工夫して5秒で計算してみて！「1/99−1/100」→5秒でチャレンジ

今回は、分数の引き算にチャレンジしてみましょう。

分母が大きいので難しそうに見えるかもしれませんが、ちょっと着眼点を変えるとすぐに答えを求めることができますよ。さて、あなたは制限時間内に計算できるでしょうか。

問題

次の計算をしなさい。
1/99−1/100

※制限時間は5秒です。

正解は、「1/9900」です。

分母の数字がかなり大きいですが、計算自体は本当に簡単ですよ。

では、次の「ポイント」で、計算方法を確認してみましょう。

ポイントは「引かれる数と引く数ともに分子が1で、分母の差は1かつ引かれる数の分母の方が小さい」という特徴に注目することです。

では、計算過程を見てみましょう。

1/99−1/100
=1/(99×100)
=1/9900

分母どうしを掛けただけで終わるとてもシンプルな式ですよね。

どうしてこうなるのか分からない人は、まずは、分数の引き算のルールに従って計算をしてみるとよいでしょう。

まず、分数の引き算では、分母を共通にしてから分子どうしを引きます。

分数では、分子と分母に同じ数を掛けても大きさは変わりません。このことを利用して分数を共通にすることを通分といいます。今回の式では1/99の分子分母に100を、1/100の分子分母に99を掛けてやれば、通分ができます。

1/99−1/100
=(1×100)/(99×100)−(1×99)/(100×99)←通分する
=100/9900−99/9900

分母が共通の9900になったので、次に分子どうしを引き算します。

100/9900−99/9900
=(100−99)/9900
=1/9900

ここで、分子どうしの引き算は元の分数の分母の数どうしの引き算になっていることに注目してください。ただし元の式で引く数の分母として登場していた100が、分子の引き算では引かれる数になっています。99と100の位置が逆になった形ですね。

元の式：1/99−1/100
分子の引き算：100−99

この流れを文字で表してみましょう。

<b−a=1のとき>
1/a−1/b
=(1×b)/(a×b)−(1×a)/(a×b)
=(b−a)/(a×b)←b−a=1
=1/(a×b)

文字で表すと、どうしてb−a=1のときの1/a−1/bの答えが1/(a×b)になるのかがより分かりやすくなるでしょう。

分母の差が1で、分子がともに1の分数の引き算は、答えが「1/分母どうしの掛け算」の形になります。

ただし、式が1/a−1/bの形なら、bの方がaよりも大きな数でなければなりません。1/100−1/99は、分母の差が1で分子がともに1の引き算ですが、答えは1/9900ではなく、−1/9900になります。これは、通分後の計算が(99−100)/9900となることからも分かりますね。

式の特徴を使うと、計算が簡単になる問題は多いです。引き続きいろいろな問題にチャレンジして、どこに注目すれば計算が効率化できるかを考えていきましょう。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。