【高校数学】”外角の二等分線と比”の公式とその証明

証明

Cを通りAQに平行な線とABの交点をEとし、BAの先をOとする。
AQとECは平行であるため錯角と同位角より
∠AEC＝∠ACE＝∠CAQ＝∠OAQ
よって△AECは二等辺三角形である。なので
AE＝AC　　　　　 　　①
また△EBC∽△ABQなので
BQ：QC＝AB：AE　　　②
①、②より
BQ：QC＝AB：AC

証明

底辺をBC、CQとすると高さが等しいため
BQ：QC＝△ABQ：△ACQ　　①
また∠QAC＝12(180°−θ)=90°−θ2より
△ABQ＝AB×AQsin(90°+θ2)
　　　　　AB×AQcosθ2　②
△ACQ＝AC×AQsin(90°−θ2)
　　　　　AC×AQcosθ2　③
①、②、③より
BQ：QC＝AB：AC