ホモロジー群の求め方 ホモロジー群の計算について一般的な質問をさせていただきます。 整係数ホモロジー群を求める際に使う道具に関してです。 (1)一般的な、定義からkerとImを求めてホモロジー群を出す方法 (2)錐複体であることから一点とホモトピー同値であることを使ってホモロジー群を出す方法 (3)二つの単体に分けてMV完全列を用いてホモロジー群を出す方法 (4)何か簡単なホモトピー同値になるものを見つけてきてホモロジー群を出す方法 この4つしか私は知らないのですが、そうするとよく見かける座標空間で二つの座標を同一視して得られる商空間のホモロジー群が求められない場合が多いのです。 かんたんな長方形とかだとすぐ図形をイメージできるのですが立体座標で商空間が出てくるとホモロジー群が求められません。 なにか上の4つ以外に求める方法があるのでしょうか？

ここでいうホモロジーというのは、位相空間のホモロジー理論のことを指していると考えてよいのでしょうか？ 専門的な知識を仮定すれば、さらに次のものを付け加えることができるでしょう。 （5）既知の空間の直積の場合には、Kunneth の公式 （6）スペクトル系列 （7）de Rham コホモロジーから双対をとる（Poincare dual） （8）Morse ホモロジー （5）は、http://en.wikipedia.org/wiki/K%C3%BCnneth_theorem を参照して下さい。 加群の理論に慣れているならば、苦もなく理解できると思います。 割と強力な道具ですので、覚えておいて損はないでしょう。 （6）のスペクトル系列は、トポロジーに限らず、（コ）ホモロジーを道具として使う全ての数学で避けては通れない、超強力な道具です。 群作用による商空間の（コ）ホモロジーは、特に Serre スペクトル系列を用いて求めることができます。 例えば、ループ空間の（コ）ホモロジーなどが重要な計算例です。 ただし、それほど複雑でない空間の（コ）ホモロジーを求める際に、スクトル系列が必要になることはまず無いと思います。 （7）,（8）はともに閉多様体の場合に用いることのできる道具です。 しかし、一般に「空間のホモロジーを求めよ」といわれた時に、これらの道具を使うことは無いでしょう。 これらの技巧的な道具とは別に、ホモロジーの種類として、胞体ホモロジー（あるいは CW ホモロジー）というのはご存知でしょうか。 単体ホモロジーの直感的延長上にあるホモロジーで、ランクの少ない鎖複体からホモロジーを求めることができる画期的な道具です。 例えば、球面では、胞体鎖複体がそのままホモロジーになります。 厳密な定義は複雑でわかりにくいですが、道具として使う分には大した苦労もいらないと思います。 商空間のホモロジーも、胞体ホモロジーを用いれば、簡単に求められる場合が多いでしょう。