2023年4月28日より、「noteNHK出版 本がひらく」で連載を開始した。その目的は、次のようなものである。

【第10回】目次

●論理的思考の意味

　本連載【第1回】「論理的思考で視野を広げよう！」では、「論理的思考」が「思考の筋道を整理して明らかにする」ことであると解説した。たとえば「男女の三角関係」のように複雑な問題であっても、思考の筋道を整理して明らかにしていく過程で、発想の幅が広がり、それまで気づかなかった新たな論点が見えてくる思考法である。

　【第2回】「論理的思考で自分の価値観を見極めよう！」では、「ロジカルコミュニケーション」によって新たな論点を探し、反論にも公平に耳を傾け、最終的に自分がどの論点を重視しているのか、自分自身の価値観を見極めることの意義を説明した。

　【第3回】「論点のすりかえは止めよう！」では、「ロジカルコミュニケーション」の大きな障害になる10の代表的な「論点のすりかえ」について具体的に紹介した。日常的にできる限り論点のすりかえを止めるだけでも、コミュニケーションはかなりスムーズで建設的になるはずである。

　【第4回】「白黒論法に注意しよう！」では、とくに詐欺師がよく使う「白」か「黒」しか選択の余地がないと思わせる「白黒論法」を解説した。相手が「白黒論法」のような「二分法」を押し付けてきた場合、命題を整理すると実際の組み合わせは2通りではなく4通りであることが多いのに注意してほしい。

　【第5回】「『かつ』と『または』の用法に注意しよう！」では、日常言語では曖昧になりがちな「～ではない（否定）」と「かつ（連言）」と「または（選言）」の組み合わせについて、「論理的結合子」を用いて記号で処理すると、論理的に厳密に表現できることを解説した。

　【第6回】「『ならば』の用法に注意しよう！」では、日常言語では曖昧になりがちな「ならば（条件）」および「逆・裏・対偶」が、「論理的結合子」を用いて記号で処理すると、論理的に厳密に表現できることを解説した。

　【第7回】「明確に『論証』してみよう！」では、日常言語では曖昧になりがちな「話の正しい筋道」が、アリストテレス以来の「論証」という概念で論理的に厳密に表現できることを解説した。論証には、モダス・ポネンスやモダス・トレンスのように「妥当」なものと、後件肯定虚偽や前件否定虚偽のように「妥当ではない」ものがある点に注意してほしい。

　【第8回】「多種多彩な『論証』を使ってみよう！」では、8つの「妥当」な論証形式「MP、MT、HS、DS、Add、Simp、Conj、CD」を確認した。記号化されているため、最初は戸惑う読者もいるかもしれないが、これらを自在に使いこなせるようになれば、日常の議論にも大いに役立つので、ぜひ頭に叩き込んでほしい！

　【第9回】「論理パズルを楽しもう！」では、多種多様な「論理パズル」を解きながら、これまで登場した概念を復習した。とくに、さまざまな論理結合子を用いて記号化すると、複雑に見えるパズルも機械的に解くことができることを明らかにした。この回の課題は自力で解いて楽しんでほしい！

ゲーデルの不完全性定理

　1930年、ウィーン大学の24歳の論理学者クルト・ゲーデルが「不完全性定理」を証明した。この定理は、自然数論を完全にシステム化できないことを表している。一般に、有意味な情報を生み出す体系は自然数論を含むことから、不完全性定理は、いかなる有意味な体系も完全にシステム化できないという驚異的な事実を示したことになる。物理学者ロバート・オッペンハイマーが「人間の理性一般における限界を明らかにした」と述べたように、不完全性定理は、人類の世界観を根本的に変革させたのである。

　誰よりも先に不完全性定理の重要性に気付いた数学者ジョン・フォン・ノイマンは、ゲーデルの証明の数学的な厳密性を高く評価し、「時間と空間をはるかに越えても見渡せる不滅のランドマーク」だと賞賛した。フォン・ノイマンは、量子力学からゲーム理論にいたる数えきれない研究分野で独創的な業績を残し、現代のノイマン型コンピュータの創始者でもある。そのフォン・ノイマンが、「20世紀最高の知性」と呼ばれるたびに、それは自分ではなくゲーデルだと答えた。

　不完全性定理を厳密に証明するためには、論理学と数学の非常に巧妙なテクニックを用いる必要があるが、不完全性定理のイメージは、本連載第9回で紹介した論理パズルを活用して掴むことができる。以下、そのイメージを紹介しよう。

ナイト・クラブとネイブ・クラブのパズル［問題］

　ナイトとネイブの島において、ナイトの一部は「ナイト・クラブ会員」であり、ネイブの一部は「ネイブ・クラブ会員」である。すべてのナイトは正直であり、すべてのネイブは嘘つきである。島のすべての住人は、ナイトかネイブのどちらかのままである。

　島の住人Ｘと出会ったとしよう。Ｘが「私はネイブ・クラブ会員である」と言ったとする。もしＸがナイトであれば、自分をネイブ・クラブ会員だと偽ることはないから、Ｘはナイトではない。一方、もしＸがネイブ・クラブ会員であれば、自分をネイブ・クラブ会員だと正直に言うことはないから、Ｘはネイブ・クラブ会員でもない。したがって、Ｘはネイブ・クラブ会員ではないネイブである。

　それでは、問題である。島の住人Ｘが、彼はナイトだがナイト・クラブ会員ではないことを一言で伝えようとしている。彼は、何と言えばよいのだろうか。

ナイト・クラブとネイブ・クラブのパズル［解答］

　Ｘは、「私はナイト・クラブ会員ではない」と言えばよい。もしＸがネイブであれば、自分はナイト・クラブ会員ではないと正直に言うことはないから、Ｘはネイブではない。よって、Ｘの発言は真であり、それは彼がナイト・クラブ会員でないことを意味している。したがって、彼はナイトだがナイト・クラブ会員ではない。

ゲーデルの証明

　ナイト・クラブとネイブ・クラブのパズルに登場する島の住人の発言を、次のような命題と置き換える。

　ナイトの発言＝真の命題
　ネイブの発言＝偽の命題
　ナイト・クラブ会員の発言＝証明可能な命題
　ネイブ・クラブ会員の発言＝反証可能な命題

　また、島では、「モダス・ポネンス」（仮言三段論法肯定式）の論証形式だけを用いるものとする。この論証形式が妥当であることは、本連載第7回で証明したとおりである。

　さらに、島の住人は、自然数論についての一個の命題しか発言しないことにする。たとえば、島の住人Ａ～Ｄは、次のように発言するとしよう。

Ａ：「もしＸが２の倍数であれば、Ｘは偶数である」
Ｂ：「４は２の倍数である」
Ｃ：「４は偶数である」
Ｄ：「４は偶数ではない」

　このとき、ＡとＢとＣがナイトであり、Ｄがネイブであることは、明らかだろう。以下、これらの例を用いて、幾つかの言葉を定義する。

　すでに証明された命題から、論証によって論理的に導くことのできる命題を「証明可能な命題」と呼ぶ。たとえば、ＡとＢは、すでに証明されたナイト・クラブ会員の発言とする。命題Ｃは、命題ＡとＢにモダス・ポネンスを用いて導くことができるので、証明可能な命題である。これは、ナイトＣが、ナイト・クラブ会員ＡとＢの推薦によって、ナイト・クラブ会員になるというイメージである。そこで、ナイト・クラブ会員の行列は、証明の過程に相当することになる。

　逆に、証明可能な命題を否定する命題が、「反証可能な命題」である。すでにナイト・クラブ会員となったＣの発言を否定するのが、命題Ｄである。したがって、Ｄは、反証可能な命題である。これは、Ｃと並んだ瞬間に、Ｄがネイブ・クラブ会員に変身すると考えればよいだろう。

　自然数論において、すべての真理を証明するシステムは、すべてのナイトをナイト・クラブ会員に変身させるシステムに相当する。これは、一見すると、簡単なことのように見える。ナイト・クラブ会員が集まって、島のすべてのナイトを探し出し、モダス・ポネンスを使って推薦してしまえば、ナイトを残らずナイト・クラブ会員にできるのではないだろうか。

　ところが、そうではないのである。その理由を、次に示そう。

　一般に、システムＳのすべての証明可能な命題が真であり、すべての反証可能な命題が真ではないとき、Ｓを「正常」と呼ぶ。ナイト・クラブ会員がナイトに含まれ、ネイブ・クラブ会員とナイトが互いに交わらないことから、島のシステムは正常である。正常なシステムでは、偽の命題が証明されたり、真の命題が反証されたりすることがないわけである。
　
　また、証明可能であると同時に反証可能である命題がＳに存在しないとき、Ｓを「無矛盾」と呼び、それ以外のときＳを「矛盾」と呼ぶ。ナイト・クラブ会員とネイブ・クラブ会員が互いに交わらないことから、島のシステムは無矛盾である。

　無矛盾性は、証明可能性のみによって定義され、真理性には直接関与しない。このことは、無矛盾性がナイト・クラブ会員とネイブ・クラブ会員のみによって定義されたことからも明らかだろう。ただし、Ｓが正常であれば、Ｓは自動的に無矛盾となる点に注意してほしい。

　さらに、システムＳの命題Ｘが証明可能か反証可能のどちらかであるとき、ＸをＳで「決定可能な命題」と呼び、それ以外のときＸをＳで「決定不可能な命題」と呼ぶ。つまり、島の住人Ｘが、ナイト・クラブ会員かネイブ・クラブ会員のどちらかに決定できれば、Ｘは島のシステムで決定可能である。

　システムＳのすべての命題が決定可能であるとき、Ｓを「完全」と呼び、それ以外のときＳを「不完全」と呼ぶ。島の住人全員が、ナイト・クラブ会員かネイブ・クラブ会員であれば、島のシステムは完全である。逆に、島にどちらかのクラブ会員でない住人がいれば、島のシステムは不完全である。

　ここで、不完全性定理の結論を述べよう。一般に、システムＳが正常であるとき、真であるにもかかわらず、Ｓでは証明可能でない命題が存在する。この命題を「ゲーデル命題」と呼ぶ。実は、ナイト・クラブとネイブ・クラブのパズルの解答だった「私はナイト・クラブ会員ではない」が、ゲーデル命題の一例なのである。この命題は、「私はＳで証明可能ではない」という命題を表している。

　ゲーデル命題Ｇは真であり、システムＳが正常であることから、Ｓで反証可能でもない。したがって、ＧはＳで決定不可能である。ここから、次の結論が導かれる。

第１不完全性定理　システムＳが正常であるとき、Ｓは不完全である。

　さらに、島のシステムで、「ナイト・クラブ会員であると同時にネイブ・クラブ会員である者はいない」という命題も、実は、ゲーデル命題の一例である。この命題は、「Ｓは無矛盾である」という命題を表している。ここから、次の結論が導かれる。

第２不完全性定理　システムＳが正常であるとき、Ｓは自己の無矛盾性を証明できない。

ゲーデルの証明の意味

　さて、ゲーデルの証明のイメージを思い浮かべることはできただろうか。実は、理解できなくて当然の部分があるのだが、その前にもう一度、基本的なアイディアを整理しておこう。

　ナイト・クラブ会員は、ぜひ会員を増やしたいと考えているとしよう。そこで、彼らは、島中のナイトに接近する。かりに「８は偶数である」と言うナイトを見つけたら、「もしＸが２の倍数ならば、Ｘは偶数である」と言うナイト・クラブ会員と、「８は２の倍数である」と言うナイト・クラブ会員が飛んで来て、即座に彼を推薦する。すると、島の掟モダス・ポネンスによって、そのナイトはナイト・クラブ会員になる。このようにして、彼らは、ナイト・クラブ会員を増やしていく。

　ところが、ある日、彼らは、「私はナイト・クラブ会員ではない」と言う島の住人Ｇを発見する。この発言は、ネイブには不可能なので、Ｇはナイトに違いない。よって、Ｇの発言は真である。ところが、Ｇは自分はナイト・クラブ会員ではないと言っているわけだから、推薦のしようがない。

　万一彼をナイト・クラブ会員にしたとすると、Ｇは、会員であると同時に会員でないことになり、矛盾する。その場合は、島のシステム全体が矛盾することになる。したがって、Ｇがナイトであることはわかっているが、ナイト・クラブには入会させず、放っておくしかない。つまり、Ｇは、島のシステムで決定不可能なゲーデル命題なのである。

　ここまでは、イメージが浮かぶはずである。理解できなくて当然の部分に気付いただろうか。それは、Ｇの発言が、自然数論の発言ではないことである。島の住人は、「８は偶数である」とか「８は２の倍数である」など、自然数論についてしか発言しないはずである。なぜＧだけが「私はナイト・クラブ会員ではない」などと発言できるのだろうか。

　実は、ここが、ゲーデルの証明で最も独創的な部分である。ゲーデルは、「私はナイト・クラブ会員ではない」という命題を、「８は偶数である」とか「８は２の倍数である」などの自然数論の発言と、同じレベルで扱う方法を導入したのである。

　現実には、ゲーデルは、「私はＳで証明可能ではない」という決定不可能命題（第１不完全性定理）と「Ｓは無矛盾である」という決定不可能命題（第２不完全性定理）を、自然数論システムＳの内部で構成する方法を導いた。この方法は、「ゲーデル数化」と呼ばれている。

　ゲーデル数化は、自然数の中の「素数」(１とそれ自身の他に約数を持たない自然数。ただし１は素数とはみなさない)の性質を用いたテクニカルな方法によって、自然数論内部のすべての命題を、一定の規則にしたがって自然数に数値化する。自然数は、もちろん自然数論に含まれることから、自然数論内部に決定不可能な命題Ｇを構成できるわけである。

　さらに、ゲーデルは、命題Ｇが真であるときに限って、単一の解を持つ多項方程式Ｄを自然数論内部に構成する方法を示した。これによって、Ｄは真であるにもかかわらず、自然数論内部では証明できない「数学的命題」であることが明確になったわけである。

　ゲーデルの証明方法は、自然数論を含む数学システムすべてに適用できる。より一般的には、①一定の公理と推論規則によって構成され、②無矛盾であり、③自然数論を含む程度に複雑なシステムであれば、すべてに適応できるのである。これらのシステムは、すべて、不完全である。したがって、いかなる数学システムにおいても、すべての真理を証明することは、不可能ということになる。

　さて、自然数論は、数学の最も基礎に位置する算数である。それならば小学生でも知っていると思われるかもしれないが、ゲーデル数化にも表れているように、実は、驚異的に豊富な内容を含む宇宙なのである。たとえば、1742年、プロイセンの数学者クリスティアン・ゴールドバッハは、次の自然数論の命題を予想した。

ゴールドバッハの予想　４以上の偶数は、素数の和である。

　ゴールドバッハの予想は、4=2+2、6=3+3、8=3+5、……と順に確認され、現在ではコンピュータ計算によって、10の18乗の4の倍数まで成立することがわかっている。ところが、極めて単純に見えるにもかかわらず、ゴールドバッハの予想は、未だに証明されていないし、反証も発見されていない。この命題の背景には、広大な未知が広がっているのである。

　さらに、遥か昔の古代ギリシャ時代から知られているにもかかわらず、未解決の問題もある。

完全数の未解決問題　奇数の完全数は、存在するか？

　自然数が、その数を除く約数の和で表されるとき「完全数」と呼ばれる。たとえば、6=1+2+3 であることから、６は完全数である。多くの完全数が発見されたが、それらはすべて偶数である。不思議なことに、奇数の完全数は、発見されていないのである！

不完全性定理のアナロジー

　不完全性定理は、たとえて言うと、どんなに完全な法律体系を作ろうとしても、その法律体系では捕えきれない「抜け穴」が必ず存在することを示している。

　以前には存在しなかったネット犯罪のように、社会が変化すると従来の法律体系では取り締まれない新たな犯罪が発生する。そこで、新たな法律を作って、新たな犯罪に対応しようとするが、犯罪者は再び法律の「抜け穴」を見つけて、新たな法律体系で裁くことができない犯罪行為を繰り返す。ゲーデルの不完全性定理は、数学体系において、それと似たような状況が生じることを証明したわけである。

　どんなに証明が難解な数学の命題も、いずれ数学が発展して新たな定理を発見していけば、それらを用いて真偽を決定できるはずだと多くの数学者たちは考えてきた。ところが、ゲーデルは不完全性定理でその夢を打ち砕いた。どんなに数学が発展し、新たな公理や定理を追加したとしても、そこには証明も反証もできない命題Gを構成できるのである。

　また、第2不完全性定理は「公理系に矛盾がない」という命題を公理系内部で証明できないことを示している。つまり「公理系に矛盾がない」という命題は、その公理系における決定不可能命題なのである。第2不完全性定理を一言で言えば、「自分に矛盾がないことを自分自身では証明できない」ということになる。人間を一個のシステムとみなせば、我々は自己の無矛盾性を自分では証明できないわけである！

　最後に、不完全性定理は自然数論を含むシステムの不完全性を示しているのであって、数学そのものに「欠陥」があると主張しているわけではない点に注意してほしい。不完全性定理によって数学の「欠陥」が証明されたと主張するような社会学者や哲学者もいるが、それはまったくの誤解である。現代数学で証明された内容は真実であり、そこに虚偽が含まれるようなことはない。

　一方、「不完全性定理は数学の定理の一つにすぎない」という考え方も極端な過小評価といえる。人間がどんなに完璧なシステムを目指しても、そのシステムが自然数論を含む以上、そこには限界があり、すべての真理を汲み尽くせない。この帰結は、哲学や宗教学にも大きな影響を与えてきたが、たしかに衝撃的な事実といえるだろう。

参考文献
高橋昌一郎（著）『ゲーデルの哲学』講談社（現代新書）1999年
高橋昌一郎（著）『東大生の論理』筑摩書房（ちくま新書）、2010年
高橋昌一郎（著）『20世紀論争史』光文社（光文社新書）、2021年
高橋昌一郎（監修・著）／山﨑紗紀子（著）『楽しみながら身につく論理的思考』ニュートンプレス、2022年
スマリヤン（著）／高橋昌一郎（監訳）／川辺治之（訳）『記号論理学』丸善、2013年
スマリヤン（著）／高橋昌一郎（監訳）／川辺治之・村上祐子（訳）『不完全性定理』丸善、2020年

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