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今回は、3の倍数を判定する問題にチャレンジしましょう。
今回登場する数はどれも1と0でできていて似ているように見えますが、「ある点」から確認すると、3の倍数になる数は一目瞭然なのです。
さて、あなたは3の倍数はどの数だと思いますか？
問題
次の3つの数のうち、3の倍数はどれでしょうか。
100001
101010
100111
解答
正解は、「101010」です。
3の倍数かどうか確かめる素直な方法は、3で割って割り切れるかどうかを確認することです。
しかし、今回のように桁数が大きい数では割り算の答えを出すのに時間がかかってしまうでしょう。
そんなとき使いたいのが、次のポイントで紹介する「3の倍数判定法」です。
ポイント
この問題では、「各桁の数字を足して3で割る」という3の倍数判定法を使うことがポイントです。
各桁の数字を足して3で割り切れたら、それは3の倍数なのです。
では、早速今回出題された三つの数字の各桁を足してみましょう。
100001→1+0+0+0+0+1=2←3で割り切れない
101010→1+0+1+0+1+0=3←3で割り切れる
100111→1+0+0+1+1+1=4←3で割り切れない
こうしてみると、3で割り切れるのは101010だけだとすぐ分かります（実際に割ってみると、101010÷3=33670となります）。
では、どうして「各桁の数字を足して3で割り切れたら、それは3の倍数」と言えるのでしょうか。
理由を探るために、今回出題されたような六桁の数字をa×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+fとして考えてみましょう。
※アルファベットは各桁の数字を表します。100001であれば、aとfが1、b、c、d、eが0になると考えてください。
この数を3×（3の倍数になる部分）が登場するように変形していきます。
a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f
=a×(99999+1)+b×(9999+1)+c×(999+1)+d×(99+1)+e×(9+1)+f←10の倍数部分を9の倍数+1の形に変換
=a×99999+a+b×9999+b+c×999+c+d×99+d+e×9+e+f←分配法則で9の倍数だけ取り出す
=3×(a×33333+b×3333+c×333+d×33+e×3)+a+b+c+d+e+f←3×の形にする
3×(a×33333+b×3333+c×333+d×33+e×3)の部分は3で割り切れます。よって、残りのa+b+c+d+e+fも3で割り切れるなら、この数は3の倍数だということになります。
ここでa+b+c+d+e+fは各桁の数を足した式なので、「各桁の数字を足して3で割り切れたら、それは3の倍数」が言えるというわけです。
まとめ
今回は、3の倍数を簡単に見つける方法を紹介しました。
3の倍数かどうかを判定するには、まず各桁の数を足します。足してできた数が3で割り切れれば、その数は3の倍数になります。
この判定方法を使えば、桁数が多い数でも3の倍数かどうかがすぐに分かります。他にも、5の倍数、4の倍数、9の倍数を判定する方法はよく知られています。興味のある人は、どんな判定方法か調べてみてくださいね。
※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。
文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。
