偶関数と奇関数 ～ 性質・公式・例 ～

  関数 $f\left(x\right)$ が を満たすとき、$f\left(x\right)$ を偶関数 (even function) と呼ぶ。
  また関数 $g\left(x\right)$ が を満たすとき、$g\left(x\right)$ を奇関数 (odd function) と呼ぶ。   次の関数 は、偶関数である。

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  次の関数 は、奇関数である。

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  偶関数は $y$ 軸対称の関数である。

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  奇関数は原点対称な関数である。

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  偶関数 $f\left(x\right)$ の積分には、 が成り立つ。
  これより、 が成り立つ。   奇関数 $g\left(x\right)$ の積分には、 が成り立つ。
  これより、 が成り立つ。   偶関数 $f\left(x\right)$ と奇関数 $g\left(x\right)$ の積を $h\left(x\right)=f\left(x\right)g\left(x\right)$ と定義すると、 が成り立つ。 よって、偶関数と奇関数の積は奇関数になる。
  偶関数 $f_1\left(x\right)$ と偶関数 $f_2\left(x\right)$ の積を $h\left(x\right)=f_1\left(x\right)f_2\left(x\right)$ と定義すると、 が成り立つ。 よって、偶関数と偶関数の積は偶関数になる。
  奇関数 $g_1\left(x\right)$ と奇関数 $g_2\left(x\right)$ の積を $h\left(x\right)=g_1\left(x\right)g_2\left(x\right)$ と定義すると、 が成り立つ。 よって、奇関数と奇関数の積は偶関数になる。
  まとめると、 が成り立つ。   偶関数 $f_1\left(x\right)$ と 偶関数 $f_2\left(x\right)$ の和を $h\left(x\right)=f_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)$ と定義すると、 が成り立つ。 よって、偶関数と偶関数の和は偶関数になる。
  奇関数 $g_1\left(x\right)$ と 奇関数 $g_2\left(x\right)$ の和を $h\left(x\right)=g_1\left(x\right)+g_2\left(x\right)$ と定義すると、 が成り立つ。 よって、奇関数と奇関数の和は奇関数になる。
  まとめると、 が成り立つ。   任意の関数の $f\left(x\right)$ に対して、 とすると、 が成り立つ。 よって、 $f\left(x\right)$ と $f(-x)$ の和は偶関数になる。
  任意の関数の $f\left(x\right)$ に対して、 とすると、 が成り立つ。よって、 $f\left(x\right)$ と $f(-x)$ の差は奇関数になる。   偶関数 $f\left(x\right)$ の微分 は、 を満たす (最後の等式は補足1を参考)。 よって、偶関数の微分は奇関数である。
  一方で、奇関数 $g\left(x\right)$ の微分 は、 を満たす。 よって、奇関数の微分は偶関数である。
  以上まとめると、 が成り立つ。   偶関数 $f\left(x\right)$ と奇関数 $g\left(x\right)$ の合成関数 は、 が成り立つので、偶関数である。
  奇関数 $g\left(x\right)$ と偶関数 $f\left(x\right)$ の合成関数 は、 が成り立つので、偶関数である。
  偶関数 $f_1\left(x\right)$ と偶関数 $f_2\left(x\right)$ の合成関数 は、 が成り立つので、偶関数である。
  奇関数 $g_1\left(x\right)$ と奇関数 $g_2\left(x\right)$ の合成関数 は、 が成り立つので、奇関数である。
  以上まとめると、 が成り立つ ( 補足2を参考 )。