n, x, yを
n = 3m^{2}\pm1, x = 4m^{2}\pm1, y = 8m^{3}\pm3m 
とする。このとき
n = x^{3} - y^{2}
が成り立つ。

　n = 3m^{2}+1としたとき、n = x^{3} - y^{2}を満たす整数x, yをmを用いた式で表せ。

このタイプの問題では、うまく代数的な置き換えを考えて、等式が成り立つように調整します。
試しに、以下の形を仮定してみます：
　　x = m + 1
すると：
　　x^{3} = (m + 1)^ {3} = m^{3} + 3m^{2} + 3m + 1
今、x^{3} - y^{2} = 3m^{2} + 1にしたいので、差をとってみましょう。
　　x^{3} - y^{2} = m^{3} + 3m^{2} + 3m + 1 - y^{2}

これを：
　　= 3m^{2} + 1
にしたい。

つまり：
　　m^{3} + 3m^{2} + 3m + 1 - y^{2} = 3m^{2} + 1
よって
　　m^{3} + 3m + 1 - y^{2} → y^{2} = m^{3} + 3m
ここから、y = \sqrt{m^{3} + 3m}としたいが、これが整数になるよう工夫する必要があります。

別の形として、次の形を試します。：
　　x = m + 1, y = m^{2} + m
すると：
・x^{3} = (m+1)^{3} = m^{3} + 3m^{2} + 3m + 1
・y^{2} = (m^{2} + m)^{2} = m^{4} + 2m^{3} + m^{2}
なので、
　　x^{3} - y^{2} = (m^{3} + 3m^{2} + 3m + 1) - (m^{4} + 2m^{3} + m^{2}) = -m^{4} - m^{3} + 2m^{2} + 3m + 1
これは明らかに3m^{2} + 1とは一致しない。

偶奇の次数をそろえて高次の項を打ち消すために、次の形を仮定します。
・仮定
　　x = am^{2} + 1, y = cm^{3} + d{m}
こうすると、x^{3}とy^{2}の展開で奇数次(m^{5}, m^{3}, m)の項は最初から現れず、定数項はxから1までが出ます。高次(m^{6}, m^{4})の係数を一致させて消し、m^{2}の項だけを所望の値3に合わせるのが狙いです。

まず展開します。
　　x^{3} = (am^{2} + 1)^{3} = a^{3}m^{6} + 3a^{2}m^{4} + 3am^{2} + 1
　　y^{2} = (cm^3 + dm)^{2} = c^{2}m^{6} + 2cdm^{4} + d^{2}m^{2}
したがって
　　x^{3} - y^{2} = (a^{3} - c^{2})m^{6} + (3a^{2} - 2cd)m^{4} + (3a - d^{2})m^{2} + 1
・高次項の消去条件
　　a^{3} = c^{2}, 3a^{2} = 2cd
・目標の二次項
　　3a - d^{2} = 3

まずa^{3} = c^{2}から、整数解を得るためにaを平方数と置くのが自然です。
a = t^{2}とするとc = t^{3}となります。次に3a^{2} = 2cdは
　　3t^{4} = 2t^{3}d → d = 3t/2
整数dのためにtは偶数とし、t = 2kとおくと
　　a = 4k^{2}, c = 8k^{3}, d = 3k
このとき二次項の係数は
　　3a - d^{2} = 3・4k^{2} - (3k)^{2} = 12k^{2} - 9k^{2} = 3k^{2}
したがって
　　x^{3} - y^{2} = 3k^{2}m^{2} + 1
目標は3m^{2} + 1なのでk^2 = 1を選べばよく、k = 1（または-1）で達成できます。

・解：
　　x = 4m^{2} + 1, y = 8m^3 + 3m
このとき恒等的に
　　x^{3} - y^{2} = 3m^{2} + 1
が成り立ちます。