけて気に入って、こないだ古本屋で見つけて衝動買いしました。
厳密さもしっかりしてるし、［ものいい］、［いいわけ］で初学者が疑問に持つかもしれない点にしっかりと説明も入れています。
あと講義的な語り口で書いてあり説明も詳しくちょっとした雑談も挟んでありとにかく読んでいて面白い本だと個人的に思います。
0156１３２人目の素数さん
2015/04/01(水) 00:49:14.63ID:FxTcoGCk0157１３２人目の素数さん
2015/04/01(水) 00:58:52.31ID:zh6vhyDl0158１３２人目の素数さん
2015/04/01(水) 06:08:33.75ID:qUH602Os説明が正確じゃなかったですすみません。
講義的な語り口なのは[ものいい]と[いいわけ]のところでそれ以外はしっかりとした
専門書的な言葉使いですよ。
この本の特徴は厳密さとかなり詳しい説明(例についても)と他の本にはないようなことまでも関連した事項については
のせていることだと思います。
とにかく地雷ではないのは間違いないです。
0159１３２人目の素数さん
2015/04/01(水) 08:13:23.56ID:D9xN6Bsl解析学I
解析学II
宮島静雄著
微分積分学I
微分積分学II
微分積分学としてのベクトル解析
ってどうですか？
パッと見、丁寧な感じですけど。
0160１３２人目の素数さん
2015/04/01(水) 10:45:27.26ID:WUKcZlMe中谷のマクロも第３版がよかったのに、改訂前のが良かった本は少なくない。
0161１３２人目の素数さん
2015/04/01(水) 12:23:06.80ID:D9xN6Bsl微積分とは関係ないですけど、物理のテレビ番組がありますね：
番組タイトル：「ニューヨーク白熱教室 最先端物理学が語る驚異の未来（１）アインシュタインの夢」
番組内容：科学の歴史は、“創造主の意思”ともいえるたった一つの自然法則を探求する道のりであった。
現代の最先端物理学が挑む“万物の理論”への道のりをたどる。
放送日：2015年04月03日
開始時刻：23:00
http://www2.nhk.or.jp/hensei/program/wk.cgi?ch=31&;area=001&date=&tz=all&mode=2&next=&f=week
0162１３２人目の素数さん
2015/04/01(水) 17:24:49.65ID:D9xN6Bsl粗雑すぎます。この本の〔特色〕の一つとして、
「理解を確認する多数の演習問題を入れた。ていねいな解答つき。」
などと書かれていますが、全くのウソですね。この宣伝文を書いた人
は本当に問題と解答を理解して読んで宣伝を書いているんですかね。
問題
fは(-∞, +∞)で連続な関数で、すべてのx,y∈Rに対し
f(x+y)=f(x)+f(y)
が成り立つとする。
そのとき、f(1)=cとおけば、f(x)=cxであることを証明せよ。
解答
f(0)=0, f(-x)=-f(x), n∈Zに対してf(n)=cnは直ちに出る。
次に有理数r=m/n(m, n∈Z, n>0)に対しては、f(nx)=n(fx)
のxにrを代入してcm=nf(r)、よってf(r)=cr。最後に連続性
によって無理数xに対してもf(x)=cxを得る。
0163１３２人目の素数さん
2015/04/01(水) 17:31:35.33ID:jjT5MClk0164１３２人目の素数さん
2015/04/01(水) 20:54:22.35ID:D9xN6Bsl解答は載っているのですが、別解を知りたいので。
問題
fは(-∞, +∞)で連続な関数で、すべてのx,y∈Rに対し
f(x+y)=f(x)+f(y)
が成り立ち、また、ある正の定数Mが存在して、区間[0,1]に
属するすべてのxに対して|f(x)|≦Mが成り立つとする。そ
のときf(x)=cx, c=f(1)であることを証明せよ。
0165１３２人目の素数さん
2015/04/01(水) 20:58:29.52ID:SsGvmjrr自明
（解答終）
0166１３２人目の素数さん
2015/04/01(水) 23:48:28.94ID:vsEBgriI0167１３２人目の素数さん
2015/04/02(木) 00:05:34.21ID:0n1Ggil4松坂への攻撃ばかりに執着してるんだから、
攻め手の見当たらない本はもともと読む気が無いんだろ。
つまり、こいつは分かり易く攻撃できる本が欲しいのであって、
ミスのない完璧な本や意義深い本では攻撃できないから
（そういう本、あるいは完璧でないまでもより良い本が提示されても）
スルーするということなのだろう。
0168１３２人目の素数さん
2015/04/02(木) 01:19:53.48ID:kH95mA2Gn,m∈Z、m≠0 とする。
c=f(1)=f(m(1/m))=mf(1/m) だから f(1/m)=c(1/m)
f(n/m)=nf(1/m)=c(n/m)
∀x∈R に対し、0≦x-m<1 を満たす整数 m を取る。
有理数の稠密性から、∀n∈N に対し、p_n/10^n≦x-m<(p_n+1)/10^n を満たす整数 0≦p_n<10^n が存在する。
有理数列{a_n}={m+p_n/10^n} とおく。
|x-a_n|<m+(p_n+1)/10^n-(m+(p_n)/10^n)=10^-n であるから、
∀ε>0 に対し ある n_0∈N が存在し、n≧n_0 ⇒ |x-a_n|<ε を満たす、すなわち lim[n→∞]a_n=x である。
一方fは連続であるから、f(x)=lim[a_n→x]f(a_n)=lim[n→∞]f(a_n)=lim[n→∞]ca_n=clim[n→∞]a_n=cx ■
0169靖国参拝、皇族、国旗国歌、神社神道を異常に嫌うカルト
2015/04/02(木) 01:41:39.94ID:8m9u2KQE・沢山の人が偏った意見を一貫して支持する
偏った意見でも、集団の中でその意見が信じられていれば、自分の考え方は間違っているのか、等と思わせる手法
・不利な質問をさせなくしたり、不利な質問には答えない、スルーする
誰にも質問や反論をさせないことにより、誰もが皆、疑いなど無いんだと信じ込ませる手法
偏った思想や考え方に染まっていたり、常識が通じない人間は、頭が悪いフリをしているカルト工作員の可能性が高い
10人に一人はカルトか外国人
「ガスライティング」で検索を！
0170１３２人目の素数さん
2015/04/02(木) 07:07:28.01ID:TbiMUBMmなるほど、有理数列で近似するところがポイントですね。
ありがとうございました。
ところで、
「∀x∈R に対し、0≦x-m<1 を満たす整数 m」の存在はどうやって証明するのでしょうか？
あと、
「有理数の稠密性から、∀n∈N に対し、p_n/10^n≦x-m<(p_n+1)/10^n を満たす整数 0≦p_n<10^n が存在する。」
の部分がよく分かりませんでした。
どちらも直観的には明らかなことですが。。。
0171１３２人目の素数さん
2015/04/02(木) 07:12:18.53ID:TbiMUBMm>>164
の解答を募集します。
宮岡 悦良, 永倉 安次郎 著
解析学I
を衝動買いしてしまいました。
これも副読本にしようと思います。
0172１３２人目の素数さん
2015/04/02(木) 10:13:21.51ID:OD/HKsbhx、yは両方共に実変数である。
f(x)＝cx、c＝f(1)なる連続関数f(x)はf(x＋y)＝f(x)＋f(y)…①、
及び満たすべき条件をすべて満たす。よって、①の解は確かに存在する。
今、方程式①を解く。変数x、yについて、x＝yとすれば、
①からf(2x)＝2f(x)であり、任意の実数xに対してf(2x)＝2f(x)が成り立つ。
よって、x＝0とすれば、2f(0)＝f(0)から、f(0)＝0である。
一方、変数x、yについて、y＝-xとすれば、①からf(0)＝f(x)＋f(-x)であり、f(x)＋f(-x)＝0。
(1)、点x＞0を任意に取る。関数f(y)は連続だから、平均値の定理からxに対して
或るx＞a＞0なる点aが存在して、(f(x))/x＝f(a)であり、f(x)＝x・f(a)。
また同様に、-x＜0から、点-xに対して或る-x＜b＜0なる点bが存在して、f(-x)＝(-x)・f(b)。
よって、x・f(a)＋(-x)・f(b)＝f(x)＋f(-x)＝0から、x・f(a)＝x・f(b)であり、
f(a)＝f(b)をf(a)＝f(b)＝dとおけば、(f(x))/x＝d＝(f(-x))/(-x)である。
点x＞0は任意だから、x＞0を走らせると、任意のx＞0に対して(f(x))/x＝(f(-x))/(-x)が成り立つ。
0173１３２人目の素数さん
2015/04/02(木) 10:16:30.40ID:OD/HKsbh(>>172の続き)
(2)、|x|＞|y|なる2点x＞0、y＜0を任意に取る。すると、平均値の定理からxに対して
或るx＞a＞0なる点aが存在して、(f(x))/x＝f(a)であり、f(x)＝x・f(a)。
同様に、点yに対して或るy＜b＜0なる点bが存在して、f(y)＝y・f(b)。
よって、f(x)＋f(y)を考えると、①からf(x＋y)＝x・f(a)＋y・f(b)。
x＋y＝zとおけば、|x|＞|y|、x＞0、y＜0からz＞0であり、f(z)＝x・f(a)＋(z－x)・f(b)。
2点x＞0、y＜0は|x|＞|y|なる条件の下で任意だから、条件|x|＞|y|の下でx＞0、y＜0を走らせると、
任意のx＞z＞0なる2点z、xに対して、或るx＞a＞0なる点a、z＞b＞0なる点bが存在して、
f(x)＝x・f(a)、f(z)＝z・f(b)が両方共に成り立ち、f(z)＝x・f(a)＋(z－x)・f(b)、
よって、f(z)＝f(x)＋f(z)－x・f(b)から、f(x)＝x・f(b)であり、x・f(a)＝x・f(b)からf(a)＝f(b)、
故に、f(a)＝(f(x))/x、f(b)＝(f(z))/zから、(f(x))/x＝(f(z))/z。 ((2)終)
(1)、(2)から、任意のx＞z＞0なる2点z、xに対して、(f(x))/x＝(f(z))/z＝(f(-x))/(-x)が成り立つ。
同様に考えると、任意のx＜z＜0なる2点z、xに対して、(f(x))/x＝(f(z))/z＝(f(-x))/(-x)が成り立つ。
よって、x≠0を変数として考えて、(f(x))/x＝cとおけば、x≠0のときf(x)＝cx。
ここで、x＝0とすると、f(0)＝0であり、f(x)＝cxはx＝0のときも条件を満たす。
故に、①の解はf(x)＝cx。ここに、c＝f(1)であり、cは仮定の条件を満たす。
0174１３２人目の素数さん
2015/04/02(木) 10:22:15.92ID:OD/HKsbhあ、f(x)は微分可能じゃなかったのか。
じゃ、>>172-173ではダメだわな。取り下げ。
0175１３２人目の素数さん
2015/04/02(木) 10:41:41.02ID:VXZrg5alマジレスして
赤っ恥
与作
0176１３２人目の素数さん
2015/04/02(木) 10:41:57.45ID:OD/HKsbh微分可能だったとして考えたとしても、f'(a)やf'(b)と書くべきところを
f(a)とかf(b)と書いたりしていて、式がトンチンカンな箇所があるな。
これは失礼。
0177１３２人目の素数さん
2015/04/02(木) 11:16:03.36ID:u6jg+Uj20178１３２人目の素数さん
2015/04/02(木) 21:12:55.82ID:kH95mA2Gわからないことをわかったつもりにならないことはとても良いことだ。
わからないことを自分で考えずすぐ聞くのはとても悪いことだ。
[x]:=max{n∈Z|n≦x} と定義する。
＞「∀x∈R に対し、0≦x-m<1 を満たす整数 m」の存在はどうやって証明するのでしょうか？
m=[x] は 0≦x-m<1 すなわち m≦x<m+1 を満たす。（もし x≧m+1 なら、m=[x] の定義に反する）
＞「有理数の稠密性から、∀n∈N に対し、p_n/10^n≦x-m<(p_n+1)/10^n を満たす整数 0≦p_n<10^n が存在する。」
p_n=[(x-m)10^n] は、p_n/10^n≦x-m<(p_n+1)/10^n すなわち p_n≦(x-m)10^n<p_n+1
（もし (x-m)10^n≧p_n+1 なら、p_n=[(x-m)10^n] の定義に反する）
有理数の稠密性は要らなかったね。ごめん。
0179１３２人目の素数さん
2015/04/02(木) 21:22:38.95ID:Fy7wLlfR（ ﾟωﾟ )
／ ＼ お断りします
((⊂ ） ﾉ＼つ))
（＿⌒ヽ
ヽ ﾍ }
ε≡Ξ ﾉノ ｀J
0180１３２人目の素数さん
2015/04/03(金) 07:58:20.96ID:+sgRM03Lf(x)+f(-x)=0より、f(x)/x＝f(-x)/(-x)は、すぐに導けますね。
>>178
{n∈Z|n≦x}に最大値が存在することはどうやって証明するのでしょうか？
0181１３２人目の素数さん
2015/04/03(金) 10:32:09.17ID:+sgRM03L以下の問題の最後の部分がよく分かりません。
「xが無理数のときr<x<sなるr,s∈Qをとるとr<f(x)<s。」
からなぜf(x)=xが導けるのでしょうか？
【問題】
fは(-∞, +∞)で定義された関数で、定数0ではなく、すべてのx, y∈Rに対し
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(xy)=f(x)f(y)
が成り立つとする。そのときf(x)=xであることを証明せよ。
（ヒント）x>0のときf(x)>0であることを示し、fが単調増加であることを導け。
【解答】
x>0のときf(x)>0、 f(1)=1、f(r)=r(r∈Q)は容易に分かる。
またf(y-x)=f(y)-f(x)であるから、x<yならばf(x)<f(y)。
よって、xが無理数のときr<x<sなるr,s∈Qをとるとr<f(x)<s。
ゆえにf(x)=x。
0182１３２人目の素数さん
2015/04/03(金) 10:32:50.92ID:+sgRM03Lf(x)=f(x*1)=f(x)*f(1)
f(x)*(1-f(1))=0
f(x)≠0となるxが存在するから、
f(1)=1
x≠0かつf(x)=0となるxが存在すると仮定する。
1=f(1)=f(x*(1/x))=f(x)*f(1/x)=0。矛盾。
したがって、任意のx≠0に対して、f(x)≠0。
x>0とする。
f(x)=f(sqrt(x)*sqrt(x))=f(sqrt(x))^2>0
0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)
f(-x)=-f(x)
x>yとする。
x-y>0だから、
0<f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(y)
f(y)<f(x)
よって、fは(-∞,+∞)で単調増加
0183１３２人目の素数さん
2015/04/03(金) 10:34:02.02ID:+sgRM03Lf(r)=f(1)*r=r
f(x)≠xとなるようなx∈R-Qが存在すると仮定する。
(1)f(x)>xの場合
有理数の稠密性により
f(x)>r>xとなるr∈Qが存在する。
fは単調増加だから、r=f(r)>f(x)。矛盾。
(2)f(x)<xの場合
有理数の稠密性により
f(x)<r<xとなるr∈Qが存在する。
fは単調増加だから、r=f(r)<f(x)。矛盾。
したがって、任意のx∈Rに対して、f(x)=x。
0184１３２人目の素数さん
2015/04/03(金) 20:42:49.08ID:9C5a0GdT数学科？位相は習った？
0185１３２人目の素数さん
2015/04/03(金) 22:49:40.05ID:fWa37CRu0186１３２人目の素数さん
2015/04/03(金) 23:16:40.51ID:P2dBJfvDわからないことをわかったつもりにならないことはとても良いことだ。
わからないことを自分で考えずすぐ聞くのはとても悪いことだ。
＞{n∈Z|n≦x}に最大値が存在することはどうやって証明するのでしょうか？
実数 x を負の無限大へ丸めた数を m とおく。m は整数である。
(1)m≦x であるから、m∈{n∈Z|n≦x}
(2)m より大きい最小の整数 m+1 は x<m+1 を満たすから、l∈Z が l>m を満たすなら、l∈/{n∈Z|n≦x} が成り立つ。
すなわち、n∈{n∈Z|n≦x} ⇒ n≦m
(1)、(2)から、m=max{n∈Z|n≦x}
0187１３２人目の素数さん
2015/04/03(金) 23:27:25.63ID:JYfOdOTS0188１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 00:01:40.66ID:ZRPV62bkr∈Q，f(r)=r
x,y∈R，x<y⇒f(x)<f(y)
r_n,s_n∈Q，x∈R，r_n<x<s_n，r_n→x，s_n→xとすると、
r_n=f(r_n)<f(x)<f(s_n)=s_nよりx≦f(x)≦x (n→∞) ∴f(x)=x,x∈R
0189１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 01:17:33.99ID:DKkQ67x1丸めた数と同義なのに証明と言えるのか？
0190１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 01:25:15.08ID:NuBVm7kqこれは酷い
0191１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 07:27:16.98ID:dvRRACVRありがとうございます。
>>186
「丸める」の定義は厳密にはどう定義されるのでしょうか？
>>188
そうやって証明するんですか。有理数の稠密性を使って、
例えば、x < s_n < x+1/n となるように有理数列{s_n}を
作ればいいんですね。
0192１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 07:33:07.46ID:dvRRACVRそうなんですよ。
たぶん、任意の実数xに対して、
m≦ x <m+1
となるような整数mがxを丸めた結果の整数
とかいう定義だと、そのmの存在が問題に
なってきますよね。
0193１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 09:09:52.67ID:q0M8chKQI={n∈Z|n≦x}とおく
ω≦x，∀ω∈Iより、Iは上に有界
したがって、Jは有界，∀J⊂I
Zornの補題より、Iは極大元を持つ
Iは全順序集合なので、最大元を持つ
0194１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 10:16:00.18ID:NuBVm7kq定義くらい自分で調べたら？あんまり調子に乗るなよ
>>192
定義を確認もせずに語るお前の発言が頓珍漢なものとなるのは当然の結果だ
0195１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 11:03:39.70ID:NuBVm7kqその証明だと
I={x∈R|0≦x<1}
でも成立するはずでは？どこがまずいか知りたい？
0196１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 12:21:42.28ID:q0M8chKQいいえ。わかっていますから、結構です。
0197１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 13:07:02.94ID:DKkQ67x1実数の定義まで遡れば
実数を有理数で近似して帯分数で表示すれば終わり
0198１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 13:22:13.64ID:dvRRACVRパッと見、なかなか詳しくてよさげなんですが、なんで
こんなにマイナーなんですかね？
著者がマイナーな人だからですかね？
0199１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 13:25:06.34ID:dvRRACVR>>195
ありがとうございます。Zornの補題は知らないんですよね。
>>197
ありがとうございます。
0200１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 17:02:51.30ID:dvRRACVR【問題】
f は区間 (0,+∞) で連続な関数で、
lim x→∞ {f(x+1)-f(x)} = α
とする。そのとき
lim x→∞ f(x)/x = α
であることを証明せよ。
【解答】
ε>0 に対し、x≧M ならば
(*) |f(x+1)-f(x)-α|<ε
となる M がある。いま、 x>M であるとき、 n を [x-M]=n すなわち M≦x-n<M+1 なる整数として、(*)の x に順次
x-1, x-2, …, x-n を代入して加えると
|f(x)-f(x-n)-nα| < nε。
すなわち
|f(x)-αx-f(x-n)+(x-n)α|<nε、したがって
|f(x)-αx|<|f(x-n)|+(x-n)|α|+nε。
区間 [M, M+1] における |f(x)| の最大値を A とすれば、
|f(x)-αx|<A+(M+1)|α|+xε。
K=A+(M+1)|α| とおけば、これより
|f(x)/x-α|<K/x+ε。
そこで x→∞ とすればよい。
0201１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 17:21:19.78ID:dvRRACVRあ、あっていますね。
最後、x→∞とするところが大丈夫なのかな？と思ったのですが、
大丈夫ですね。
0202１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 20:29:45.86ID:OlubCx/Lゴチャゴチャ書かずに定義や公理に忠実にやったほうがいい
任意のε>0, 任意のx∈Rに対して
有理数の稠密性より、あるr,s∈Qが存在し、
r∈(-ε/2,x),s∈(x,ε/2)
すなわち-ε/2<r<x<s<ε/2となる。
fが単調増加であることよりf(r)<f(x)<f(s)
f(r)=r(r∈Q)よりr<f(x)<s
よって
|f(x)-x|<s-r<ε
0203１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 20:34:20.54ID:OlubCx/Lこれ今年の阪大挑戦枠数学とやらに出たのと同じような問題
0204１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 20:40:34.15ID:pamgPy++0205１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 20:56:12.59ID:OlubCx/L0206１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 20:59:49.69ID:pHfIB/l+0207１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 21:50:24.49ID:NuBVm7kq＞有理数の稠密性より、あるr,s∈Qが存在し、
＞r∈(-ε/2,x),s∈(x,ε/2)
これは-ε/2<x、x<ε/2 という前提が必要じゃないか？
任意任意と言いつつ任意じゃないなｗ
0208１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 21:59:18.24ID:OlubCx/Lxを加える部分が抜けていた
任意のε>0, 任意のx∈Rに対して
有理数の稠密性より、あるr,s∈Qが存在し、
r∈(x-ε/2,x),s∈(x,x+ε/2)
すなわち-ε/2<r<x<s<ε/2となる。
fが単調増加であることよりf(r)<f(x)<f(s)
f(r)=r(r∈Q)よりr<f(x)<s
よって
|f(x)-x|<s-r<ε
0209１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 22:09:43.74ID:oohQJNWL0210１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 22:13:01.77ID:OlubCx/L任意のε>0, 任意のx∈Rに対して
有理数の稠密性より、あるr,s∈Qが存在し、
r∈(x-ε/2,x),s∈(x,x+ε/2)
すなわちx-ε/2<r<x<s<x+ε/2となる。
fが単調増加であることよりf(r)<f(x)<f(s)
f(r)=r(r∈Q)よりr<f(x)<s
よって
|f(x)-x|<s-r<ε
0211１３２人目の素数さん
2015/04/04(土) 22:18:17.04ID:oohQJNWL0212１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 00:52:04.89ID:+GOApM6Q実数の定義の仕方にもよるが、普通は、丸めを使っても
「{n∈Z|n≦x}に最大値が存在すること」の証明にはならない。
循環論法になってしまうからだ。
実数の丸めの定義の仕方は大きくわけて二種類あり、
1つ目の定義はガウス記号を使った定義であり(床関数・天井関数でググレ)、
この場合、「{n∈Z|n≦x}に最大値が存在すること」の証明が先に必要になる。
もう1つの定義では、実数の無限小数展開を使う(何進数であるかは問題ではない)。
すなわち、実数を無限小数展開し、その小数部分を切り捨てたものを丸めと定義する流儀である。
この場合、1＝0.999…の丸めが0になってしまって若干の不都合が生じるので、
この定義はあまり用いられない。また、この定義を採用したところで、循環論法からは逃れられない。
なぜなら、実数が無限小数展開可能であることは自明ではなく、証明が必要で、
ここで「{n∈Z|n≦x}に最大値が存在すること」の証明が先に必要になるからだ。
>>197
それもダメ。実数の定義の仕方にもよるが、実数が有理数で近似できることは自明ではなく、
証明が必要。ここで「{n∈Z|n≦x}に最大値が存在すること」の証明が先に必要になる可能性がある。
また、そこをクリアしたところで、まだ問題が残っている。
有理数を帯分数表示にするとき、分子を「商と余りの表示」にしなければならない。
ここで「{n∈Z|n≦x}に最大値が存在すること」を先に使うことになる。
具体的には、有理数 q/p (p＞0)が与えられたとき、分子 q を q＝pk＋r, 0≦r＜p, k∈Z という
形に表すことで q/p ＝ k＋r/p という表示が得られる。
ここまで来れば、「{n∈Z|n≦x}に最大値が存在すること」は簡単に従う。
しかし、その前に、「q＝pk＋r, 0≦r＜p, k∈Z」という表示が可能であることを
証明しなければならない(これは自明ではない)。そして、ここで
「{n∈Z|n≦x}に最大値が存在すること」を先に使ってしまう。
だから循環論法。
0213１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 00:57:41.53ID:+GOApM6Q× 何進数であるかは問題ではない
○ 何進法であるかは問題ではない
0214１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 07:03:21.54ID:X55sT+uMダメダメはわかったが、じゃあ君はどう証明する？
0215１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 08:07:42.26ID:+GOApM6Q実数の定義の仕方によって証明方法が変わる。
ここでは、「完備順序体」のことを実数と定義する。
すなわち、Rが実数体であるとは、以下の2条件が成り立つときを言う。
・ Rには四則演算と全順序が定義されていて、和の演算と積の演算がその順序と両立する。
・ Rの空でない上に有界な部分集合は常にRの中に上限を持つ。
この定義のもとで、max{n∈Z|n≦x}の存在を証明する。
0216１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 08:13:52.80ID:+GOApM6QA⊂Rはsup(A)が存在し、かつsup(A)∈Aが成り立つとする。
このとき、max(A)が存在して、しかもmax(A)＝sup(A)が成り立つ。
証明は簡単なので省略。
定理1
xは実数とする。もし{n∈Z|n≦x}が空でないならば、max{n∈Z|n≦x}が存在する。
証明
A＝{n∈Z|n≦x}と置く。仮定から、Aは空でない。また、Aは上に有界であり、
xはAの上界の1つである。Aは空でなかったから、sup(A)がRの中に存在することになる。
そこで、a＝sup(A)と置けば、a∈Rである。aの定義から、
b＜aなる任意の実数bに対して、b＜m≦aを満たすm∈Aが存在する。… (1)
特に、b＝a－1/2と置けば、a－1/2＜m≦aなるm∈Aが取れる。実はm＝aである。
以下でこのことを示す。m＜aとして矛盾を導く。m＜aとすると、(1)でb＝mを適用すれば、
m＜n≦aなるn∈Aが取れることになる。さて、m,n∈Aだったが、A⊂Zであるから、m,n∈Zとなる。
これとm＜nから、m＋1≦nが成り立つ(ここが大事)。a－1/2＜mだったから、a＋1/2＜m＋1である。
以上を繋げて、a＋1/2＜m＋1≦n≦aとなるので、a＋1/2＜aとなって矛盾する。
これは、m＜aとしたことから生じた矛盾であるから、m≧aが成り立つことになる。
一方で、m≦aだったから、以上より、m＝aとなる。m∈Aだったから、a∈Aということになる。
a＝sup(A)だったから、補題1が使えて、max(A)が存在する。■
0217１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 08:23:19.48ID:+GOApM6Qxは実数とする。このとき、{n∈Z|n≦x}は空でない。
証明
A＝{n∈Z|n≦x}と置く。Aが空でないことを示したい。Aが空だとして矛盾を導けばよい。
Aが空ならば、任意のn∈Zに対してn＞xが成り立つ。特に、n≧xが成り立つ。
よって、－n≦－xが成り立つ。n∈Zは任意だったが、nがZ全体を動くとき、
－nもZ全体を動く(厳密には、Z ∋ n → －n ∈ Z が全単射であることを使う)。
よって、任意のn∈Zに対してn≦－xが成り立つことになる。よって、B＝{n∈Z|n≦－x}と置けば、
B＝Zが成り立つことになる。特に、Bは空でない。よって、Bに対して定理1が使えて、max(B)が存在する。
B＝Zだったから、max(Z)が存在する。m＝max(Z)と置けば、m∈Zである。mの定義から、
任意のn∈Zに対してn≦mが成り立つ。特にn＝m＋1∈Z として、m＋1≦mが成り立つ。
これは矛盾である。以上より、Aは空でない。■
定理3
xは実数とする。このとき、max{n∈Z|n≦x}が存在する。
証明
定理2より、{n∈Z|n≦x}は空でない。よって、定理1より、max{n∈Z|n≦x}が存在する。■
0218１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 11:03:15.51ID:9AMbb4NS0219１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 11:21:03.13ID:01EEF8lr0220１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 12:55:43.05ID:BR2wAoEm0221１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 13:18:14.08ID:GVgkYhKAとは？
0222１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 13:56:57.08ID:SRzlt6bqありがとうございます。
後で読ませていただきます。
松坂和夫著『解析入門全6巻』
http://page18.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/w118506332
13600円まで行きましたね。
1冊にして復刊されそうな気がするんですけどね。
なぜか第5巻だけはまだ売っているんですよね。
0223１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 14:10:51.03ID:SRzlt6bqそこまで書くか、というような箇所があるかと思えば、
そんなに簡単じゃないのに容易に分かるで済ませてしまう箇所
があったりする。特に問題の解答が丁寧じゃないですね。
面倒くさかったんですかね？
Arthur Mattuck著『Introduction to Analysis』
MIT教授のこの本、分かりやすいですね。
あと、Michael Spivak著『Calculus』
も分かりやすいですね。
0224１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 14:14:16.94ID:SRzlt6bq分かりやすいんですけど、ここまでレベルを落としてしまうと、
苦労の割にあまり勉強になることがないんですよね。
教科書選びも難しいですね。
0225１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 15:07:27.00ID:Nm/iwqvT0226１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 15:54:56.98ID:xrG5HYIt0227１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 16:52:22.84ID:30CwojPS「アメリカの教科書は丁寧に書いていて演習問題も多くて分かりやすい」って
言われているから、定番商品を一つ実際にもってきたら、クソな実態がよ～く
分かったってだけの話ｗ
京大の先生たちが時間かけて翻訳したけど、あれが日本で教科書として
採択されることはほとんどないでしょｗ
まあ、ああいう教科書が一つ日本語であるのは悪くはないだろうけどさ。
「最近の京大生」にはあんなのが向いてるのかしれんけど、
京大もすっかり落ちぶれたもんだね～としかｗｗｗ
0228１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 16:58:36.69ID:Z+MUU2ZV0229１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 17:06:02.59ID:f6d8JJZnというかそれくらいしかいい本がない。
それ以外なら『解析学序説』(旧版)を探すか、外国の本しかない。
0230１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 18:48:48.23ID:Z+MUU2ZV高校の文系レベルの知識で読めますか？
0231１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 19:18:26.34ID:JbsbOOql0232１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 20:35:37.52ID:SRzlt6bq笠原先生の本より杉浦先生の本のほうが丁寧だと思いますよ。
笠原先生の本って癖があるし、難しくないですか？
0233１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 20:37:19.23ID:SRzlt6bq松坂和夫先生の本とか、宮岡悦良先生らの本とか、宮島静雄先生の本とか
いい本じゃないんですか？
あと黒田先生の本とか。
0234１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 20:39:31.05ID:EuoqWGEE0235１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 20:40:39.34ID:SRzlt6bq問題が計算問題中心で似たような問題ばかりで最悪なんですよね。
ちょっと見かけだけ応用っぽい問題もあるんですけど、見かけだけで
結局単純な計算問題なんですよね。
真面目な人はそんな問題も解いていくんでしょうけど、結局は無駄な
労力になると思うんですよね。
0236１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 22:38:17.61ID:SRzlt6bqhttp://page18.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/w118506332
19300円！まで行きましたね。
松坂和夫先生って人気あるんですね。
0237１３２人目の素数さん
2015/04/06(月) 17:26:59.15ID:QqiFRsTJ発売時の定価より高いですね。
ところで、
g(x)が区間Iで微分可能な関数ならば、g(x)≠0であるx∈Iにおいて1/g(x)も微分可能で
d/dx 1/g(x) = -g'(x)/g(x)^2
という公式の証明で、
(1/h)*(1/g(x+h) - 1/g(x)) = ...
という式が登場しますが、hを十分小さくとれば、g(x)が連続関数だからg(x+h)≠0という
ことを書いていない本がほとんどですね。自明だからと言ってしまえばそうかもしれません
が不親切じゃないですかね？
松坂、黒田、宮岡、小平、小林、杉浦、藤原にはこのことが書いてありません。
溝畑、金子、足立にはそもそも証明が省略されています。
一松（旧）、亀谷、Spivakにはちゃんと親切に書いてありました。
0238１３２人目の素数さん
2015/04/06(月) 17:34:23.65ID:QqiFRsTJ高木にもこのことが書いてありません。
宮島、斎藤（正）は、証明自体が省略されています。
0239１３２人目の素数さん
2015/04/06(月) 17:42:10.64ID:dyls4kBq0240１３２人目の素数さん
2015/04/06(月) 18:32:04.12ID:1jf3MKI00241１３２人目の素数さん
2015/04/06(月) 20:15:46.66ID:uGl0LvuL0242１３２人目の素数さん
2015/04/06(月) 20:31:04.43ID:oKbsb6Qa0243１３２人目の素数さん
2015/04/06(月) 22:58:39.16ID:0G2Y9HIb0244１３２人目の素数さん
2015/04/07(火) 09:22:58.01ID:0DRViOp0さっさとベクトル解析や複素解析までいけばまた違う世界も見える
0245１３２人目の素数さん
2015/04/07(火) 10:33:47.35ID:+WUZCwaL0246１３２人目の素数さん
2015/04/07(火) 10:54:34.90ID:BDCzDjx50247１３２人目の素数さん
2015/04/07(火) 14:44:14.71ID:n7Wg87L0半年で全6巻を読了する予定です。
A5判の数学の本を入れておくのに良いプラスチックケースを見つけちゃいました。
本棚から10数冊持ってきて入れておくのに良さげですね。
埃も入らなくていいですね。
http://www.amazon.co.jp/dp/B000EWQ18O
0248１３２人目の素数さん
2015/04/07(火) 23:08:21.65ID:0DRViOp00249１３２人目の素数さん
2015/04/07(火) 23:14:10.54ID:MfO0ZVhL0250１３２人目の素数さん
2015/04/08(水) 14:50:09.98ID:CmikeQrL解析演習ハンドブック (一変数関数編)
http://www.amazon.co.jp/dp/4254111037
解析演習ハンドブック (多変数関数編)
http://www.amazon.co.jp/dp/4254111045
0251１３２人目の素数さん
2015/04/08(水) 15:35:42.27ID:eb55peJB1万円×2は高い。網羅系が好きなら、共立の
http://www.amazon.co.jp/dp/4320010280/
http://www.amazon.co.jp/dp/4320010299/
のほうがコスパいいよ
0252１３２人目の素数さん
2015/04/08(水) 20:12:26.76ID:CmikeQrLありがとうございます。
中古だとさらに安いですね。
検討してみます。
0253１３２人目の素数さん
2015/04/09(木) 09:56:26.51ID:GDWlf37W解析入門
http://www.amazon.co.jp/dp/438806064X/
0254１３２人目の素数さん
2015/04/09(木) 13:29:43.16ID:VnaGKqiuまず、凸の定義です：
-----------------------------------------------------
f：区間Iで定義されている関数。
「a, c, b∈Iかつa < c < b」 ⇒ (f(c)-f(a))/(c-a) < (f(b)-f(c))/(b-c) … ①
が成り立つとき、fはIにおいて強い意味で下に凸であるという。
①の不等式から、さらに、
(f(c)-f(a))/(c-a) < (f(b)-f(a))/(b-a) < (f(b)-f(c))/(b-c)
が容易に導かれる。
-----------------------------------------------------
命題：
区間Iでfは微分可能であるとする。
fがIにおいて強い意味で下に凸であるとき、
f'はIにおいて狭義増加関数である。
証明：
a, b∈I, a < bとする。
a < x < b とすれば、fはIにおいて強い意味で下に凸であるから、
(f(x)-f(a))/(x-a) < (f(b)-f(a))/(b-a) < (f(b)-f(x))/(b-x)
が成り立つ。
ここで (f(x)-f(a))/(x-a) は、 x を減少させつつ右から a に近づければ、
減少しながら f'(a) に近づき、また、 (f(b)-f(x))/(b-x) は、 x を増加させつつ
左から b に近づければ、増加しながら f'(b) に近づく。よって、
f'(a) < (f(b)-f(a))/(b-a) < f'(b) が成り立つ。
0255１３２人目の素数さん
2015/04/09(木) 13:30:56.01ID:VnaGKqiu自分なりに行間を埋めると以下のようになりました。これで大丈夫ですかね？
a < x' < x を満たす x' を考えると、 f は強い意味で下に凸であるから、
(f(x')-f(a))/(x'-a) < (f(x)-f(a))/(x-a) が成り立つ。
x' を a に限りなく近づけると、
f'(a) = lim x'→a (f(x')-f(a))/(x'-a) ≦ (f(x)-f(a))/(x-a) となる。
よって、
f'(a) ≦ (f(x)-f(a))/(x-a) < (f(b)-f(a))/(b-a)。
x < x' < b を満たす x' を考えると、 f は強い意味で下に凸であるから、
(f(b)-f(x))/(b-x) < (f(b)-f(x'))/(b-x') が成り立つ。
x' を b に限りなく近づけると、
(f(b)-f(x))/(b-x) ≦ lim x'→b (f(b)-f(x'))/(b-x') = f'(b) となる。
よって、
(f(b)-f(a))/(b-a) < (f(b)-f(x))/(b-x) ≦ f'(b)。
以上から、
f'(a) < (f(b)-f(a))/(b-a) < f'(b) が成り立つ。
0256１３２人目の素数さん
2015/04/10(金) 06:11:17.52ID:UWphQkX5松坂本の内容は知らんが、次のように証明を書き変えると、松坂本より単純になって済むだろ。
証明：3点a、b、x∈I、a＜x＜bを任意に取る。y、z∈Iをa＜y＜x＜z＜bなる変数
とする。fはIにおいて強い意味で下に凸だから、c＝(f(b)-f(a))/(b-a)とおくと、
(f(y)-f(a))/(y-a)＜(f(x)-f(a))/(x-a)＜c…①、c＜(f(b)-f(x))/(b-x)＜(f(b)-f(z))/(b-z)…②
が両方共に成り立つ。ここで、Iでfは微分可能であり、(f(y)-f(a))/(y-a)について、y＝a+h、h＞0としてh→+0とすれば、
(f(y)-f(a))/(y-a)＝(f(a+h)-f(a))/h→f'(a)≦(f(x)-f(a))/(x-a)
だから、①からf'(a)＜c。また、同様に、(f(b)-f(z))/(b-z)について、z＝b-h、h＞0としてh→+0とすれば、
(f(b)-f(z))/(b-z)＝(f(b-h)-f(b))/(-h)→f'(b)≧(f(b)-f(x))/(b-x)
だから、②からc＜f'(b)。よって、f'(a)＜f'(b)。a＜bなる点a、b∈Iは任意だから、a、b∈I、a＜bを走らせればよい。
0257１３２人目の素数さん
2015/04/10(金) 08:13:49.59ID:KsuBG/Pgありがとうございます。
分かりました。
松坂先生もあと少しだけ丁寧に書いてくれればと思うんですよね。
0258１３２人目の素数さん
2015/04/10(金) 11:30:46.34ID:KsuBG/Pg凸関数に関する以下の定理なんですが、
t_1*a_1 + ... + t_n*a_n ∈ I であることが書かれていないんですよね。
a := min(a_1, ..., a_n)
b := max(a_1, ..., a_n)
とおけば、a = t_1*a + ... + t_n*a ≦ t_1*a_1 + ... + t_n*a_n ≦ t_1*b + ... + t_n*b = b
だから t_1*a_1 + ... + t_n*a_n ∈ I である。
みたいな注意書きを書いてほしかったです。
定理：
区間 I で定義された関数 f が I において凸ならば、
I に属する任意の数 a_1, ..., a_n と、t_1≧0, ..., t_n≧0, t_1 + ... + t_n = 1を
満たす任意の数 t_1, ..., t_n に対して、不等式
f(t_1*a_1 + ... + t_n*a_n) ≦ t_1*f(a_1) + ... + t_n*f(a_n)
が成り立つ。
0259１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 18:30:21.10ID:wFTXj85O定義しています。
三角関数は高校の教科書と同じ定義です。
ここへきてガクッと厳密性が落ちますね。
0260１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 18:34:21.97ID:W0SGCBMZ0261１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 18:44:24.84ID:wFTXj85O面積です！以下のように定義されています。
われわれはまず対数関数を次のように幾何学的に定義する。
座標平面上、 x>0 の部分で曲線 y=1/x を考える。
いま、 0<a<b を満たす任意の実数 a, b に対し、この曲線とx軸の間にあって、
2直線 x=a, x=b にはさまれる部分の面積を S[a,b] と書くことにして、
x の関数 log x を次のように定める。
すなわち、 x>0 なる x に対して、
0<x<1 のとき log x = -S[x,1]、
log 1 = 0
x>1 のとき log x = S[1,x]
と定める。このようにして定義された関数 log を対数関数という。（logは
logarithmの略である。）
0262１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 18:45:46.52ID:wFTXj85O積分は『解析入門2』で初めて登場します。
0263１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 18:48:07.47ID:ae6WMSCiってのはなんだかなあ
0264１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 19:43:36.86ID:l5XJwmKZ面積を使った時点で厳密性などない
もちろん、積分を定めた後でもう一度話を戻せば良い（「解析概論」
などでもそうやってる）が、教科書としてはぐだぐだにはなるな
0265１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 22:22:30.28ID:r8di+Cuxという意味で面積が所与と考えるのは大丈夫なのでは。
あるいはもっと抽象的に線型汎函数の世界から定義すれば
すっきりはするがたぶん初学者は釈然としない気がするし。
0266１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 23:45:59.49ID:l5XJwmKZS[1,x]の微分可能性とか議論をやるんだろ
微分もこめて全部先にルベーグ積分の一般論やってから議論やるならいいけどな
0267１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 10:07:46.28ID:PEvtREK60268１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 11:47:46.71ID:Q1QMCWTUもしそうだとするなら、なぜ、リーマン積分を廃止してルベーグ積分に
置き換えないんですかね？
0269１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 12:20:01.62ID:3jVVpckw0270１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 12:24:08.38ID:Q1QMCWTUリーマン積分を廃止してルベーグ積分のみを説明している微積の本がないので
不思議に思っただけです。そんなに難しいんですかね。
今、松坂和夫著『解析入門1』を読んでいます。
eが無理数であることの証明で分からないところがあります。
以下にその証明を書きます。
【証明】
かりに e が有理数であったとして、 e = p/q とする。ここに p,q は正の整数である。いま
s_q = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/q!
とおけば、 q!*s_q は整数で、また仮定により q!*e も整数である。よって q!*(e-s_q) は
整数となる。しかるに
0 < e - s_q = 1/(q+1)! + 1/(q+2)! + 1/(q+3)! + ... < 1/(q+1)!*{1 + 1/(q+1) + 1/(q+1)^2 + ...}
= 1/(q!*q)。
よって
0 < q!*(e-s_q) < 1/q ≦1。
これは0と1の間に整数が存在することを意味し、明らかな矛盾である。
-----------------
1/(q+1)! + 1/(q+2)! + 1/(q+3)! + ... ≦ 1/(q+1)!*{1 + 1/(q+1) + 1/(q+1)^2 + ...}
ではなく
1/(q+1)! + 1/(q+2)! + 1/(q+3)! + ... < 1/(q+1)!*{1 + 1/(q+1) + 1/(q+1)^2 + ...}
となっています。
これはどうやって証明するのでしょうか？
0271１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 13:45:26.04ID:cEdC12aL0272１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 15:00:03.56ID:YIqthmDTここは
1/(q+1)!＋1/(q+2)!＋1/(q+3)!＋…
＝(1/(q+1)!)・{1＋1/(q+2)＋1/((q+2)(q+3))＋…}
＜1/((q+1)!)・{1＋1/(q+1)＋1/(q+1)^2＋…}
というように示せますよ。ちなみに、
>リーマン積分を廃止してルベーグ積分のみを説明している微積の本がない
あるといえるかも知れない本は一応あることにはあるが、その本には、
通常はリーマン積分より前に学ぶ微分法は載っていない。ルベーグ積分炸裂。
0273１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 15:26:31.40ID:Q1QMCWTUありがとうございます。
その本は日本語の本ですか？
有限の項の和ならば、
1/(q+1)! + 1/(q+2)! + 1/(q+3)! + ... + 1/(q+n)!
<
1/(q+1)!*{1 + 1/(q+1) + 1/(q+1)^2 + ... + 1/(q+1)^(n-1)}
となるのは分かるのですが、無限項の和の場合にも「<」が成り立つのでしょうか？
0274１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 15:53:40.07ID:pZnNFzrZ実数列a_nとb_nは次の条件を満たすとする。
・Σ[n＝1～∞]a_nとΣ[n＝1～∞]b_nは収束する.
・任意のn≧1でa_n≦b_n.
・あるn≧1でa_n＜b_n.
このとき、Σ[n＝1～∞]a_n＜Σ[n＝1～∞]b_nが成り立つ。
証明
a_n＜b_nを満たすn≧1を1つ取ってmと置く。このとき、
Σ[n＝1～∞]b_n－Σ[n＝1～∞]a_n＝Σ[n＝1～∞](b_n－a_n)≧(b_m－a_m)＞0.
よってΣ[n＝1～∞]a_n＜Σ[n＝1～∞]b_nが成り立つ。
0275１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 16:05:01.99ID:YIqthmDT(1)：現代数学概説Ⅱ、(2)：猪狩さんの実解析入門、(3)：ルベーグ積分講義。
(1)は位相もおまけに詳しく載っている。通常の微積はダメ。
(2)は可測集合とか、ハウスドルフ集合とか色々詳しい。
(3)はどちらかというと特殊でハウスドルフ集合関係のルベーグ積分に特化している。
ルベーグ積分やりたいなら、最初は(2)か(3)が読み易くておススメ。
といってもリーマンまでの微積が分からないと読めないとは思うけど。
元の証明の話だけど、n→+∞としたとき確かに≦になるが、ここでもし「＝」になったら、
{}の中の無限級数を考えて
S＝{1＋1/(q+1)＋1/(q+1)^2＋…＋1/(q+1)^(n-1)＋…}－{1＋1/(q+2)＋1/((q+2)(q+3))＋…}
とおけばS＝0にならないといけないが、Sの{}内の2つの無限級数は収束してSを評価すると
S＝{1/(q+1)－1/(q+2)}＋{1/(q+1)^2－1/((q+2)(q+3))}＋…
＝{1/((q+1)(q+2)}＋{(3q+5)/((q+1)^2・(q+2)(q+3))}＋…
＞{1/((q+1)(q+2)}＋{1/((q+1)^2・(q+2)(q+3))}＋…
＞{1/((q+1)(q+2)}＋{1/((q+1)(q+2)}＋…
＞+∞
になって矛盾が生じるから、「≦」ではなく「＜」になる。
Σを使って書いた方が分かり易いと思うけど、ここは自分で紙で確認してね。
0276１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 16:22:21.40ID:YIqthmDT評価が間違ってましたね。正しくは
>S＝{1/(q+1)－1/(q+2)}＋{1/(q+1)^2－1/((q+2)(q+3))}＋…
>＝{1/((q+1)(q+2))}＋{(3q+5)/((q+1)^2・(q+2)(q+3))}＋…
>＞{1/((q+1)(q+2))}＋{1/((q+1)^2・(q+2)(q+3))}＋…
>＞{1/((q+1)(q+2)}
>＞0
でしたね。このように訂正。
0277１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 16:35:54.80ID:YIqthmDT更に単純にするとSの評価は
>S＝{1/(q+1)－1/(q+2)}＋{1/(q+1)^2－1/((q+2)(q+3))}＋…
>＝{1/((q+1)(q+2))}＋{(3q+5)/((q+1)^2・(q+2)(q+3))}＋…
>＞1/((q+1)(q+2))
>＞0
でいい。
0278１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 16:44:43.97ID:YIqthmDT>>276では「>＞{1/((q+1)(q+2)}」なんていう変な書き方してしまったw
まあ、普通はリーマン積分を学習した方がいいでしょうね。
ルベーグにいきなり突撃するのはちょっと無謀ではないかと。
0279１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 18:22:23.83ID:Q1QMCWTUありがとうございます。
なるほど
>>274
から「<」になるわけですね。
>>275->>277
これは具体的に >>274 を説明しているわけですね。
>>275
(1)：現代数学概説Ⅱ、(2)：猪狩さんの実解析入門、(3)：ルベーグ積分講義。
難しそうな本ばかりですね。松坂和夫著『解析入門全6巻』を全部読んでから
読んでみようと思います。松坂和夫著『解析入門6』にルベーグ積分の入門が
含まれています。
0280１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 21:55:37.62ID:vUjbEiT2今更、これ全部読む価値ある？
純粋に微積分を習得したかったらその専門書読んだほうが効率がいい。
この本、微積分以外の他の分野を中途半端に扱っているが、
それら他の分野を習得するにもその専門書読んだほうがいい。
0281１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 22:18:05.10ID:JzUIcN2Eダメな本を読んでからだといい、そんでなお自分でこの本はダメだダメだと繰り返す
0282１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 23:36:27.80ID:W5vxFIxU0283１３２人目の素数さん
2015/04/13(月) 00:10:05.10ID:qEHD4yLF恒等式のある問題ついて質問があります。
以下は、ある教科書からの抜粋です。
(1)恒等式の定義
「文字にどんな数を代入してもつねに成り立つ等式のことを恒等式とよびます。」
(2)「整式として等しい」の定義
「一般に、xについての2つの整式P(x)、Q(x)があって、両者を降べきまたは昇べきの順に
整理したとき、同じ次数の係数がすべて一致するならば、P(x)とQ(x)は整式として等しい
といいます。」
(3)整式の一致の定理
P(x)およびQ(x)がxについてのn次以下の整式で、n+1個の異なる数α_1、 α_2、 ...、 α_(n+1)
に対して
P(α_1) = Q(α_1)
P(α_2) = Q(α_2)
...
P(α_(n+1)) = Q(α_(n+1))
が成り立つならば、P(x)、Q(x)は整式として等しい。
0284１３２人目の素数さん
2015/04/13(月) 02:41:26.13ID:IzkPZSwyまあ、>>275の「ハウスドルフ集合」は真に受けないでね。
「フラクタル集合」では「ハウスドルフ測度」や「ハウスドルフ次元」とかが重要になるよん。
そのハウスドルフ測度とかまで載っているのが>>275の(2)や(3)ね。
(1)でもいいけど、内容は伝統的ルベーグ積分だな。位相はよく書いてある。
「ハウスドルフ集合」と書いた意味は自分で考えてね。
0285１３２人目の素数さん
2015/04/14(火) 11:17:49.36ID:eEAYKodq中途半端というのは、線形代数とか集合・位相とかのことですよね。
必要なところだけ解説してくれて自己完結的になっているところが
いいのではないかと思ったのですが。
もっと詳しくやりたければそれ専用の本を読めばいいのではないでしょうか？
松坂和夫著『解析入門2』を読んでいますが、いきなりテイラーの定理の
記述でいい加減な箇所を見つけてしまいました。先が思いやられますね。
0286１３２人目の素数さん
2015/04/14(火) 13:26:03.49ID:3fJdIw1Nルベーグ積分入門
http://www.amazon.co.jp/dp/4785313048
はリーマンまでの微積を知らんでも読めると思うんだがな
0287１３２人目の素数さん
2015/04/14(火) 18:22:17.82ID:eEAYKodqあります。解説をお願いします。
【問題】
区間 [a, b] で f は2回微分可能で、 f(a) < 0、f(b) > 0 であり、
また、ある定数 δ1 > 0、 δ2 > 0 が存在してつねに
f'(x) ≧ δ1、
0 < f''(x) ≦ δ2
が成り立つとする。
(a)
区間 (a, b) に f(ξ) = 0 となる ξ がただ1つ存在することを示せ。
(b)
b_1 = bとし、
b_(n+1) = b_n - f(b_n)/f'(b_n) (n = 1, 2,…)
によって数列 (b_n) を定義する。この数列の幾何学的意味を解釈せよ。
(c)
数列 (b_n) は強い意味で単調減少し、
lim n→∞ b_n = ξ
であることを証明せよ。
0288１３２人目の素数さん
2015/04/14(火) 18:22:57.10ID:eEAYKodq解答は、次のようになっています：
「よって ξ < b_(n+1) < b_n」の部分が分かりません。
【解答】
(c)
f は凸関数であるから、fのグラフは接線より上にある。
よって ξ < b_(n+1) < b_n。
そこで lim n→∞ b_n = β とすれば、
β = β - f(β)/f'(β)
より f(β)=0。よって β = ξ。
0289１３２人目の素数さん
2015/04/14(火) 18:26:19.92ID:eEAYKodqf’(x) ≧ δ1、
0 < f’’(x) ≦ δ2
β = β - f(β)/f’(β)
です。
0290１３２人目の素数さん
2015/04/15(水) 08:54:01.74ID:Ie4ZPNZh①
ξ < b_(n+1) < b_n ≦ b
f(b_(n+1)) > 0
(n = 1, 2, …)
を証明する。
(A)
n = 1 のとき。
g_1(x) := f’(b_1)*(x - b_1) + f(b_1) とおく。
g_1(b_1) = f(b_1) = f(b) > 0
g_1(b_2) = 0
g_1(ξ) < f(ξ) = 0 （f は凸関数であるから、fのグラフは接線より上にある）
f’(b_1) > 0 だから g_1(x) は狭義の単調増加関数である。
よって、
ξ < b_2 < b_1 = b
a < ξ < b_2 < b_1 = b
だから b_2 は f の定義域内の点である。
f は凸関数であるから、fのグラフは接線より上にある。
よって、
f(b_2) > g_1(b_2) = 0。
0291１３２人目の素数さん
2015/04/15(水) 08:54:42.38ID:Ie4ZPNZhn = k-1 のときに①が成り立つと仮定する。
すなわち、
ξ < b_k < b_(k-1) ≦ b
f(b_k) > 0
と仮定する。
g_k(x) := f’(b_k)*(x - b_k) + f(b_k) とおく。
g_k(b_k) = f(b_k) > 0
g_k(b_(k+1)) = 0
g_k(ξ) < f(ξ) = 0 （f は凸関数であるから、fのグラフは接線より上にある）
f’(b_k) > 0 だから g_k(x) は狭義の単調増加関数である。
よって、
ξ < b_(k+1) < b_k ≦ b
a < ξ < b_(k+1) < b_k ≦ b
だから b_(k+1) は f の定義域内の点である。
f は凸関数であるから、fのグラフは接線より上にある。
よって、
f(b_(k+1)) > g_k(b_(k+1)) = 0。
0292１３２人目の素数さん
2015/04/15(水) 09:33:40.71ID:WK/OewFt自粛しら
0293１３２人目の素数さん
2015/04/15(水) 12:20:26.01ID:uDpjTxcI0294１３２人目の素数さん
2015/04/15(水) 13:05:19.98ID:gO/VbnPc0295１３２人目の素数さん
2015/04/15(水) 15:33:34.97ID:RI0x/Yxy0296１３２人目の素数さん
2015/04/15(水) 15:52:20.29ID:RI0x/Yxy１３２人目の素数さん [] 2013/10/12(土) 21:05:03.02
教科書に以下のような記述がありました。
---------------------------------------------------------------------------------
根号を含む関数は，その対数をとってから微分するとよい。
例題 関数f(x) = x^3 * √(1+x)を微分せよ。
解 両辺の絶対値の対数をとって，
log|f(x)| = 3 * log|x| + 1/2 * log(1+x)
両辺を微分して，f'(x)/f(x) = 3/x + 1/(2*(1+x)) = (7*x+6)/(2*x(1+x))
よって，f'(x) = f(x) * (7*x+6)/(2*x(1+x)) = x^3 * √(1+x) * (7*x+6)/(2*x(1+x))
=(x^2*(7*x+6))/(2*√(1+x))
---------------------------------------------------------------------------------
f(x)はx≧-1で定義されていますが、微分可能なのはx>-1のときですね。
だから、x>-1のとき、f(x)を微分せよという問題ですね。
なぜ、こういうことを教科書では何も書かないのでしょうか？
定義域について意識を向けないというのはよくないことじゃないでしょうか？
さて、前置きはこれくらいにします。
問題は、log|x|とf(x)の合成関数を考えるところです。
log|x|はx≠0に対して定義されています。f(0) = 0ですので、
log|f(x)|はx=0に対して定義されません。つまり上でやっていることは、
x≠0かつx>-1のときにf(x)の導関数を求めるということです。
f(x)を普通に微分して得た、x>-1のときの導関数の式と上のような方法で
求めた式が一致するということは両方とも式で書ける関数であるため、
明らかです。ずる賢い方法ではないでしょうか？少なくとも、x≠0かつx>-1のときに
f'(x) = (x^2*(7*x+6))/(2*√(1+x))となると書くべきではないでしょうか？
さて、それにしても上の村上陽一郎さんの発言はひどいですね。
0297１３２人目の素数さん
2015/04/15(水) 15:57:47.17ID:RI0x/Yxy>>533
松坂和夫の数学読本第5巻を読んでみましたが、この本、いい本ですね。
とりあえず、よく分かりました。
高校の教科書も松坂和夫の数学読本みたいにちゃんと書いてほしいです。
第4巻の確率の話とかも非常にためになりました。
高等学校の微分・積分は、普通の教科書とさして変わらないように感じました。
歴史とかが詳しく載っているけど。
松坂和夫の数学読本は買おうと思います。ありがとうございました。
0298１３２人目の素数さん
2015/04/15(水) 17:03:53.72ID:M0LFkAH50299１３２人目の素数さん
2015/04/15(水) 17:08:42.97ID:4hXUODQ8まず日本語を勉強しましょう
0300１３２人目の素数さん
2015/04/15(水) 17:14:44.62ID:M0LFkAH5粘着すんなよクソニート
0301１３２人目の素数さん
2015/04/15(水) 19:02:05.00ID:Ie4ZPNZhの解答はひどすぎますよね？
「よって ξ < b_(n+1) < b_n」なんて書かれると自明みたいじゃないですか。
0302１３２人目の素数さん
2015/04/15(水) 20:05:48.07ID:EGz9Q2uhグラフの見た目(凸性とか)を無条件に信頼していいなら自明。
丁寧にやるなら数学的帰納法が必要だが、どうせグラフの見た目を信頼するなら、
よくあるジグザグの絵でも書いておけば済む話であって、その絵が帰納法の代替になるので
帰納法は必要ない。その絵にしたって、「よって ξ < b_(n+1) < b_n」の一文があれば
すぐに想像がつく絵であり、この本の読者には>>288のままで十分伝わる。何も問題はない。
直前の設問で「幾何学的意味を解釈せよ」とあるし、これ以上丁寧に書く必要は何も無い。
お前の解答もグラフの見た目を無条件に信頼してるのだから、模範解答をけなす権利は無い。
本当に厳密にやりたいなら、凸関数がどうとか接線がどうとかいったグラフの見た目には頼らずに、
微分して増減表を書いて計算づくで言いたいことを言わなければならない(あと数学的帰納法)。
お前の解答はどっちつかず。
0303１３２人目の素数さん
2015/04/15(水) 20:11:07.26ID:3xCc6erX523 ： １３２人目の素数さん[] 投稿日：2013/10/01(火) 23:12:28.29
教科書に誤りを見つけました。
「f(x)の2つの原始関数をF(x)、G(x)とすると、
F’(x) = G’(x) = f(x)だから、
｛G(x)-F(x)｝’ = G’(x) - F’(x) = 0
導関数が0になる関数は定数しかない。その定数をCとすると、
G(x) - F(x) = C
よって、G(x) = F(x) + C
このように、f(x)の原始関数は定数だけしかちがわない。」
とありますが、たとえば、定義域が(-∞, 0) ∪ (0, ∞) である関数
f(x) = x^2 を考えます。
x ∈ (-∞, 0)に対して、F(x) = 1/3 * x^3 + 1
x ∈ (0, ∞)に対して、F(x) = 1/3 * x^3 - 1
と定義される関数F(x)および、
(-∞, 0) ∪ (0, ∞)に対して、G(x) = 1/3 * x^3
と定義される関数G(x)を考えると、
F’(x) = G’(x) = f(x)であるが、ある定数Cによって、
G(x) = F(x) + C
とは書けない。
ですので、教科書は間違っているのではないでしょうか？
0304１３２人目の素数さん
2015/04/15(水) 20:23:32.37ID:Ie4ZPNZh「凸関数がどうとか接線がどうとかいったグラフの見た目には頼らずに」
↑凸関数の定義も接線の定義もグラフの見た目には頼っていませんよ。
0305１３２人目の素数さん
2015/04/15(水) 20:32:11.65ID:Ie4ZPNZh【定理】
区間Iにおいて関数fが導関数f’をもつとする。
そのとき、次の(i)、(ii)、(iii)は互いに同値である。
(i)fはIにおいて狭義に凸である。
(ii)f’はIにおいて狭義増加関数である。
(iii)Iの任意の異なる2点a, bに対して
f(b)-f(a) > f’(a)*(b-a)が成り立つ。
【定理】
関数fが区間Iで第2次導関数f’’をもつとする。そのとき
すべてのx∈Iに対してf’’(x)>0ならば、fはIにおいて狭義に凸である。
0306１３２人目の素数さん
2015/04/15(水) 20:51:09.45ID:EGz9Q2uhなんだ、既に厳密な定義を通過しているのか。
凸だの接線だのの記述に不満があるのではなかったのか。
厳密な定義を既に通過していて、そのことをお前もキチンと押さえていて、
しかも設問の1つが「幾何学的意味を解釈せよ」になっていて、
そこまで道具が揃っていてなぜ>>288で満足できないのか。
この本にケチつけたいだけなんじゃないのか。
0307１３２人目の素数さん
2015/04/16(木) 04:20:31.03ID:tNZI3VOi0308１３２人目の素数さん
2015/04/16(木) 22:02:40.44ID:RZW14Cia0309１３２人目の素数さん
2015/04/17(金) 02:37:07.58ID:Am44trW90310１３２人目の素数さん
2015/04/17(金) 07:31:52.26ID:I4Rr5JLXていうかリーマン積分の基礎理論って簡単ですね。
有界な集合に上限と下限が存在するっていう命題が強力なだけですよね。
0311１３２人目の素数さん
2015/04/17(金) 07:38:21.38ID:I4Rr5JLX不定形の極限をロピタルの定理を使って計算することが推奨されていますね。
教科書によってはロピタルの定理自体が載っていなかったり、機械的な
ロピタルの定理よりテイラーの定理を使った計算のほうが上的なことが
書いてあったりしますが、どうなんですかね？
高校数学でもロピタルの定理は使ってはいけないとかなんとか。
0312１３２人目の素数さん
2015/04/17(金) 13:34:17.03ID:/r2wdnDhロピタルの定理は2つの関数の平均値の定理から得られるが、
ロピタルを使えるための条件の確認が多く、複雑になりがちだから、
使わなくても簡単に不定形の極限が求まるなら、使用は避けるべきなんだろう。
目的の達成にあたり、不定形の極限が簡単に求まらず、途中で(多くの)不定形の極限
を求めるために多くの計算をするようなことがあるなら、ドシドシ使えばいい。
目的達成にあたり、途中で不定形の極限を求める計算を多くするなら、
逆にロピタル使った方がスッキリする。ロピタルの定理を使った懐石料理の作り方ね。
ロピタルは使い方によって料理が不味くなったりウマくなったりする。
高校数学の計算は、ロピタル使わなくても出来るような、難しくはない計算なんだろう。
0313１３２人目の素数さん
2015/04/17(金) 16:24:16.55ID:I4Rr5JLXありがとうございます。
ロピタルの定理で計算すると再帰的に何回もロピタルの定理を使わなければ
ならないことが多いんですよね。
松坂和夫著『解析入門2』を読んでいますが、ずいぶんリーマン積分について
詳しく書いてありますね。
こんな定理まで書いてあります。
【定理】
f は区間 [a, b] で積分可能な関数で、その値域が [m, M] に含まれるとする。
また φ は区間 [m, M] で連続な関数とする。このとき合成関数 h = φ・f は区間
[a, b] で積分可能である。
0314１３２人目の素数さん
2015/04/17(金) 16:39:13.36ID:I4Rr5JLX「積分可能関数の連続関数は積分可能である」ことを示す定理だと
書いてあるんですけど、「積分可能関数の連続関数」って意味不明
な日本語じゃないですか？
0315１３２人目の素数さん
2015/04/17(金) 16:59:01.51ID:I4Rr5JLXf が区間 [a, b] で積分可能ならば、
f^2, f^3, …, exp(f(x)), sin(f(x))
なども [a, b] で積分可能であることを示せ。
また f(x) > 0 ならば、
log(f(x)) や (f(x))^α （αは定数）
も [a, b] で積分可能であることを示せ。
【解答】↑の定理の応用
となっていますが、
「f(x)>0 ならば、log(f(x)) や (f(x))^α （αは定数）も [a, b] で積分可能である」
ということを証明するのに↑の定理は使えないのではないでしょうか？
↑の定理の仮定で f の値域は [m, M]、φ は区間 [m, M] で連続な関数という仮定がありますよね。
例えば、x∈[a, b]に対して、f(x) > 0 ではあるが [a, b] での下限が 0 である場合には
どうするんですかね？
m > 0 にはできないですよね。
0316１３２人目の素数さん
2015/04/17(金) 17:04:18.15ID:aIxZb+Ij0317１３２人目の素数さん
2015/04/17(金) 17:08:22.65ID:I4Rr5JLXのではないでしょうか？
0318１３２人目の素数さん
2015/04/17(金) 17:09:56.80ID:aIxZb+Ij0320１３２人目の素数さん
2015/04/19(日) 20:51:46.25ID:BmxeVK8A∫a→b f = 0
a > b のとき
∫a→b f := -∫b→a f
と規約する。
f を区間 I で積分可能な関数とする。
任意の a, b, c∈I に対して
∫a→c f + ∫c→b f = ∫a→b f
が成り立つ。
このことは明らかなことでしょうか？
それとも以下の13通りについて一つ一つ確かめなければならないことでしょうか？
a = b = c
a = b < c
b = c < a
c = a < b
a < b = c
b < c = a
c < a = b
a < b < c
a < c < b
b < a < c
b < c < a
c < a < b
c < b < a
0321１３２人目の素数さん
2015/04/21(火) 19:44:18.02ID:AtkwnWY8読み終わりました。
いままでのところで一番難しかったのは上極限、下極限でした。
リーマン積分の基礎理論は簡単ですね。
0322１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 13:19:12.04ID:iYc7+qBV以下の問題を読んで疑問に思ったのですが、
区間 I で
①不連続
②積分可能
③原始関数をもつ
という関数はあるんですか？
f が区間 I で積分可能で、原始関数 F をもつとする。そのとき、任意の a, b∈I に対し
∫ f from a to b = F(b) - F(a)
が成り立つことを証明せよ。
0323１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 13:28:59.32ID:iYc7+qBV0324１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 13:31:05.93ID:LKeRDSphf (0) = 0
0325１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 14:02:56.51ID:iYc7+qBVなるほど。ありがとうございます。
グラフを描いてみると分かりますね。
http://wolfr.am/4pb_ydh~
松坂先生はこういう例を↑の問題以前に挙げてくれていないんですよね。
だからこんな問題を出されても、は？って感じになってしまうんですよね。
0326１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 19:52:11.63ID:quRhrVFG木曽が決定的にアレだからちゃんと勉強し直すことをお奨めする
0327１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 20:46:28.41ID:xmlhLHqh0328１３２人目の素数さん
2015/04/23(木) 07:31:44.93ID:fiZ9Imlq↓この天才数学者って誰ですかね？
「数学」にマッチしました．
番組タイトル：「所さん！大変ですよ「文房具“爆買い”騒動の謎」」
番組内容：去年１０月、日本各地で突然、ある文房具をめぐる奇妙な“爆買い”騒動が起きた。なぜか世界中から殺到する発注。アメリカの天才数学者も巻き込まれた騒動の真相は？
放送日：2015年04月30日
開始時刻：22:55
http://www2.nhk.or.jp/hensei/program/wk.cgi?ch=21&;area=001&date=&tz=all&mode=2&next=&f=week
放送日：2015年04月30日
開始時刻：22:55
http://www2.nhk.or.jp/hensei/program/wk.cgi?ch=22&;area=001&date=&tz=all&mode=2&next=&f=week
0329１３２人目の素数さん
2015/04/23(木) 08:17:08.67ID:uKEMG89s放送大学
8月10日21:30 数学の不思議 小平邦彦
0330１３２人目の素数さん
2015/04/23(木) 12:27:57.62ID:fiZ9Imlq-------------------------------------------------------------------------
「たとえば、
∫dx/x = log(|x|) + C
と書くのは、厳密にいえば間違いである。なぜなら、関数 1/x の定義域は
(-∞, 0), (0, +∞) の2つの区間に分かれており、区間 (0, +∞) においては
∫dx/x = log(x) + C1,
区間 (-∞, 0) においては
∫dx/x = log(-x) + C2
であるが、ここで C1 と C2 が等しい定数である必要はないからである。」
-------------------------------------------------------------------------
などと書かれていますが、これってナンセンスじゃないですか？
0331１３２人目の素数さん
2015/04/23(木) 12:28:27.06ID:fiZ9Imlq-------------------------------------------------------------------------
「f を区間 I で定義された関数とする。もし、 F が同じ区間 I で微分可能な
関数で、
F’ = f
が成り立つならば、 F を f の原始関数という。」
-------------------------------------------------------------------------
となっています。そもそも原始関数はある区間でのみ考えるわけですから。
∫dx/x = log(|x|) + C
とだけ書いてあったら、その解釈は、
「区間 (0, +∞) で定義された関数 1/x の原始関数は、区間 (0, +∞) で定義された関数 log(|x|) + Cである」
か、または、
「区間 (-∞, 0) で定義された関数 1/x の原始関数は、区間 (-∞, 0) で定義された関数 log(|x|) + Cである」
しかありえないわけですよね。
0332１３２人目の素数さん
2015/04/23(木) 16:33:32.80ID:4IaLEiy6放送大学
8月10日21:30 数学の不思議 小平邦彦
0333１３２人目の素数さん
2015/04/23(木) 21:08:13.75ID:fiZ9Imlq広義積分の説明が粗雑すぎます。
場合分けとかでもう面倒になったんでしょうね。
0334１３２人目の素数さん
2015/04/23(木) 21:11:35.65ID:z0BaYYFT0335１３２人目の素数さん
2015/04/24(金) 15:29:18.04ID:8Vr/KfH/見つけました。
↓赤で囲んだところは、おかしいですよね？
http://i.imgur.com/BO3bG1x.jpg
0336１３２人目の素数さん
2015/04/24(金) 15:36:10.09ID:vPRu4Q3A0337１３２人目の素数さん
2015/04/24(金) 16:16:21.44ID:8Vr/KfH/ここで (4.35) は実数 A が存在して、任意の正の実数 ε に対応して一つの正の実数 δ(ε) が定まって、
b - δ(ε) < t < b, a < s < a + δ(ε) ならば
|A - ∫f(x)dx from x=s to x=t| < ε
となり、 ∫f(x)dx from x=a to x=b := A と定義することを意味するが、
0338１３２人目の素数さん
2015/04/24(金) 17:13:17.86ID:EnyD36mH放送大学
8月10日21:30 数学の不思議 小平邦彦
0339１３２人目の素数さん
2015/04/24(金) 17:18:59.00ID:8Vr/KfH/0340１３２人目の素数さん
2015/04/24(金) 17:28:51.70ID:h+0qbsFb0341１３２人目の素数さん
2015/04/24(金) 17:34:09.48ID:rzp4JUCx0342１３２人目の素数さん
2015/04/24(金) 17:36:31.95ID:OFi6J/cV「おかしい」 とは俺様が分からないこと
0343１３２人目の素数さん
2015/04/24(金) 21:05:20.54ID:8Vr/KfH/この本、最初はいいかもしれない？と思ったのですが、
学生がいろんな微積の本を参考にして詳しく書きましたって
感じの本ですね。風格が全くないんですよね。
やっぱりマイナーな本にはそれなりの理由があるんですね。
0344１３２人目の素数さん
2015/04/25(土) 11:07:51.80ID:0+X6DH0M広義積分って面倒ですね。
やっと積分の計算の章に入れます。
0345１３２人目の素数さん
2015/04/26(日) 17:38:11.45ID:CXM6C+Ls置換積分のための条件として以下の条件が挙げられています。
1) f(x) は区間 I において連続である。
2) φ(x) は区間 J において連続かつ微分可能で、φ’(t) は J において連続である。
3) φ(t) の値域は I となる。
3）はおかしくないですか？
「φ(t) の値域は I に含まれる」で十分だと思うんですよね。
0346１３２人目の素数さん
2015/04/26(日) 17:41:09.26ID:u9eZanjT0347１３２人目の素数さん
2015/04/26(日) 17:42:06.25ID:aR7z90t+0348１３２人目の素数さん
2015/04/26(日) 17:50:03.65ID:CXM6C+Lsあと、
∫f(x)dx = ∫f(φ(t))φ’(t)dt
の等号の意味がよく分からないのですが。
↑の3つの条件を挙げておきながらその条件が成り立つことのチェックもせずに
置換積分の計算例がその後続きます。
ここへ来て、急にいい加減になったのはなぜなんですかね。
0349１３２人目の素数さん
2015/04/26(日) 17:52:36.27ID:u9eZanjT過去を見ても、ものすごく適当に書いてるようだから、今回もてきとーでね
0350１３２人目の素数さん
2015/04/26(日) 18:03:08.44ID:CXM6C+Ls2) φ(t) は区間 J において連続かつ微分可能で、φ’(t) は J において連続である。
3) φ(t) の値域は I となる。
この3つの条件は、一応挙げておきましたって感じなんですよね。
↓の計算なんて、I は何か、 J は何か、 φ は何かが全く書かれていません。
正しく計算結果が求まればそれでいいとでも思っているかのようです。
例4
∫1/sqrt(x^2+a) dx を求めよ。ただし a≠0 とする。
x+sqrt(x^2+a) = t とおくと
dt = (1 + x/sqrt(x^2+a)) dx = t/sqrt(x^2+a) dx.
よって
∫1/sqrt(x^2+a) dx = ∫1/t dt = log(|t|) = log(|x+sqrt(x^2+a)|).
0351１３２人目の素数さん
2015/04/26(日) 23:46:40.07ID:+3z1zhjQそんなの読者の演習だろ
0352１３２人目の素数さん
2015/04/27(月) 20:37:11.20ID:Rc26xIzd収束するが一様収束しない関数列の例として、
[0,1] で定義された関数列 f_n(x) := x^n
が挙げられています。
その証明が分かりやすくありません。
以下にその証明を書きます。
たとえば ε を ε=e^(-1) ととるとき、 0 < x < 1 なる x について
x^n < ε=e^(-1) となるためには、 n*log(x) < -1 であることを要し、
log(x) < 0 であるから
n > -1/log(x)
となる。x が 1 に左から近づくとき log(x) は負で 0 に近づくから、
x が 1 に近づくにつれて上の式を成り立たせる n は限りなく大きく
ならなけらばならない。ゆえに一定の N をとって、 n ≧ N を満たす
すべての n および 0 < x < 1 であるすべての x に対して x^n < e^(-1)
ならしめることは不可能である。
以下の誰でも思いつく証明のほうが分かりやすいですよね。
任意の ε>0 に対して、自然数 N が存在して、
n ≧ N かつ 1 > x > 0 ⇒ x^N < ε
が成り立つと仮定して矛盾を導く。
ε=1/2 とする。
仮定により、自然数 N が存在して、
n ≧ N かつ 1 > x > 0 ⇒ x^N < 1/2
が成り立つ。
中間値の定理により、x_0^N = 1/2
となる x_0 ∈ (0, 1) が存在する。
これは矛盾である。
0353１３２人目の素数さん
2015/04/27(月) 20:42:52.23ID:Rc26xIzd第9章「関数列と関数級数」に進みました。
訂正します↓
任意の ε>0 に対して、自然数 N が存在して、
n ≧ N かつ 1 > x > 0 ⇒ x^n < ε
が成り立つと仮定して矛盾を導く。
ε=1/2 とする。
仮定により、自然数 N が存在して、
n ≧ N かつ 1 > x > 0 ⇒ x^n < 1/2
が成り立つ。
中間値の定理により、x_0^N = 1/2
となる x_0 ∈ (0, 1) が存在する。
これは矛盾である。
0354１３２人目の素数さん
2015/04/27(月) 21:56:13.61ID:l/cmY3N20355１３２人目の素数さん
2015/04/28(火) 07:21:24.15ID:XB+zxu/hありがとうございます。図書館でみてみようと思います。
磯崎 洋、筧 知之、木下 保、籠屋 恵嗣、砂川 秀明、竹山美宏 著
『微積分学入門 例題を通して学ぶ解析学』
を借りましたが、おかしな記述を見つけました。
逆関数についてなんですが、 g が f の逆関数であるとき、
「f(g(x)) = g(f(x)) が成り立つ（ただし x は f と g の定義域の共通部分を動くものとする）。
しかし、これは g が逆関数のときに限ることで、一般には成り立たない」」
などと書かれています。
f(x) = x
g(x) = x + 1
とすると
f(g(x)) = x + 1
g(f(x)) = x + 1
ですが、 g は f の逆関数ではありません。
0356１３２人目の素数さん
2015/04/28(火) 07:32:56.76ID:XB+zxu/hは成り立ちますが、この関係式は一般に等号では成り立たないんですね。
I = (-∞, +∞) で定義された連続関数 f(x) = x を考えると、その不定積分は、 a∈I として
∫ t dt from t = a to t = x
=
(1/2)*x^2 - (1/2)*a^2
となりますが、 -(1/2)*a^2 ≦ 0 ですから、
f の原始関数 (1/2)*x^2 + 1 は f の不定積分にはなりません。
0357１３２人目の素数さん
2015/04/28(火) 07:34:12.58ID:1thDhxi0○一般には成り立たない
0358１３２人目の素数さん
2015/04/28(火) 07:38:16.32ID:XB+zxu/h②関数 f の不定積分は存在するが、原始関数は存在しない。
そんな f は存在するんですか？
0359１３２人目の素数さん
2015/04/28(火) 07:39:28.34ID:XB+zxu/h「g が逆関数のときに限ることで」
と書いてあります。
0360１３２人目の素数さん
2015/04/28(火) 14:38:26.11ID:LvowFkXh不定積分と定積分、勘違いしてない？
0361１３２人目の素数さん
2015/04/28(火) 19:36:34.78ID:XB+zxu/hF(x) = (∫f(t) dt from t = a to t = x) + C
でした。ですので、
>>356
(1/2)*x^2 + 1 は f の不定積分になりますね。
Cを忘れていました。
「下端を特定しない意味で、1つの積分関数に任意の定数を加えて得られる
関数を総称して、 f の不定積分ということがある。」
と書いてあります。
0362１３２人目の素数さん
2015/04/28(火) 20:23:25.69ID:XB+zxu/h検索してみたら、こんなのが出てきました↓
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1064-1.pdf
0363１３２人目の素数さん
2015/04/28(火) 20:24:38.45ID:XB+zxu/h①、②、両方とも存在するみたいですね。
0364１３２人目の素数さん
2015/04/29(水) 12:26:44.09ID:+SnV9o4i②の例は絶対値関数とステップ関数で、絶対値関数が微分できない点があるから原始関数じゃないってのは不自然だろ
0365１３２人目の素数さん
2015/04/29(水) 17:13:24.33ID:cmOZy2f8問題の意味がよくわからないです
どういうことでしょうか？？
http://i.imgur.com/YUbwkEV.jpg
0366１３２人目の素数さん
2015/04/29(水) 17:21:33.37ID:MWQLz7Xfという問題です。ちなみにその2というのは前についてる2のことだと思われます。
0367１３２人目の素数さん
2015/04/29(水) 17:23:49.84ID:OY4F2BZH0368１３２人目の素数さん
2015/04/29(水) 17:35:17.19ID:7AfHZmz7なんか変な問題ですね。
要するに青い「2」の部分をxに置き換えて、xについて解けということです。
「2」は別に3でも4でもなんでもいいですよね。なんで「2」にしたんですかね。
0369１３２人目の素数さん
2015/04/29(水) 17:38:10.87ID:7AfHZmz7(2, 12, 4) = 2*(1, 6, 2)
(6, 2, 4) = 2*(3, 1, 2)
(0, 8, 10) = 2*(0, 4, 5)
なので「2^3」が正解ですね。
0370１３２人目の素数さん
2015/04/29(水) 17:56:57.69ID:7AfHZmz7det(c*A) = c*det(A)
と解答するかもしれないけれど、それは間違いですよ、という問題だと思います。
0371１３２人目の素数さん
2015/04/29(水) 18:02:41.62ID:MHxtMLQX積分を定義するのに、高校数学みたいに「微分の逆」として原始関数を
まず定義して、その差で定積分を定義する、という方法だと、積分の
定義に穴があくということ
最初にリーマン和考えて定積分を定義して、連続函数の場合には原始関数
になるという、微積分学の基本定理を導くことはやはり必要
0372１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 08:39:52.15ID:rX/lQzF4色々な本を調べたのですが、溝畑茂著『数学解析上』が一番詳しく書いて
あるように思います。3.2「原始関数を求める手法」というところを読めば
おそらく置換積分について理解できると思いました。
アマゾンで調べてみるとレビューが一つもないんですね。不思議です。
0373１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 08:45:14.12ID:rX/lQzF4書いただけって感じがなんとなくするんですよね。
溝畑先生の本は自分で全て考えて書いているって感じがしますね。
0374１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 08:49:27.99ID:rX/lQzF4あと、Tom Apostol著『Mathematical Analysis』も非常に詳しく
置換積分について説明しています。
0375１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 09:22:48.97ID:rX/lQzF4p.22 「そうでなければ、 M_i はすべて有限で」となっていますが、
変ですね。 M_n が適切ですね。
p.22 「c_n_2≧σ’」となっていますが、辺ですね。
c_n_2>σ’ が適切ですね。
0376１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 11:05:41.73ID:rX/lQzF4http://i.imgur.com/Q5JOQp3.jpg
↑の画像で青で囲ったところが分かりません。
「容易にたしかめられる。」と書いてありますが。
どなたか証明を教えてください。
0377１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 11:36:08.64ID:r1VKAfWIまさか本人ではあるまい。
出版社の手の者か？
0378１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 12:51:07.92ID:l1A8BmF8それは同意するけどね
0379１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 18:22:14.57ID:rX/lQzF4今日放送ですね。
正解を楽しみにしていてください。
「数学」にマッチしました．
番組タイトル：「所さん！大変ですよ「文房具“爆買い”騒動の謎」」
番組内容：去年１０月、日本各地で突然、ある文房具をめぐる奇妙な“爆買い”騒動が起きた。なぜか世界中から殺到する発注。アメリカの天才数学者も巻き込まれた騒動の真相は？
放送日：2015年04月30日
開始時刻：22:55
http://www2.nhk.or.jp/hensei/program/wk.cgi?ch=21&;area=001&date=&tz=all&mode=2&next=&f=week
放送日：2015年04月30日
開始時刻：22:55
http://www2.nhk.or.jp/hensei/program/wk.cgi?ch=22&;area=001&date=&tz=all&mode=2&next=&f=week
0380１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 18:24:48.66ID:ROeSJ7M10381１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 18:38:29.47ID:pNRexthE0382１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 19:02:12.97ID:rX/lQzF4自分なりの解答は以下です。溝畑さんの証明は本当にOKなのでしょうか？
数列の中に ≧ σ というものが無限個あるときにはそれらをとり出せばよい。そうでないときは、
ν を適当に大ととると、 c_n < σ (n > ν) がなりたつ。
σ’ を σ’ < σ となる任意の数とする。
定理 A.4 により、 σ’ < c_n をみたす n は無数にある。
よって、 ν < n_1 かつ σ’ < c_n_1 となるような n_1 が存在する。
n_1 > ν だから、 σ’ < c_n_1 < σ がなりたつ。
定理 A.4 により、 c_n_1 < c_n をみたす n は無数にある。
よって、 ν < n_1 < n_2 かつ c_n_1 < c_n_2 となるような n_2 が存在する。
ν < n_1 < n_2 だから、 σ’ < c_n_1 < c_n_2 < σ がなりたつ。
以下同様にして、
σ’ < c_n_1 < c_n_2 < … < c_n_p < … < σ となるような
n_1 < n_2 < … < n_p < … が存在する。
σ’ は任意の数であったから、
c_n_1 < c_n_2 < … < c_n_p < … → σ
が成り立つ。
0383１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 19:05:27.83ID:rX/lQzF40384１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 19:19:31.30ID:rX/lQzF4数列の中に ≧ σ というものが無限個あるときにはそれらをとり出せばよい。そうでないときは、
ν を適当に大ととると、 c_n < σ (n > ν) がなりたつ。
定理 A.4 により、 σ-1/1 < c_n をみたす n は無数にある。
よって、 ν < n_1 かつ σ-1/1 < c_n_1 となるような n_1 が存在する。
n_1 > ν だから、 σ-1/1 < c_n_1 < σ がなりたつ。
定理 A.4 により、 σ-1/2 < c_n をみたす n は無数にある。
よって、 ν < n_1 < n_2 かつ σ-1/2 < c_n_2 となるような n_2 が存在する。
ν < n_1 < n_2 だから、 σ-1/2 < c_n_2 < σ がなりたつ。
同様にして続けていけば、
σ-1/p < c_n_p < σ
となるような
n_1 < n_2 < n_3 < … が存在する。
これは、
c_n_p → σ （p→＋∞）
を意味する。
0385１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 20:08:06.83ID:ROeSJ7M10386１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 21:32:49.81ID:Qmn3EJEMムズメンズお勧め
0387１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 07:20:37.34ID:wBBG7fe8天才数学者とはこの人のことでした：
http://i.imgur.com/M7M9r4x.jpg
http://i.imgur.com/srvYMfy.jpg
群の同形についてだと思いますけど、なんか訳がおかしくないですか？
http://i.imgur.com/NmjJ7r7.jpg
http://i.imgur.com/inXQHgR.jpg
0388１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 23:34:18.33ID:UuGFczDg川久保勝夫の線形代数くらい丁寧な説明のある本はないでしょうか？
0389１３２人目の素数さん
2015/05/02(土) 01:18:54.57ID:OgQu7pZRhttp://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1429333311/144
0390１３２人目の素数さん
2015/05/02(土) 06:15:30.79ID:VHY5Bcy2Michael Spivak著『Calculus』という本が非常に丁寧な説明の本です。
0391１３２人目の素数さん
2015/05/02(土) 13:44:51.44ID:OW8JRmHa0392１３２人目の素数さん
2015/05/02(土) 13:52:12.92ID:JXrVaEwpちくま学芸文庫『高等学校の～』シリーズ
0393１３２人目の素数さん
2015/05/02(土) 14:48:58.35ID:VHY5Bcy2それ昔の高校の教科書ですよね。
だったら今普通に使われている高校の教科書で十分じゃないですか？
0394１３２人目の素数さん
2015/05/02(土) 15:06:38.04ID:OW8JRmHa失礼しました。
0395１３２人目の素数さん
2015/05/02(土) 15:09:18.60ID:mywSCOdH十分なの？ へー
0396１３２人目の素数さん
2015/05/02(土) 20:06:29.11ID:VHY5Bcy2集積値を使った上極限、下極限の定義って分かりやすいですね。
やっと上極限、下極限が分かってきました。
0397１３２人目の素数さん
2015/05/02(土) 20:13:13.26ID:VHY5Bcy2その本を調べていたら、こんな本を見つけちゃいました。
斎藤正彦先生って健在なんですね。
位相群上の積分とその応用 (ちくま学芸文庫)
アンドレ・ヴェイユ
http://www.amazon.co.jp/dp/4480096655
0398１３２人目の素数さん
2015/05/03(日) 13:25:17.31ID:DT19PjOl「問1
f が上に有界でないときは、 I が1点でない限り、任意の分割 Δ に対して
S(f, Δ) が無限大になってしまい、上に定義した意味で積分可能ではあり
えないことを確認せよ。」
などという問題があります。
I が1点の場合には、必然的に f は I で有界ですよね。
おかしいですよね。
0399１３２人目の素数さん
2015/05/03(日) 14:04:40.42ID:sduapL6o＞I が1点の場合には、必然的に f は I で有界ですよね。
だから「Iが1点でない限り」なんだろ？
どこもおかしくないじゃん。
0400１３２人目の素数さん
2015/05/03(日) 14:20:12.10ID:g02259Cf0401１３２人目の素数さん
2015/05/03(日) 14:36:43.90ID:H3f+lBMx「f が上に有界でない」ならばAが成り立つ、という命題は
自動的に成り立つからおかしいんだろ
0402１３２人目の素数さん
2015/05/03(日) 14:44:46.16ID:o10++fxq微積分の本のあら探しが仕事らしい（笑）
0403１３２人目の素数さん
2015/05/03(日) 14:48:37.00ID:a3T8bXi20404１３２人目の素数さん
2015/05/03(日) 16:52:22.75ID:H3f+lBMx0405１３２人目の素数さん
2015/05/03(日) 17:20:41.29ID:1ozwAmRMWの生成系がa,b,cだとします
a+b+c=0が成り立つ時、基底はどうなるのでしょうか
{a,b}{b,c}{c,a}の3組あると思うのですが、この考えは正しいでしょうか？？
0406１３２人目の素数さん
2015/05/03(日) 17:30:13.96ID:8tPWsMw1は？
0407１３２人目の素数さん
2015/05/03(日) 19:31:06.92ID:g02259Cf0408１３２人目の素数さん
2015/05/03(日) 20:11:08.09ID:DT19PjOlp.10 問3
[a, b] における f(x) の上限、下限をそれぞれ M, m とおけば、
「f(x) の a から b までの上積分」 ≦ M*(b-a),
「f(x) の a から b までの下積分」 ≦ m*(b-a)
であることを証明せよ。
などという問題があります。
「f(x) の a から b までの下積分」 ≧ m*(b-a)
が正しいですよね。
0409１３２人目の素数さん
2015/05/04(月) 17:10:07.84ID:EdsPts01項別微分の定理の証明は素晴らしいですね。
コーシーの収束条件定理や平均値の定理が使われていて豪華ですね。
0410１３２人目の素数さん
2015/05/04(月) 17:22:47.55ID:EdsPts01「p.108に定理5を級数の部分和とその極限に対して適用すればよい。」
などと書かれていますが、定理5ではなく定理6です。
0411１３２人目の素数さん
2015/05/04(月) 17:47:18.19ID:EdsPts01今、やっと、有名な以下の定理の証明にまで読み進めることができました。
「全区間 (-∞, +∞) で連続で、いたるところ微分不可能であるような
関数が存在する。」
0412１３２人目の素数さん
2015/05/04(月) 18:25:54.67ID:o2nZLz320413１３２人目の素数さん
2015/05/05(火) 00:51:13.91ID:kDBFSU190414１３２人目の素数さん
2015/05/05(火) 08:07:06.06ID:BTESCVOQ売れ残っている第5巻を売り切ってから、新装版を出しそうな気がするんですよね。
0415１３２人目の素数さん
2015/05/05(火) 13:28:21.49ID:A4GbOHfp0416１３２人目の素数さん
2015/05/05(火) 13:29:58.05ID:e6o/mo/M0417１３２人目の素数さん
2015/05/05(火) 14:11:43.34ID:aEWfkOG50418１３２人目の素数さん
2015/05/05(火) 22:14:17.03ID:K2ImUtqY0419１３２人目の素数さん
2015/05/06(水) 18:53:57.00ID:pu12X9Y5絶対収束する級数は収束することの証明が不自然ですね。
自然な証明を思いついてしまいました。
以下の問題を自分で作ってしまいました。
なかなかの力作ですかね？
問1
①a_n ≦ b_n ≦ c_n
②Σa_n, Σc_n が収束する。
と仮定する。
このとき、
Σb_n も収束することを証明せよ。
問2
問1の結果を使って絶対収束する級数は収束することを示せ。
0420１３２人目の素数さん
2015/05/06(水) 18:59:18.26ID:q/rFEr6e0421１３２人目の素数さん
2015/05/06(水) 21:30:01.95ID:pu12X9Y5以下のような問題と解答があるのですが、変な解答ですね。
----------------------------------------------------------------------------------
問：
次の級数の収束・発散を調べよ。
1 + 1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 + …
解答：
1/3^2 < 1/2^2
1/5^2 < 1/4^2
1/7^2 < 1/6^2
…
1/2^2 + 1/4^2 + 1/6^2 + … = (1/2^2) * (1 + 1/2^2 + 1/3^2 + …) は収束だから、
与えられた級数も収束。
----------------------------------------------------------------------------------
1 ≦ 1
1/3^2 ≦ 1/2^2
1/5^2 ≦ 1/3^2
1/7^2 ≦ 1/4^2
…
1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + … は収束だから、
与えられた級数も収束。
とするのが普通ですよね。
0422１３２人目の素数さん
2015/05/07(木) 13:59:47.72ID:efPXr8diΣa_n と Σc_n が、収束はしても
同じ値じゃなかったら、Σb_n の収束は言えない。
0423１３２人目の素数さん
2015/05/07(木) 15:37:29.96ID:d9hd/Evq以下の解答は間違っていますかね？
問1
①a_n ≦ b_n ≦ c_n
②Σa_n, Σc_n が収束する。
と仮定する。
このとき、
Σb_n も収束することを証明せよ。
解答：
0 ≦ b_n - a_n ≦ c_n - a_n
Σa_n, Σc_n が収束するから、 Σ(c_n - a_n) も収束する。
Σ(b_n - a_n) も収束する。
Σa_n が収束するから、Σb_n = Σ((b_n - a_n) + a_n) も収束する。
問2
問1の結果を使って絶対収束する級数は収束することを示せ。
解答：
Σ|a_n| が収束するとする。
Σ-|a_n| も収束する。
-|a_n| ≦ a_n ≦ |a_n|
問1より、
Σa_n は収束する。
0424１３２人目の素数さん
2015/05/07(木) 18:37:21.70ID:l481Mbdoこれも証明せよ
0425１３２人目の素数さん
2015/05/07(木) 18:40:23.56ID:ds/n3ZWx0426１３２人目の素数さん
2015/05/07(木) 18:49:38.74ID:d9hd/Evq以下の証明であっていますよね？
A_n := a_1 + a_2 + … + a_n
C_n := c_1 + c_2 + … + c_n
Σa_n, Σc_n が収束するから、
lim A_n = α
lim C_n = γ
D_n := (c_1 - a_1) + (c_2 - a_2) + … + (c_n - a_n)
D_n = C_n - A_n
lim D_n = lim (C_n - A_n) = lim C_n - lim A_n = γ - α
よって、 Σ(c_n - a_n) は収束する。
0427１３２人目の素数さん
2015/05/07(木) 18:51:28.76ID:ds/n3ZWx0428１３２人目の素数さん
2015/05/07(木) 21:31:51.31ID:McWfEUN+>>419は正しいよ。俺も同じ問題考えたことあるもん。
問1の解答
まず、Σ(b_n－a_n) が収束することを示す。……(1)
a_n ≦ b_n ≦ c_n だから、0≦b_n－a_n≦c_n－a_n である。……(2)
従って、{ Σ{n＝1～m}(b_n－a_n) }_m は正項級数である。
従って、(1)を示すには、Σ{n＝1～m}(b_n－a_n)が
上に有界であることを示せば十分である。
仮定よりΣa_n と Σc_n は収束するから、C：＝Σ(c_n－a_n) も収束する。
(2)より、{ Σ{n＝1～m}(c_n－a_n) }_m もまた正項級数である。
よって、任意のm≧1に対してΣ{n＝1～m}(c_n－a_n)≦Cが成り立つ。……(3)
再び(2)より、任意のm≧1に対してΣ{n＝1～m}(b_n－a_n)≦Σ{n＝1～m}(c_n－a_n)
である。これと(3)より、Σ{n＝1～m}(b_n－a_n)≦C である。
すなわち、Σ{n＝1～m}(b_n－a_n)は上に有界である。以上より、(1)が成り立つ。
さて、Σa_n と Σ(b_n－a_n) が収束するのだから、Σ(a_n＋(b_n－a_n)) も収束する。
すなわち、Σb_n は収束する。■
正項級数の議論に帰着できることがポイント。
0429１３２人目の素数さん
2015/05/07(木) 23:16:33.75ID:S74bC/D80430１３２人目の素数さん
2015/05/09(土) 17:22:57.52ID:FTiWaa3A0431１３２人目の素数さん
2015/05/09(土) 18:50:58.49ID:XDfip0IE黒田成俊先生の本の分かりやすい説明を読んだ後であるためか、今度は
読めそうです。
やっぱり上極限、下極限って難しいんですね。
足立恒雄著『理工基礎 微分積分学I』では、べき級数に関するある定理を
上極限を使って証明しているのですが、上極限を使った証明が終わった後に
上極限をスキップした読者のために、上極限を使わない証明が書かれています。
0432１３２人目の素数さん
2015/05/09(土) 18:52:45.00ID:XDfip0IE0433１３２人目の素数さん
2015/05/09(土) 19:34:07.19ID:XDfip0IE「もちろん一般に lim inf a_n ≦ lim sup a_n であって、
両者が一致するときに、これが lim a_n となるのである。」
などと書かれていますが、以下の命題ってそんなに自明なことですかね。
命題：
lim a_n が意味を持つためには、すなわち数列 {a_n} が収束するか、
lim a_n = ±∞ であるためには
lim sup a_n = lim inf a_n
であることが必要十分である。このとき
lim a_n = lim sup a_n = lim inf a_n
となる。
0434１３２人目の素数さん
2015/05/09(土) 22:53:45.32ID:fDosx08P必要があれば、証明すりゃいい。
0435１３２人目の素数さん
2015/05/10(日) 13:35:02.38ID:nQhCu6HF0436１３２人目の素数さん
2015/05/10(日) 19:51:09.41ID:PrnV0wwIa_(n+1) = exp(-a_n)
a_(n+1) = cos(a_n)
この問題の解答をお願いします。
0437１３２人目の素数さん
2015/05/11(月) 09:44:38.89ID:E1NUzeMzやはり、以下の命題は自明じゃないですね。
少なくとも松坂先生の本だけを読んでいる人にとっては自明ではない
ですね。
ちなみに『解析入門1』には、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの
定理も書いてありません。
命題：
lim a_n が意味を持つためには、すなわち数列 {a_n} が収束するか、
lim a_n = ±∞ であるためには
lim sup a_n = lim inf a_n
であることが必要十分である。このとき
lim a_n = lim sup a_n = lim inf a_n
となる。
0438１３２人目の素数さん
2015/05/11(月) 09:45:12.50ID:E1NUzeMz必要性は明らか。
lim sup a_n = lim inf a_n と仮定する。
(1)
lim sup a_n = lim inf a_n = +∞ の場合。
lim inf a_n ≠ -∞ だから、 {a_n} は下に有界である。
L を {a_n} の任意の下界とする。
ある実数 M が存在して、 a_n ≦ M となるような n が無数に存在する
と仮定して矛盾を導く。
L ≦ a_n ≦ M となるような n が無数に存在する。
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理により、 {a_n} の部分列で
α∈[L, M] に収束するようなものが存在する。
α < +∞ = lim inf a_n となるが、これは矛盾である。
よって、任意の実数 M に対して、 a_n ≦ M となるような n は有限個
しか存在しない。すなわち、 lim a_n = +∞ である。
(2)
lim sup a_n = lim inf a_n = -∞ の場合。
(1)と同様にして証明できる。
0439１３２人目の素数さん
2015/05/11(月) 09:45:47.50ID:E1NUzeMzlim sup a_n = lim inf a_n = α∈R の場合。
lim sup a_n = lim inf a_n = α∈R であるから、{a_n} は上下に有界
である。L を {a_n} の任意の下界、M を {a_n} の任意の上界とする。
ある正の実数 ε が存在して、 a_n ≦ α-ε または α+ε ≦ a_n と
なるような n が無数に存在すると仮定して矛盾を導く。
(a)「a_n ≦ α-ε となるような n が無数に存在する。」
(b)「α+ε ≦ a_n となるような n が無数に存在する。」
(a), (b)の少なくとも一方は成り立つ。
(a)が成り立つと仮定する。
L ≦ a_n ≦ α-ε となるような n が無数に存在する。
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理により、 {a_n} の部分列で
β∈[L, α-ε] に収束するようなものが存在する。
β < α = lim inf a_n となるが、これは矛盾である。
よって、任意の正の実数 ε に対して、a_n ≦ α-ε または α+ε ≦ a_n と
なるような n は有限個しか存在しない。すなわち、lim a_n = α である。
0440１３２人目の素数さん
2015/05/11(月) 09:50:03.20ID:E1NUzeMzlim a_n = α であることが示される。
0441１３２人目の素数さん
2015/05/11(月) 09:59:02.60ID:EgfZ2anS知性というより感性の問題だ。
証明は、必要なら、サボらず書けばいいのだ。
0442１３２人目の素数さん
2015/05/11(月) 11:34:08.08ID:ys4e85D1グラフ見ろ
0443１３２人目の素数さん
2015/05/15(金) 18:14:46.21ID:QgMLLdo3以下の定理が書かれているのですが、これって級数とは直接的には
何も関係がない命題ですよね。
正の数列 (a_n) に関する命題ですよね。
---------------------------------------------------------------
級数 Σa_n において、すべての n に対し a_n>0 とする。そのとき
liminf a_(n+1)/a_n ≦ liminf a_n^(1/n),
limsup a_n^(1/n) ≦ limsup a_(n+1)/a_n
が成り立つ。
0444１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 04:34:05.85ID:m6rQMwo6あぁ、昔はあんなにも勃起できたのに
0445１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 11:07:01.31ID:swt4bDm6http://i.imgur.com/kn0xJI6.jpg
上の画像の赤で囲った部分ですが、無駄に難しい証明をしていますね。
何を考えているんでしょうかね？
以下のほぼ自明な証明でOKなはずです。
A = {x | x は |a_n|^(1/n) の部分列極限}
B = {x | x は (n*|a_n|)^(1/n) の部分列極限}
x∈A とする。 {|a_n|^(1/n)} の部分列 {|a_n_k|^(1/n_k)} が存在して、
|a_n_k|^(1/n_k) → x (k → ∞)。
(n_k)^(1/n_k) → 1 (k → ∞) だから、
(n_k*|a_n_k|)^(1/n_k) → x (k → ∞)。
したがって、 x∈B。
逆に、 x∈B とする。 {(n*|a_n|)^(1/n)} の部分列 {(n_k*|a_n_k|)^(1/n_k)} が存在して、
(n_k*|a_n_k|)^(1/n_k) → x (k → ∞)。
(n_k)^(1/n_k) → 1 (k → ∞) だから、
|a_n_k|^(1/n_k) = (n_k*|a_n_k|)^(1/n_k) / (n_k)^(1/n_k) → x/1 = x (k → ∞)。
したがって、 x∈A。
以上から、 A = B。
よって、
limsup |a_n|^(1/n) = max A = max B = limsup (n*|a_n|)^(1/n)。
0446１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 17:39:05.62ID:CP66xRnP簡単な問題ですみません
この積分はyzを定数として考えて積分してはダメなのですか？
0447１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 17:46:13.36ID:ZeYudecO0448１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 18:13:54.49ID:CP66xRnP0449１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 19:19:08.19ID:d1OUkIQN0450１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 20:30:57.78ID:swt4bDm6以下の画像の赤で囲ったところが誤っています。
http://i.imgur.com/EKO5kEp.jpg
0451１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 20:44:58.20ID:8/kB14jK0452１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 22:17:30.09ID:d8b4G6k/0453１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 23:42:45.89ID:fvoJx9Csが計算できません。
2時間粘ったのですがダメでした。
解答には答えしか出てないので
解き方をよろしかったら教えてください。
0454１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 23:49:43.16ID:hjdbzpwb0455１３２人目の素数さん
2015/05/17(日) 00:29:04.81ID:K1ax5MLp∫√(1+x^2)dx=(1/2){x√(1+x^2)+log|x+√(1+x^2)|} + c
は、判る？ ヒントは ∫dx/√(1+x^2) = log|x+√(1+x^2)| + c
(u=x+√(1+x^2) とおくと簡単にできる)
0456１３２人目の素数さん
2015/05/17(日) 01:54:23.78ID:kEZ9GEuj=-∫〔0 π〕dcosx/dx√（1+cos x*cos x）dx
=-∫〔1 -1〕=√（1+t*t）dt t=cosxと置く
上記ヒントにより
=-(1/2)〔{t√(1+t^2)+log|t+√(1+t^2)|}〕 1から-1まで
=√2+log（√2+1）となり、解答と合いました。
早速のご返答、ありがとうございました。
0457１３２人目の素数さん
2015/05/17(日) 02:24:25.27ID:HjrjUBEJ∫√(1+x^2)dx=(1/2){x√(1+x^2)+log|x+√(1+x^2)|} + c
この積分ができたかどうかが重要
0458１３２人目の素数さん
2015/05/17(日) 11:33:29.99ID:cEHQhAJw0459１３２人目の素数さん
2015/05/17(日) 12:43:25.50ID:sTLUs1Wn0460１３２人目の素数さん
2015/05/17(日) 14:08:55.62ID:cEHQhAJw「u=x+√(1+x^2) とおくと」
これってどうやって思いついたんですかね。
↓この解答を思いつくのと同じくらい思いつくのが難しいと思うんですよね。
∫dx/√(1+x^2) = log|x+√(1+x^2)|
0461１３２人目の素数さん
2015/05/17(日) 14:10:19.56ID:mu4x6gC0http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1159662016
0462１３２人目の素数さん
2015/05/17(日) 14:16:16.90ID:Dlg1J+6f自分で思いつくのは難しいが、たいていの教科書に
∫R(x,√(a x^2+ b x + c)dx 型の積分
みたいな項目があって、そこに置換の仕方が書いてある
0463１３２人目の素数さん
2015/05/17(日) 18:00:41.98ID:sTLUs1Wn「二次曲線の頂点を通る直線と二次曲線の交点座標は、直線の傾きの有理関数になる」
があるから、これで変数変換すれば有理関数の積分になる
0464１３２人目の素数さん
2015/05/17(日) 21:57:18.47ID:cEHQhAJw計算が大変ですね。いい計算問題なんでしょうね。
http://i.imgur.com/nX2e19T.png
0465１３２人目の素数さん
2015/05/17(日) 22:07:24.10ID:cEHQhAJw修正します↓。
http://i.imgur.com/KCYw45Y.png
0466１３２人目の素数さん
2015/05/17(日) 23:00:58.33ID:2S6wEU1C∫√(1+t^2)dt = ∫(t)'√(1+t^2)dt = t√(1+t^2) - ∫t^2dt/√(1+t^2)
= t√(1+t^2) - ∫(t^2+1)dt/√(1+t^2) + ∫dt/√(1+t^2)
= t√(1+t^2) - ∫√(1+t^2)dt + log|t+√(1+t^2)| +c
第三項は、u=t+√(1+t^2) と置くと du/dt=1+t/√(1+t^2)=(t+√(1+t^2))/√(1+t^2)=u/√(1+t^2) から導かれる
第二項は、左辺と同じなので、移項して整理すると
∫√(1+t^2)dt = (1/2){ t√(1+t^2) + log|t+√(1+t^2)| } + c が得られる。
0467１３２人目の素数さん
2015/05/18(月) 13:51:22.22ID:676/hgxWf(x) は区間 [c, d] で連続であり、一方 φ(t) は [α, β] で微分可能、 φ’(t) は
[α, β] で連続で、 α≦ t ≦ β のとき c ≦ φ(t) ≦ d であるとする。
また a = φ(α), b = φ(β) とおく。そのとき次の関係が成り立つ：
∫ f(x) dx from a to b = ∫ f(φ(t))φ’(t) dt from α to β.
--------------------------------------------------------------------------------------
命題：
f が区間 I で積分可能で、原始関数 F をもつとする。そのとき、任意の a, b∈I に対し
∫ f from a to b = F(b) - F(a)
が成り立つ。
--------------------------------------------------------------------------------------
原始関数が存在すれば積分可能であるということが真ならば、φ’(t) が連続であるという仮定
はいらなくなりますね。
原始関数は存在するが、積分可能でないような関数 f は >>362 によると存在する。
だから、 φ’(t) が連続であると仮定しないといけないんですね。
このことについて書いてある本が見た限りでは、ないんですよね。
φ’(t) が連続であるという仮定は本当に必要なのだろうか？って疑問に思いますよね、普通。
0468１３２人目の素数さん
2015/05/18(月) 16:47:36.53ID:676/hgxW足立恒雄著『微分積分学I』
を見て驚きました。
置換積分の公式なんですが、φ’(t) が連続であるという仮定が
書かれていません。
0469１３２人目の素数さん
2015/05/19(火) 13:07:24.82ID:wRo1l1PF0470１３２人目の素数さん
2015/05/19(火) 13:47:41.20ID:AZo6Tf+Q0471１３２人目の素数さん
2015/05/19(火) 15:15:16.85ID:pL3JZ0vm0472１３２人目の素数さん
2015/05/19(火) 20:35:18.02ID:oeUwj7KT『数学者が読んでいる本ってどんな本』で、
↓こんなことを書いていますね。
高木貞治著『解析概論』って有名ですけど、おかしなことも書い
てあるんですね。
上野健爾先生が『解析概論』が名著と言われる理由が分から
ないと書いていましたね。
ちなみに『数学者が読んでいる本ってどんな本』では、ほとんど
の数学者が高木貞治の本をリストに含めているのですが、上野健爾先生
の本のリストには高木貞治の本が1冊も含まれていません。
http://i.imgur.com/hE6DJLA.jpg
0473１３２人目の素数さん
2015/05/20(水) 12:16:55.50ID:OCg8xvpU0474１３２人目の素数さん
2015/05/21(木) 11:32:07.92ID:pQoHjK4I収束する場合には収束値を答えよ。
f(x) = (π/2 - (1-x)*sqrt(2*x-x^2)-arcsin(1-x))/x
0475１３２人目の素数さん
2015/05/21(木) 12:39:41.72ID:FSSu3lAl0476１３２人目の素数さん
2015/05/21(木) 18:09:53.41ID:pQoHjK4I安い第3版と割高だが最新の第4版のどちらにするか迷いました。
主な変更点は、問題が追加されたのと参考文献紹介が更新されたことくらいみたいですけど、
最新のほうが気分がいいので第4版にしました。
------------------------------------------------------------------------------------
∫sqrt(a^2 - x^2) dx = (1/2)*(x*sqrt(a^2-x^2) + a^2*arcsin(x/a)) (a > 0)
(1/2)*(x*sqrt(a^2-x^2) + a^2*arcsin(x/a)) はもちろん、-a ≦ x ≦ a で微分可能ですけど、
x*sqrt(a^2-x^2) と a^2*arcsin(x/a) は両方とも x=±a で微分不可能なんですね。
あと、 (1/2)*(x*sqrt(a^2-x^2) + a^2*arcsin(x/a)) は C1 級ですけど、2回微分不可能な関数
の例になっていますね。
0477１３２人目の素数さん
2015/05/22(金) 20:22:03.18ID:tItglsNHMichael Spivak著『Calculus』第4版 をキャンセルして、第3版を
新たに注文しました。
届くのが楽しみです。
0478１３２人目の素数さん
2015/05/22(金) 22:08:48.68ID:3ASxk2g4真面目にやっとかないとダメなんですか？
0479１３２人目の素数さん
2015/05/22(金) 22:41:32.99ID:ebZuEPgH全問正解できれば、ハナクソほじりながらでも、
ヒップホップうなりながらでも、全然無問題。
「おまいら、コレに練習が要るの？」とかほざいて
顰蹙をかってもいいし、粛々と正解するだけでもいい。
もし、教科書や問題集の例題で一問でも間違える
ような低能の出来損ないなら、御託並べてないで
セコセコ練習しとくのが身のためだ。どっちだ？
0480１３２人目の素数さん
2015/05/22(金) 22:42:14.62ID:tItglsNH早く、大学レベルの本を読んだほうがいいと思います。
0481１３２人目の素数さん
2015/05/22(金) 22:43:35.73ID:+WLyeiHS早くブログに移行した方がいいと思います
0482１３２人目の素数さん
2015/05/22(金) 22:45:01.22ID:tItglsNHMichael Spivak著『Calculus』がおすすめです。
0483１３２人目の素数さん
2015/05/22(金) 22:47:40.76ID:xiD3J0D8解析入門がお勧めです
0484１３２人目の素数さん
2015/05/22(金) 22:48:42.17ID:tItglsNH松坂和夫著『解析入門2』を読んでいますが、積分の計算は、
やはりつまらないと思います。
0485１３２人目の素数さん
2015/05/22(金) 22:50:18.19ID:xiD3J0D8おまえの書き込みはつまらないと思います
0486１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 09:05:08.44ID:/JRgvgWhhttp://i.imgur.com/wF3bY9t.jpg
>>467
でいうところのφ(t)について「単調増加」という条件がついています。
おかしいですよね？
この辞典、上野先生が『数学者が読んでいる本ってどんな本』で自分が関わった
本だから自己宣伝していましたけど、役に立たない辞典という印象があります。
だいたい、『数学者が読んでいる本ってどんな本』というタイトルなのに、
自分の本の宣伝の場として利用するというのはおかしいですよね。非常識な
人ですよね。
0487１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 09:09:09.72ID:iglK9R68↑ ↑ ↑ ↑ ↑
0488１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 12:16:35.69ID:F6I+O+7g必要だったのかもしれないけど、いま分かってる段階からみるとなんか別に
当たり前の話で数学の他のものと比べてもなんか感動がないなあ、と思う。
εδもさ、その厳密に考えようというやり方はちょっと感動があるけど、
証明しようとしていることは直感的に別に自明じゃね、と思えてしまう
0489１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 12:44:39.13ID:Hi6sC0HP0490１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 14:25:57.54ID:FXxOlZdW新鮮で感動的なテーマを
誰にとってもアタリマエの話に
落とし込んでゆく仮定が、数学でしょ。
初等解析学については、それはもう済んでいる。
そこで作られたアタリマエの道具を使って
日常の計算をするのは、数学じゃなく算数だから。
大人の算数。
アタリマエの道具になってしまったものを使って
その上に新しいテーマが見つけられていけば、
数学の新しい分野が形成されるということだよ。
0491１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 20:41:08.11ID:/JRgvgWh自分の母親の訳した源氏物語の本を宣伝していましたね。
0492１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 20:50:18.99ID:/JRgvgWhあ、これって >>472 高木貞治の『解析概論』に書いてある応用上の興味に
乏しいっていう定理だったんですね。
でも単調減少でもいいはずですよね。
0493１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 21:19:21.24ID:FXxOlZdW単調増加だろうが、単調減少だろうが、
単調な場合には、各積分変数の変域の対応がとり易い。
で、応用上は、区分的に単調なら使える訳だろ。
0494１３２人目の素数さん
2015/05/24(日) 12:57:28.29ID:YZf+3j8u0495１３２人目の素数さん
2015/05/24(日) 13:00:01.22ID:79E1ADVn0496１３２人目の素数さん
2015/05/24(日) 13:01:18.80ID:UENlkx+20497１３２人目の素数さん
2015/05/24(日) 13:07:44.59ID:0zNZxlpi0498１３２人目の素数さん
2015/05/24(日) 13:15:42.87ID:2grpWJ7yMichael Spivak著『Calculus』がおすすめです。
0499１３２人目の素数さん
2015/05/24(日) 13:28:03.69ID:pF+kOYVl0500１３２人目の素数さん
2015/05/24(日) 17:07:48.53ID:CX8BvSL1松坂
0501聖マリアンナ医大病院20人資格取り消し
2015/05/24(日) 20:50:23.36ID:CpY6olxthttps://www.youtube.com/watch?v=P4UD7b6h2KM
0502１３２人目の素数さん
2015/05/25(月) 01:54:48.13ID:1xJL+QsD0503１３２人目の素数さん
2015/05/25(月) 01:59:25.29ID:1xJL+QsD取り込んだのですが、もう著作権は切れていますか？YouTubeにアップロードするのは
問題があるでしょうか？
0504１３２人目の素数さん
2015/05/25(月) 04:46:12.44ID:I3luvvMb大丈夫だ、問題ない。
0505１３２人目の素数さん
2015/05/25(月) 22:39:05.53ID:Af0PXn6uおまわりさん、こいつです↑
0506１３２人目の素数さん
2015/05/26(火) 07:56:17.49ID:aS+yQA4shttp://www.amazon.co.jp/dp/4785313161
0507１３２人目の素数さん
2015/05/26(火) 08:05:48.80ID:KAWY7c8Ottp://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1316-6.htm
0508１３２人目の素数さん
2015/05/26(火) 08:42:39.77ID:HLxpZTOh>読者の便宜を図った。なお改版にあたっては原則、一部の文字遣いを改めるにとどめ、,本文は変更していない。
あの活字が見やすくなってたったの200円増しなら買い替えてもいいかも
ページ数もちょっと増えてるし
0509１３２人目の素数さん
2015/05/26(火) 13:38:53.70ID:aS+yQA4sこの本は持っていないので新装版を買おうと思います。
4月に古いのを買った人はがっかりでしょうね。
0510１３２人目の素数さん
2015/05/26(火) 16:04:56.76ID:aS+yQA4s放送大学の授業ってなんか役に立たないのが多くないですか？
0511１３２人目の素数さん
2015/05/26(火) 17:13:43.31ID:kENIg+4s0512１３２人目の素数さん
2015/05/26(火) 17:36:28.48ID:aS+yQA4s全然ためにならないと思うんですよね。
押川元重さんは、説明が下手すぎると思うんですよね。
0513１３２人目の素数さん
2015/05/26(火) 17:42:35.37ID:aS+yQA4s0514１３２人目の素数さん
2015/05/26(火) 17:51:51.31ID:aS+yQA4s0515１３２人目の素数さん
2015/05/26(火) 19:35:55.25ID:iUGN3b9v解の公式間違えるなんてひどいですね
0516１３２人目の素数さん
2015/05/26(火) 22:27:50.22ID:4EGJJHt5ほとんど感じさせないライブ感(悪い意味で)。
0517１３２人目の素数さん
2015/05/28(木) 19:50:50.41ID:smnmiEz3ものすごく大きい本ですね。
日本の微分積分の本とサイズを比較してみました：
http://i.imgur.com/4Nn5jLI.jpg
http://i.imgur.com/oCDrOH5.jpg
0518１３２人目の素数さん
2015/05/28(木) 19:57:50.73ID:lVJ8cRpYあくしろよ
0519１３２人目の素数さん
2015/05/30(土) 15:48:19.95ID:3025BvzA∫ f(x) dx from x = a to x = b
=
F(b) - F(a)
は成り立つか？
成り立たない場合には反例を挙げよ。
(2)関数 f(x) が [a, b] で連続であるとき、 y = f(x), y = 0, x = a, x = b で囲まれた部分の面積は、
∫ f(x) dx from x = a to x = b
に等しいかどうか？
等しくない場合には反例を挙げよ。
(3) f(x) を連続関数、 k を任意の定数とするとき、
∫ k * f(x) dx = k * ∫ f(x) dx
は成り立つか？
成り立たない場合には反例を挙げよ。
0520１３２人目の素数さん
2015/05/30(土) 15:52:40.60ID:3025BvzA円安が進めばさらに値上げですかね。
http://www.amazon.co.jp/dp/0521867444
買おうと思っている人は早く買ったほうがいいですね。
0521１３２人目の素数さん
2015/05/30(土) 16:40:50.14ID:OoMGhi1M0522１３２人目の素数さん
2015/05/30(土) 17:36:45.09ID:3025BvzAこの問題は、『Counterexamples in calculus』という本に載っていた問題です。
0523１３２人目の素数さん
2015/05/30(土) 17:43:29.86ID:vok+smAy(1) 反例
F(x)=1/x, a=-1, b=1
0524１３２人目の素数さん
2015/05/30(土) 17:50:51.44ID:3025BvzAはい。正解です。
この本の解答は、F(x) = ln |x| でした。
ひどい本ですよね。
解答：
関数 F(x) = ln |x| は関数 f(x) = 1/x の原始関数であるが、
（広義）積分 ∫ 1/x dx from x = -1 to x = 1
は存在しない。
この問題、広義積分も解答として許すっていうことを問題文に書くべきですよね。
0525１３２人目の素数さん
2015/05/30(土) 17:56:44.54ID:3025BvzA[a, b] で f(x) < 0 であるような関数を考えると、面積は、
- ∫ f(x) dx from x = a to x = b
になるから(2)は成り立たないという解答でした。
(3)も人を食ったような問題です。
∫ 0 * f(x) dx = ∫ 0 dx = C（任意の定数）
一方、
0 * ∫ f(x) dx = 0
だから(3)は成り立たないというのが解答でした。
0526１３２人目の素数さん
2015/05/31(日) 02:51:48.42ID:Olpo+2xO数合わせのために無理矢理捻り出した反例か
0527１３２人目の素数さん
2015/05/31(日) 12:27:08.39ID:AIhO/obx正解？
広義積分でも反例あるぞ
0528１３２人目の素数さん
2015/06/02(火) 11:58:07.60ID:HqPKoFJS同音異義語が一文に登場する
文書がシャレではなくホントのことなのである
相加相乗平均の定理により創価はおトクですよ
0529１３２人目の素数さん
2015/06/02(火) 13:40:45.66ID:+/n6/mzH0530１３２人目の素数さん
2015/06/04(木) 02:31:59.08ID:M/5YiBG5というか裳華房のPDFすべてダウンロー出来ないよね
0531１３２人目の素数さん
2015/06/04(木) 02:43:33.35ID:GE9ou5sXブラウザで見れるしダウンロードもできたけど
旧版と比べるとかなり見やすい
0532１３２人目の素数さん
2015/06/04(木) 02:56:33.68ID:M/5YiBG5僕のパソコンでもスマホでもダウンロード出来ないし、ブラウザでも見れないんですが
どうしてなんでしょうか？
旧版より見やすいのだったらこれを機会に買ってみるのもありですね
0533１３２人目の素数さん
2015/06/04(木) 07:51:42.61ID:EH9AkET8本当に見られないですか？
http://www.shokabo.co.jp/sample/1316s.pdf
レイアウトとか文字が綺麗になると、内容までやさしく感じられてくるのが不思議ですね。
ソフトカバーですかね？
ソフトカバーのほうが好きなのでソフトカバー希望です。
0534１３２人目の素数さん
2015/06/04(木) 10:09:54.18ID:5GIQgdtf持ち運びしているとソフトカバーはすぐページが傷む
0535１３２人目の素数さん
2015/06/04(木) 11:13:50.54ID:se7Hhiwc0536１３２人目の素数さん
2015/06/04(木) 12:34:36.30ID:MuSzE4qS0537１３２人目の素数さん
2015/06/04(木) 18:02:22.54ID:KXWTfwDb「リー環の話」の組み版にがこんな感じだったな。
個人的には、本文の括弧などの約物は特に、旧版の方が好みだ。
数式は欧文括弧なのに地の文は和文括弧になってるとやはり気になる。
0538１３２人目の素数さん
2015/06/04(木) 23:18:35.01ID:98yrRLpw0539１３２人目の素数さん
2015/06/05(金) 00:08:28.81ID:PFTbs5dh証明の順序があちらこちらで何がしたいのか読んでてすごいわかりにくかった
0540１３２人目の素数さん
2015/06/06(土) 12:23:58.33ID:pNBT1sHg以下の(1), (2)から(3)が成り立つとだけ書いてあるのですが、
どうして成り立つのか分かりません。
(1)写像 f : Q -> {x > 0 | x ∈ R} が
f(u + v) = f(u) * f(v)
を満たすとき、
f(u) = a^u, a := f(1)
が成り立つ。
(2)任意の実数 x, y に対し、
a^(x + y) = a^x * a^y
が成り立つ。
(1), (2) から、
(3)任意の実数 x, y に対し、
(a^x)^y = a^(x*y)
が成り立つ。
0541１３２人目の素数さん
2015/06/06(土) 12:49:52.27ID:pNBT1sHg(1')写像 f : Q -> {x > 0 | x ∈ R} が
f(u + v) = f(u) * f(v)
を満たすとき、
f(u*v) = (f(u))^v
が成り立つ。
(1), (1'), (2)から(3)が成り立つと書いてあります。
0542１３２人目の素数さん
2015/06/06(土) 12:55:37.99ID:nuUbPK/O0543１３２人目の素数さん
2015/06/06(土) 13:42:16.20ID:0qmIvLIefの連続性が要るだろw
0544１３２人目の素数さん
2015/06/06(土) 14:26:55.73ID:pNBT1sHg①有理数 u に対して、 a^u の定義が書いてあります。
②a^(u+v) = a^u * a^v
が有理数 u, v について成り立つことが証明されています。
③f(u) = a^u とおくと、 f は Q から {x > 0 | x ∈ R} への写像で
f(u + v) = f(u) * f(v)
を満たします。逆に
写像 f : Q -> {x > 0 | x ∈ R} が
f(u + v) = f(u) * f(v)
を満たすとき、
f(u) = a^u, a := f(1)
が成り立つことが証明されています。
0545１３２人目の素数さん
2015/06/06(土) 14:27:39.30ID:pNBT1sHgg(v) = a^(u*v)
について、
g(v + w) = a^(u*(v + w)) = a^(u*v + u*w) = a^(u*v) * a^(u*w) = g(v) * g(w)
が成り立つので、③より
g(v) = (g(1))^v、すなわち、
a^(u*v) = (a^u)^v
が成り立つ。
⑤a^u (u ∈ Q) は、
a > 1 のとき、単調増加、
0 < a < 1 のとき、単調減少
であることが証明される。
0546１３２人目の素数さん
2015/06/06(土) 14:28:08.09ID:pNBT1sHg有理数の列 u_1, u_2, …, u_n, … で実数 x に収束するものをとる。
a^x を以下で定義する。
a^x := lim a^(u_n)
その後、lim a^(u_n) が存在すること、および、
実数 x に収束する任意の有理数の列 u_1, u_2, …, u_n, … に対し、
lim a^(u_n) は同じ値になることが証明される。
⑦任意の実数 x, y に対して、
a^x * a^y = a^(x + y)
が成り立つことが以下のように証明される。
{u_n}, {v_n} を lim u_n = x, lim v_n = y となるような有理数列とすると
a^x * a^y = lim a^(u_n) * lim a^(v_n) = lim a^(u_n + v_n) = lim a^(x + y).
⑧ ④は③の結果であったから⑦から任意の実数 x, y に対し
(a^x)^y = a^(x*y)
を得る。
0547１３２人目の素数さん
2015/06/06(土) 14:32:17.87ID:pNBT1sHga^x * a^y = lim a^(u_n) * lim a^(v_n) = lim a^(u_n + v_n) = a^(x + y).
>>542
証明は書いてありません。明らかなことという扱いです。
>>543
小林昭七先生の本には不備があるということですか？
0548１３２人目の素数さん
2015/06/06(土) 17:46:24.64ID:nuUbPK/O0549１３２人目の素数さん
2015/06/06(土) 20:05:08.41ID:gD4uOBj80550１３２人目の素数さん
2015/06/06(土) 20:22:38.39ID:KrHO6M+V0551１３２人目の素数さん
2015/06/06(土) 22:26:36.49ID:gD4uOBj80552１３２人目の素数さん
2015/06/06(土) 22:59:00.34ID:B3ebV8sh書いてあることも簡単だからね。
0553１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 08:19:07.29ID:V7UVNW+o「x^2 = 2 の2つの解の正の方を sqrt(2), 負の方を -sqrt(2) とすることで sqrt(2) は確定するが、
x^2 = -1 の2つの解の場合には正負で区別できない。したがって、1つの解（どちらでもよい）を
i とよぶのである。」
と書かれているのですが、複素平面上で考えれば、(0, 1), (0, -1) が x^2 = -1 の解ですけど、
虚軸上で正の座標を持つ (0, 1) を sqrt(-1), 虚軸上で負の座標を持つ (0, -1) を -sqrt(-1)
とすることで sqrt(-1) は確定しますよね？
何が言いたいのでしょうか？
x^2 = i の2つの解の場合に、どちらの解を sqrt(i) とするか確定しないという話は分かるのですが。
0554１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 08:57:19.62ID:GfPuZo06互いに鏡に映したような同等の複素平面ができる。
だから、どちらがiなのかは区別できない てこと。
0555１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 10:22:56.29ID:Y3hsnZRyほかにも何箇所か証明なしで使ってるのがあった
説明もわかりやすいとはいえないし良い本じゃないと思う 非数学科の素人の意見だけど
0556１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 11:27:00.79ID:E2/66jDP順序体・実体、右手系・左手系
あたりを勉強するとよい
>>555
そこは簡単だから読者で埋めよってことでしょ
0557１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 12:49:44.67ID:m85/u9tsそんなの自明だろ…
0558１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 13:07:23.89ID:Y3hsnZRyそうなの？田島一郎解析入門に証明が載ってたけど自分で思いつくのは厳しいと思った
0559１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 13:07:48.12ID:LZGhDh9t0560１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 15:21:39.08ID:V7UVNW+o代数学の基本定理の証明がひどいですね。
「トポロジーの非常に簡単な結果」を証明せずに使う証明ですけど、こんなのありなんですかね？
例えば、 x^3 - 15*x + 4 = 0 に実数解が存在することを中間値の定理を証明せずに使って証明するようなものですよね。
代数学の基本定理の証明：
http://i.imgur.com/j5snL2g.jpg
http://i.imgur.com/jhffJVm.jpg
0561１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 15:25:59.61ID:V7UVNW+o>>556
x^2 = 2 の解のうち、実部が正であるほうを sqrt(2) と定義する。
x^2 = -1 の解のうち、虚部が正であるほうを i = sqrt(-1) と定義する。
なんかどちらも同じことのように思うのですが。。。
0562１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 15:31:43.14ID:V7UVNW+oの代数学の基本定理の証明に出てくる曲線をプロットしてみました。
http://imgur.com/mxrU86H
f(z) = z^3 - 15*z + 4 として、
z が原点を中心とする半径1の円周上を1回転するときの、
w = f_t(z) の軌跡をプロットしました。
t は 0から2まで細かく変化させています。
0563１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 16:01:38.65ID:E2/66jDP虚部が正の定義を述べよ
0564１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 16:03:46.36ID:GfPuZo06虚数単位を先に決めるから、
虚部の正負が決まるんだろう。
iを定義する時点では、まだ
虚軸に向きが付いていない。
0565１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 16:21:42.61ID:Y3hsnZRy俺はそれよりもzが中心Oの単位円を描く時f_t(z)が閉曲線を描く事が説明なしで使われてたのが気になったな
調べたら自明らしいが
0566１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 16:27:07.72ID:V7UVNW+o訂正します：
f(z) = z^3 - 15*z - 4
でした。
>>563
複素数を z = (a, b) としたとき、b > 0 であることです。
>>564
まず、複素数を定義して、 z^2 = -1 の2解 (0, 1), (0, -1) のうち、
(0, 1) =: i と定義するという順序で考えていたのですが。。。
そうすると
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)*(0, 1) = a + b*i
と書けるみたいな。
0567１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 16:51:30.11ID:V7UVNW+oz = cos(t) + sin(t)*i を f_t(z) に代入すると
f_t(cos(t) + sin(t)*i) = P1(cos(t), sin(t)) + P2(cos(t), sin(t))*i
と書ける。（ただし、P1(x, y), P2(x, y) は実数係数の2変数の多項式）
(x, y) = ( P1(cos(t), sin(t)), P2(cos(t), sin(t)) )
( P1(cos(t0), sin(0)), P2(cos(0), sin(0)) )
=
( P1(cos(2*π), sin(2*π)), P2(cos(2*π), sin(2*π)) )
だから、t を 0 から 2*π まで動かすときどんな曲線になるかは
よく分かりませんけど、ともかく閉じた曲線を描く。
ということではないでしょうか？
0568１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 16:57:36.78ID:V7UVNW+o訂正します：
( P1(cos(0), sin(0)), P2(cos(0), sin(0)) )
=
( P1(cos(2*π), sin(2*π)), P2(cos(2*π), sin(2*π)) )
>>560
この証明、すこしおかしいですね。
a_n = 0 のときには、 z = 0 という解をもつ。
a_n ≠ 0 のときには、
http://i.imgur.com/jhffJVm.jpg
と証明される。
としなければならないですね。
0569１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 17:02:03.23ID:Y3hsnZRyああ、角度0の時と2πの時とで式の値が等しいってだけの話か
ありがとう
0570１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 17:25:54.37ID:fh9S0rVoi_2=-i_1。
ここで、
(1)虚数単位iとして i_1 を採用する
と
(2)虚数単位iとして i_2 を採用する
の二つの選択肢がある。
(1)を選んだとき、a+bi_1=a+bi だから
a+bi_1 の虚部はb
(2)を選んだとき、a+bi_1=a-bi_2=a-bi だから
a+bi_1 の虚部は-b
つまり、虚部という量は
虚数単位iを決めた後なら使える。
虚数単位iを決める前には使えない。(プラスマイナスがあいまいになる)
虚数単位iを決める際の判断材料としては使えない。
0571１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 18:47:54.03ID:xyYd9vVB0572１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 20:01:53.36ID:7alJ0FXO0573１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 20:03:37.05ID:X3TqBTv00574１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 21:11:07.83ID:GfPuZo06そのとき、
(0, -1) =: i と定義しても
何の不都合もない。
0575１３２人目の素数さん
2015/06/08(月) 07:11:38.45ID:He8+ZpsHsqrt((4, 0)) := (-2, 0) と定義しても何の不都合もないですよね。
0576１３２人目の素数さん
2015/06/08(月) 07:24:35.71ID:A3dys29Z実数には正/負がある。虚数には無い。
だから「正の方を～とする」という文章は虚数に対して意味が無い。
0577１３２人目の素数さん
2015/06/08(月) 08:53:02.17ID:1CPsyVTPそれでは、「実数の√は≧0」という規約に反する。
√の入った式の取り扱いが、通常とは異なる結果になる。
それを不都合と考えるかどうかは、「不都合」の定義による。
0578１３２人目の素数さん
2015/06/08(月) 09:05:49.30ID:1CPsyVTP0579１３２人目の素数さん
2015/06/09(火) 20:31:55.83ID:TfAqTiIb0580１３２人目の素数さん
2015/06/09(火) 22:22:48.56ID:RQOSgXgNおまいはおれかwwww
ちょうど今日かってきた
0581１３２人目の素数さん
2015/06/10(水) 00:52:30.49ID:EtfOsCxy定義とか流れで書いてるから二冊目教科書って感じだけどほんといい
0582１３２人目の素数さん
2015/06/10(水) 05:40:37.27ID:ZUoQi3wb線型代数の本はたくさん出るけどこのレベルの本はやっぱりなかなか出ない
0583１３２人目の素数さん
2015/06/10(水) 05:43:20.95ID:ZUoQi3wb0584１３２人目の素数さん
2015/06/10(水) 08:09:20.20ID:MdILiS5Sいろいろなことが書かれているというのは分かるのですが。
0585１３２人目の素数さん
2015/06/10(水) 09:01:15.16ID:TY0lNqkQただし、一生数学をやる場合。
0586１３２人目の素数さん
2015/06/10(水) 12:05:14.99ID:VPp1J1tP多くの人にとって懐かしいから。
この界隈では特に。
0587１３２人目の素数さん
2015/06/10(水) 14:29:17.59ID:R1kBqojq0589１３２人目の素数さん
2015/06/10(水) 22:00:47.54ID:EtfOsCxy一冊目は斎藤
二冊目
0590１３２人目の素数さん
2015/06/11(木) 13:07:37.52ID:g84JiT6M伊藤のルベーグ積分入門をルベーグ積分の最新刊として紹介していて、
この本って本当に50年以上前の本なんだなってなんか実感した。
0591１３２人目の素数さん
2015/06/12(金) 01:05:20.40ID:+V7DaLFn0592１３２人目の素数さん
2015/06/12(金) 06:57:17.23ID:LJBoBCxi0593１３２人目の素数さん
2015/06/12(金) 09:35:15.50ID:JUeylLAhLiner Algebra Done Right
0594１３２人目の素数さん
2015/06/12(金) 09:43:20.61ID:Jwr4zYbj線形代数学(京都大学学術出版)
線形代数の世界
線形代数講義(日本評論社)
線型代数と個有値問題
は線形空間から始まってる
あとはたしか
理系のための線型代数の基礎
線型代数学(東京大学出版)
もそうじゃなかったっけ？
0595１３２人目の素数さん
2015/06/12(金) 12:59:46.75ID:bm1s3L6s遅れたけど答えてくれてありがとう
俺も1冊目斉藤だったわ
うーん買うかどうか迷うなあ
0596１３２人目の素数さん
2015/06/12(金) 19:19:20.76ID:6VUi0yRaネットで中身が確認できるものだと
A (Terse) Introduction to Linear Algebra by Katznelson
https://books.google.co.jp/books?id=pLjxBwAAQBAJ
http://math.stanford.edu/~ganatra/math113/katznelson-linalgebra.pdf (DraftのPDF)
Linear Algebra by Petersen
https://books.google.co.jp/books?id=v1syL6ZODMEC
http://www.e-booksdirectory.com/details.php?ebook=6409 (Draft)
Linear Algebra via Exterior Products by Winitzki
https://sites.google.com/site/winitzki/linalg
0597１３２人目の素数さん
2015/06/12(金) 19:24:53.41ID:PdgH9J1I0598１３２人目の素数さん
2015/06/12(金) 19:34:26.59ID:6ix0edVt0599１３２人目の素数さん
2015/06/12(金) 19:47:34.03ID:JUeylLAh0600１３２人目の素数さん
2015/06/12(金) 21:39:07.66ID:wo/O3qt7むしろ、高校あたりから(できれば中学から)
一般次元で始めるべき。ベクトルのイメージが
矢線ベクトルになっているのはまだマシなほうで、
数対ベクトルから抜けられない人が多過ぎるから。
0601１３２人目の素数さん
2015/06/12(金) 21:44:04.98ID:Baaq2w5d0602１３２人目の素数さん
2015/06/12(金) 21:44:14.23ID:zcXx+Dgg0603１３２人目の素数さん
2015/06/12(金) 21:50:21.13ID:G/A65YtT0604１３２人目の素数さん
2015/06/12(金) 22:53:01.26ID:LJBoBCxi>>596
これは丁寧にありがとう！
0605１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 12:43:40.81ID:SuedI81h0606１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 12:58:25.38ID:7/7wObNPそのくらいエスパーしてやれよ
0607１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 13:01:09.20ID:4m6dky9x0608１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 18:27:01.16ID:72omb4lk0609１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 21:04:24.01ID:1x8lhVDZ0610１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 21:05:41.90ID:Z/Q/WA180611１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 22:10:18.33ID:QxkJCEZQ「数ベクトル」という言葉が、嫌いなんだよ。
基礎体を持たない線型空間が無い以上、
numerical でない vector などありえない。
何が 'numerical vector space' なんだか。
言語感覚が腐っているとしか。
草で茶がわくレベル。
0612１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 22:11:53.73ID:uq+nDP+L0613１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 22:12:24.06ID:TEnqlBJg0614１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 22:29:45.90ID:QxkJCEZQ「多価関数」と迎合できなくなる。
それはそれで一種正しくもあるが、
代案としての呼び名を用意して言わないとな。
0615１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 22:51:23.33ID:uq+nDP+L面白いやっちゃｗ
0616１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 23:24:19.27ID:7/7wObNP0617１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 00:15:52.08ID:bTsnO1FN0618１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 01:04:12.93ID:3E+GMGvZ体の方で名付けてるんじゃねーよ
0619１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 12:50:55.49ID:Dkv6Anqn新しい方の斉藤正彦線形代数と古い方ってどう違う？
レベルとわかりやすさ
0620１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 13:24:38.63ID:wQyStQlJ斎藤毅先生の微積分は教科書だったこともあったし、命題とかの定式化と証明
は独特だったけどなかなか分かりやすくて結構好き。
ただε-δ論法をqとrとに置き換えてたのは他の本読むときに少し煩わしく感じてしまうからε-δのままにしといてほしかったかな。
0621１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 16:36:54.57ID:+/jI09En伊吹山知義著『線型代数学』も線形空間から始まります。
斎藤毅先生の本は線形代数の本も微積の本も難しくないですか？
よく読んだことはないですけど。。。
微積の本の公理1.1.1の2が変わっていますよね。
斎藤毅先生の本は、なんか自己満足臭がするんですよね、
0622１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 16:43:17.06ID:+/jI09Enこんな難しそうな本がランキング1位になるって奇妙ですね。
しかも文庫本で出版というのは違和感があります。
0623１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 16:50:22.69ID:OzMn4BdF岩波が変なことしなければ、今頃は解析概論も出ていただろうに。
0624１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 16:54:21.78ID:+/jI09En岩波書店が何をしたのですか？
0625１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 17:16:10.03ID:r3//wh8S現代語訳の翻訳著作権で止めたんだよ。
0626１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 17:53:31.01ID:+/jI09Enありがとうございます。
http://blog.jin-lab.jp/2011/02/blog-post.html
ちょっとよく分からないのですが、↑のページには、
改訂第三版の著作権は黒田成勝にあって、黒田成勝の著作権の保護期間が
切れるのは2023年だからそれまで公開できないと書いてあって、今後の対応
として「増訂版(増訂第二版)を定本として再入力して、利用しやすい
現代仮名づかいへの変更はWikibooks上で行う」というのがあります。
この「増訂版(増訂第二版)を定本として再入力して、利用しやすい現代仮名
づかいへの変更はWikibooks上で行う」ということも現代語訳の翻訳著作権
とかいうので阻止したということですか？
0627１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 18:12:40.35ID:+/jI09En0628１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 18:48:14.62ID:bTsnO1FN自分1年なんで古いのやったことないですが、新版みたら昔の改訂版的なこと書いてあったのでじゃあ新しいのにしようってことで買いました
0629１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 19:31:03.93ID:+/jI09En旧版を読んだことがない理由が1年だからというのがよく分かりません。
0630１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 19:34:05.90ID:VME3CW0y0631１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 19:38:47.66ID:Dkv6Anqn0632１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 20:16:16.74ID:HbUFdWoZ0633１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 21:26:10.02ID:r3//wh8S第二版は文語体旧カナ遣いで書かれていて、それを
現代日本語に翻訳したのが第三版ということ。
第三版には、著作権の切れている原著の他に
黒田某の翻訳著作権が発生しており、
パブリックドメインにすることはできないよ
というのが、岩波の主張。
旧カナ遣いを現代かな遣いに書き換えることに
著作権がつくのかどうかは、微妙な問題だとは思うが。
黒田とは独立に第二版から現代語訳する分には
著作権フリーであることを、岩波も認めているが、
ここまでの経緯から見て、できた新訳と黒田訳の
類似を訴追してくる可能性もある。そうなったら、
ボランティア団体vs岩波書店法務部では
まるでケンカにならないだろうという話。
法律なんて、大企業のものなんだよ。
0634１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 21:30:59.72ID:xYnG0suW0635１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 21:38:35.02ID:+/jI09Enありがとうございます。
でしたら、第2版を旧カナ遣いのままパブリックドメインにすれば
いいのではないでしょうか。
フォントがあるのか知りませんが。
近代デジタルライブラリーの藤原松三郎の本みたいに本をコピーして、
それをPDFファイルにしてくれても十分ですよね。
0636１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 21:41:38.89ID:+/jI09En0637１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 21:44:18.16ID:xYnG0suW0638１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 22:24:34.30ID:bTsnO1FNてことはあなたは1年の入学して2ヶ月の時期に線形代数の本2冊読み終えていたんですか？
0639１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 23:51:24.68ID:aZETxj1Y0640１３２人目の素数さん
2015/06/15(月) 08:19:28.51ID:U9NOR1AVhttp://i.imgur.com/UZeGj5R.jpg
↑の問題の解答ですが、誤っていますよね。
αlog|a| = log|a^α| (a>0)
αlog|a| = log(-a)^α (a<0)
ですよね。
機械的な丸暗記は禁物ですよね。
0641１３２人目の素数さん
2015/06/15(月) 08:23:58.32ID:U9NOR1AVが正解ですよね？
0642１３２人目の素数さん
2015/06/15(月) 12:03:03.47ID:KRRQMGUl0643１３２人目の素数さん
2015/06/15(月) 14:37:33.88ID:LnVqHE6uしいて言えば、式の有効範囲について
付記が必要だったかと思う。
特異点を跨いで初期条件を使い回してしまう
馬鹿がよくいるから。
0644１３２人目の素数さん
2015/06/16(火) 12:38:45.17ID:wxRz8ItO0645１３２人目の素数さん
2015/06/16(火) 19:00:10.94ID:+KMVoj7H行列式が最後の章にちょこっと登場するというのが変わっていますね。
0646１３２人目の素数さん
2015/06/16(火) 19:03:27.44ID:pPQ7dieM0647１３２人目の素数さん
2015/06/16(火) 19:05:40.28ID:+KMVoj7H旧版には100件近いレビューがありますね。
http://amzn.com/3319110799
http://www.amazon.co.jp/dp/3319110799
0648１３２人目の素数さん
2015/06/16(火) 19:26:31.58ID:5yFG1L1R0649１３２人目の素数さん
2015/06/16(火) 19:42:31.37ID:P2qyuvGF0650１３２人目の素数さん
2015/06/16(火) 19:43:03.20ID:+KMVoj7HSheldon Axler著『Linear Algebra Done Right』が英文340ページ。
Done Rightという割には分厚い本ですよね。
伊吹山知義先生の本が169ページですね。
169ページよりページ数の少ない線形代数の本ってありますか？
0651１３２人目の素数さん
2015/06/16(火) 19:44:59.23ID:P2qyuvGF0652１３２人目の素数さん
2015/06/16(火) 22:04:23.54ID:cOLjlluv0653１３２人目の素数さん
2015/06/16(火) 23:04:37.77ID:+KMVoj7Hアマゾンのレビューを見た感じでは、やさしいことしか書いていないみたいですので、
おそらく、ジョルダンの標準形については書かれていないんでしょうね。
「169ページよりページ数の少ないジョルダンの標準形まで書いてある
線形代数の本ってありますか？」と聞くべきでしたね。
0654１３２人目の素数さん
2015/06/17(水) 00:28:29.29ID:cXsLSru+0655１３２人目の素数さん
2015/06/17(水) 00:29:52.71ID:jUVoOp3Y0656１３２人目の素数さん
2015/06/17(水) 01:05:41.04ID:QCqizCQx特に優れた本でもないが、個人的に
この本と解析概論とが
高校数学に絶望しつつあった
かつての私の心を救ってくれた。
0657１３２人目の素数さん
2015/06/18(木) 15:53:33.70ID:6FvS3Em6以下の1.34の証明で「U が V の部分空間であるならば U はベクトル空間の定義により上の3つの条件を満たす。」
とさらっと書いてありますけど、 0 ∈ U について、ちょっと説明が足りないと思うんですよね。
U を V の部分空間であるとする。Uの加法単位元 0_u ∈ U だから U≠φ。
u ∈ U とする。 0 = 0u ∈ U。
などと説明しなければならないと思うんですよね。
-----------------------------------------------------------------------------------
1.32 定義 部分空間
V の部分集合 U は、U がまた（V と同じ加法およびスカラー乗法を使って）ベクトル空間で
あるとき V の部分空間であるという。
1.34 部分空間であるための条件
V の部分集合 U は U が以下の3つの条件を満たすときかつそのときに限り V の部分空間である。
0∈U,
u, v∈U ⇒ u+w∈U,
a∈F, u∈U ⇒ au∈U.
証明
U が V の部分空間であるならば U はベクトル空間の定義により上の3つの条件を満たす。
逆に、 U が上の3つの条件を満たすとする。…
-----------------------------------------------------------------------------------
0658１３２人目の素数さん
2015/06/18(木) 16:59:52.56ID:pMtceuYP足りないと思ったら自分で補って読め。
0659１３２人目の素数さん
2015/06/18(木) 17:08:37.84ID:gtc8YVZR0660１３２人目の素数さん
2015/06/18(木) 21:49:37.39ID:Hg/Bawwg・Ｕ⊂Ｖ
・0∈Ｖ は ∀v∈Ｖ に対し、0+v=v+0=v を満たす
・Ｕの線型空間としての加法はＶのそれと同じ
だから、Ｖの加法単位元はＵの加法単位元であって、且つそれ以外にＵの加法単位元は無い。
実際、それ以外の加法単位元が存在するなら、線型空間の公理に反する。
0661１３２人目の素数さん
2015/06/18(木) 22:18:07.26ID:DAAilSYQU を V の部分空間であるとする。
U はベクトル空間であるから加法単位元 0_U が存在する。
U はベクトル空間だからスカラー乗法について閉じている。
したがって、 0・0_U ∈ U。
任意の v ∈ V に対して、 0・v = 0_V が成り立つ。
0_U ∈ U ⊂ V であるから、 0・0_U = 0_V。
よって、 0_V ∈ U。
0_V = 0_V + 0_U = 0_U + 0_V = 0_U だから、
U の加法単位元は、 V の加法単位元と一致する。
ということですよね？
0662１３２人目の素数さん
2015/06/18(木) 22:22:29.42ID:4+yjHc6vそこで 0=0u を使うのは、かっこよくない気がする。
単に V の加法群について「部分群の単位元は、
もとの単位元」と言ったら簡潔ではないか。
0663１３２人目の素数さん
2015/06/18(木) 22:42:26.59ID:cmwZZ7I30664１３２人目の素数さん
2015/06/18(木) 22:51:37.71ID:Hg/Bawwgそう考えたきゃ考えてもいいけど、
普通の人は、スカラー乗法云々を持ち出して証明するような対象じゃなく、
部分空間の定義から自明と見る。
実際 {0} と Ｖ は自明な部分空間であるが、これに証明を与えている本は見たこと無い。
0665１３２人目の素数さん
2015/06/18(木) 23:35:38.06ID:f/n+38oV定義から直接やったほうがなんかいいよね、と思う
0666１３２人目の素数さん
2015/06/19(金) 13:21:54.70ID:pBvkJf/gV の3つの部分空間の和集合は、3つの部分空間のうちの1つが他の2つを含むとき、かつそのときに限り、
V の部分空間になることを証明せよ。
0667１３２人目の素数さん
2015/06/19(金) 13:32:47.52ID:fI0Hb+N00668１３２人目の素数さん
2015/06/19(金) 20:32:01.10ID:cYQPhEt11. f(a+b)=f(a)+f(b)
2. f(ka)=kf(a)
と２つ書きますが、1.でb=aとしてf(2a)=2f(a)と言えて、2は自動的に成り立つと思うのですが、2を独立して要請するのはどうしてですか？
0669１３２人目の素数さん
2015/06/19(金) 20:34:46.54ID:9noDk/bQ0670１３２人目の素数さん
2015/06/19(金) 20:35:36.74ID:7el33Iq60671１３２人目の素数さん
2015/06/19(金) 20:40:17.74ID:cYQPhEt1あなるほど。k=1.2とか困りますね。1.2回足すという演算を定義できればよさそうですが、それがむしろ要請2なわけですね。
0672１３２人目の素数さん
2015/06/19(金) 20:40:28.24ID:wkQSnhSd0673１３２人目の素数さん
2015/06/19(金) 21:31:27.65ID:bs5ks7VI0674１３２人目の素数さん
2015/06/19(金) 22:02:14.51ID:9noDk/bQゆえに、|A^t|=|A|=0
0675１３２人目の素数さん
2015/06/19(金) 22:04:45.64ID:+DjBuxkq0676１３２人目の素数さん
2015/06/19(金) 22:08:02.77ID:9noDk/bQ0677１３２人目の素数さん
2015/06/19(金) 23:07:42.17ID:Ao9i7cu0AX=E⇔(X^t)(A^t)=Eより
A^tが正則⇔Aが正則。
後は、Aが正則⇔detA≠0を示せばよいが、
それは(Adj A)A=(det A)Eから言える。
0678１３２人目の素数さん
2015/06/19(金) 23:09:34.85ID:QfrJYVrf0679１３２人目の素数さん
2015/06/19(金) 23:16:17.05ID:Ao9i7cu0「本嫁」とだけ答えろと言うのか。
0680１３２人目の素数さん
2015/06/19(金) 23:36:55.61ID:9noDk/bQこれはひどい
一言も反論できないなら始めから黙ってろ
0681１３２人目の素数さん
2015/06/19(金) 23:46:22.29ID:XWFY1FP6これはひどい
0682１３２人目の素数さん
2015/06/19(金) 23:48:26.25ID:9noDk/bQ馬鹿は黙って教科書でも読んでろ
0683１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 00:09:07.53ID:BWRt+Kh80684１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 00:11:01.27ID:jv13J9qt>>682
0685１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 01:14:03.27ID:uZ0CdogTひどいひどい言ってるやつ、これは相当恥ずかしいぞ
0686１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 08:38:42.42ID:+7yM1ZTw定義に基づいて淡々と証明すればよいだけの問題なんだから。
>>674みたいなことを書くと馬鹿だと思われるから
実社会では言わない方がいいよ。
0687１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 08:43:03.30ID:TamlF27A「明らか」を「明きらか」
「難しい」を「難かしい」
写像 f : X → Y の Y を「行くさき」
などと書いていますね。
本のタイトルもそうですけど、変わっていますね。
0688１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 08:45:37.51ID:TamlF27A書いてありましたけど、Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right』
みたいに行列式なしでも線形代数の本は書けるんですね。
0689１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 08:50:27.74ID:TamlF27A佐武一郎先生の本みたいな泥臭さが全くないです。
0690１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 09:22:45.11ID:uZ0CdogTやっと検索できたのか？
自分で証明したことのないお前にとっては面倒なんだろう。
そんな主観で人を馬鹿呼ばわりとは恐れ入った。
0691１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 10:18:54.24ID:jv13J9qtお前ほんと馬鹿だな
めんどくないように証明してみろよ
0692１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 11:01:52.86ID:uZ0CdogT自分で勉強しな
教科書に載ってるから馬鹿なお前でも何とかなるだろう
0693１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 11:50:55.61ID:jv13J9qtできないんですねわかりました（わかってました）
0694１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 12:17:43.72ID:uZ0CdogTうん
自分で教科書も読めない馬鹿にもわかるように教えるのは俺でも無理だよ
0695１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 12:21:11.53ID:IN7nFQOd0696１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 13:17:04.95ID:i+iIbE5t元の問題は定義レベルに簡単だから皮肉で書いたとしか思えんな
0697１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 14:04:04.99ID:jv13J9qt教科書なんか見なくてもできるわ
教科書読むしか能のない人に教わるまでもない
0698１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 14:23:48.10ID:TamlF27A空集合ではないという条件を入れなかったのでしょうか？
読者からも指摘があったということですが、結局、記述を改め
なかったんですよね。
なんか理由でもあるんですかね？
0699１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 14:30:37.72ID:uZ0CdogTなら、ひどいひどい言ってた連中は一体何をひどいと言ってたのかな？
0700１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 14:37:22.19ID:TamlF27A極端にくだらない問題が多いですね。
0701１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 14:43:50.65ID:TamlF27A問題：
証明をするか、反例を与えよ： v_1, ..., v_m および w_1, ..., w_m が V の線形独立なベクトルのリストであるとき、
v_1 + w_1, ..., v_m + w_m は線形独立である。
(1) および (-1) は R の線形独立なベクトルのリストであるが、
(1) + (-1) = (0) は明らかに線形従属。
みたいな解答でOKですよね。
0702１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 14:45:27.53ID:uZ0CdogTその本は持ってないからどんな定義か知らんが、線型空間の公理自体が空でないことを含んでいるから
明示的に空でないと云う必要は無い
0703１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 15:04:20.02ID:TamlF27Aなるほど。
>>657
のAxlerの本の部分空間の定義だと加法単位元を含んでいなければならないから
必然的に空集合は除外されますね。
Axlerの本の定義：
V の部分集合 U は、U がまた（V と同じ加法およびスカラー乗法を使って）ベクトル空間で
あるとき V の部分空間であるという。
でも、佐武先生の本ではベクトル空間の定義（公理）の前に、n次元数ベクトル空間
を扱っていて、その流れでn次元数ベクトル空間の部分空間の定義が来るんです。
部分空間の定義は
(i) a, b ∈ W ならば、 a + b ∈ W、
(ii) a ∈ W ならば、 ca ∈ W （c:スカラー）
というものです。
今、見つけたのですが、この定義の下に、「{0} が最小の部分空間である。」という
記述がありました。ですので、空集合は除外されていると考えられますね。
0704１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 15:07:08.14ID:TamlF27A>>657
のAxlerの本の1.34 部分空間であるための条件の 0∈U は不要という
ことになりますね。
0705１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 16:24:05.21ID:jv13J9qt>>686と性格だろ
>>698
空でないという条件は必要だよ
0706１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 16:48:40.98ID:uZ0CdogTおまえ自身が教科書見なくてもわかるほど簡単と言ってるんだから>>686は当たらない
論破されて悔し紛れの性格批判。惨めやのぅ
0707１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 18:40:59.98ID:jv13J9qt>>677みたいなのと比べてはるかに遠回りだってまだ分かってないの？
0708１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 18:41:32.32ID:jv13J9qt0709１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 18:47:31.58ID:i+iIbE5t0710１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 20:36:48.75ID:TyjJA3pe三町勝久という人が参考文献に、Michael Spivak著『Calculus』第3版を
あげていますね。
数学セミナーってなんか内容のない雑誌じゃないですか？
あまり為にならない雑誌ですよね。
0711１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 21:13:28.08ID:jv13J9qt俺のこと？俺は一言も簡単だなんて言ってないが
証明は代数閉体ならJordan標準形を考えてJordanブロックの場合に帰着するし
代数閉体じゃなくても一旦代数閉包をとってそっちでの存在からもとの体での存在も言える
まあ俺が考えたって証明はできないがな
0712１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 21:16:22.08ID:z+OcjNMw0713１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 22:49:57.23ID:i+iIbE5t0714１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 22:51:21.86ID:i+iIbE5t0715１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 23:47:43.52ID:jv13J9qtてか det(A^t) = det(A) も有名な（しかも「転置と相似」より簡単な）定理だよなあ
0716１３２人目の素数さん
2015/06/21(日) 04:04:14.09ID:tLBC/m39それは、
det を Σ で展開すれば
自明。
0717１３２人目の素数さん
2015/06/21(日) 13:31:48.33ID:9h5e28we0718１３２人目の素数さん
2015/06/21(日) 14:33:58.46ID:U3Qhk0YV0719１３２人目の素数さん
2015/06/21(日) 15:30:02.36ID:vvq8QYPN0720１３２人目の素数さん
2015/06/21(日) 15:33:30.08ID:U3Qhk0YV0721１３２人目の素数さん
2015/06/21(日) 16:14:03.41ID:YY2Rl2a90722１３２人目の素数さん
2015/06/21(日) 16:41:04.15ID:9h5e28we0723１３２人目の素数さん
2015/06/21(日) 17:13:23.61ID:hqITt3+g0724１３２人目の素数さん
2015/06/21(日) 18:11:20.14ID:YY2Rl2a90725１３２人目の素数さん
2015/06/21(日) 19:55:00.18ID:vvq8QYPNJordan標準形で証明できるなら証明してみてくれ
俺の知ってる方法と違うので参考になる
0726１３２人目の素数さん
2015/06/21(日) 22:41:36.87ID:+OpPCser重複スレ
0727１３２人目の素数さん
2015/06/21(日) 23:39:59.30ID:YY2Rl2a9もう一度いうと、>>720みたいな人が何故自分では削除依頼出さないのかが知りたいんですよ
多分面倒なんだと思いますが、ならなんでそんな面倒なことを人に頼むのかとｗ
0728１３２人目の素数さん
2015/06/21(日) 23:42:36.86ID:bPjiBpNl馬鹿は死ね
0729１３２人目の素数さん
2015/06/22(月) 00:18:04.82ID:orhC0Nr20730１３２人目の素数さん
2015/06/22(月) 00:19:47.38ID:ci00m7Jl0731１３２人目の素数さん
2015/06/22(月) 00:20:33.90ID:ci00m7Jl0732１３２人目の素数さん
2015/06/22(月) 00:43:52.29ID:+GZ8BoTmhttp://math.stackexchange.com/questions/94599/a-matrix-is-similar-to-its-transpose
0733１３２人目の素数さん
2015/06/22(月) 11:19:31.64ID:/Zw1E3Fxどのスレと重複しているの？
0734１３２人目の素数さん
2015/06/22(月) 13:00:49.44ID:rb4GRPIRJordan標準形の転置はジョルダン基底を並び替えた物だから同じJordan標準形になる
0735１３２人目の素数さん
2015/06/22(月) 19:09:59.71ID:MLZlw7sr0736１３２人目の素数さん
2015/06/22(月) 19:28:43.55ID:MLZlw7sr------------------------------------------------------------------------
問題5(a)：
P_4(R) を実数係数の4次以下の多項式からなる R 上のベクトル空間とする。
U = {p∈P_4(R) | p’’(6)=0}の基底を見つけよ。
------------------------------------------------------------------------
解答（計算だけ示します）：
p(x) = a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e
p’(x) = 4*a*x^3 + 3*b*x^2 + 2*c*x + d
p’’(x) = 12*a*x^2 + 6*b*x + 2*c
p’’(6) = 2*(216*a + 18*b + c) = 0
したがって、
U
= {a*x^4 + b*x^3 + (-216*a-18*b)*x^2 + d*x + e | a, b, d, e∈R}
= {a*(x^4-216*x^2) + b*(x^3-18*x^2) + d*x + e | a, b, d, e∈R}
よって、
Uの基底は、x^4-216*x^2、x^3-18*x^2、x、1。
と答えを出したのですが、
------------------------------------------------------------------------
以下の、解答を公開している非公式ページの解答ですと、
Uの基底は、x^4-12*x^3、x^3-18*x^2、x、1
となっています。
確かに、1*(x^4-216*x^2) - 12*(x^3-18*x^2) = x^4-12*x^3 ですので、
これも正解であることは分かりますが、どうやってこの解答に至ったか分かる方
いますか？
http://linearalgebras.com/2015/02/exercises-chapter-2-c-part-1.html
0737１３２人目の素数さん
2015/06/22(月) 19:38:34.66ID:MLZlw7sr「これが正しく書かれた線形代数の本だ」みたいな
意味なんですね。
行列式を使わないことが特徴ですけど、すごいタイトルの
本ですね。
0738１３２人目の素数さん
2015/06/22(月) 19:40:45.86ID:MLZlw7srhttp://www.math.brown.edu/~treil/papers/LADW/book.pdf
0739１３２人目の素数さん
2015/06/22(月) 19:44:18.09ID:o6371VNHなんで粗探しをしてるんですか、粗探しは楽しいですか？
0740１３２人目の素数さん
2015/06/22(月) 20:48:40.24ID:86eqLeXcx^4+ax^3,x^3+bx^2 の形の多項式を探したんじゃない？
それらとx,1を組み合わせても基底になるから
0741１３２人目の素数さん
2015/06/22(月) 21:15:12.69ID:MLZlw7sr多項式の代数に慣れていないので、なんだかよく分からないですけど、ありがとうございます。
0742１３２人目の素数さん
2015/06/23(火) 11:34:40.63ID:v/3izXKS0743１３２人目の素数さん
2015/06/23(火) 12:46:15.46ID:0K8nblA7斎藤毅
斎藤正彦旧
斎藤正彦新
どれですか？
0744１３２人目の素数さん
2015/06/23(火) 13:48:10.81ID:NJUdkORg0745１３２人目の素数さん
2015/06/23(火) 16:09:53.70ID:bBdMR+3s0746１３２人目の素数さん
2015/06/23(火) 19:21:10.39ID:WhsgU5zH斎藤正男
っていうのもいるんだな。
0747１３２人目の素数さん
2015/06/23(火) 19:47:25.01ID:kmKXnJTD0748１３２人目の素数さん
2015/06/24(水) 14:23:30.32ID:iRPsKz2E①任意の a∈R, v∈R^2に対し
f(a*v) = a*f(v)
②f は線形写像ではない。
0749１３２人目の素数さん
2015/06/24(水) 14:35:31.27ID:iRPsKz2E(x, y) → x^3/(x^2 + y^2) （(x, y)≠(0, 0) に対して）
(0, 0) → 0
0750１３２人目の素数さん
2015/06/24(水) 14:37:14.59ID:iRPsKz2E(0, 1) → 0
(1, 1) → 1/2 ≠ 1 + 0
0751１３２人目の素数さん
2015/06/24(水) 16:52:21.36ID:77kWoB+P0752１３２人目の素数さん
2015/06/24(水) 17:58:28.58ID:yCUV4cQr斎藤正彦新ですね。
初心者にはオススメしたくない本の一つだ
0753１３２人目の素数さん
2015/06/24(水) 18:11:56.62ID:iRPsKz2Eなぜですか？
0754１３２人目の素数さん
2015/06/24(水) 18:14:23.00ID:iRPsKz2E写像 f : C → C で以下の2条件を満たすようなものの例を挙げよ。
①任意の w, z∈C に対し
f(w + z) = f(w) + f(z)
②f は線形写像ではない。
0755１３２人目の素数さん
2015/06/24(水) 18:48:10.69ID:iRPsKz2Ef(a + b*i) = a+b
a + b*i → a+b
c + d*i → c+d
(a+c) + (b+d)*i → (a+c)+(b+d)=(a+b)+(c+d)
ですので、
f(w + z) = f(w) + f(z)
です。
f(i*1)=1≠i*1=i*f(1)
0756１３２人目の素数さん
2015/06/24(水) 18:49:44.63ID:0J8KfibT0757１３２人目の素数さん
2015/06/24(水) 21:02:09.29ID:H/LpSg+c読者が想定レベルに達していない
ダメ本
斎藤正彦新ということは前者と見てよかろう
0758１３２人目の素数さん
2015/06/24(水) 21:30:44.32ID:0J8KfibT0759１３２人目の素数さん
2015/06/24(水) 22:13:20.89ID:lT1P2C+A0760１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 08:45:44.20ID:2XU5gO5r線型代数だから予備知識は不要だな。思考能力の問題だろう。
0761１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 13:14:14.21ID:IpplDg2p二冊目に読もうかなと思ってるんで詳しく聞きたい
0762１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 13:44:43.28ID:05vDXxfeSheldon Axler著『Linear Algebra Done Right』第3版がおすすめです。
0763１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 14:40:59.14ID:+BYneaYg天才は天才なりに
努力するのが一番といふ。
ただし 金の在る人には相談にのる。
0764１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 14:44:44.27ID:TeoCazog0765１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 17:12:19.15ID:lnelbYOB0766１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 17:21:49.92ID:YbC+Qeg30767１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 17:26:23.02ID:M30ZDoor0768１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 18:33:43.98ID:Mc1R3zsIテクノロジー犯罪で音声送信されるとほんとに隣部屋から悪口をいわれている風に聞こえます。
私も数年間騙されました。犯人は警察です。警察による集団ストーカーやテクノロジー犯罪によってターゲ
ットをキレさせ（統合失調症に仕立て上げ）、本来起こらなかった事件を意図的に誘発させているのです。
周南市事件、淡路島事件、中央大教授刺殺事件、秋葉原事件も同様です。
集団ストーカーとは警察による監視＋挑発＋家宅侵入・器物破損・窃盗等を繰り返すことで、一度ターゲット
にしたら止めることはありません。警察は金儲けのためにこういったいやがらせ犯罪を行っているのです。
0769１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 18:53:18.23ID:GV7hpbn5その本、抽象的にすっきり書かれているから速習できるね。
0770１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 19:36:39.75ID:yV75e6tY0771１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 21:18:19.06ID:GV7hpbn50772１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 21:21:15.37ID:NNRl5SFn0773１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 21:41:59.32ID:05vDXxfeV を有限次元線形空間とし、 dim V = n ≧ 1 とする。W を無限次元線形空間とする。
V から W への線形写像全体からなる線形空間 L(V, W) は
無限次元線形空間であることを証明せよ。
dim L(V, W) = m として矛盾を導く。
L(V, W) の基底を L1, L2, ..., L_m とする。
V の基底を v1, v2, ..., v_n とする。
W は無限次元線形空間であるから、
span(L1(v1), L2(v1), ..., L_m(v1))
に含まれないような W の元 w が存在する。
V から W への写像
L : v = x1*v1 + ... + x_n*v_n → x1*w
は明らかに L(V, W) の元であるから、
L = a1*L1 + a2*L2 + ... + a_m*L_m
と書ける。
L(v1) = w ∈ W - span(L1(v1), L2(v1), ..., L_m(v1))
(a1*L1 + a2*L2 + ... + a_m*L_m)(v1)
=
a1*L1(v1) + a2*L2(v1) + ... + a_m*L_m(v1) ∈ span(L1(v1), L2(v1), ..., L_m(v1))
これは矛盾である。
よって、 L(V, W) は無限次元線形空間である。
0774１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 21:53:48.71ID:05vDXxfeそうなんですよね。
行列とかがあまり登場しないのでごちゃごちゃしていないんですよね。
0775１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 23:30:22.24ID:iYSLcj3O直接構成できるのに、なんで回りくどい事すんの？
0776１３２人目の素数さん
2015/06/26(金) 08:20:16.35ID:lNU6yPxJP.58 Exercises 3.Aの13
V, W をベクトル空間とする。
W≠{0} とする。
v1, ..., v_m を V の線形従属なベクトルのリストとする。
このとき、以下のような w1, ..., w_m ∈ W が存在することを証明せよ。
k = 1, ..., m に対し、 T(v_k) = w_k となるような T ∈ L(V, W) が存在しない。
----------------------------------------------------------------------------
これを解いてください。
0777１３２人目の素数さん
2015/06/26(金) 09:49:16.65ID:lNU6yPxJ直接構成するやり方ってどんなやり方ですか？
>>776
解けました。
http://i.imgur.com/gTlq0be.png
合っていますよね？
0778１３２人目の素数さん
2015/06/26(金) 13:53:28.00ID:Q+mRQubB線形写像は基底の像を決めれば決まる
Vの基底をWの基底に対応させる全組み合わせがL(V, W)の基底
Wの基底が無限個ならL(V, W)の基底も無限個
0779１３２人目の素数さん
2015/06/26(金) 15:23:31.18ID:H4ydTA5l0780１３２人目の素数さん
2015/06/26(金) 15:28:50.88ID:TvowAfHC0781１３２人目の素数さん
2015/06/26(金) 17:45:36.49ID:TfybosCj>>778とか論外だよ。なぜなら、Wが無限次元であることと、
Wの基底が無限集合であることの間にはギャップがあるからだ
(無限次元の定義にもよるが)。
ベクトル空間Wに対して、Wが有限集合なる基底を持つとき、
Wは有限次元であるといい、そうでないときは無限次元であるという。
・・・という定義のときは、Wが無限次元であっても、
Wの基底が無限集合になるのかは分からない。
なぜなら、Wに基底が存在するのか否かが、まず不明だからだ。
いや、Wの基底は実際には存在するが、それには選択公理が必要になる。
>>773を解くのに選択公理とか、かえって回りくどいだろ。
まあ基底にまで言及しなくても、Wの一次独立なベクトルの集合で
可算無限集合であるものさえ構成できれば、>>773を解くのには十分なのだが、
これでも選択公理を使わないと、そういうベクトルの集合が構成できなくて、
結局は同じこと。一応言っておくが、可算選択公理じゃダメだぞ。
というわけで、証明として一番シンプルなのは>>773そのもの。
0782１３２人目の素数さん
2015/06/26(金) 19:41:59.80ID:wTr0rKJU問いを入力して
今日も暮れ
0783１３２人目の素数さん
2015/06/26(金) 19:46:04.43ID:wTr0rKJUはや３年
じっと手を見る
0784１３２人目の素数さん
2015/06/26(金) 21:17:34.68ID:Q+mRQubB一番簡単だな
0785１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 10:47:46.36ID:qr+XImJR説明がすごい不十分である程度の知識がないとさくさく読めないと思います。
僕がアホなだけかもしれないが読むのにすごい体力使った、、
0786１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 10:52:12.70ID:qr+XImJR2冊目に読むくらいならいいと思うよ
だが読者の心を配慮してない感がすごい強いと感じた
東京大学出版の本ってどれも読みにくく感じるなあ、、私がアホなだけだと思うが
0787１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 11:42:08.17ID:1y3mphqU斎藤毅
斎藤正彦旧
に絞られましたね。
0788１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 11:48:42.73ID:1y3mphqU斎藤正彦新となっていますね。
0789１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 12:21:11.23ID:1y3mphqUW : ベクトル空間
S∈L(V, W)
T∈L(U, V)
dim null ST ≦ dim null S + dim null T
を証明せよ。
これを解いてください。
0790１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 12:48:05.69ID:1y3mphqU結構考えていたのですが、やっとできました。
明らかに、
null T ⊂ null ST ⊂ U
T(null ST) ⊂ null S ⊂ V
T を 部分空間 null ST に制限した写像を T' とする。
明らかに、
T' ∈ L(null ST, null S)
null ST は有限次元であるから、
dim null ST = dim null T' + dim range T'
明らかに
null T' = null T
range T' ⊂ null S
よって、
dim null ST ≦ dim null T + dim null S
0791１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 12:54:11.78ID:dG70FbK5ありがとう
ジョルダン標準形のアルゴリズムがわかりやすいとの評判だったから気になってたけど斉藤正彦の線形代数演習のほうがいいかな
0792１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 13:29:58.31ID:1y3mphqUW : ベクトル空間
S∈L(V, W)
T∈L(U, V)
dim range ST ≦ min{dim range S, dim range T}
を証明せよ。
今度は簡単ですね。
S を range T⊂V に制限した写像を S' とする。
明らかに、
range S' = range ST
明らかに、
dim range T ≧ dim range S' = dim range ST
明らかに、
range S ⊃ range ST
したがって、
dim range S ≧ dim range ST
以上より、
min{dim range S, dim range T} ≧ dim range ST
0793１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 13:59:46.85ID:1y3mphqUW : 有限次元ベクトル空間
T1, T2∈L(V, W)
以下を証明せよ。
null T1 ⊂ null T2 ⇔ T2 = ST1 となる S∈L(W, W) が存在する。
0794１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 17:56:49.45ID:1y3mphqUV が有限次元の場合には、以下のページのProblem 24に解答がありました。
V が無限次元の場合には、どうすればいいのでしょうか？
http://linearalgebras.com/2015/02/exercises-chapter-3-b-part-3.html
0795１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 20:30:06.31ID:WZcxdRpx0796１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 20:58:59.48ID:1y3mphqUL(V, W) ： V から W への線形写像全体からなる線形空間。
T ∈ L(V, W) のとき、
null T ： T で W の 0 に移るような V の元全体の集合
ST1 は S と T1 の合成写像
0797１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 21:26:12.20ID:ka4Z3e7L0798１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 23:15:35.88ID:mMS+r59J0799１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 23:21:56.91ID:kkC6KIh00800１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 23:26:30.25ID:1O0ISa8l本なんて人によって感性はそれぞれだから実際に書店に行って見ることをオススメするよ
0801１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 23:28:37.14ID:Y0sV5wXOウィキペディアでやれ
0802１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 23:48:28.07ID:8Iy6VvWRそうだね。
快適な枕の厚さは、
人それぞれだ。
0803１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 11:50:05.61ID:VTijXlmH借りられっぱなしだけど図書館にあるみたいだから隙を見て読んでみるわ
0804１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 13:38:04.28ID:3O3A3Fleいつからnullなんて記法になったんかと思ったらKerと書く人がいて安心した
0805１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 13:40:42.07ID:e5JSCRqI松坂君を虐めるなよ、線型代数の粗探しにはなれていないのだろうw
0806１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 17:08:31.68ID:SHattCdXありがとうございます。
null T1 の補空間は有限次元というのはどうやって示すのでしょうか？
0807１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 17:10:29.15ID:I2FNH/ws0808１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 17:20:42.32ID:SHattCdXありがとうございます。
W が有限次元だから、捕空間も有限次元になりそうな気がするのですが、
null T1 が無限次元のときに、
V = null T1 + U（直和）
と表されるということはどうやって示すのでしょうか？
0809１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 17:53:33.51ID:SHattCdX後ろの部分を調べてみたら、こんな問題がありました。、
Ex. 3.E
17.
U を V/U が有限次元であるような V の部分空間とせよ。
dim W = dim V/U かつ V = U + W（直和）となるような
V の部分空間 W が存在することを証明せよ。
W が有限次元だから W の部分空間 range T1 も有限次元。
準同形定理により、range T1 と同形な V/null T1 も有限次元。
上の問題の U として null T1 を考えれば、
V = null T1 + W（直和）
dim W = dim V/null T1 となりますね。
0810ふなっしー
2015/06/28(日) 18:01:42.07ID:c+htimn0アステロイド x = acos^3t, y = asin^3t(a>0)上の、 t = π/3 に対応する点における接線と
法線の方程式を求めよ。
この問題は dy / dx を求めて解けばいいんでしょうか？
方程式の求め方がよくわかりません
0811１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 18:30:17.58ID:3O3A3FleIm(T1)⊂WだからIm(T1)は有限次元、その基底の逆像が補空間の基底となることを確かめる
0812１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 20:54:26.03ID:SHattCdXありがとうございます。
range T1 は有限次元線形空間 W の部分空間だから有限次元。
range T1 の 基底を w1, ..., w_n とする。
w_i ∈ range T1 だから、 T1(v_i) = w_i となる v_i ∈ V が存在する。
a1*v1 + ... a_n*v_n = 0
⇒
a1*w1 + ... + a_n*w_n = a1*T1(v1) + ... + a_n*T1(v_n) = T1(a1*v1 + ... + a_n*v_n) = T1(0) = 0
⇒
w1, ..., w_n は一次独立だから、 a1 = ... = a_n = 0
よって、 v1, ..., v_n は一次独立である。
v を V の任意の元とする。
T1(v) ∈ range T1 だから、
T1(v) = a1*w1 + ... + a_n*w_n = a1*T1(v1) + ... + a_n*T1(v_n) = T1(a1*v1 + ... + a_n*v_n)
と書ける。
0 = T1(v) - T1(a1*v1 + ... + a_n*v_n) = T1(v - (a1*v1 + ... + a_n*v_n)) だから、
v - (a1*v1 + ... + a_n*v_n) ∈ null T1
v = (v - (a1*v1 + ... + a_n*v_n)) + (a1*v1 + ... + a_n*v_n) ∈ null T1 + span(v1, ..., v_n)
したがって、
V = null T1 + span(v1, ..., v_n)
0813１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 20:54:55.13ID:SHattCdXv ∈ span(v1, ..., v_n) だから v = a1*v1 + ... + a_n*v_n と書ける。
v ∈ null T1 だから、
0 = T1(v) = T1(a1*v1 + ... + a_n*v_n) = a1*T1(v1) + ... + a_n*T1(v_n) = a1*w1 + ... + a_n*w_n
w1, ..., w_n は一次独立だから、 a1 = ... = a_n = 0
よって、v = 0*v1 + ... + 0*v_n = 0
したがって、
(null T1) ∩ span(v1, ..., v_n) = {0}
以上より、V = null T1 + span(v1, ..., v_n)（直和）
0814１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 22:16:22.42ID:SHattCdXやっとできました。
みなさんありがとうございました。
V : ベクトル空間
W : 有限次元ベクトル空間
T1, T2∈L(V, W)
以下を証明せよ。
null T1 ⊂ null T2 ⇔ T2 = ST1 となる S∈L(W, W) が存在する。
解答：
T2 = ST1 となる S∈L(W, W) が存在すると仮定し、
v∈null T1 とする。
T2(v)=(ST1)(v)=S(T1(v))=S(0)=0
よって、v∈null T2
したがって、 null T1 ⊂ null T2
逆に、
null T1 ⊂ null T2 と仮定する。
range T1 の基底を w1, ..., w_n とする。
W の基底を w1, ..., w_n, w1', ..., w_m' とする。
v1, ..., v_n を T1(v1) = w1, ..., T1(v_n) = w_n を満たす V の元とする。
>>812-813
より、
V = null T1 + span(v1, ..., v_n) が成り立つ。
0815１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 22:16:47.18ID:SHattCdXw1 → T2(v1)
…
w_n → T2(v_n)
w1' → w1''
…
w_m' → w_m''
と写す L(W, W) の元を S とする。（w1'', ..., w_m'' は W の任意の元でよい。）
v を V の任意の元とする。V = null T1 + span(v1, ..., v_n) だから、
v = u + a1*v1 + ... + a_n*v_n (u ∈ null T1 ⊂ null T2) と書ける。
ST1(v) = S(T1(u + a1*v1 + ... + a_n*v_n)) = S(a1*T1(v1) + ... + a_n*T1(v_n))
= S(a1*w1 + ... + a_n*w_n) = a1*S(w1) + ... + a_n*S(w_n) = a1*T2(v1) + ... + a_n*T2(v_n)
= T2(a1*v1 + ... + a_n*v_n) = T2(u + a1*v1 + ... + a_n*v_n) = T2(v)
よって、ST1 = T2
0816１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 22:29:03.38ID:c+htimn0グラフかいてもとめるときいたが結局よくわからん
0817１３２人目の素数さん
2015/06/29(月) 00:15:33.01ID:MRATjws7以下の問題も解けました。
V : 有限次元ベクトル空間
W : ベクトル空間
T1, T2∈L(V, W)
以下を証明せよ。
range T1 ⊂ range T2 ⇔ T1 = T2・S となる S∈L(V, V) が存在する。
解答：
T1 = T2・S となる S ∈ L(V, V) が存在すると仮定する。
w ∈ range T1 とする。
T1(v) = w となる v ∈ V が存在する。
T1 = T2・S だから
w = T1(v) = T2・S(v)=T2(S(v))
よって、 w ∈ range T2
したがって、 range T1 ⊂ range T2
0818１３２人目の素数さん
2015/06/29(月) 00:16:02.71ID:MRATjws7V が有限次元だから、その部分空間である null T1 も有限次元。
null T1 の基底を v1, ..., v_n とする。
V の基底を v1, ..., v_n, v1', ..., v_m' とする。
range T1 ⊂ range T2 であるから、
T2(v1'') = T1(v1'), ..., T2(v_m'') = T1(v_m') となる V の元 v1'', ..., v_m'' が存在する。
V の基底 v1, ..., v_n, v1', ..., v_m' のそれぞれを
v1 → u1
…
v_n → u_n
v1' → v1''
…
v_m' → v_m''
と写す L(V, V) の元を S とする。（u1, ..., u_n は null T2 の任意の元でよい。）
T2・S(v_i) = T2(S(v_i)) = T2(u_i) = 0 = T1(v_i) (i = 1, ..., n)
T2・S(v_i') = T2(S(v_i')) = T2(v_i'') = T1(v_i') (i = 1, ..., m)
となるから、 T2・S = T1
0819１３２人目の素数さん
2015/06/29(月) 00:29:58.23ID:w1F0k/Aa関数解析以外のところで使われると違和感があるなあ
0820１３２人目の素数さん
2015/06/29(月) 09:51:24.58ID:ZtrauD6Snull T1 ⊂ null T2 が
null T1 ≦ null T2 の見間違い
なんじゃないかと思ったり。
0821１３２人目の素数さん
2015/06/29(月) 12:54:11.32ID:MRATjws7p.79 Exercises 3.C.6
以下を証明せよ。
V, W ： 有限次元ベクトル空間
T ∈ L(V, W)
dim Im T = 1 ⇔ V, W の基底で、T の表現行列の全ての要素が 1 になるようなものが存在する。
0822１３２人目の素数さん
2015/06/29(月) 21:53:25.76ID:MRATjws7以下の3つの命題が書かれています。命題2の M は線形写像に表現行列を対応させる写像のことです。
命題1：
二つの F 上の有限次元ベクトル空間は、それらが同じ次元であるとき、かつそのときに限り、同形である。
命題2：
v1, ..., v_n を V の基底、 w1, ..., w_m を W の基底とする。
そのとき、 M は L(V, W) と F^(m, n) への同形写像である。
命題3：
V, W を有限次元とする。そのとき、 L(V, W) は有限次元で、
dim L(V, W) = (dim V)*(dim W)
が成り立つ。
0823１３２人目の素数さん
2015/06/29(月) 21:53:59.42ID:MRATjws7命題2より、L(V, W) と F^(m, n) は同形。
命題1より、L(V, W) と F^(m, n) は同次元。（←これはおかしい。）
F^(m, n) は明らかに、 m*n 次元。
よって、 L(V, W) も m*n 次元。
でもこれはおかしいと思うんですよね。
命題1は二つの有限次元ベクトル空間に関する命題ですが、
L(V, W) は有限次元かどうかまだ分かっていないわけです。
直接的に有限次元であることを確かめてもいませんし。
命題1は以下のように書くべきだったと思うんですよね。
命題1’：
二つの F 上の有限次元ベクトル空間は、それらが同じ次元であるとき、同形である。
二つの F 上のベクトル空間は、それらが同形であるとき、一方が有限次元ならば、
他方も有限次元であり、それらの次元は等しい。
0824１３２人目の素数さん
2015/06/29(月) 21:55:47.29ID:MRATjws7以下のように訂正します：
M は L(V, W) と F^(m, n) の間の同形写像である。
0825１３２人目の素数さん
2015/06/29(月) 22:21:35.64ID:OOPsclTG0826１３２人目の素数さん
2015/06/30(火) 13:04:25.19ID:9MuVgVvY0827１３２人目の素数さん
2015/06/30(火) 13:48:12.57ID:IyLdRvdw0828１３２人目の素数さん
2015/06/30(火) 14:04:48.66ID:CKszZ/jR0829１３２人目の素数さん
2015/06/30(火) 20:50:22.01ID:F/2S0SfPW ： 有限次元ベクトル空間
T1, T2 ∈ L(V, W)
Ker T1 = Ker T2 ⇔ T1 = S・T2 となるような可逆な S ∈ L(W) が存在する。
0830１３２人目の素数さん
2015/06/30(火) 21:03:10.95ID:ymtCwjnRたしかに823の書き方の方がいい気はする。論理としては。
ただ、著者は論理的正しさの他に、著書の読みやすさなども考えるだろうから、
823のように書くべきかどうかはよくわからない。
>>825
ST=Iのとき、SとTは互いの逆写像。S^{-1}STS=S^{-1}S、TS=I。逆も同様
0831１３２人目の素数さん
2015/06/30(火) 21:45:03.05ID:Dcd8arXpおいおい、逆写像の定義わかってるか？
0832１３２人目の素数さん
2015/06/30(火) 22:02:30.86ID:ymtCwjnR0833１３２人目の素数さん
2015/06/30(火) 22:30:10.16ID:Dcd8arXp0834１３２人目の素数さん
2015/06/30(火) 22:51:28.26ID:F/2S0SfP(1)Ker T1 = Ker T2 とする。
W は有限次元だから、 Im T2 も有限次元。
Im T2 の基底を w1, ..., w_n とする。
v1, ..., v_n を T2(v1) = w1, ..., T2(v_n) = w_n を満たす V の元とすると、
>>812-813
より、
V = Ker T2 + span(v1, ..., v_n)
a1*T1(v1) + ... + a_n*T1(v_n) = 0
⇒
T1(a1*v1 + ... + a_n*v_n) = 0
⇒
a1*v1 + ... + a_n*v_n ∈ Ker T1 = Ker T2
⇒
T2(a1*v1 + ... + a_n*v_n) = 0
⇒
a1*T2(v1) + ... + a_n*T2(v_n) = 0
⇒
a1*w1 + ... + a_n*w_n = 0
⇒
a1 = ... = a_n = 0
よって、 T1(v1), ..., T1(v_n) は一次独立。
0835１３２人目の素数さん
2015/06/30(火) 22:52:15.03ID:F/2S0SfPw ∈ Im T1 とすると、 T1(v) = w となる v ∈ V が存在するが、
V = Ker T2 + span(v1, ..., v_n) = Ker T1 + span(v1, ..., v_n)
だから、 v = v' + a1*v1 + ... + a_n*v_n (v' ∈ Ker T1) と書ける。
w = T1(v) = T1(v' + a1*v1 + ... + a_n*v_n) = T1(a1*v1 + ... + a_n*v_n)
=a1*T1(v1) + ... + a_n*T1(v_n)
したがって、 T1(v1), ..., T1(v_n) は Im T1 の基底である。
Im T2 の基底 w1, ..., w_n を W の基底 w1, ..., w_n, w1', ..., w_m' に拡張する。
(Im T1 の基底) T1(v1), ..., T1(v_n) を W の基底 T1(v1), ..., T1(v_n), w1'', ..., w_m'' に拡張する。
w1, ..., w_n, w1', ..., w_m' のそれぞれを
w1 → T1(v1)
…
w_n → T1(v_n)
w1' → w1''
…
w_m' → w_m''
と写す L(W) の元を S とする。
S は明らかに可逆である。
0836１３２人目の素数さん
2015/06/30(火) 22:52:56.56ID:F/2S0SfPV = Ker T2 + span(v1, ..., v_n) だから、
v = v' + a1*v1 + ... + a_n*v_n (v' ∈ Ker T2 = Ker T1) と書ける。
S・T2(v) = S・T2(v' + a1*v1 + ... + a_n*v_n) = S(T2(v' + a1*v1 + ... + a_n*v_n))
= S(T2(a1*v1 + ... + a_n*v_n)) = S(a1*T2(v1) + ... + a_n*T2(v_n))
= a1*S(T2(v1)) + ... + a_n*S(T2(v_n)) = a1*S(w1) + ... + a_n*S(w_n)
= a1*T1(v1) + ... + a_n*T1(v_n) = T1(a1*v1 + ... + a_n*v_n)
= T1(v' + a1*v1 + ... + a_n*v_n) = T1(v)
したがって、
S・T2 = T1
(2)T1 = S・T2 となるような可逆な S ∈ L(W) が存在するとする。
v ∈ Ker T2 とする。
T1(v) = S・T2(v) = S(T2(v)) = S(0) = 0
よって、 v ∈ Ker T1
v ∈ Ker T1 とする。
T2(v) = S^(-1)・T1(v) = S^(-1)(T1(v)) = S^(-1)(0) = 0
よって、 v ∈ Ker T2
したがって、 Ker T1 = Ker T2
0837１３２人目の素数さん
2015/06/30(火) 22:59:02.95ID:jxWTDVdBSuppose that V is finite dimensional and S,T ∈ L(V). Prove that
ST = I if and only if TS = I.
0838１３２人目の素数さん
2015/06/30(火) 23:19:03.27ID:Dcd8arXpIt is trivial since L(V) is a (left) noetherian ring.
というのは半分冗談で
基本変形による逆行列の求め方を考えれば当たり前じゃね
0839１３２人目の素数さん
2015/06/30(火) 23:25:30.62ID:ymtCwjnRじゃあ
ST=Iのとき、S,T,Vの仮定よりSは逆写像をもつ。S^{-1}STS=S^{-1}S、TS=I。逆も同様。
これでも
なんでSは逆写像をもつんだよって話にはなるが
0840１３２人目の素数さん
2015/06/30(火) 23:41:09.39ID:S/ZSaRQ1T2(V)～V/Ker(T2)=V/Ker(T1)～T1(V) だから、同型写像 S':T1(V)→T2(V) が存在する。
あとは、S:W→W を自然に決めればよい。T1,T2が全射でないと駄目な気がするが。
0841１３２人目の素数さん
2015/06/30(火) 23:44:20.34ID:OACUa9eMST=IだからSは全射、行列式を考えればSは単射、よってS=T^(-1)
0842１３２人目の素数さん
2015/06/30(火) 23:59:08.24ID:Dcd8arXp0843１３２人目の素数さん
2015/07/01(水) 00:13:39.17ID:u+db0Pm2T:(x_1,x_2,...)|->(0,x_1,x_2,...)
S:(x_1,x_2,...)|->(x_2,x_3,...)
とすると
S(T(x_1,x_2,...))=(x_1,x_2,...)
T(S(x_1,x_2,...))=(0,x_2,x_3,...)
で反例かな
0844１３２人目の素数さん
2015/07/01(水) 06:17:58.93ID:O/WqxxqZ0845１３２人目の素数さん
2015/07/01(水) 08:27:23.90ID:0srmWEHfそうだね
ただそれだと基底 (x_1, x_2, ...) が可算だけど
そうでないときは補空間上恒等写像とかすればいい
0846１３２人目の素数さん
2015/07/01(水) 10:18:04.38ID:Q+guj0NU行列を考えているところで使っている。>>833のように思うのが当然と思う。Doneはよくある糞本だな。
0847１３２人目の素数さん
2015/07/01(水) 22:14:15.65ID:E6HlR/0u分解定理のあたりで躓いたんだけど、広義の固有空間とか分解定理を導入すると
一体どんないいことがあるの？
0848１３２人目の素数さん
2015/07/01(水) 23:22:11.19ID:RYiJwJqkAX-XA=0
の関係にあるとき、Xはなんらかの特徴的な構造を持つことが示せますか？例えば対称であるとか。
0849１３２人目の素数さん
2015/07/02(木) 00:02:41.41ID:KcHmIstS1 0 0
0 1 0
0 0 0
X を
a b 0
c d 0
0 0 e
(ただし正則になるように)とすると
AX=XA になりそう
となると対称とは限定できなそう。
もちろんAはこの形に限らないから
Xの形はもっといろいろありそう
0850１３２人目の素数さん
2015/07/02(木) 00:14:44.94ID:jFIcnPMQXがAの二次式で書けそうってくらいじゃないか？
正しいかは知らんけど
0851１３２人目の素数さん
2015/07/02(木) 00:22:13.27ID:DFvWWuwq0852１３２人目の素数さん
2015/07/02(木) 11:55:57.97ID:3xKkIFGE数学は諦めろだな
0853１３２人目の素数さん
2015/07/02(木) 13:39:36.72ID:DSI1WBG30854１３２人目の素数さん
2015/07/02(木) 15:26:03.26ID:VAOxeonmだまされたと思って読んでみろ
マジ名著だから
0855１３２人目の素数さん
2015/07/02(木) 20:42:48.56ID:ZADz5cIr0856１３２人目の素数さん
2015/07/02(木) 20:52:40.66ID:VAOxeonmかわいそうな人
0857１３２人目の素数さん
2015/07/02(木) 21:09:36.13ID:N1hTwO69著者がかわいそうに思えるほどのカス本だったが。
0858１３２人目の素数さん
2015/07/03(金) 16:29:15.62ID:dVtJUE+cSheldon Axler著『Linear Algebra Done Right』第3版 を読むことをおすすめします。
0859１３２人目の素数さん
2015/07/03(金) 16:30:21.41ID:koKOO9SS0860１３２人目の素数さん
2015/07/03(金) 16:35:26.19ID:4gCqSODHかわいそう
0861１３２人目の素数さん
2015/07/03(金) 16:38:43.24ID:koKOO9SS>>858のことだが
0862１３２人目の素数さん
2015/07/03(金) 16:38:46.14ID:lMv9kgAu行列式が最後の章で出てくるらしいけど、固有多項式の取り扱いとかどうなってんの？
0863１３２人目の素数さん
2015/07/03(金) 16:54:50.11ID:4gCqSODH0864１３２人目の素数さん
2015/07/03(金) 17:05:36.95ID:koKOO9SS0865１３２人目の素数さん
2015/07/03(金) 17:22:53.46ID:WuwnaEIf事実上無理ではあるな。
0866１３２人目の素数さん
2015/07/03(金) 17:39:43.02ID:MV0oUhoM解析入門に手をつけたが初版本の誤植との指摘を受けやめるw
0867１３２人目の素数さん
2015/07/03(金) 19:37:41.98ID:F7ROy4/q>>104
杉浦光夫先生の本ですかー。
ちょっと通読するにはきついと思うんですよね。
上極限、下極限について杉浦先生の本を調べてみました。
結構詳しく載っていますね。丁寧な解説で有名な松坂先生
の解析入門よりも丁寧です。
でも杉浦先生の本ですが、早速誤りを発見してしまいました。
p.366に命題1.4,c)と書いてありますが、定理1.4,c)が正しいです。
0868１３２人目の素数さん
2015/07/03(金) 21:23:31.16ID:dVtJUE+cp.88 Ex.5
V：有限次元ベクトル空間
W：ベクトル空間
T1, T2 ∈ L(V, W)
Im T1 = Im T2 ⇔ T1 = T2・S となる可逆な S ∈ L(V) が存在する。
0869１３２人目の素数さん
2015/07/03(金) 21:42:20.58ID:dVtJUE+c解答：
Im T1 = Im T2 と仮定する。
明らかに、 dim Im T1 = dim Im T2
dim Ker T1 = dim V - dim Im T1 = dim V - dim Im T2 = dim Ker T2
dim Im T1 = dim Im T2 = m
dim Ker T1 = dim Ker T2 = n
とおく。
v_11, ..., v_1n を Ker T1 の基底
v_21, ..., v_2n を Ker T2 の基底
v_21, ..., v_2n, v_21', ..., v_2m' を V の基底
とする。
明らかに、 T2(v_21'), ..., T2(v_2m') は Im T2 = Im T1 の基底である。
Im T2 = Im T1 だから、
T1(v_11') = T2(v_21'), ..., T1(v_1m') = T2(v_2m') となるような
v_11', ..., v_1m' ∈ V が存在する。
0870１３２人目の素数さん
2015/07/03(金) 21:42:45.48ID:dVtJUE+cT1(v) ∈ Im T1 = Im T2 だから、
T1(v) = a_1'*T2(v_21') + ... + a_m'*T2(v_2m') = (A) と書ける。
(A) = a_1'*T1(v_11') + ... + a_m'*T1(v_1m') = T1(a_1'*v_11' + ... + a_m'*v_1m')
したがって、 v - a_1'*v_11' - ... - a_m'*v_1m' ∈ Ker T1
v - a_1'*v_11' - ... - a_m'*v_1m' = a1*v_11 + ... + a_n*v_1n と書ける。
v = a_1'*v_11' + ... + a_m'*v_1m' + a1*v_11 + ... + a_n*v_1n
したがって
V ⊂ span(v_11', ..., v_1m', v_11, ..., v_1n)
dim V = n + m だから、
v_11', ..., v_1m', v_11, ..., v_1n は V の基底である。
v_11', ..., v_1m', v_11, ..., v_1n のそれぞれを、
v_11' → v_21'
…
v_1m' → v_2m'
v_11 → v_21
…
v_1n → v_2n
と写す L(V) の元を S とすれば、明らかに可逆である。
0871１３２人目の素数さん
2015/07/03(金) 21:43:25.04ID:dVtJUE+c…
T2・S(v_1m') = T2(S(v_1m')) = T2(v_2m') = T1(v_1m')
T2・S(v_11) = T2(S(v_11)) = T2(v_21) = 0 = T1(v_11)
…
T2・S(v_1n) = T2(S(v_1n)) = T2(v_2n) = 0 = T1(v_1n)
したがって、
T2・S = T1
0872１３２人目の素数さん
2015/07/03(金) 21:44:42.12ID:KS5gQfgP0873１３２人目の素数さん
2015/07/04(土) 09:41:17.87ID:lBIYv98yS, T ∈ L(V)
ST：可逆 ⇔ S, T：可逆
---------------------------------------------------------------------
ST は可逆だから、全射。
明らかに、 S も全射。
V は有限次元だから、 S は全単射。
したがって、 S は可逆。
ST は可逆だから、単射。
明らかに、 T も単射。
V は有限次元だから、 T は全単射。
したがって、 T は可逆。
S, T：可逆 ⇒ ST：可逆 は明らか。
---------------------------------------------------------------------
>>825
ST = I と仮定する。
ST は明らかに可逆。
したがって、 S, T も可逆。
TS = TSI = TS(TT^(-1)) = T(ST)T^(-1) = TIT^(-1) = I
TS = I と仮定する。
上と同様にして、
ST = I
0874１３２人目の素数さん
2015/07/04(土) 10:15:02.84ID:lBIYv98y演習問題の中には意味不明のひどい問題がありますね。
例えば、以下の問題はクオリティーの低い問題ですね。
---------------------------------------------------------
p.89 Ex. 13
V：有限次元ベクトル空間
R, S, T ∈ L(V)
RST：全射 ⇒ S 単射
を示せ。
---------------------------------------------------------
解答：
RST を全射と仮定する。
V は有限次元だから、 RST は全単射、したがって可逆。
>>873
により、 R, S, T はすべて可逆。
したがって、 S は単射。
---------------------------------------------------------
以下の12個の問題のうち、なぜ一番上のものを選択したのか？
意味不明ですよね。
RST：全射 ⇒ S 単射
RST：全射 ⇒ S 全射
RST：単射 ⇒ S 単射
RST：単射 ⇒ S 全射
RST：全射 ⇒ R 単射
RST：全射 ⇒ R 全射
RST：単射 ⇒ R 単射
RST：単射 ⇒ R 全射
RST：全射 ⇒ T 単射
RST：全射 ⇒ T 全射
RST：単射 ⇒ T 単射
RST：単射 ⇒ T 全射
0875１３２人目の素数さん
2015/07/04(土) 10:50:40.75ID:FRtR/SL20876１３２人目の素数さん
2015/07/04(土) 12:32:00.20ID:hTk7rV040877１３２人目の素数さん
2015/07/04(土) 13:47:34.65ID:6YX6GIAX一頁だけで終る本みたいだね。
0878１３２人目の素数さん
2015/07/04(土) 13:52:15.63ID:fKcIqKgn～の部分が強い結果だと
解く側に大きなヒントを与えてしまう面があるから
あえて弱い結果を示す問題にしたのかもね
0879１３２人目の素数さん
2015/07/04(土) 13:53:44.99ID:sJT4S4jhR_i in L(V)とする。
合成 R_1 R_2 … R_n が全射または単射ならば、R_iは全て正則。
0880１３２人目の素数さん
2015/07/04(土) 18:54:34.34ID:K08dVLJ6invariant under T, then U1 + ・・・ + Um is invariant under T.
0881１３２人目の素数さん
2015/07/04(土) 21:15:42.59ID:bldSNPhe0882１３２人目の素数さん
2015/07/04(土) 21:34:38.84ID:GpZ0PiZSthere exists a polynomial p ∈ Pn(F) with exactly m distinct
roots.
0883１３２人目の素数さん
2015/07/04(土) 21:38:01.53ID:lBIYv98yp.89 Ex. 16
V：有限次元ベクトル空間
T ∈ L(V)
T = cI (c ∈ F) ⇔ 任意の S ∈ L(V) に対して、 ST = TS
0884１３２人目の素数さん
2015/07/04(土) 21:55:55.92ID:lBIYv98yv_1, ..., v_n を V の基底とする。
v_1, ..., v_n を それぞれ T で写すと a_ij ∈ F として、以下のように書ける。
v_1 → a_11*v_1 + ... + a_n1*v_n
…
v_i → a_1i*v_1 + ... + a_ni*v_n
…
v_n → a_1n*v_1 + ... + a_nn*v_n
S_i ∈ L(V) を、基底 v_1, ..., v_n を それぞれ以下のように写す写像とする。
v_1 → 0
…
v_i → v_i
…
v_n → 0
0885１３２人目の素数さん
2015/07/04(土) 21:56:55.36ID:lBIYv98yS_i・T(v_j) = S_i(a_1j*v_1 + ... + a_nj*v_n) = a_ij*S_i(v_i)=a_ij*v_i
T・S_i(v_j) = T(0) = 0
S_i・T = T・S_i だから
a_ij = 0 (j≠i)
したがって、基底 v_1, ..., v_n をそれぞれ T で写すと a_ii ∈ F として、以下のように書ける。
v_1 → a_11*v_1
…
v_i → a_ii*v_i
…
v_n → a_nn*v_n
U_i ∈ L(V) を、基底 v_1, ..., v_n を それぞれ以下のように写す写像とする。
v_1 → v_i
v_2 → 0
…
v_n → 0
U_i・T(v_1) = U_i(a_11*v_1) = a_11*U_i(v_1) = a_11*v_i
T・U_i(v_1) = T(v_i) = a_ii*v_i
U_i・T = T・U_i だから
a_11 = … = a_nn =: c
0886１３２人目の素数さん
2015/07/04(土) 21:57:34.32ID:lBIYv98yv_1 → c*v_1
…
v_i → c*v_i
…
v_n → c*v_n
よって、 T = cI
T = cI (c ∈ F) ⇒ 任意の S ∈ L(V) に対して、 ST = TS
は明らか。
0887１３２人目の素数さん
2015/07/04(土) 22:06:36.88ID:lBIYv98y今、Sheldon Axlerさんの解答を見てみたら、全然違う方法で証明していました。
>>884-886
のほうが素朴で素直な方法ですね。
0888１３２人目の素数さん
2015/07/05(日) 07:00:05.99ID:E/eYfM22ε：L(V) の部分空間で以下の性質を持つとする。
任意の S ∈ L(V) および任意の T ∈ ε に対し、 ST ∈ ε かつ TS ∈ ε
このとき、ε={0} または ε=L(V) であることを証明せよ。
0889１３２人目の素数さん
2015/07/05(日) 08:07:25.39ID:Cqli3sBv0890１３２人目の素数さん
2015/07/05(日) 08:09:14.85ID:E/eYfM22v_1, ..., v_n を V の基底とする。
i = 1, ..., n に対し、
T(v_i) = a_1i*v_1 + ... + a_ni*v_n
と表されるとする。
T ≠ 0 だから
T(v_i) = a_1i*v_1 + ... + a_ni*v_n かつ (a_1i, ..., a_ni) ≠ 0 となるような i が存在する。
a_ji ≠ 0 とする。
V の基底 v_1, ..., v_n をそれぞれ以下のように写す L(V) の元を S とする。
v_1 → v_i
v_2 → 0
...
v_n → 0
V の基底 v_1, ..., v_n をそれぞれ以下のように写す L(V) の元を U とする。
v_1 → 0
...
v_j → (1/a_ji)*v_j
...
v_n → 0
V の基底 v_1, ..., v_n をそれぞれ以下のように写す L(V) の元を W とする。
v_1 → 0
...
v_j → v_1
...
v_n → 0
0891１３２人目の素数さん
2015/07/05(日) 08:10:09.12ID:E/eYfM22v_1 → v_i → a_1i*v_1 + ... + a_ni*v_n → v_j → v_1
v_2 → 0 → 0 → 0 → 0
...
v_n → 0 → 0 → 0 → 0
V の基底 v_1, ..., v_n をそれぞれ以下のように写す L(V) の元を R_k とする。
v_1 → 0
...
v_k → v_1
...
v_n → 0
V の基底 v_1, ..., v_n をそれぞれ以下のように写す L(V) の元を X_k とする。
v_1 → v_k
v_2 → 0
...
v_n → 0
v_1, ..., v_n をそれぞれ X_k・(W・U・T・S)・R_k で写すと以下のようになる。
v_1 → 0 → 0 → 0
...
v_k → v_1 → v_1 → v_k
...
v_n → 0 → 0 → 0
0892１３２人目の素数さん
2015/07/05(日) 08:10:45.88ID:E/eYfM22ε は部分空間であるから、
I = X_1・W・U・T・S・R_1 + ... + X_n・W・U・T・S・R_n ∈ ε
L を L(V) の任意の元とする。
ε に対する仮定により、
L = L・I ∈ ε
したがって、 ε = L(V)
0893１３２人目の素数さん
2015/07/05(日) 12:28:53.80ID:F/v9FJz+重要な基礎
0894１３２人目の素数さん
2015/07/05(日) 14:22:38.22ID:E/eYfM22T を(1)、(2)、(3)を満たす写像とする。
(1)L(P(R)) の元
(2)単射
(3)p ∈ P(R)-{0} ⇒ deg T(p) ≦ deg p
このとき、
(a)T は全射であることを示せ。
(b)p ∈ P(R)-{0} ⇒ deg T(p) = deg p を示せ。
この問題（Ex. 19）の解答が以下のページに載っています。
(b)は帰納法を使って証明すると書いてあるのですが、どこで帰納法を使っているのでしょうか？
http://linearalgebras.com/2015/02/exercises-chapter-3-d-part-3.html
0895１３２人目の素数さん
2015/07/05(日) 14:23:33.17ID:E/eYfM22P_m(R) を R の元を係数とする m 次以下の多項式全体からなるベクトル空間とする。
(a)
q を P(R) の任意の元とし、 deg q = m とする。
p ∈ P_m(R) とする。
deg T(p) ≦ deg p ≦ m だから、 T(p) ∈ P_m(R)
よって、 T を P_m(R) に制限して、 T ∈ L(P_m(R)) と考えることができる。
P_m(R) は有限次元で、 T は単射だから T ∈ L(P_m(R)) は全射である。
したがって、 T(p) = q となるような p ∈ P_m(R) ⊂ P(R) が存在する。
よって、 T ∈ L(P(R)) は全射である。
(b)
p ∈ P(R)-{0} かつ deg p = 0 とする。
T は単射だから、 T(p)≠0、よって、 deg T(p)≠-∞
deg T(p) ≦ deg p = 0 だから、 deg T(p) = 0
したがって、 deg T(p) = deg p
仮に、 deg p = n+1 かつ deg T(p) < n+1 となるような p ∈ P(R) が存在すると仮定する。
上に示したことより、 n ≧ 0 である。
(a)で示したように T ∈ L(P_n(R)) は全射である。
T(p) ∈ P_n(R) だから、 T(q) = T(p) となるような q ∈ P_n(R) が存在する。
T は単射だから、 q = p
ところが、
deg q ≦ n < n+1 = deg p
これは矛盾である。
0896１３２人目の素数さん
2015/07/05(日) 19:55:54.02ID:E/eYfM22V：ベクトル空間
U1, U2： V の部分空間
U1×U2 と U1 + U2 は同形
U1 + U2 は直和でない
上のような V, U1, U2 が存在することを示せ。
0897１３２人目の素数さん
2015/07/05(日) 20:56:44.06ID:xGfPr6DD0898１３２人目の素数さん
2015/07/05(日) 21:07:50.80ID:ajuCdWg40899１３２人目の素数さん
2015/07/05(日) 21:31:19.92ID:L9/le5fYU = {(x1,x2,x3,x4,x5) ∈ R5 : x1 = 3x2 and x3 = 7x4}.
Find a basis of U.
0900１３２人目の素数さん
2015/07/05(日) 21:37:06.09ID:9rJkZkiP0901１３２人目の素数さん
2015/07/05(日) 21:40:44.81ID:L9/le5fY0902１３２人目の素数さん
2015/07/05(日) 22:26:06.76ID:sLwBTYi+0903１３２人目の素数さん
2015/07/06(月) 03:37:43.04ID:gk7dP1UlU1が無限次元ならU2はU1の有限次元部分空間で良い
0904１３２人目の素数さん
2015/07/06(月) 08:30:12.91ID:0w3pa/Wl>>903
ありがとうございます。
>>898
U1×U2 から U1 + U2 への同形写像を教えてください。
0905１３２人目の素数さん
2015/07/06(月) 10:03:05.73ID:GxSF66LA●●●男性論女性論板
●●●物理板
●●●ハングル板
＿＿＿＿
Ｙ／ニニ|>o<|＼
／ ／/＼＿＿＿＼
|／ / ＝＝＝ | ￣ ○○○を鼻糞●●●の上にするのだ。簡単なのだ！
| / ・ ・ |
＼（6 （_λ_）＼
/ ＿ ||||||| ＿|
|（（ ＼□￣□／|
＼ ￣￣￣ ノ
／￣￣＼ /￣￣￣￣￣|了
/ |： |￣￣￣￣
| |＿＿＿＿_＿|
| | | | | | | |
0906１３２人目の素数さん
2015/07/06(月) 12:28:06.77ID:gk7dP1UlVの基底をv_1,v_2,…として(v_i,v_j)→v_n, n=i+(i+j-1)(i+j-2)/2
0907１３２人目の素数さん
2015/07/06(月) 14:12:10.56ID:ReVV2VpKc and d such that 1/(a + bi) = c + di.
0908１３２人目の素数さん
2015/07/06(月) 19:09:24.35ID:f2WBNGIfac + (bc+ad)i + bd i^2 = 1
So choose arbitrarily real d and anything i with multicability and addition, then we can say
c = (1-ad i -bd i^2)/a+b+i
0909１３２人目の素数さん
2015/07/06(月) 20:05:53.32ID:VCd3nqpl0910１３２人目の素数さん
2015/07/06(月) 21:44:12.05ID:0w3pa/Wlありがとうございます。
無限次元ベクトル空間の基底というのがよく分からないんですよね。
有理数の集合と自然数の集合を1:1に対応づける写像に似ていますね。
0911１３２人目の素数さん
2015/07/06(月) 22:03:19.52ID:0w3pa/Wlの問題ですが、
http://linearalgebras.com/tag/chapter-3/
よく探したら、上のページに解答がありました。
その解答ならよく分かりました。
0912１３２人目の素数さん
2015/07/06(月) 22:03:44.79ID:0w3pa/WlU1 = R
U2 = P(R)
0 + 1 = 1 + 0 ∈ U1 + U2 なので U1 + U2 は直和ではない。
U1×U2 = R×P(R)
U1 + U2 = P(R)
なので、
R×P(R) と P(R) が同形であることを示せばよい。
R×P(R) ∋ (r, p) → r + x*p ∈ P(R)
は同形写像になる。
線型写像であること：
(r1, p1) → r1 + x*p1
(r2, p2) → r2 + x*p2
(r1+r2, p1+p2) → (r1+r2) + x*(p1+p2) = (r1 + x*p1) + (r2 + x*p2)
c(r1, p1) = (c*r1, c*p1) → c*r1 + x*(c*p1) = c*(r1 + x*p1)
単射であること：
明らか。
全射であること：
p を P(R) の任意の元とする。
p を x で割った商を q 、余りを r とする。
(r, q) → p
0913１３２人目の素数さん
2015/07/06(月) 22:17:42.15ID:Apipukbh一体何を U1×U2 の基底だと思ったんだ？
>>904
(v_i,0) → v_(2i-1)
(0,v_j) → v_(2j)
0914１３２人目の素数さん
2015/07/06(月) 22:19:01.30ID:k/1Jk1wO0915１３２人目の素数さん
2015/07/06(月) 23:34:00.45ID:0w3pa/WlV：F上のベクトル空間
A：V の空でない部分集合
A が V のアフィン部分集合 ⇔ 任意の v, w ∈ A および任意の λ ∈ F に対し、 λ*v + (1-λ)*w ∈ A
0916１３２人目の素数さん
2015/07/07(火) 00:02:14.77ID:gs2qf7vy0917１３２人目の素数さん
2015/07/07(火) 00:18:09.90ID:5OLV0PSjの定義では、
V の元 v および V の部分空間 U を用いて、 v + U と表される V の部分集合を
V のアフィン部分集合と定義しています。
0918１３２人目の素数さん
2015/07/07(火) 00:18:16.27ID:b3v8brFZここからどうしたらいいか教えてください答えは０になるそうです
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org403689.jpg
0919１３２人目の素数さん
2015/07/07(火) 00:18:52.86ID:5OLV0PSjA を V のアフィン部分集合とする。
V の元 v0 および V の部分空間 U が存在して、
A = v0 + U と書ける。
v, w を A の任意の元、 λ を F の任意の元とする。
v - v0 ∈ U, w - v0 ∈ U で、 U は部分空間であるから、
λ*(v - v0) + (1-λ)*(w - v0) ∈ U
A = v0 + U ∋ v0 + λ*(v - v0) + (1-λ)*(w - v0) = λ*v + (1-λ)*w
(2)
任意の v, w ∈ A および任意の λ ∈ F に対し、 λ*v + (1-λ)*w ∈ A が成り立つとする。
A は空集合ではないから、 A の元 v0 が存在する。
A - v0 が V の部分空間であることを以下で示す。
0 = v0 - v0 ∈ A - v0
v ∈ A - v0 とする。
v = a - v0 (a ∈ A) と書ける。
v0 + λ*v = v0 + λ*(a - v0) = λ*a + (1-λ)*v0 ∈ A
したがって、 λ*v ∈ A - v0
v, w ∈ A - v0 とする。
v + v0, w + v0 ∈ A
(1/2)*(v + v0) + (1/2)*(w + v0) = (1/2)*(v + v0) + (1-1/2)*(w + v0) ∈ A
2*{(1/2)*(v + v0) + (1/2)*(w + v0) - v0} + v0 = 2*{(1/2)*(v + v0) + (1/2)*(w + v0)} + (1-2)*v0 ∈ A
A ∋ 2*{(1/2)*(v + v0) + (1/2)*(w + v0)} + (1-2)*v0 = v + w + v0
したがって、 v + w ∈ A - v0
以上から、 A - v0 は V の部分空間である。
A = v0 + (A - v0) だから、 A は V のアフィン部分集合である。
0920１３２人目の素数さん
2015/07/07(火) 14:26:00.63ID:SA6thbn1(?1 +√3i)/2
is a cube root of 1 (meaning that its cube equals 1).
0921１３２人目の素数さん
2015/07/07(火) 17:22:02.66ID:5OLV0PSjV と U×(V/U) は同形である。
解答：
v_1 + U, ..., v_n + U を V/U の基底とする。
写像 V ∋ v → v + U ∈ V/U は V から有限次元ベクトル空間 V/U への線形写像である。
この写像を φ とする。
>>812-813
より、
V = Ker φ + span(v_1, ..., v_n) （直和） = U + span(v_1, ..., v_n) （直和）
が成り立つ。
v_1, ..., v_n は一次独立だから、 dim span(v_1, ..., v_n) = n = dim V/U である。
したがって、 span(v_1, ..., v_n) と V/U は同形である。
U + span(v_1, ..., v_n) （直和） だから、
V = U + span(v_1, ..., v_n) と U×span(v_1, ..., v_n) は同形である。
span(v_1, ..., v_n) と V/U は同形であるから、
U×span(v_1, ..., v_n) と U×V/U は同形である。
以上より、
V = U + span(v_1, ..., v_n) と U×V/U は同形である。
0922１３２人目の素数さん
2015/07/07(火) 17:22:31.16ID:5OLV0PSjv_1 + U, ..., v_m + U を V/U の基底
u_1, ..., u_n を U の基底
とする。
v_1, ..., v_m, u_1, ..., u_n は V の基底であることを示せ。
解答：
写像 V ∋ v → v + U ∈ V/U は V から有限次元ベクトル空間 V/U への線形写像である。
この写像を φ とする。
>>812-813
より、
V = Ker φ + span(v_1, ..., v_m) （直和） = U + span(v_1, ..., v_m) （直和）
= span(u_1, ..., u_n) + span(v_1, ..., v_m) （直和）
が成り立つ。
したがって、V の任意の元 v は
v = a_1*u_1 + ... + a_n*u_n + b_1*v_1 + ... + b_m*v_m
と書ける。
a_1*u_1 + ... + a_n*u_n + b_1*v_1 + ... + b_m*v_m = 0 とすると、
span(u_1, ..., u_n) ∋ a_1*u_1 + ... + a_n*u_n = (-b_1)*v_1 + ... + (-b_m)*v_m ∈ span(v_1, ..., v_m)
span(u_1, ..., u_n) + span(v_1, ..., v_m) （直和） であるから、
span(u_1, ..., u_n) ∩ span(v_1, ..., v_m) = {0}
よって、
a_1*u_1 + ... + a_n*u_n = (-b_1)*v_1 + ... + (-b_m)*v_m = 0
0923１３２人目の素数さん
2015/07/07(火) 17:23:08.77ID:5OLV0PSjより、
v_1, ..., v_m は一次独立である。
u_1, ..., u_n は U の基底だから一次独立である。
したがって、
a_1 = ... = a_n = b_1 = ... = b_m =0
でなければならない。
よって、
v_1, ..., v_m, u_1, ..., u_n は 一次独立である。
以上より、 v_1, ..., v_m, u_1, ..., u_n は V の基底である。
0924１３２人目の素数さん
2015/07/07(火) 17:29:45.28ID:Z0gH+XcI0925１３２人目の素数さん
2015/07/07(火) 20:57:03.79ID:5OLV0PSj分かる人いますか？
U = { (x_1, x_2, ...) ∈ F^∞ : 有限個の j に対してのみ x_j ≠ 0 } とする。
(a) U は F^∞ の部分空間であることを示せ。
(b) F^∞/U は無限次元ベクトル空間であることを証明せよ。
解答：
(a) 明らか。
0926１３２人目の素数さん
2015/07/07(火) 21:51:50.22ID:VHa/ildAVrs={-Uxx((r+s)/2,(r-s)/2)+Utt((r+s)/2,(r-s)/2)}/4 = 0
0927１３２人目の素数さん
2015/07/07(火) 21:53:49.34ID:1iS6vW6f上半身を写す
0928１３２人目の素数さん
2015/07/07(火) 22:27:27.83ID:gs2qf7vy真剣な答え：
明らか。
おちゃらけた答え：
素数 p に対し、F^∞ の元で
添字が p の倍数である成分は 1、
それ以外の成分は 0 であるものを
e_p と命名する。
異なる素数の列 p1, p2, p3, …について、
F^∞/U の元 (e_p1)+U, (e_p2)+U, (e_p3)+U, … は
一次独立である。
0929１３２人目の素数さん
2015/07/07(火) 22:46:19.30ID:KxnLqIBx0930１３２人目の素数さん
2015/07/07(火) 22:55:16.30ID:VHa/ildA0931１３２人目の素数さん
2015/07/07(火) 22:58:21.06ID:KxnLqIBx∮thanks
0932１３２人目の素数さん
2015/07/07(火) 23:04:00.62ID:VHa/ildA0933１３２人目の素数さん
2015/07/07(火) 23:12:39.28ID:gs2qf7vy0934１３２人目の素数さん
2015/07/07(火) 23:43:16.81ID:9mZ+Ltrsx + y ≦ 1 x ≧ 0 y ≧ 0 で
u = x + y 、v = x - y
と置く時
uとvの範囲が分かりません、、、
ご教授下さい
0935１３２人目の素数さん
2015/07/07(火) 23:59:16.60ID:5OLV0PSjありがとうございます。
最初にそれを考えたんですけど、証明が思いつかなかったんですよね。
以下であっていますかね？
m を任意の正の整数とし、
a_1*(e_p_1 + U) + ... + a_m*(e_p_m + U)
について考える。
ある i に対し、 a_i ≠ 0 とする。
a_i*e_p_i の成分のうち、添え字が p_i*{(p_1*p_2*…*p_m/p_i)*n + 1} である成分は、
{e_p_1, ..., e_p_m} - {e_p_i} のどんな一次結合を引いても 0 にすることはできない。
よって、
a_1*e_p_1 + ... + a_m*e_p_m ∈ U とはならない。
したがって、
a_1*(e_p_1 + U) + ... + a_m*(e_p_m + U) ≠ 0
e_p_1 + U, ..., e_p_m + U は一次独立である。
0936１３２人目の素数さん
2015/07/08(水) 00:00:23.40ID:S5hS9x1I0937１３２人目の素数さん
2015/07/08(水) 00:32:37.06ID:GEBB9vBMhttps://www.youtube.com/watch?v=7DreHcRic7c
ドレミファロンドを踊ってみた
https://www.youtube.com/watch?v=I4nVgq5UjyQ
0938１３２人目の素数さん
2015/07/08(水) 00:56:03.18ID:+qjVdvYdhttps://www.youtube.com/watch?v=5LloYR1t8W8
0939１３２人目の素数さん
2015/07/08(水) 06:16:11.52ID:J3MyZ50iすばらしい。
君たち、やっぱりプロミスだな。
0940１３２人目の素数さん
2015/07/08(水) 06:32:35.74ID:J3MyZ50i一次不等式の問題です。
x = (u+v)/2, y = (u-v)/2より、
x + y ≦ 1, x ≧ 0, y ≧ 0 は
u ≦ 1, (u+v)/2 ≧ 0, (u-v)/2 ≧ 0.
つまり、
u ≦ 1, u ≧ -v, u ≧ v.
グラフを書いてみると、
0 ≦ u ≦ 1, -u ≦ v ≦ u だと判る。
0941１３２人目の素数さん
2015/07/08(水) 07:43:26.39ID:YzZ1Tw/yありがとうございます。
なんだろう、寝て起きたら理解出来ましたｗ
変な先入観といいますか固定観念は危険ですね、、、
0942１３２人目の素数さん
2015/07/08(水) 11:07:42.32ID:rAIZuOvkhttp://d.hatena.ne.jp/xedamame0/20150626#p2
0943１３２人目の素数さん
2015/07/10(金) 21:19:43.70ID:tV59YJ+L定理5.5
体 K 上の線型空間 V の次元を n とすると、 V は数ベクトル空間 K^n
と同型である。
系5.2
線型空間 V と W が同型であるための必要十分条件は、 dim V = dim W と
なることである。
定理5.5には証明がありますが、系5.2には証明が書かれていません。
「線型空間 V と W が同型であるならば、 dim V = dim W である。」
というのは証明しなければならないことではないでしょうか？
0944１３２人目の素数さん
2015/07/10(金) 21:24:42.98ID:tV59YJ+L明らかかもしれませんね。
dim V = dim W ⇒ V と W は同型のほうは確かに証明が必要ですね。
0945１３２人目の素数さん
2015/07/10(金) 21:26:58.32ID:X+VALNID証明したほうが良くないかね？
0946１３２人目の素数さん
2015/07/10(金) 21:31:36.52ID:tV59YJ+LV1 と V3 は同型
という類のことはそれ以前に証明しているので、
dim V = dim W = n ならば
V と K^n、 W と K^n は同型。
V と K^n、 K^n と W は同型。
よって、 V と W は同型。
と定理5.5を使って簡単に証明できるという意味で定理5.5の系に
なっているんですかね。
「線型空間 V と W が同型であるならば、 dim V = dim W である。」
のほうは証明するまでもないことという扱いなんでしょうかね。
0947１３２人目の素数さん
2015/07/10(金) 21:32:13.48ID:Ew8ta0Bc0948１３２人目の素数さん
2015/07/10(金) 21:33:22.85ID:tV59YJ+Lあ、書き忘れましたが、 それ以前に、以後本書では有限次元ベクトル空間しか考えない
と書かれています。
0949１３２人目の素数さん
2015/07/10(金) 21:33:37.05ID:/BCOuYXD次元の定義を基底の個数（これは基底の取り方に依らない）とすれば
左から右は基底を同型写像で写せば基底
右から左は基底を基底に写す写像を線型に拡張できて同型写像になる
0950１３２人目の素数さん
2015/07/10(金) 21:36:24.87ID:tV59YJ+L気になったのは、
「線型空間 V と W が同型であるならば、 dim V = dim W である。」
を証明する必要があるかどうかということなんです。
0951１３２人目の素数さん
2015/07/10(金) 21:41:01.91ID:Ew8ta0Bc必要な人には必要、不要な人には不要
0952１３２人目の素数さん
2015/07/10(金) 21:41:04.54ID:msHeZ/ck0953１３２人目の素数さん
2015/07/10(金) 21:42:39.18ID:tV59YJ+L系5.2は定理5.5の系です。
>>右から左は基底を基底に写す写像を線型に拡張できて同型写像になる
↑これが定理5.5の証明でやっていることだと思います。
>>左から右は基底を同型写像で写せば基底
↑これはそれ以前に書かれていません。
0954１３２人目の素数さん
2015/07/10(金) 21:43:04.33ID:OtEUu0GC1.数学から見た物体と運動
2.数学からみた古典力学
3.数学からみた連続体の力学と相対論
4.数学からみた統計力学と熱力学
5.数学からみた量子力学
こちらの一般的な評価ってどんな感じなんでしょうか？
3から読み始めたら、なんの前置きもなく非圧縮流体の仮定をいれて流体力学の公式を導出してたり
式変形でプラスマイナスの符号間違えとかポロポロあって、なんだかなぁと放り投げかけてます。
どの巻は必読とかこのシリーズ読むくらいなら○○を読んだ方がいいとかあったら教えてください。
0955１３２人目の素数さん
2015/07/10(金) 21:49:35.76ID:/BCOuYXDああ，もしかして系と定理で番号別々なのか
それなら>>947の通り
VとWを同型として
n=dim V, m=dim W とすれば
K^n ～ V ～ W ～ K^m（～は同型の記号の代わり）
だから K^n ～ K^m で n=m になる
0956１３２人目の素数さん
2015/07/10(金) 21:50:14.37ID:tV59YJ+L>>952
確かにそうですね。
それまでの書きっぷりから考えると、
「左から右は基底を同型写像で写せば基底 」
を著者が書き忘れたのだと思うことにします。
0957１３２人目の素数さん
2015/07/10(金) 21:53:18.66ID:tV59YJ+Lそうなると、
K^n ～ K^m ならば n=m
を証明しなければならないかどうかということが新たに問題になると思うんですよね。
0958１３２人目の素数さん
2015/07/10(金) 21:57:57.35ID:Ew8ta0Bcそれは対偶を考えればさすがに自明だろ
0959１３２人目の素数さん
2015/07/10(金) 22:03:28.12ID:uMaUE0vj0960１３２人目の素数さん
2015/07/10(金) 22:04:50.62ID:/BCOuYXDそこを気にするなら結局「基底を同型写像で写したものは基底」を
証明するのと同じ手間がかかる気がするなあ
0961１３２人目の素数さん
2015/07/11(土) 01:24:33.22ID:6b7OXPwvもし自明と思わないなら次のように証明すればよい。
n>m とする。
k^n の基底 <e_1,...,e_n> を一つとる。
基底の定義より、∀x∈k^n に対し、a_i∈K(i=1,...,n) が一意に存在して、x=Σ[i=1,n]a_ie_i を満たす。
ここで同型写像 φ:K^n→K^m が存在すると仮定する。
K^m∋φ(x)=φ(Σ[i=1,n]a_ie_i)=Σ[i=1,n]a_iφ(e_i) であるが、n>m であるから、<φ(e_1),...,φ(e_n)> は一次独立ではない。
よって、a_i∈K(i=1,...,n) とは異なる b_i∈K(i=1,...,n) が存在して、φ(x)=Σ[i=1,n]b_iφ(e_i) =φ(Σ[i=1,n]b_ie_i) を満たす。
すなわち φ は単射でなく、従って同型写像ではない。矛盾が導かれたので仮定は誤りである。■
0962１３２人目の素数さん
2015/07/11(土) 13:08:13.77ID:EpIQ81Bn0963１３２人目の素数さん
2015/07/11(土) 18:20:43.49ID:fVhqSz+H>>961
なるほど。ありがとうございます。
伊吹山知義著『線型代数学』を読んでいますが、また不可解な記述を見つけてしまいました。
それは以下の演習問題の解答です。
p.35 演習問題1.7.7
線型変換 f : V → V について、次の3条件が同値なことを示せ。
(1) f は同型
(2) rank(f) = dim V
(3) f^(-1)(0) = {0}.
解答には、
「定理5.3と定理7.2による。」
と書かれています。
定理5.3と定理7.2はそれぞれ以下の定理です。
定理5.3：
dim V = n ならば、 V の n+1 個以上のベクトルはいつでも線形従属である。
定理7.2：
線型空間 V, W と線型写像 f : V → W について、
dim V = dim(f^(-1)(0)) + dim(f(V))
が成り立つ。
0964１３２人目の素数さん
2015/07/11(土) 18:28:13.05ID:fVhqSz+H(1) ⇒ (2)：
f を同型と仮定する。
f は全射だから、 f(V) = V。
よって、 rank(f) = dim V。
(2) ⇒ (3)：
rank(f) = dim V と仮定する。
すなわち、 dim f(V) = dim V。
定理7.2より、 dim(f^(-1)(0)) = dim V - dim(f(V)) = 0。
よって、 f^(-1)(0) = {0}。
(3) ⇒ (1)：
f^(-1)(0) = {0} と仮定する。
f は単射である。
dim(f^(-1)(0)) = 0。
定理7.2より、 dim V = dim(f^(-1)(0)) + dim(f(V)) = 0 + dim(f(V)) = dim(f(V))。
よって、 V = f(V)。
f は全射である。
よって、 f は同型。
0965１３２人目の素数さん
2015/07/13(月) 13:51:42.44ID:c54QuxRDいい加減な本ですね。ちゃんとした証明がほとんどありません。
独りよがりな分かりにくい説明ばかりしています。
口調も馴れ馴れしくて読むのが嫌になります。
↓誤りを発見しました。
http://i.imgur.com/I3EKSxj.jpg
det(a_1, a_2, a_3) = -det(a_2, a_1, a_3)
の説明の図ですが、 a_1 と a_2 が入れ替わっていて意味不明です。
0966１３２人目の素数さん
2015/07/13(月) 14:07:32.38ID:c2b2u2/Y0967１３２人目の素数さん
2015/07/13(月) 14:40:57.05ID:c54QuxRDの図は、
手と標準基底 e_1, e_2, e_3 を
線形写像 (a_1, a_2, a_3) で写した場合と
線形写像 (a_2, a_1, a_3) で写した場合
の図だと思います。
0968１３２人目の素数さん
2015/07/13(月) 15:02:10.95ID:x/poGbA2現在線形代数の演習を行ってるのですが、↓の問題が納得できません。
http://iup.2ch-library.com/i/i1466107-1436767060.jpg
解答は↓です。
http://iup.2ch-library.com/i/i1466108-1436767060.jpg
計算の二行目から符号がおかしくなってると思うのですがあっていますか？
お願いします。
0969１３２人目の素数さん
2015/07/13(月) 15:05:39.46ID:uwlj0f4Y>>965 は消えて欲しい。
0970１３２人目の素数さん
2015/07/13(月) 15:09:29.97ID:AuTlAT5l0971１３２人目の素数さん
2015/07/13(月) 15:20:03.37ID:K+TeKLndだんだん苦しくなってきてるようだけどｗｗｗｗｗ
0972１３２人目の素数さん
2015/07/13(月) 16:14:55.51ID:c54QuxRD>>968
基本的に解答はあっています。
↓チェックしました。
http://i.imgur.com/h5CdDGn.png
http://i.imgur.com/1ecgkwM.png
↓おかしいのはこの部分ですね。
http://i.imgur.com/nQNT8s0.jpg
0973１３２人目の素数さん
2015/07/13(月) 16:18:55.48ID:FvjwOIjm今○○○を読んでいます。誤りＸＸＸを発見しました。ひどい本ですね。
0974１３２人目の素数さん
2015/07/13(月) 16:41:27.38ID:FPil6T/C詳しくありがとうございました。
自分の計算では符号が互い違いになってしまっていたのですがもう一度計算してみます。
ありがとうございました。
0975１３２人目の素数さん
2015/07/13(月) 17:57:07.91ID:eRiawA950976１３２人目の素数さん
2015/07/13(月) 18:08:12.14ID:FPil6T/C解答くださった画像の余因子の下の分母分ひっくり返ってました。
ありがとうございました！
0977１３２人目の素数さん
2015/07/14(火) 10:26:38.85ID:NMms6D5Eなんか間違ってんのか？
0978１３２人目の素数さん
2015/07/14(火) 12:13:04.28ID:T6RWSJv30979１３２人目の素数さん
2015/07/14(火) 17:12:00.59ID:mLLfch0U歪んだ正義感
最近はこういう厨房が流行なのか。
0980１３２人目の素数さん
2015/07/14(火) 17:55:13.61ID:snV6yWc6肥大した自己顕示欲…○
0981１３２人目の素数さん
2015/07/14(火) 19:49:27.71ID:/Xnt7FQX0982１３２人目の素数さん
2015/07/14(火) 22:25:26.73ID:G+qUSWMpただ、松坂なんて相手せずに杉浦とかspivakやって欲しい
0983１３２人目の素数さん
2015/07/15(水) 16:41:11.06ID:d1NOKnPS以下の画像の青色で囲った部分ですが、おかしいですよね。
[4.4]で示したことは、「ある特定の左基本変形をすれば、 A を単位行列にすることができる」
ということです。
勝手な左基本変形による掃き出し法で A を単位行列にすることができるというのとは話が違いますよね。
もちろん、勝手な左基本変形による掃き出し法が途中で行き詰れば、明らかに A のランクは n 未満ということに
なってしまい A が正則であるという仮定に反しますから、勝手な左基本変形による掃き出し法で A を単位行列に
することができるというのは正しいわけですけど。
出版されてから半世紀も経ち、かつベストセラーの本であるにもかかわらず、おかしな記述ってあるもんなんですね。
ちなみに、斎藤正彦著『斎藤正彦 線型代数学』も見てみましたが、同じことを書いています。
0984１３２人目の素数さん
2015/07/15(水) 16:44:25.01ID:d1NOKnPS問題箇所の画像は以下になります：
http://i.imgur.com/UDDG9VX.jpg
0985１３２人目の素数さん
2015/07/15(水) 16:45:14.77ID:n67tG3/Mきみはかしこいね！
0986１３２人目の素数さん
2015/07/15(水) 16:46:03.71ID:ObBgP9010987１３２人目の素数さん
2015/07/15(水) 18:15:48.29ID:d1NOKnPS以下の画像中の説明はおかしいですよね。
赤色で囲った B という行列の線型独立な列ベクトルの最大数が s であることがすぐに分かると
書いています。これがすぐに分かるのだったら有限次元線型空間の基底の個数は一定であるという
定理もすぐに分かるで済ませばいいことになりますよね。
http://i.imgur.com/vFzuJ3j.jpg
0988１３２人目の素数さん
2015/07/15(水) 19:38:25.08ID:5lXrpHIF0989１３２人目の素数さん
2015/07/15(水) 21:37:10.71ID:TL9WA5S2ttp://home.hiroshima-u.ac.jp/forum/28-6/kokoro.html
普通は5歳ぐらいで自分と他人は違うことに気づくそうだｗ
0990１３２人目の素数さん
2015/07/15(水) 23:14:46.13ID:kGO7iKcx4.4に逆も正しいて書いてるやん
0991１３２人目の素数さん
2015/07/16(木) 03:31:14.26ID:Z6msCJAT書いてありますけど、その逆は青色で囲った部分とは関係がないですよね。
青色で囲った部分に、
「もしもこの操作が途中で行詰れば、[4.4]によって A は正則ではない。」
と書かれていますが、 A が正則であっても、[4.4]での QP という変形以外の変形を
行った場合に途中で行詰る可能性を[4.4]のみによって否定はできませんよね。
A を基本行列に変形することを目指して、変形していくやり方には複数のやり方が
ありますよね。[4.4]では、 QP という変形以外の変形については何も述べていない
ですよね。
0992１３２人目の素数さん
2015/07/16(木) 03:41:39.06ID:Z6msCJAT結局、[4.4]の証明を行列の（お手軽な）計算によって行っているのがいけないんですよね。
0993１３２人目の素数さん
2015/07/16(木) 09:55:19.01ID:tkaPPzbP0994１３２人目の素数さん
2015/07/16(木) 09:56:37.13ID:tkaPPzbP0995１３２人目の素数さん
2015/07/16(木) 09:57:23.12ID:tkaPPzbP0996１３２人目の素数さん
2015/07/16(木) 09:57:59.90ID:tkaPPzbP0997１３２人目の素数さん
2015/07/16(木) 09:58:36.04ID:tkaPPzbP0998１３２人目の素数さん
2015/07/16(木) 10:13:27.80ID:l3RP0/kK左掃き出し法が詰まる
＝ 行ピボット選択ができない
＝ 固有値０が見つかった
＝ 非正則
で、何も間違っていないが。
0999１３２人目の素数さん
2015/07/16(木) 10:20:31.67ID:qwDvipqO1000１３２人目の素数さん
2015/07/16(木) 10:25:34.03ID:Z6msCJAT以下の定理の証明もおかしいですね。
有限次元線型空間の基底の個数は一定であるという定理ないし、
それに類する結果を利用することが必要ですよね。
なお、 >>987 に書いたように「A の線型独立な列ベクトルの最大数 t(A) は r(A)である」
という定理の証明にも有限次元線型空間の基底の個数は一定であるという定理ないし、
それに類する結果を利用することが必要ですよね。
------------------------------------------------------------
2.4.2【定理】
A = (a_1, ..., a_n) ： (m, n) 行列
x = (x_1, ..., x_n)^T
c = (c_1, ..., c_m)^T
x_1*a_1 + ... + x_n*a_n = c
が解をもつため必要十分条件は、
rank(a_1, ..., a_n) = rank(a_1, ..., a_n, c)
が成り立つことである。
証明：
x_1*a_1 + ... + x_n*a_n = c
は、
c が a_1, ..., a_n の線型結合として表わされること、すなわち a_1, ..., a_n
のなかの線型独立なベクトルの最大数と、 a_1, ..., a_n, c のなかの線型独立な
ベクトルの最大数とが一致することを意味する。「A の線型独立な列ベクトルの最大数 t(A) は r(A)である」
という定理によって、これは rank(a_1, ..., a_n) = rank(a_1, ..., a_n, c) と同値である。
1001１００１
Over 1000Threadもう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。