114數A

此次考題的難易度，有的認為比去年容易，也有人認為比去年難，所以應該說和去年差異不大。這回一樣在大考中心成績和統計資料公佈前，先來預估一下考生表現。待一切公佈後再將結果補上，順便驗證一下自己對現在高中生學習的了解程度。

單選題：

解析：直覺來看，獨立的意思是兩個事件不互相影響。最熟悉的例子就是投銅板兩次，不管第一次投的是正面還是反面，都不會影響第二次投正面或反面。所以本題“抽到藍色球的事件與抽到1號球的事件互相獨立”可以解讀為『在抽到藍色球的情況之下得到1號球的機率和不管顏色得到1號球的機率是一樣的』。 本題因為只有兩種顏色的球，“抽到藍色球的事件與抽到1號球的事件互相獨立”應可理解就是不管抽到藍色或綠色其抽到1號球的機率是一樣，也因此藍色1、2號球的比率 $2:3$ 會和綠色1、2號球的比率 $4:k$ 一樣，所以 $k=6$。 從這個簡單的情況我們可以看出來，在一般的情況，若藍色1、2號球的比率為 $a:b$；綠色1、2號球的比率為 $c:d$，則抽到藍色球的事件與抽到1號球的事件互相獨立表示：${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}$，解得 $ad=bc$（行列式等於 $0$；事件的獨立反而變成了向量的不獨立）。從這裡也知道“抽到藍色球的事件與抽到1號球的事件互相獨立”不只等價於“抽到藍色球的事件與抽到2號球的事件互相獨立”，也等價於“抽到綠色球的事件與抽到1號球的事件互相獨立”和“抽到綠色球的事件與抽到2號球的事件互相獨立”

若想讓學生用嚴格的定義處理，可從條件機率的角度出發，亦即抽到藍球的條件下得到1號球的機率會和不設任何條件之下得到1號球的機率一樣。故由 ${\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{4+2}{2+4+3+k}}$，得到 $k=6$。對於條件機率不熟悉的學生，就只好去背另一個定義，就是：抽到藍色且為1號球的機率 ${\displaystyle \frac{2}{9+k}}$ 會等於抽到藍球的機率${\displaystyle \frac{5}{9+k}}$乘上抽到1號球的機率${\displaystyle \frac{6}{9+k}}$，因此得到 $k=6$。

後記：本題實際答對率為$57\mathrm{\%}$遠低於我的預估。從分組資料知道前 $33\mathrm{\%}$ 的高分組有 $88\mathrm{\%}$ 答對，而後 $33\mathrm{\%}$ 的低分組（Pl）僅有 $27\mathrm{\%}$ 答對。從選項分析來看低分組幾乎都是猜答，可知大都不了解兩事件獨立的意義。大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

解析：依定義很容易寫下 $L_1$、$L_2$ 的方程式分別為：$y=-{\displaystyle \frac{4}{3}}(x-a)$、$y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}(x-a)$。所以分別代 $x=0$，得到它們的 $y$ 截距分別為 ${\displaystyle \frac{4}{3}}a$ 與 ${\displaystyle \frac{3}{2}}a$。求得兩直角三角形面積分別為 ${\displaystyle \frac{2}{3}}{a}^2$ 與 ${\displaystyle \frac{3}{4}}{a}^2$。故由面積差 ${\displaystyle \frac{3}{4}}{a}^2-{\displaystyle \frac{2}{3}}{a}^2=3$，解得 $a=6$。利用相似三角形概念，我們可以先考慮通過點 $(1,0)$ 斜率分別為 $-{\displaystyle \frac{4}{3}}$、$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ 的兩直線與坐標軸圍成的三角形面積差為 ${\displaystyle \frac{1}{12}}$。再利用原邊長為 $a$ 倍，故面積應為 $a^2$ 倍，因此由 $a^2=36$ 解得 $a=6$。

後記：本題實際答對率為$62\mathrm{\%}$與我的預估相當。從分組資料知道中間部分的考生本題表現都優於上一題，使得本題的鑑別度是全卷選擇題（單選、多選）中最高的。可見程度中上的學生還是較熟悉這種程序形的問題。從選項分析來看，忘了三角形面積要乘 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 的選項(1)被圈選比率並不高，反倒是低分組圈選選項(3)的比例較高，令人不解，可能是猜答的影響。大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

解析：因為同類表演排在一起，所以若已決定三類的表演順序，這 $12$ 個曲目的排列方式就是 $5!\times 4!\times 3!$。每個選項都出現這組數字，可見出題者無意評量這部分，所以最後僅要確認這三類的表演順序即可。一定要確認學生對於“或”、“且”的敘述是否理解。本題『歌唱必須排在鋼琴之後或是小提琴之後』表示只要歌唱排在鋼琴、小提琴其中一個的後面就成立。所以如果鋼琴排在第一個，後面歌唱、小提琴怎麼排都沒關係（所以僅有兩種排法）；同理小提琴排第一個也是一樣。因此我們可以將整個表演的排法分成，鋼琴在第一個以及小提琴在第一個這兩類排法。由於每類都有 $2\times 5!\times 4!\times 3!$ 種排法，所以總共有 $4\times 5!\times 4!\times 3!$ 種排法。由於僅有三類表演，『歌唱必須排在鋼琴之後或是小提琴之後』其實等同於：歌唱不要排在第一個，所以也可將全部的排列數 $6\times 5!\times 4!\times 3!$ 扣掉歌唱排在第一個的排列數 $2\times 5!\times 4!\times 3!$，得到總共有 $4\times 5!\times 4!\times 3!$ 種排法。因為本題僅有三類，這種扣掉的方式沒有看到什麼優勢。不過若類別多了，有時善用扣掉的方式會有幫助。例如本題若多加一類管樂類，同樣『歌唱必須排在鋼琴之後或是小提琴之後』的限制，用排除扣掉的方式計算應該比較簡便。不妨讓學生試試看。

後記：本題實際答對率為$60\mathrm{\%}$略高於我的預估。從分組資料知道高分組的表現略低於前兩題；反而是低分組的表現優於前兩題，或許是因為問題較具體，願意花時間算吧！大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

解析： 所謂有系統的計數就是找到好的分類方法計算各類的個數，而不是盲目的畫出圖形一個一個算區域內有多少個格子點。本題由於是函數圖形，而且考慮 $1<x<{\displaystyle \frac{61}{2}}$ 的範圍，所以很直覺的會想以 $x$ 坐標來分類，也就是分別計算 $x=2,3,\dots ,30$ 共有多少格子點再加總。不過這個方式共要考慮 $29$ 種情況容易出錯。若是能想到用 $y$ 坐標來分類就容易得多了，因為 $x\le 30$，只要考慮 $y=1,2,3,4$ 這四種情況（因 $y=5$ 時 $x=32$）。當 $y=1$ 時，直線 $y=1$ 與 $y={\log }_{2}x$ 交於 $x=2$，由於邊界不算，所以符合題設的格子點 $x$ 坐標為$x=3,4,\dots ,30$，共有 $30-2=28$ 個。 當 $y=2$ 時，直線 $y=2$ 與 $y={\log }_{2}x$ 交於 $x=4$，所以符合題設的格子點 $x$ 坐標為$x=5,6,\dots ,30$，共有 $30-4=26$ 個。 同理 $y=3$ 和 $y=4$ 分別有 $30-8=22$ 和 $30-16=14$ 個。故總共有 $28+26+22+14=90$ 個格子點。

若直接以 $x$ 坐標分類，也儘量用有系統方式來計算。我們可以先考慮在 $y={\log }_{2}x$ 上的格子點 $(2,1),(4,2),(8,3),(16,4)$，看出當 $x=2,3$ 會有相同的格子點數 $2$；$x=4\sim 7$ 分別有 $2$ 個格子點；$x=8\sim 15$ 分別有 $3$ 個格子點；最後 $x=16\sim 30$ 分別有 $4$ 個格子點。最後加總再扣掉 $y={\log }_{2}x$ 上的 $4$ 點，得到共有 $2\times 1+4\times 2+8\times 3+15\times 4-4=90$ 個格子點。

後記：本題實際答對率為$44\mathrm{\%}$高於我的預估許多。應該是高分組的表現優於預期，甚喜。大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

解析：本題若純粹用代數解法，處理不等式部分要分類討論有點複雜，學生可能不熟悉。若能輔以函數圖形，討論起來就比較單純。 我們先用代數方法處理，學生若能因此了解分析處理不等式的方式，應該很有幫助。 首先 $\sin 2\theta >\sin \theta$，由倍角公式得 $2\sin \theta \cos \theta >\sin \theta$。 此處千萬不要把 $\sin \theta$ 約掉得 $2\cos \theta >1$，因為這會遺漏了 $\sin \theta <0$ 的部分。 應該移項寫成 $\sin \theta (2\cos \theta -1)>0$，然後再分 $\sin \theta >0$ 和 $\sin \theta <0$ 這兩種情況討論。 當 $\sin \theta >0$，即 $0<\theta <\pi$，此時因 $2\cos \theta >1$，得 $0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$；當 $\sin \theta <0$，即 $\pi <\theta <2\pi$，此時因 $2\cos \theta <1$，得 $\pi <\theta <{\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$。 接著處理 $\cos 2\theta >\cos \theta$。餘弦的倍角公式有 $\cos 2\theta$ 等於 $2{\cos }^2\theta -1$、${\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$ 以及 $1-2{\sin }^2\theta$ 三種，這裡由於不等式右邊為 $\cos \theta$，所以我們選第一種，即 $2{\cos }^2\theta -1>\cos \theta$。移項分解得 $(2\cos \theta +1)(\cos \theta -1)>0$。這次不必像剛才分開討論，因為變動的都是 $\cos \theta$，可以如常處理的多項式不等式 $(2x+1)(x-1)>0$ 處理，即得 $\cos \theta >1$ 或 $2\cos \theta <-1$。由於 $\cos \theta$ 永遠小於等於 $1$，所以我們僅考慮 $\cos \theta <-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ 即可。因此得 ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}<\theta <{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$。最後與剛才所求 $\sin 2\theta >\sin \theta$ 的範圍（$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ 以及 $\pi <\theta <{\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$）取交集得所求範圍為 $\pi <\theta <{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$。

若以函數圖形輔助，可以簡化一些分析討論的步驟。為了強調不必很精確畫圖，以下僅利用小畫家畫的略圖。首先建議畫 $y=\sin x$ 的圖形（細線部分），再利用一些特殊點（例如 $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, $\pi$, ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$）畫出 $y=\sin 2x$（粗線部分），如圖示：；同法先畫 $y=\cos x$ 的圖形（細線部分）再畫 $y=\cos 2x$（粗線部分），如圖示： 從這兩個圖觀察出同時粗線在細線上方的只有在 $x>\pi$ 的部分，所以我們只要找到此部分 $y=\cos x$ 和 $y=\cos 2x$ 交點的 $x$ 坐標 ${\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$（$y=\sin x$ 和 $y=\sin 2x$ 交點的 $x$ 坐標明顯大於 ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$）。

後記：本題實際答對率為$30\mathrm{\%}$與我的預估一致，而且確為單選題中答對率最低的一題。從分組資料來看前 $20\mathrm{\%}$ 的高分組的答對率（Pa）還有 $62\mathrm{\%}$；但 $20\mathrm{\%}\sim 40\mathrm{\%}$之間的答對率（Pb）就掉到 $35\mathrm{\%}$。中間程度的學生應多加強三角這一塊，就能更上一層樓。大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

解析：由於 $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$, $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$, $\stackrel{\rightharpoonup }{w}$ 互相垂直，它們所張出的平行六面體為長方體，我們只要算出三邊長 $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{u}\right|$, $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right|$, $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{w}\right|$ 就能求得其體積。若忽略此重要訊息，一昧的想以三重積 $\stackrel{\rightharpoonup }{u}\cdot (\stackrel{\rightharpoonup }{v}\times \stackrel{\rightharpoonup }{w})$ 求體積，由於依本題所給訊息求出可能的 $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$, $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$, $\stackrel{\rightharpoonup }{w}$ 非常困難，這個方法幾乎不可行。

可以用幾何的方法處理本題。為了方便起見，我們將向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$, $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$, $\stackrel{\rightharpoonup }{w}$ 的始點皆置於原點，終點分別記為 $A$, $B$, $C$。如前所述，要求此長方體體積，我們只要算出三邊長 $\overline{OA}$, $\overline{OB}$, $\overline{OC}$。我們可以利用畢氏定理，依題意直角三角形 $OAB$ 的斜邊長 $\overline{AB}$ 為向量 $(2,-1,0)$ 的長度 $\sqrt{5}$，所以 ${\overline{OA}}^2+{\overline{OB}}^2=5$。同理，由於直角三角形 $OBC$ 的斜邊長為 $\sqrt{14}$，可得 ${\overline{OB}}^2+{\overline{OC}}^2=14$。一般來說，只給兩斜邊長 $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ 是不足以求出三邊長 $\overline{OA}$, $\overline{OB}$, $\overline{OC}$。不過題目不只給斜邊長，而是給斜邊所形成的向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{BA}=(2,-1,0)$ 以及 $\stackrel{\rightharpoonup }{CB}=(-1,2,3)$，所以我們可由 $\stackrel{\rightharpoonup }{CA}=\stackrel{\rightharpoonup }{CB}+\stackrel{\rightharpoonup }{BA}=(1,1,3)$，知道直角三角形 $OAC$ 的斜邊長為 $\sqrt{11}$。因此可得 ${\overline{OA}}^2+{\overline{OC}}^2=11$。最後解聯立，例如由 ${\overline{OA}}^2+{\overline{OB}}^2=5$ 以及 ${\overline{OB}}^2+{\overline{OC}}^2=14$ 兩式相減得 ${\overline{OC}}^2-{\overline{OA}}^2=9$，再與 ${\overline{OA}}^2+{\overline{OC}}^2=11$ 相加解得 ${\overline{OC}}^2=10$。再依序代回解得 ${\overline{OA}}^2=1$ 以及 ${\overline{OB}}^2=4$，所以體積為三邊長乘積 $2\sqrt{10}$。

向量長度與內積有關，我們也可以用內積處理。由 $(\stackrel{\rightharpoonup }{u}-\stackrel{\rightharpoonup }{v})\cdot (\stackrel{\rightharpoonup }{u}-\stackrel{\rightharpoonup }{v})=(2,-1,0)\cdot (2,-1,0)=5$，又因 $\stackrel{\rightharpoonup }{u}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{v}=0$ 可得 $$(\stackrel{\rightharpoonup }{u}-\stackrel{\rightharpoonup }{v})\cdot (\stackrel{\rightharpoonup }{u}-\stackrel{\rightharpoonup }{v})=\stackrel{\rightharpoonup }{u}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{u}-2\stackrel{\rightharpoonup }{u}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{v}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{v}={\left|\stackrel{\rightharpoonup }{u}\right|}^2+{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right|}^2,$$因此 ${\left|\stackrel{\rightharpoonup }{u}\right|}^2+{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right|}^2=5$（這是剛才的畢氏定理）。同理考慮 $(\stackrel{\rightharpoonup }{v}-\stackrel{\rightharpoonup }{w})\cdot (\stackrel{\rightharpoonup }{v}-\stackrel{\rightharpoonup }{w})$ 可得 ${\left|\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right|}^2+{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{w}\right|}^2=14$ 以及考慮 $(\stackrel{\rightharpoonup }{u}-\stackrel{\rightharpoonup }{v})\cdot (\stackrel{\rightharpoonup }{v}-\stackrel{\rightharpoonup }{w})$ 可得 $-{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right|}^2=-4$。因此分別求出 $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{u}\right|=1$, $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right|=2$ 以及 $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{w}\right|=\sqrt{10}$。

附註：知道 $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{u}\right|=1$ 後，我們便可具體找到符合題設的 $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$, $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$, $\stackrel{\rightharpoonup }{w}$。 設 $\stackrel{\rightharpoonup }{u}=(a,b,c)$，由 $(-2,1,0)\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{u}=\stackrel{\rightharpoonup }{u}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{u}=1$ 以及 $(-1,2,3)\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{u}=0$，知 $2a-b=1$ 以及 $-a+2b+3c=0$。解聯立得 $b=2a-1$ 以及 $c={\displaystyle \frac{2}{3}}-a$，再利用 $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{u}\right|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=1$，解得 $a={\displaystyle \frac{1}{9}}(4\pm \sqrt{10})$。

後記：本題實際答對率為$35\mathrm{\%}$略低於我預估的$40\mathrm{\%}$。從分組資料來看高分群的答對率反而低於前一題，前 $20\mathrm{\%}$ 的高分組的答對率（Pa）掉到 $57\mathrm{\%}$。相信這裡有許多考生誤以為要利用行列式求平行六面體體積，而忽略了本題是長方體，甚為可惜。大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

多選題：

解析：由題目設定 $3a_2=a_1+1=3$，故得 $a_2=1$。再由 $b_2=a_2-{\displaystyle \frac{2}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}$ 得知 $b_2={\displaystyle \frac{3}{4}}$。 要處理選項(3)，可以先觀察 $b_1,b_2$ 的關係。依定義 $b_1=a_1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{9}{4}}$，由 ${\displaystyle \frac{b_2}{b_1}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$，知道 $⟨b_n⟩$ 不可能是公比為 ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ 的等比數列。選項(4)又跳回去問 $a_n$ 有點奇怪，我們先跳過，直接處理選項(5)。不可能一直代值處理求出 $b_{10}$，而選項(3)暗示 $⟨b_n⟩$ 可能是等比數列，值得驗證看看。由 $b_{n+1}=a_{n+1}-{\displaystyle \frac{n+1}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}$ 以及 $3a_{n+1}=a_n+n$，應該可以得到 $b_{n+1}$ 和 $b_n$ 的（遞迴）關係式。事實上 $$a_{n+1}-{\displaystyle \frac{n+1}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(a_n+n)-{\displaystyle \frac{n+1}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{3}}{a}_n-{\displaystyle \frac{n}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(a_n-{\displaystyle \frac{n}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}),$$所以 $b_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{b}_n$，即 $⟨b_n⟩$ 是公比為 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ 的等比數列，也因此 $b_{10}={\displaystyle \frac{b_1}{3^9}}={\displaystyle \frac{1}{3^7\times 4}}={\displaystyle \frac{1}{8748}}>{\displaystyle \frac{1}{10000}}$。 （若不直接計算，可用 $\log$ 估計，計算量差不多）。知道 $b_n$ 的通式 $b_n={\displaystyle \frac{b_1}{3^{n-1}}}={\displaystyle \frac{1}{3^{n-3}\times 4}}$，利用 $b_n=a_n-{\displaystyle \frac{n}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}$ 我們也可得到 $a_n$ 的通式 ${\displaystyle \frac{27+3^n(2n-3)}{3^n\times 4}}$，不過若沒有同餘的概念（證明分子被 $4$ 整除），幾乎無法利用此通式處理選項(4)（或許這是置於選項(4)的原因，以免誤以為要用通式處理）。其實從 $a_n$ 前幾項，我們發現從第 $4$ 項開始（$a_4={\displaystyle \frac{4}{3}}$）不是整數且分母為 $3$，因此由 $3a_5=a_4+4$ 可得 $a_5$ 的分母為 $9$，依此類推應可確認當 $n\ge 4$ 時 $a_n$ 的分母應為 $3^{n-3}$，因此選項(4)正確。若要完整的論述最好的方式就是運用數學歸納法。已知 $a_1$ 為整數，所以在 $n=1$ 的情形成立。現以歸納假設在 $n=k$ 時成立，亦即 $3^k{a}_k$ 為整數，則當 $n=k+1$ 時，$3^{k+1}{a}_{k+1}=3^k(3a_{k+1})=3^k(a_k+k)=3^k{a}_k+k{3}^k$ 亦為整數。所以由數學歸納法知對任意正整數 $n$，$3^n{a}_n$ 皆為整數。 數學歸納法不只適用於處理整個正整數的問題，對於數學歸納法熟悉的學生不妨讓其論證對於任意大於等於 $4$ 的整數 $n$，$3^{n-3}{a}_n$ 皆為整數。

附註：形如本題的數列 $⟨a_n⟩$，由於不容易看出其規律性，經轉換成較容易掌握的等比數列 $⟨b_n⟩$ 後，就可以利用 $⟨b_n⟩$ 幫助我們回求 $⟨a_n⟩$。我們來探討如何將形如本題 $⟨a_n⟩$ 這樣的遞迴數列轉換成另一個等比數列 $⟨b_n⟩$。我們考慮更一般的遞迴關係式 $r{a}_{n+1}=a_n+c_n$，其中 $r\ne 0,1$ 且 $⟨c_n⟩$ 為公差為 $d$ 的等差數列。我們可考慮 $b_n=a_n+k{c}_n+t$，其中 $k,t$ 為未定的實數。此時利用 $a_{n+1},a_n$ 的遞迴關係以及 $⟨c_n⟩$ 為公差為 $d$ 的等差數列，我們有 $$r{b}_{n+1}=r{a}_{n+1}+rk{c}_{n+1}+rt=a_n+c_n+rk(c_n+d)+rt=a_n+(rk+1)c_n+r(kd+t).$$ 因為我們希望 $⟨b_n⟩$ 為公比為 ${\displaystyle \frac{1}{r}}$ 的等比數列，即 $r{b}_{n+1}=b_n=a_n+k{c}_n+t$，故應找到 $k,t$ 使得 $rk+1=k$ 以及 $r(kd+t)=t$。解得 $k=-{\displaystyle \frac{1}{r-1}}$ 且 $t={\displaystyle \frac{rd}{(r-1{)}^2}}$。本題 $r=3$ 而且 $⟨c_n⟩=⟨n⟩$ 為公差為 $d=1$ 的等差數列，所以 $k=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ 且 $t={\displaystyle \frac{3}{4}}$。

後記：本題實際得分率為$66\mathrm{\%}$略低於我預估的$70\mathrm{\%}$。從前四個選項代值就可作答的情況來看，本題考生答得並不好。全對率僅有 $44\mathrm{\%}$，可見本題最重要的選項(5)，許多都不理解與前面幾個選項的關聯。從選項分析來看，高分組也有 $35\mathrm{\%}$ 誤選了選項(5)。大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

解析： 選項(1)(2)若已知 $P(x,y)$ 所構成的圖形（選項(3)），應該更容易看出。或許出題者希望利用前兩個選項，讓考生找到處理的方法。這裡我們就直接取以$2$ 為底的對數將方程式改寫成 $x^2{\log }_{2}2-{\log }_{2}8=x{\log }_{2}4-y^2{\log }_{2}2$，亦即 $x^2-2x+y^2-3=0$，再配方成 $(x-1{)}^2+y^2=4$。 因此 $P(x,y)$ 所構成的圖形為以 $(1,0)$ 為圓心，半徑為 $2$ 的圓。其餘的選項就都是直線與圓的問題了。 選項(1)是錯誤的，因為此圓上只有 $(3,0)$ 這個點的 $x$ 坐標為 $3$。選項(2)也不正確，因為此圓並沒有對稱於原點。例如 $(3,0)$ 在圓上但 $(-3,0)$ 就在圓外。選項(4)(5)問的是同樣的問題，即直線與圓相交的問題。簡單來說，若圓心與直線距離大於半徑就不相交；距離等於半徑會相切；距離小於半徑則交於兩點。選項(4)的直線 $x+y=4$ 與圓心 $(1,0)$ 的距離為 ${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}}$ 平方後為 $4.5$ 大於半徑平方 $4$，所以與此圓不相交，換言之不會有點 $P(x,y)$ 在 $x+y=4$ 上。至於選項(5)就是問那些直線 $x-y=k$ 會與此圓相交。利用 $(1,0)$ 與 $x-y=k$ 的距離為 ${\displaystyle \frac{|k-1|}{\sqrt{2}}}$，我們得 $|k-1|\le 2\sqrt{2}$。因此 $1-2\sqrt{2}\le k\le 1+2\sqrt{2}$。其實同樣的計算也適用於 $x+y=k$，所以 $x+y$ 的最大值也是 $1+2\sqrt{2}$，故由此也可知選項(4)錯誤。

選項(5)求最大值問題很多人會想到柯西不等式，這裡就不再贅述。其實還有一個幾何的看法就是求此圓斜率為 $1$ 的切線切點。 另一個常用的方法也是先設 $x-y=k$，再將 $y=x-k$ 代入方程式 $x^2-2x+y^2-3=0$ 得 $2x^2-2(1+k)x+k^2-3=0$。再利用此二次式判別式需大於等於 $0$ 解得 $1-2\sqrt{2}\le k\le 1+2\sqrt{2}$。看來還是利用點與直線距離最簡捷，自從高中課綱不談兩圓關係後，覺得學生對於如何判別是否在圓內部、外部問題顯得較不熟悉，適當讓他們了解其幾何意義應該很有幫助。

後記：本題實際得分率為$48\mathrm{\%}$與我預估的相當。從選項分析來看，高分組有 $90\mathrm{\%}$ 知道圖形會是圓，但全對率僅 $25\mathrm{\%}$，應該是後面圓與直線的問題沒有處理好。建議應加強學生對於幾何、代數之間概念的轉換。大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

解析：之前提過，多項式方程式是否有解的問題，未必用代數方法處理是最好的。由於多項式函數是連續函數有些連續函數特有的性質就不適合用代數方法處理。例如：由 $f(1)<0$, $f(2)>0$ 可知 $f(x)=0$ 在 $1,2$ 之間有解（勘根定理），就很難用代數方法處理。所以有時多項式方程式有無實根的問題，可考慮用圖形來處理，或許會有意想不到的效果。 本題我們就用圖形的方法來解。首先為了方便起見，我們令 $f(x)=x^2+bx+c$。由首項係數大於 $0$ 且 $f(x)=0$ 有實根，我們知道函數圖形 $y=f(x)$ 為凹口向上且與 $x$ 軸有交點。而另一個題設 $x^2+(b+2)x+c=0$ 即 $f(x)+2x=0$ 無實根，表示 $y=f(x)$ 與直線 $y=-2x$ 沒有交點。換句話說 $y=f(x)$ 需在 $y=-2x$ 的上方且與 $x$軸相交，所以我們可以大致畫出 $y=f(x)$ 的圖形：。$c$ 是 $y=f(x)$ 的 $y$ 截距，由圖形知 $c>0$，選項(1)錯誤。$-{\displaystyle \frac{b}{2}}$ 為 $y=f(x)$ 頂點的 $x$ 坐標，由圖形知需大於 $0$，故 $b<0$，選項(2)正確。選項(3)應該是較困難的選項，因為它不能確定，需找到反例來說明其為錯誤。同前，$x^2+(b+1)x+c=0$ 有無實根等價於 $y=f(x)$ 與 $y=-x$ 有無交點。由於 $y=-x$ 比 $y=-2x$ 平緩，前面的圖示會有交點。不過我們可以把圖形往上移（只要頂點不要落在第一象限）就可避開 $y=-x$。最簡單的例子就是頂點在 $x$ 軸上例如：$y=x^2-2x+1$ 就絕不會與 $y=-x$ 相交。所以選項(3)錯誤。選項(4)與選項(1)相呼應。由於 $y=x^2+bx-c$ 是將 $y=f(x)$ 往下平移 $2c$，其圖形 $y$ 截距為負，當然與 $y=-2x$ 相交，所以選項(4)正確。選項(5)應該是最簡單的，由圖形來看 $y=f(x)$ 的右半側貫穿第一象限，當然會與直線 $y=2x$ 相交。所以 $x^2+(b-2)x+c=0$ 有實根。

利用判別式處理本題就麻煩了一點。題設 $x^2+bx+c=0$ 有實根且 $x^2+(b+2)x+c=0$ 無實根，分別表示判別式 $b^2-4c\ge 0$ 以及 $(b+2{)}^2-4c=b^2+4b+4-4c<0$。由 $4c>(b+2{)}^2$ 可確定 $c>0$。再由 $-4(b+1)>b^2-4c\ge 0$ 得 $b<-1$（注意這無法由前面圖形方式看出，因為無法由圖形看出 $y=f(x)$ 與 $y=-2x$ 是否交於第二象限）。選項(3) 要考慮 $x^2+(b+1)x+c=0$ 的判別式 $(b+1{)}^2-4c$ 是否大於等於 $0$，然而我們僅知 $b^2\ge 4c>(b+2{)}^2$，無法得知是否 $(b+1{)}^2\ge 4c$。事實上前面已用圖形找到 $b=-2$, $c=1$ 這個反例：滿足 $b^2=4\ge 4c$ 以及 $(b+2{)}^2=0<4c$ 但 $(b+1{)}^2=1$ 也小於 $4c$。選項(4)要判斷 $(b+1{)}^2+4c$ 是否大於等於 $0$。由於選項(1)已知 $c>0$，故 $(b+1{)}^2+4c>0$，所以應有兩相異實根（從圖形也可看出 $y=x^2+bx-c$ 與 $y=-2x$ 必交於相異兩點）。至於選項(5)，因為選項(2)已知 $b<0$ 故有 $(b-2{)}^2-4c=b^2-4b+4-4c>b^2-4c\ge 0$，因此也有兩相異實根（從圖形也可看出 $y=x^2+bx+c$ 與 $y=2x$ 必交於相異兩點）。

後記：本題實際得分率為$44\mathrm{\%}$略高於我的預估；不過全對率僅$20\mathrm{\%}$個人覺得偏低，高分組表現不是很好。從選項分析來看，高分組選項(4)答得不好，應該是沒有看出它與選項(1)的關係。建議學生對於這類多選題應該有整體的概念，而不是一個選項一個選項處理。大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

解析：為方便起見，我們令 $f(x)=\sin \pi x$ 也省略畫圖（請自行畫圖參考）。$P(x_1,k)$ 在 $y=f(x)$ 上，表示 $f(x_1)=k$。又因 $f(x)$ 在 $x\in (0,1)$ 取值大於 $0$，故由 $0<x_1<1$ 知 $k=f(x_1)>0$。選項(1)正確。因 $f(x)$ 的週期為 $2$，$f(x_1)=f(x_2)=k$ 表示 $f(x_1+2)=f(x_2+2)=k$。又因 $0<x_1<x_2<1$，故 $2<x_1+2<x_2+2<3$，所以 $L$ 與 $y=f(x)$ 在 $0\le x\le 3$ 這個範圍內亦交於 $(x_1+2,k)$ 與 $(x_2+2,k)$ 這兩點，故選項(2)錯誤（事實上交於 $4$ 點）。之後三個選項需用到對稱性。因 $y=f(x)$ 的圖形對稱於 $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$，我們可將 $L$ 與 $y=f(x)$ 在 $0\le x\le 3$ 這個範圍內所有的交點的 $x$ 坐標依序列出為 $x_1,1-x_1,2+x_1,3-x_1$。由於題設 $x_1<x_2<1$，我們知 $x_2=1-x_1$，亦即 $x_1+x_2=1$，選項(3)錯誤。而所有 $x$ 坐標之和為 $x_1+(1-x_1)+(2+x_1)+(3-x_1)=6$，故選項(5)正確。依題設 $x_3>1$ 為另一個交點的 $x$ 坐標，所以 $x_3=2+x_1$ 或 $x_3=3-x_1$。注意 $\overline{PQ}=x_2-x_1=(1-x_1)-x_1=1-2x_1$。若 $x_3=3-x_1$ 滿足選項(4)的假設 $\overline{QR}=2\overline{PQ}$，表示 $(3-x_1)-(1-x_1)=2(1-2x_1)$，亦即 $2=2-4x_1$，會因 $x_1=0$ 得到 $x_2=1-x_1=1$ 的矛盾。因此只有當 $x_3=2+x_1$ 時才有可能滿足 $\overline{QR}=2\overline{PQ}$。此時由 $\overline{QR}=(2+x_1)-(1-x_1)=2(1-2x_1)$，推得 $x_1={\displaystyle \frac{1}{6}}$。故 $k=f({\displaystyle \frac{1}{6}})=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$。

選項(4)是有意思的問題，整題中較有挑戰性的一個選項。不過若考生一開始便認定 $x_3=2+x_1$ 或邏輯錯誤直接以 $k={\displaystyle \frac{1}{2}}$ 驗證，都會答對此選項。反倒是對於思緒較嚴密的考生，會考慮到 $R$（即 $x_3$）有兩種可能，但花時間計算其中一可能性竟被排除，太仔細作答反而時間上吃虧，實在可惜。為了讓學生了解有不同的可能性，不妨將題設改為 $3\overline{PQ}=\overline{QR}$，讓學生找出可能的 $k$ 值。

後記：本題實際得分率為$38\mathrm{\%}$略低於我的預估；不過全對率僅$17\mathrm{\%}$令人訝異，高分組表現和上一題類似並不是很好。有趣的是本題和單選第5題都是三角函數，分別都是單選、複選中最高分組（Pa）和次高分組（Pb）差距（即鑑別度D1）最大的題目。驗證前面所述，要更上一層樓，三角函數是制勝關鍵。大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

解析： 選項(1)的角平分線（內分點）性質可從高中所學正弦定理來處理。即考慮 $\mathrm{△}BCP$，利用正弦定理 ${\displaystyle \frac{\overline{CP}}{\sin \mathrm{\angle }CBP}}={\displaystyle \frac{\overline{CB}}{\sin \mathrm{\angle }CPB}}$，因此 $\overline{CP}=4{\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\angle }CBP}{\sin \mathrm{\angle }CPB}}$。同理考慮 $\mathrm{△}BPD$ 可得 $\overline{PD}=3{\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\angle }DBP}{\sin \mathrm{\angle }DPB}}$。因此利用 $\mathrm{\angle }CBP=\mathrm{\angle }DBP$ 以及 $\mathrm{\angle }CPB+\mathrm{\angle }DPB=\pi$，推得 $\overline{CP}$ 與 $\overline{PD}$ 的比值為 $4:3$。

處理完選項(1)知道 $\overline{CP}={\displaystyle \frac{4}{7}}\overline{CD}$，接下來的選項應該是大家熟悉的問題了！選項(2)可以用分點公式，這裡可鼓勵學生再推導一次，以熟悉向量的運算。由 $\stackrel{\rightharpoonup }{AP}=\stackrel{\rightharpoonup }{AC}+\stackrel{\rightharpoonup }{CP}=\stackrel{\rightharpoonup }{AC}+{\displaystyle \frac{4}{7}}\stackrel{\rightharpoonup }{CD}$，再由 $\stackrel{\rightharpoonup }{CD}=\stackrel{\rightharpoonup }{AD}-\stackrel{\rightharpoonup }{AC}$ 以及 $\stackrel{\rightharpoonup }{AD}={\displaystyle \frac{1}{2}}\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$，推得 $\stackrel{\rightharpoonup }{AP}={\displaystyle \frac{3}{7}}\stackrel{\rightharpoonup }{AC}+{\displaystyle \frac{2}{7}}\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$。選項(3)一般會想到餘弦定理，由於選項(5)需用到內積 $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{AC}$，這裡一併用內積處理。由於 $\stackrel{\rightharpoonup }{BC}=\stackrel{\rightharpoonup }{AC}-\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$，我們有 $\stackrel{\rightharpoonup }{BC}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{BC}=(\stackrel{\rightharpoonup }{AC}-\stackrel{\rightharpoonup }{AB})\cdot (\stackrel{\rightharpoonup }{AC}-\stackrel{\rightharpoonup }{AB})=\stackrel{\rightharpoonup }{AC}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{AC}-2\stackrel{\rightharpoonup }{AB}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{AC}+\stackrel{\rightharpoonup }{AB}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{AB}$，因此得 $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{AC}={\displaystyle \frac{1}{2}}(6^2+5^2-4^2)={\displaystyle \frac{45}{2}}$。再由 $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{AC}=6\times 5\cos \mathrm{\angle }BAC$ 推得 $\cos \mathrm{\angle }BAC={\displaystyle \frac{3}{4}}$。接著由 $\stackrel{\rightharpoonup }{AP}={\displaystyle \frac{3}{7}}\stackrel{\rightharpoonup }{AC}+{\displaystyle \frac{2}{7}}\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$，可得 $\stackrel{\rightharpoonup }{AP}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{AC}={\displaystyle \frac{3}{7}}\stackrel{\rightharpoonup }{AC}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{AC}+{\displaystyle \frac{2}{7}}\stackrel{\rightharpoonup }{AB}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{AC}={\displaystyle \frac{3}{7}}\times 5^2+{\displaystyle \frac{2}{7}}\times {\displaystyle \frac{45}{2}}={\displaystyle \frac{120}{7}}$。

處理選項(4)需回到選項(1)由 $\overline{CP}={\displaystyle \frac{4}{7}}\overline{CD}$ 知 $\mathrm{△}ACP$ 面積是 $\mathrm{△}ACD$ 面積的 ${\displaystyle \frac{4}{7}}$，而 $\mathrm{△}ACD$ 面積需用面積公式 ${\displaystyle \frac{1}{2}}\overline{AD}\times \overline{AC}\sin \mathrm{\angle }BAC$（注意 $\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }DAC$）。然而由選項(3) $\cos \mathrm{\angle }BAC={\displaystyle \frac{3}{4}}$，知 $\sin \mathrm{\angle }BAC={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}}$，因此得 $\mathrm{△}ACP$ 面積為 ${\displaystyle \frac{4}{7}}\times ({\displaystyle \frac{1}{2}}\times 3\times 5\times {\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}})={\displaystyle \frac{15}{14}}\sqrt{7}$。

後記：本題實際得分率為$38\mathrm{\%}$略高於我的預估；有趣的是本題答對率和全對率皆與上一題相同。從分組資料來看高分組表現和上一題一樣，不是很好。事實上高分組（Pa）和次高分組（Pb）得分率都低於上一題不少；反倒是後面三組表現的比前一題好，而拉高了得分率。若從選項分析來看，高分組後面兩個選項答得不好，應該是時間不夠的因素。低分組應該是大部分都猜答後面的選項對，以致於得分率上升，也發生了選項(5)答得比高分組好的反常現象。大考中心提供的答對率、鑑別度分組資料如下：

解析： 嚴格來說除了選項(4)要花較多事件處理，其餘選項若觀念正確幾乎不必計算可以馬上回答。由於合金僅由甲、乙所組成，所以由甲、乙占比分別為 $x\mathrm{\%}$ 以及 $u\mathrm{\%}$ 知 $x+u=100$，亦即 $u=100-x$，故選項(1)正確。又依題設 $y$奈米等於 $v$微米，即 $y\times {10}^{-9}=v\times {10}^{-6}$，因此 $v={10}^{-3}y={\displaystyle \frac{1}{1000}}y$（估計會有許多考生誤選此選項）。對於一維數據，各版本課本皆有論及數據的伸縮平移對標準差的影響。選項(3)由於 $x,u$ 的轉換屬先伸縮 $-1$ 倍再平移 $100$，它們的平均數也跟著伸縮與平移（即 ${\mu }_u=100-{\mu }_x$），所以各數據與平均數之差取平方不變（即 $(u_k-{\mu }_u{)}^2=({\mu }_x-x_k{)}^2$），因此標準差也不會變。

選項(5)與數據變換無關，評量的是新增一筆數據對迴歸直線的影響。令原來 $20$ 筆資料的迴歸直線為 $v=f(u)$（即 $f(u)=au+b$），我們要說明對於任意的直線 $v=g(u)$，皆會有 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{21}(v_k-g(u_k){)}^2\ge \sum _{k=1}^{21}(v_k-f(u_k){)}^2}$，因而依迴歸直線最小平方的意義，這 $21$ 筆資料的迴歸直線仍為 $v=f(u)$。首先依原來 $20$ 筆資料的迴歸直線為 $v=f(u)$，我們有 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{20}(v_k-g(u_k){)}^2\ge \sum _{k=1}^{20}(v_k-f(u_k){)}^2}$。然而依選項(4)假設 $v_{21}-f(u_{21})=0$，故不管 $g(u)$ 為何，皆滿足 $(v_{21}-g(u_{21}){)}^2\ge (v_{21}-f(u_{21}){)}^2$，因此得證 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{21}(v_k-g(u_k){)}^2\ge \sum _{k=1}^{21}(v_k-f(u_k){)}^2}$。

由於各版本的課本皆未提及二維數據轉換對迴歸直線的影響，選項(4)若依公式處理會相當費時。這裡我們依然以迴歸直線最小平方的意義說明據轉換對迴歸直線的影響，最後再依公式驗證兩者的一致性。一般來說二維數據 $\{(x_k,y_k){\}}_{k=1,...,n}$ 若利用伸縮平移轉換成 $\{(u_k,v_k){\}}_{k=1,...,n}$，即 $x_k=\alpha u_k+r$, $y_k=\beta v_k+s$（其中 $\alpha ,\beta$ 為非零實數），則由原數據的迴歸直線 $y=f(x)$ 可得經由轉換後所得數據的迴歸直線為 $\beta v+s=f(\alpha u+r)$，亦即 $v={\displaystyle \frac{1}{\beta }}f(\alpha u+r)-{\displaystyle \frac{s}{\beta }}$。其實數據 $(x_k,y_k)$ 未必都在它們的迴歸直線上，務必讓學生了解新的迴歸直線可直接套用變數變換得到，並不是顯而易見的。事實上只有在利用伸縮平移轉換才會成立。若時間允許，適當說明原因當然是最好的。由於不想讓符號太複雜，我們僅用題目的數據說明一下。 首先考慮任意的直線 $v=g(u)$，依最小平方定義我們要考慮 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{20}(v_k-g(u_k){)}^2}$。對每一個 $k=1,\dots ,20$，由選項(1),(2) 我們有 $v_k-g(u_k)={\displaystyle \frac{1}{1000}}{y}_k-g(100-x_k)={\displaystyle \frac{1}{1000}}(y_k-1000\cdot g(100-x_k))$。注意 $y=1000\cdot g(100-x)$ 仍為直線方程式（因為 $g(x)$ 為一次多項式），所以若 $\{(x_k,y_k){\}}_{k=1,\dots ,20}$ 的迴歸直線為 $y=f(x)$（即 $f(x)=21.3x-40$），則依其最小平方的意義，我們有 $$\sum _{k=1}^{20}(v_k-g(u_k){)}^2=({\displaystyle \frac{1}{1000}}{)}^2\sum _{k=1}^{20}(y_k-1000\cdot g(100-x_k){)}^2\ge ({\displaystyle \frac{1}{1000}}{)}^2\sum _{k=1}^{20}(y_k-f(x_k){)}^2.$$也就是說，若選取 $g(u)$ 滿足 $1000\cdot g(100-x)=f(x)=21.3x-40$，就可符合迴歸直線最小平方的要求。由 $u=100-x$（亦即 $x=100-u$）可得 $g(u)={\displaystyle \frac{1}{1000}}(21.3(100-u)-40)=-{\displaystyle \frac{21.3}{1000}}u+{\displaystyle \frac{2090}{1000}}$，因此知 $a=-0.0213$, $b=2.09$。

最後我們利用卷末迴歸直線的公式來驗證剛才所得的結果。這個方法雖然繁瑣，但不妨和學生推導一下，了解如何利用熟悉的一維數據轉換後統計數值的變化處理二維數據相關的統計值變化。由於一維數據大家較熟悉，這裡僅推導二維的部分。考慮二維數據 $\{(x_k,y_k){\}}_{k=1,...,n}$ 利用伸縮平移轉換成 $\{(u_k,v_k){\}}_{k=1,...,n}$，其中 $u_k={\alpha }^{\prime }{x}_k+r^{\prime }$, $v_k={\beta }^{\prime }{y}_k+s^{\prime }$，${\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime }$ 為非零實數。由公式我們知它們的迴歸直線分別為 $y-{\mu }_y=r_{x,y}{\displaystyle \frac{{\sigma }_y}{{\sigma }_x}}(x-{\mu }_x)$ 以及 $v-{\mu }_v=r_{u,v}{\displaystyle \frac{{\sigma }_v}{{\sigma }_u}}(u-{\mu }_u)$。關於平均數，由一維數據關係，我們有 ${\mu }_u={\alpha }^{\prime }{\mu }_x+r^{\prime }$ 以及 ${\mu }_v={\beta }^{\prime }{\mu }_y+s^{\prime }$。至於標準差，則有 ${\sigma }_u=|{\alpha }^{\prime }|{\sigma }_x$ 以及 ${\sigma }_v=|{\beta }^{\prime }|{\sigma }_y$。二維數據相關係數的變化，由於課本只有少數版本提及，我們來推導一下。依定義 ${\displaystyle r_{u,v}=\frac{1}{n{\sigma }_u{\sigma }_v}\sum _{k=1}^n(u_k-{\mu }_u)(v_k-{\mu }_v)}$。換回原數據，由於 $u_k-{\mu }_u=({\alpha }^{\prime }{x}_k+r^{\prime })-({\alpha }^{\prime }{\mu }_x+r^{\prime })={\alpha }^{\prime }(x_k-{\mu }_x)$ 同理 $v_k-{\mu }_v={\beta }^{\prime }(y_k-{\mu }_y)$，我們有 $r_{u,v}={\displaystyle \frac{1}{n|{\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }|{\sigma }_x{\sigma }_x}}\sum _{k=1}^n{\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }(x_k-{\mu }_x)(y_k-{\mu }_y)={\displaystyle \frac{{\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }}{|{\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }|}}{r}_{x,y}$。換言之當二維數據做伸縮平移變換時，只有在兩數據的伸縮異號時，變換後的相關係數需乘上 $-1$，否則相關係數不變（例如本題轉換數據後相關係數需乘上 $-1$）。接下來我們就可以將轉換後的迴歸直線用原來數據的統計值來表示。也就是說原數據的迴歸直線若是 $y=mx+c$（即 $m=r_{x,y}{\displaystyle \frac{{\sigma }_y}{{\sigma }_x}}$ 以及 $c={\mu }_y-m{\mu }_x$），而轉換後的迴歸直線若為 $v=au+b$，則由於 $|{\alpha }^{\prime }{|}^2=({\alpha }^{\prime }{)}^2$，我們有 ${\displaystyle \frac{{\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }}{|{\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }|}}{\displaystyle \frac{|{\beta }^{\prime }|}{|{\alpha }^{\prime }|}}={\displaystyle \frac{{\beta }^{\prime }}{{\alpha }^{\prime }}}$，因此 $$a=r_{u,v}{\displaystyle \frac{{\sigma }_v}{{\sigma }_u}}={\displaystyle \frac{{\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }}{|{\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }|}}{r}_{x,y}{\displaystyle \frac{|{\beta }^{\prime }|{\sigma }_y}{|{\alpha }^{\prime }|{\sigma }_x}}={\displaystyle \frac{{\beta }^{\prime }}{{\alpha }^{\prime }}}{r}_{x,y}{\displaystyle \frac{{\sigma }_y}{{\sigma }_x}}={\displaystyle \frac{{\beta }^{\prime }}{{\alpha }^{\prime }}}m$$ 以及 $$b={\mu }_v-a{\mu }_u=({\beta }^{\prime }{\mu }_y+s^{\prime })-{\displaystyle \frac{{\beta }^{\prime }}{{\alpha }^{\prime }}}m({\alpha }^{\prime }{\mu }_x+r^{\prime })={\beta }^{\prime }c+s^{\prime }-{\displaystyle \frac{{\beta }^{\prime }}{{\alpha }^{\prime }}}m{r}^{\prime }.$$這個結果會和前面論證一致，亦即將 $y=mx+c$ 中的 $x$ 用 $x={\displaystyle \frac{u-r^{\prime }}{{\alpha }^{\prime }}}$ 取代且 $y$ 用 $y={\displaystyle \frac{v-s^{\prime }}{{\beta }^{\prime }}}$ 取代，所得的結果一樣。本題中，依題設 ${\alpha }^{\prime }=-1,r^{\prime }=100$ 且 ${\beta }^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{1000}},s^{\prime }=0$ 以及 $m=21.3,c=-40$ 故可得 $b=-0.04+2.13=2.09$。