担当業務がどんどん増やされて辛い

まず、入社して数ヶ月は誰でもできそうな仕事と量を与えるのが普通です
そして、この人もっとできそうですよ。となると、仕事が加算されたりする
逆に、この人ダメですね。となった場合、違う種類の仕事をやってもらい
それでもダメなら、最悪転属転勤等になるのが普通です
なので、仕事が増えたということは、認められたということです
さらに休日出勤や早朝出勤とか、欠員補充とか色々やらされますが
これ、けっこうパートやアルバイトさんでも普通にやってる企業多いです
仕事を依頼するほうは、これでもか、というくらい依頼してくるので
できないもの、遅延するもの、無理なものはハッキリ言わないと
ドシドシ仕事が増えていきますので上司に言ってください
そうしないと、まだまだ、できると思われてしまいますから

＞時間との戦いでミスをしないよう冷や汗をかきながら仕事をしています

残業が許されないパートさんに数千万のリスクの仕事をさせるのは、信じられません。

でも開き直って考えると「パートさんの失敗は社員よりも責任が軽い」です。それは給与にも反映されています。（給与・年収が社員並みに高いパートさんですか？）

なので、自分が多少ミスしても会社は大丈夫だと思いましょう。もし会社がどうかなったところで、パートにその仕事をやらせた人に責任があります。

業務が増えて、多少頑張っても残業が必要な仕事は明日に回すしかありません。（そこでリスクが発生しても「残業できないので知りません」または「残業手当を出して残業させてください」です）

私は正社員でしたが、力量よりも過大な仕事をやらされている。と自分で思う事もありました。でも、最終的にはその仕事を命じた上司・会社の責任だと思い、（自分にも責任はありますが）なんとか乗り切りました。

パートだと「自分ができなかった責任」は他のパートにもできる仕事以外は問われません。

最悪、それで会社が倒産しても、別のパートの仕事を見つければ良いわけです。

次の面接で「前職パートで仕事にミスがあったので会社が倒産しました」と言っても、前職の会社自体が笑われて終わりです。

思い切って辞職するか、「パートに任せて数千万損してもやっていける太っ腹な会社だ」と割り切って楽に考え、なるべく神経質にならずに乗り切りましょう。

休日の電話は「緊急事態用に教えてある電話番号です。緊急でないなら電話は止めて職場で聞いて下さい」と言わないと止まりません。