(cache)ヒルベルト空間における射影定理とその証明

ヒルベルト空間において非常に基本的な定理である射影定理 (projection theorem) について，その定理の主張と証明を行いましょう。

ヒルベルト空間における射影定理

実あるいは複素ヒルベルト空間 $H$ に対して， $A\subset H$ が凸集合 (convex set) であるとは，

\color{red}x,y\in A\implies tx+(1-t)y\in A\quad(0\le t\le 1)

を意味します(→凸集合とは何かをわかりやすく～定義と性質～)。このことを踏まえて，定理を述べましょう。

定理1 (射影定理)

$H$ をヒルベルト空間とし， $A\subset H$ を空でない閉凸集合とする。このとき，任意の $x\in X$ に対して，

\color{red} \Large\|x-y\| =\inf_{a\in A} \|x-a\|

となる $y\in A$ が唯一つ存在する。また， $A$ が閉部分空間ならば， $x-y\perp A$ である。

$x\in A$ なら，単に $y=x$ とすればよいです。

$x-y\perp A$ とは， $\forall a\in A, \langle x-y, a\rangle =0$ の意味です。

閉部分空間は明らかに閉凸集合ですから，定理1の「閉凸集合」の部分は「閉部分空間」にしても成立します。 $x = y+(x-y)$ であり， $y\perp x-y$ ですから，さらに以下の定理が成立します。

定理2（射影定理2）

$H$ をヒルベルト空間， $L\subset H$ をその閉部分空間とする。また，

L^\perp=\{ x\in H\mid \langle x,y\rangle =0,\, \forall y\in L\}

を $L$ の直交補空間とする。このとき，任意の $x\in H$ に対し，

\Large\color{red} x= y+z, \quad y\in L, \, z\in L^{\perp}

となる $y,z$ が唯一つ存在する。特に， $\large\color{red} H= L\oplus L^{\perp}$ である(→ベクトル空間の和・直和の定義)。

直交補空間については，以下の記事でも掘り下げています。

定理1と2はどちらも射影定理と言われます。

射影定理の証明

さて，早速証明しましょう。

定理1（射影定理）再掲

$H$ をヒルベルト空間とし， $A\subset H$ を空でない閉凸集合とする。このとき，任意の $x\in X$ に対して，

\color{red} \Large\|x-y\| =\inf_{a\in A} \|x-a\|

となる $y\in A$ が唯一つ存在する。また， $A$ が閉部分空間ならば， $x-y\perp A$ である

$y$ の存在性について
$y$ の一意性について
$A$ が閉部分空間のとき $x-y\perp A$ について

に分けて証明していきましょう。どれもある程度テクニカルであり，証明も大事ですが，結果を身につけることがとても大切です。

定理1の証明

1. $y$ の存在性について

$\inf_{a\in A} \|x-a\|=\alpha$ とおく。下限(inf)の定義より， $\{y_n\}\subset A$ で， $\lim_{n\to\infty}\|x-y_n\| =\alpha$ となるものが存在する。中線定理も用いることで，

\begin{aligned} &\|y_m-y_n\|^2 \\&= \|(y_m-x)-(y_n-x)\|^2 \\ &=2(\|y_m-x\|^2+\|y_n-x\|^2)\\ &\qquad-\|(y_m-x)+(y_n-x)\|^2 \\ &=2(\|y_m-x\|^2+\|y_n-x\|^2)\\ &\qquad\qquad\quad-4\left\|\frac{y_m+y_n}{2}-x\right\|^2 \\ \end{aligned}

である。 $A$ は凸より， $\frac{y_m+y_n}{2}\in A$ である。ゆえに $\alpha$ の定義より， $|\frac{y_m+y_n}{2}-x\| \ge \alpha$ である。したがって，

\begin{aligned} &\|y_m-y_n\|^2 \\ &\le 2(\|y_m-x\|^2+\|y_n-x\|^2)-4\alpha^2 \\ &\xrightarrow{n\to\infty} 2(\alpha^2+\alpha^2)-4\alpha^2=0 \end{aligned}

となり， $\{y_n\}$ はコーシー列である。ゆえに $y_n\xrightarrow{n\to\infty} y\in H$ が存在し， $A$ は閉より， $y\in A$ である。ここで，

\begin{aligned}\alpha \le \|x-y\| &\le \|x-y_n\|+\|y_n-y\| \\ &\xrightarrow{n\to\infty} \alpha +0 \end{aligned}

より， $\|x-y\|=\alpha$ である。以上から存在性が示せた。

2. $y$ の一意性について

$y_1,y_2\in A$ が $\|x-y_1\| = \|x-y_2\| = \alpha$ をみたすとする。中線定理より，

\hspace{-10pt}\begin{aligned}&\| (x-y_1)+(x-y_2)\|^2+\| (x-y_1)-(x-y_2)\|^2 \\&=2(\|x-y_1\|^2 +\|x-y_2\|^2) . \end{aligned}

言い換えると，

\begin{aligned}4\left\| x-\frac{y_1+y_2}{2}\right\|^2+\|y_1-y_2\|^2 =4\alpha^2. \end{aligned}

$A$ は凸より， $\frac{y_1+y_2}{2}\in A$ なので， $\alpha$ の定義より， $\| x-\frac{y_1+y_2}{2}\|\ge \alpha$ である。よって，上式は

\begin{aligned}4\alpha^2+\|y_1-y_2\|^2 \le 4\alpha^2. \end{aligned}

したがって， $y_1=y_2$ となって，一意性が示せた。

3. $A$ が閉部分空間のとき $x-y\perp A$ について

$z=x-y$ と略記する。 $a\in A$ とし，さらに $\rho = \langle z, a\rangle$ とする。 $\rho=0$ を示せばよい。 $t\in \mathbb{C}$ について， $t\rho a\in A$ である。 $\varphi(t)=\|z-t\rho a\|$ と定めると， $\|x-y\|$ の最小性より， $\varphi(0)\le \varphi(t)$ である。一方で， $t\in \R$ なら，

\|z-t\rho a\|^2= \|z\|^2-2|\rho|^2t+|\rho|^2\|a\|^2t^2

となるため， $\rho=0$ でなければ $\varphi(0)\le \varphi(t)$ に矛盾する。

証明終

定理2（射影定理2）再掲

$H$ をヒルベルト空間， $L\subset H$ をその閉部分空間とする。また，

L^\perp=\{ x\in H\mid \langle x,y\rangle =0,\, \forall y\in L\}

を $L$ の直交補空間とする。このとき，任意の $x\in H$ に対し，

\Large\color{red} x= y+z, \quad y\in L, \, z\in L^{\perp}

となる $y,z$ が唯一つ存在する。特に， $\large\color{red} H= L\oplus L^{\perp}$ である(→ベクトル空間の和・直和の定義)。

定理2の証明

存在性については，定理1より明らか。

一意性について

$x=y_1+z_1=y_2+z_2,\;\; y_1,y_2\in L,\, z_1,z_2\in L^\perp$ とする。このとき， $y_1-y_2=z_2-z_1 \in L\cap L^\perp = \{0\}$ であるから， $y_1=y_2,\, z_1=z_2$ となり，一意である。

証明終

一意性の証明は，ベクトル空間の和・直和の定義とその次元の等式の証明での証明と同じで，一般のベクトル空間でも成立します。

ヒルベルト空間における射影定理

射影定理の証明

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