部分分数分解の主要パターン

式と証明 $($ 教科書範囲 $)$ 　★★★

typeはA(B)という表記です．Aは当サイト「ノート」での所属単元が，Bは大きく分けて以下になります．

・コンテンツの紹介：当サイトの別のページを紹介するためのページ．

・基本事項：大学受験で知っているといい知識．全読者向け．

・教科書範囲：検定教科書の範囲．すべての高校数学学習者向け．

・入試の標準：教科書の応用，発展にある内容や，MARCH，中堅国公立クラス以上の志望者向け．

・難関大対策：旧帝国大学，東工大，一橋，早慶，医学部クラス以上の志望者向け．

・難関大対策＋(プラス)：マニアック．上記の難関大学の中でも，数学が得意でさらに武器にしたい人向け．

・高校範囲外：難関大対策＋以上に高校範囲外の要素があります．大学受験にほぼ関係なく興味がある人向け．

levelは大きく分けて5つ

思考力，計算力などで★〜★★★★★にランク分け．

部分分数分解の主なパターンの紹介と，分解の手法について扱います．

$1$ ：部分分数分解の主要パターンとルール

$2$ ：部分分数分解の仕方

$3$ ：例題と練習問題

部分分数分解の主要パターンとルール

部分分数分解とは

例えば

$\frac{11 x + 2}{(x + 1) (2 x + 1)} = \frac{3}{x + 1} + \frac{5}{2 x - 1}$

のように，左辺の分母の因数を分母にもつ分数式に分解することです．

数学Bの数列でのシグマ計算や，数学Ⅲの積分で部分分数分解ができないと問題が解けなくて困ることがあります．

部分分数分解の主要パターン

$\frac{p x + q}{(a x + b) (c x + d)} = \frac{α}{a x + b} + \frac{β}{c x + d}$

$\frac{p x + q}{(a x + b)^{2}} = \frac{α}{a x + b} + \frac{β}{(a x + b)^{2}}$

$\frac{p x^{2} + q x + r}{(a x + b) (c x + d) (e x + f)} = \frac{α}{a x + b} + \frac{β}{c x + d} + \frac{γ}{e x + f}$

$\frac{p x^{2} + q x + r}{(a x + b)^{2} (c x + d)} = \frac{α}{a x + b} + \frac{β}{(a x + b)^{2}} + \frac{γ}{c x + d}$

$\frac{p x^{2} + q x + r}{(a x + b) (c x^{2} + d x + e)} = \frac{α}{a x + b} + \frac{β x + γ}{c x^{2} + d x + e}$

※上の文字どれかが $0$ になることもあります．

以上が部分分数分解の主要なパターンになります．

何をもって主要かというと，これ以上複雑になると未知数が $α$ ， $β$ ， $γ$ ， $δ$ など $4$ つ以上に及び，算出するのが困難なだけです．当然これらのパターンしかないというというわけではありません．

部分分数分解のルール

$($ ⅰ $)$ 分母の因数を分母とした，真分数式 $($ 分子の方が次数が低い式 $)$ の和に展開できる．

$($ ⅱ $)$ 分母の因数に累乗があれば，その指数以下のすべての累乗を分母とした分数式をすべて考慮する．

$($ ⅰ $)$ ， $($ ⅱ $)$ を踏まえれば例えば

$\frac{4 x^{7} + 19 x^{6} + 44 x^{5} + 62 x^{4} + 60 x^{3} + 35 x^{2} + 13 x + 1}{x (x + 1)^{3} (x^{2} + x + 1)^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + \frac{3}{(x + 1)^{2}} + \frac{4}{(x + 1)^{3}} + \frac{2 x - 1}{x^{2} + x + 1} + \frac{x + 1}{(x^{2} + x + 1)^{2}}$

のように，分解しようと思えば理論的には上のようにできるが，人間が解く問題としては大変なだけですね．

深い内容は大学の代数学に譲ります．

当ページとしては，主要パターンの部分分数分解をこなせるようになることを目的とします．

部分分数分解の仕方

Ⅰ 未定係数を設定し分解して，分母をはらって係数比較法

Ⅱ 未定係数を設定し分解して，分母をはらって数値代入法

Ⅲ 簡単な部分分数分解公式

$\frac{1}{A B} = \frac{1}{B - A} (\frac{1}{A} - \frac{1}{B})$

を使う．

※ $A$ ， $B$ は多項式で， $B - A$ が定数

問題に応じて，解きやすい方を選びます．未定係数を決定する際の詳細は恒等式の未定係数法をご参考ください．

例題と練習問題

例題

次の式を部分分数分解をせよ．

$(1)$ $\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$

$(2)$ $\frac{5 x + 7}{(x + 1) (2 x + 3)}$

$(3)$ $\frac{4 x + 5}{(x + 2)^{2}}$

$(4)$ $\frac{8 x^{2} - 5 x + 1}{x (2 x - 1)^{2}}$

$(5)$ $\frac{3 x^{2} - 2 x + 4}{x^{3} + 1}$

講義

部分分数分解の仕方でのⅠ，Ⅱはどの問題でも解けます．Ⅲが使えそうならⅢで解きましょう．

解答

$(1)$ Ⅲを使うのが楽です $($ $A = x + 1$ ， $B = x + 2$ として $)$ ．

　 $\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$

$= \frac{1}{x + 2 - (x + 1)} (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2})$

$= \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}$

$(2)$ Ⅰで解きます．

$\frac{5 x + 7}{(x + 1) (2 x + 3)} = \frac{a}{x + 1} + \frac{b}{2 x + 3}$

として，両辺 $(x + 1) (2 x + 3)$ 倍すると

$5 x + 7 = a (2 x + 3) + b (x + 1)$

係数比較すると

${\begin{cases} 5 = 2 a + b \\ 7 = 3 a + b \end{cases}$ 　 $∴ a = 2$ ， $b = 1$

$∴ \frac{5 x + 7}{(x + 1) (2 x + 3)} = \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{2 x + 3}$

$(3)$ もちろん他と同じように解けますが，式変形だけで分解できると思います．

$\frac{4 x + 5}{(x + 2)^{2}} = \frac{4 (x + 2) - 3}{(x + 2)^{2}} = \frac{4}{x + 2} - \frac{3}{(x + 2)^{2}}$

$(4)$ Ⅱで解きます．

$\frac{8 x^{2} - 5 x + 1}{x (2 x - 1)^{2}} = \frac{a}{x} + \frac{b}{2 x - 1} + \frac{c}{(2 x - 1)^{2}}$

として，両辺 $x (2 x - 1)^{2}$ 倍すると

$8 x^{2} - 5 x + 1 = a (2 x - 1)^{2} + b x (2 x - 1) + c x$

$x = \frac{1}{2}$ ， $0$ ， $1$ をそれぞれ代入すると

${\begin{cases} \frac{1}{2} = \frac{c}{2} \\ 1 = a \\ 4 = a + b + c \end{cases}$ 　 $∴ a = 1$ ， $b = 2$ ， $c = 1$

逆にこのとき

　 $(2 x - 1)^{2} + 2 x (2 x - 1) + x$

$= 8 x^{2} - 5 x + 1$

より恒等式となる．

$\frac{8 x^{2} - 5 x + 1}{x (2 x - 1)^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{(2 x - 1)^{2}}$

※ $\frac{8 x^{2} - 5 x + 1}{x (2 x - 1)^{2}} = \frac{a}{x} + \frac{b}{2 x - 1} + \frac{c}{(2 x - 1)^{2}}$ は $x = \frac{1}{2}$ ， $0$ ， $1$ が定義できないですが，両辺 $x (2 x - 1)^{2}$ 倍した式はこれらの値が定義できるので代入可能です．

$(5)$ Ⅱで解きます．

$\frac{3 x^{2} - 2 x + 4}{x^{3} + 1} = \frac{a}{x + 1} + \frac{b x + c}{x^{2} - x + 1}$

として，両辺 $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ 倍すると

$3 x^{2} - 2 x + 4 = a (x^{2} - x + 1) + (b x + c) (x + 1)$

$x = - 1$ ， $0$ ， $1$ をそれぞれ代入すると

${\begin{cases} 9 = 3 a \\ 4 = a + c \\ 5 = a + 2 b + 2 c \end{cases}$ 　 $∴ a = 3$ ， $b = 0$ ， $c = 1$

逆にこのとき

　 $3 (x^{2} - x + 1) + (x + 1)$

$= 3 x^{2} - 2 x + 4$

より恒等式となる．

$\frac{3 x^{2} - 2 x + 4}{x^{3} + 1} = \frac{3}{x + 1} + \frac{1}{x^{2} - x + 1}$

※ $(4)$ も $(5)$ も，次数より多くの値を代入して得られたものは恒等式として成立するので，数学的には逆の確認が不要で，実はその確認が無くても減点はされないはずです．

練習問題

練習

次の式を部分分数分解をせよ．

$(1)$ $\frac{1}{(3 n - 1) (3 n + 2)}$

$(2)$ $\frac{26 x - 5}{2 (2 x + 1) (4 x - 1)}$

$(3)$ $\frac{4 x^{2} + 12 x + 10}{(x + 1) (x + 2) (x + 3)}$

$(4)$ $\frac{9 x^{2}}{(x - 1)^{2} (x + 2)}$

$(5)$ $\frac{x^{3} + 2 x^{2} + 1}{x^{2} (x^{2} + 1)}$

練習の解答

$(1)$

　 $\frac{1}{(3 n - 1) (3 n + 2)}$

$= \frac{1}{3 n + 2 - (3 n - 1)} (\frac{1}{3 n - 1} - \frac{1}{3 n + 2})$

$= \frac{1}{3} (\frac{1}{3 n - 1} - \frac{1}{3 n + 2})$

$(2)$

$\frac{26 x - 5}{2 (2 x + 1) (4 x - 1)} = \frac{a}{2 x + 1} + \frac{b}{4 x - 1}$

として，両辺 $2 (2 x + 1) (4 x - 1)$ 倍すると

$26 x - 5 = a (8 x - 2) + b (4 x + 2)$

$x = - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{4}$ をそれぞれ代入すると

${\begin{cases} - 18 = - 6 a \\ \frac{3}{2} = 3 b \end{cases}$ 　 $∴ a = 3$ ， $b = \frac{1}{2}$

逆にこのとき

　 $3 (8 x - 2) + \frac{1}{2} (4 x + 2)$

$= 26 x - 5$

より恒等式となる．

$\frac{26 x - 5}{2 (2 x + 1) (4 x - 1)} = \frac{3}{2 x + 1} + \frac{1}{2 (4 x - 1)}$

$(3)$

$\frac{4 x^{2} + 12 x + 10}{(x + 1) (x + 2) (x + 3)} = \frac{a}{x + 1} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x + 3}$

として，両辺 $(x + 1) (x + 2) (x + 3)$ 倍すると

$4 x^{2} + 12 x + 10 = a (x + 2) (x + 3) + b (x + 1) (x + 3) + c (x + 1) (x + 2)$

$x = - 1$ ， $- 2$ ， $- 3$ をそれぞれ代入すると

${\begin{cases} 2 = 2 a \\ 2 = - b \\ 10 = 2 c \end{cases}$ 　 $∴ a = 1$ ， $b = - 2$ ， $c = 5$

逆にこのとき

　 $(x + 2) (x + 3) - 2 (x + 1) (x + 3) + 5 (x + 1) (x + 2)$

$= 4 x^{2} + 12 x + 10$

より恒等式となる．

$\frac{4 x^{2} + 12 x + 10}{(x + 1) (x + 2) (x + 3)} = \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x + 2} + \frac{5}{x + 3}$

$(4)$

$\frac{9 x^{2}}{(x - 1)^{2} (x + 2)} = \frac{a}{x - 1} + \frac{b}{(x - 1)^{2}} + \frac{c}{x + 2}$

として，両辺 $(x - 1)^{2} (x + 2)$ 倍すると

$9 x^{2} = a (x - 1) (x + 2) + b (x + 2) + c (x - 1)^{2}$

$x = 1$ ， $- 2$ ， $0$ をそれぞれ代入すると

${\begin{cases} 9 = 3 b \\ 36 = 9 c \\ 0 = - 2 a + 2 b + c \end{cases}$ 　 $∴ a = 5$ ， $b = 3$ ， $c = 4$

逆にこのとき

　 $5 (x - 1) (x + 2) + 3 (x + 2) + 4 (x - 1)^{2}$

$= 9 x^{2}$

より恒等式となる．

$\frac{9 x^{2}}{(x - 1)^{2} (x + 2)} = \frac{5}{x - 1} + \frac{3}{(x - 1)^{2}} + \frac{4}{x + 2}$

※ $(2)$ 〜 $(4)$ ですが，次数より多くの値を代入して得られたものは恒等式として成立するので，逆の確認が無くても減点はされないはずです．

$(5)$

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} + 1}{x^{2} (x^{2} + 1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x^{2}} + \frac{c x + d}{x^{2} + 1}$

として，両辺 $x^{2} (x^{2} + 1)$ 倍すると

$x^{3} + 2 x^{2} + 1 = a x (x^{2} + 1) + b (x^{2} + 1) + (c x + d) x^{2}$

右辺を整理して

$x^{3} + 2 x^{2} + 1 = (a + c) x^{3} + (b + d) x^{2} + a x + b$

係数比較すると

${\begin{cases} 1 = a + c \\ 2 = b + d \\ 0 = a \\ 1 = b \end{cases}$

$∴ a = 0$ ， $b = 1$ ， $c = 1$ ， $d = 1$

$∴ \frac{x^{3} + 2 x^{2} + 1}{x^{2} (x^{2} + 1)} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{x + 1}{x^{2} + 1}$

ノートに戻る