113數A

此次考題，多數認為較前兩年題目容易，其實個人覺得此次考題有幾題若要完整寫下解答並不容易。成績公佈後，雖然頂標、前標都比前兩年提升；不過若觀察級矩，會發現今年級矩低於去年。也就是說以成績在前 $1\mathrm{\%}$ 的考生來比較，今年的成績是低於去年的。若再從達到頂標、前標的人數來看，今年也都比前兩年少。會有這種現象發生，個人認為是今年有少見的兩題得分率低於 $10\mathrm{\%}$ 的題目出現（第16,17題），壓縮可得分的題目，再加上其他的難題不多，以致於高分組的同學成績分配較集中。這樣的結果，雖然造成大家關心的頂標、前標成績較漂亮，但從評量的角度來看是否妥善，值得深思與商榷。 另外想提及的是，本次考題有相當多比例題目要用到不等式的概念，大部分學生在這方面處理的能力稍顯薄弱。另外有好幾題要處理兩道關卡，而首先面對的是大部分考生不熟悉的概念，之後才評量較熟悉的內容。這樣的題目往往影響到該題主要評量重點的表現，對於中等程度（用功但數學能力不強）的考生較不利，建議還是不要太多。

單選題：

拿這一題出來討論，因為它有單選題少見的高鑑別度 $71\mathrm{\%}$。再仔細看一下前 $33\mathrm{\%}$所在的高分組（Ph）答對率為$90\mathrm{\%}$，但後$33\mathrm{\%}$的低分組（Pl）答對率就僅有$19\mathrm{\%}$了。老師在教導低分組的學生們，看到這個結果，應該很有感觸，知道要加強哪些東西了吧！

此題坐標化後處理，應該是最基本、簡單的處理方法了。不喜外積的學生，若知道與 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AD}\times \stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AG}$ 平行的向量就是與 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AD}$ 垂直且與 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AG}$ 垂直的向量，也可輕易用內積處理本題。比較嚴重的可能是數B來跨考的學生，沒有空間坐標向量的概念，也不知道什麼是外積，對這一題可能就一籌莫展了。

108課綱數B課程，在空間概念這一部分，強調用長方體、立方體來理解。我們也試著在此題不用坐標，能否判斷哪一個選項是正確的。不過有些對角線很難直觀看出是否垂直，我們可以將一個向量拆解成兩個較容易判斷的向量來處理。當然了，這裡有一個重要的觀念學生要了解，也就是若向量 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$ 和向量 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}$、$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{w}$ 都垂直則 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$ 也會和 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{w}$ 垂直；反之，若 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$ 和 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}$ 垂直但和 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{w}$ 不垂直，則 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$ 就不會和 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{w}$ 垂直。

首先我們看選項中哪些向量和 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AD}$ 垂直。我們可先看正方形 $AODE$ 這個平面比較容易，可以看出選項中 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AE},\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{DE},\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OE}$ 僅有 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OE}$ 與 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AD}$ 垂直（正方形兩對角線）。而 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{BE}=\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{BA}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AE}$，又 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{BA}$ 與正方形 $OAED$ 上所有向量皆垂直，故與 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AD}$ 垂直；但已知 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AE}$ 與 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AD}$ 不垂直，故由前述性質知 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{BE}$ 與 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AD}$ 不垂直。另一方面 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{CE}=\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{CO}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OE}$，而 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{CO},\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OE}$ 皆與 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AD}$ 垂直，故 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{CE}$ 與 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AD}$ 垂直。我們僅剩下要檢查 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{CE}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OE}$ 何者與 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AG}$ 垂直。

由於 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AG}=\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AD}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{DG}$，而前面已知 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AD}$ 皆與 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{CE}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OE}$ 垂直，所以我們僅剩下檢查 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{CE}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OE}$ 何者與 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{DG}=\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OC}$ 垂直。然而前面已知 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OC}$ 與平面 $AODE$ 上所有向量皆垂直，所以 $\mathrm{△}EOC$ 是一直角三角形，其中 $\overline{OC}$、$\overline{OE}$ 為兩股，而 $\overline{CE}$ 為斜邊，故知答案為 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OE}$。

真的很難想象為何答對率這麼低，本題並不是抽象的題目，代入 $a$ 可能的六個值檢查應該沒有難度。原本以為考生沒注意到最高次項係數為 $a$ 而以最高次項係數為 $1$ 來作答。不過從考生做答的選項分析來看，誤答 $4$ 個的並不多，反而最多人誤答 $3$ 個。實在令人不解，老師們可好好分析學生的處理方法。

了解三次函數圖形的同學，應該馬上看出若 $a<0$，三根皆為負，故由三次項係數為負得到 $f(0)<0$。而當 $a>0$，反而只有在三根皆為負時可得到 $f(0)>0$，所以只能是 $a=2$。

我們也可純粹用多項式的方法著手。例如利用根於係數的關係，由於 $f(0)$ 就是 $f(x)$ 的常數項 $7a(-7+a)(-7+2a)$，代入 $a$ 的六個可能，也可馬上判斷只有在 $a=2$ 時會大於 $0$。若不知根與係數關係，也可由 $f(x)=a(x-(-7))(x-(-7+a))(x-(-7+2a)$，代入 $x=0$ 得到此結果。不過這些基本的多項式概念在108課綱已經不再提及。個人覺得數學的學習應有其整體性，許多概念的學習，會影響到之後的學習。將一些內容做過多的切割，造成大部分學生僅有片段零碎的概念，之後學習的斷層恐會更加明顯。

此題個人認為是單選題中最難的。雖然整體答對率比前一題高，但應該是較易猜答而提高了整體的答對率。這可以從前 $33\mathrm{\%}$ 的高分組答對率 $60\mathrm{\%}$ 低於前一題的 $64\mathrm{\%}$ 可以看出。甚至前 $20\mathrm{\%}$ 的最高分組答對率 Pa 為 $67\mathrm{\%}$ 也比前一題的 $76\mathrm{\%}$ 低了近 $10\mathrm{\%}$。然而低分組的答對率在單選題中除了最易的第一題外，這一題的答對率是最高的。個人推測，應該是一般同學很可能看到有兩個解就直接猜有兩個解，而高分組的同學可能會花一些時間去確定只有兩解。在考試時各種因素影響，很多情況可能感覺對了就直接作答對考生最有利，不過這又和我們數學對於訓練學生嚴密性的要求相左。這在命題上和教學上都不容易。

看到 ${\displaystyle \sin (x+\frac{\pi }{6})}$ 的圖形是 $\sin x$ 對 $x$ 坐標的平移，而 ${\displaystyle \sin x+\sin \frac{\pi }{6}}$ 是對 $y$ 坐標的平移，會讓人很想用圖形來處理。不過此題若真僅能用圖形來處理，個人覺得是超綱的。出題者應該也想避免這樣的疑慮，所以以解方程式的方式呈現，而不是問圖形交點個數。老師在講解此題時，千萬不要只是很精準地畫了正弦函數圖形，然後平移讓學生看到有兩個交點，就交代完畢。因為這對學生在考試時處理類似問題毫無幫助，況且數學就是要訓練學生有嚴密完整的論述。畫圖可以當做讓學生了解的輔助工具，但不能拿它來說明一切。

讓我們看看如何一步步來了解兩圖形的相交情形，並說明那部分超出課綱範圍。首先 ${\displaystyle \sin (x+\frac{\pi }{6})}$ 的最大值是 $1$，所以我們可以把 ${\displaystyle \sin x+\sin \frac{\pi }{6}=\sin x+\frac{1}{2}}$ 大於 $1$（即 ${\displaystyle \sin x>\frac{1}{2}}$）的部分捨去不看，也就是在區間 ${\displaystyle (\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6})}$ 不會有交點。同理由於 ${\displaystyle \sin x+\sin \frac{\pi }{6}}$ 的最小值是 ${\displaystyle \frac{-1}{2}}$，我們也把 ${\displaystyle \sin (x+\frac{\pi }{6})}$ 小於 ${\displaystyle \frac{-1}{2}}$ 的部分（即 ${\displaystyle \frac{7\pi }{6}<x+\frac{\pi }{6}<\frac{11\pi }{6}}$）捨去不看，也就是在區間 ${\displaystyle (\pi ,\frac{5\pi }{3})}$ 不會有交點。所以我們僅要探討在 ${\displaystyle [0,\frac{\pi }{6}]}$, ${\displaystyle [\frac{5\pi }{6},\pi ]}$ 以及 ${\displaystyle [\frac{5\pi }{3},2\pi )}$ 有幾個交點即可。

當 ${\displaystyle x\in [\frac{5\pi }{6},\pi ]}$，此時 ${\displaystyle \sin (x+\frac{\pi }{6})\le 0}$，而 ${\displaystyle \sin x+\sin \frac{\pi }{6}\ge \frac{1}{2}}$，所以它們在這區間依然無交點。接下來我們看 ${\displaystyle x\in [0,\frac{\pi }{6}]}$ 的情形，此時 ${\displaystyle \sin x+\sin \frac{\pi }{6}}$ 從 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 遞增到 $1$，而 ${\displaystyle \sin (x+\frac{\pi }{6})}$ 是從 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 遞增到 ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$，但是我們無從得知在這一段除了在 $x=0$ 有交點外，是否還有其他的交點。因為有可能 ${\displaystyle \sin (x+\frac{\pi }{6})}$ 一開始遞增的速度比較快，只是後面趨緩了。當然了我們看到正弦函數的圖形應該是從 $0$ 開始較陡峭而後漸漸趨緩，但這是要了解正弦函數的微分才能確定的，所以我認為用圖形來看這一題這個部分是超綱的。另外一個區間也有同樣問題，就不多說了。

我們還是回歸解方程式的看法處理這一題。看到 ${\displaystyle \sin (x+\frac{\pi }{6})}$ 大都會用和角公式改寫成 ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x}$，所以原方程式可以寫成 $(\sqrt{3}-2)\sin x+\cos x=1$。接下來很自然的想到疊合，不過看來計算有點複雜，估計很多考生卡在這裡。然而出題者很有善意只要求找到解的個數，所以只要知道原式可寫成 $K\sin (x+\theta )=1$，然後估計 $K=\sqrt{(\sqrt{3}-2{)}^2+1}$ 值即可。若 $K>1$ 則有兩個解；$K=1$ 僅有一解；$K<1$ 則無解。無論如何都不會多於兩個解。若由 $\sin 0=0$ 以及 ${\displaystyle \sin (-\frac{\pi }{6})=-\sin (\frac{\pi }{6})}$，很容易看出次方程式有 ${\displaystyle x=0,x=2\pi -\frac{\pi }{6}}$ 兩解，也就不必估計 $K$ 值了。相信有較多考生看到這兩個解，以至於拉高答對率。

若知道正餘弦和差化積公式可以很快將原方程式改寫為 ${\displaystyle 2\cos (x+\frac{\pi }{12})\sin \frac{\pi }{12}=\frac{1}{2}}$（即利用 ${\displaystyle \sin A-\sin B=2\cos (\frac{A+B}{2})\sin (\frac{A-B}{2})}$），所以只要知道 ${\displaystyle \sin \frac{\pi }{12}}$ 與 ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ 的大小關係，就可判斷解的個數。和差化積，很早就被課綱排除在外了。從本題的處理方法來看，是比較快，但差異不是很大，應該不會有什麼爭議。

本題答對率也不高，比第3題高一些，不過高分組的答對率，兩題幾乎一樣。差別在低分組，本題答對率較高。些微的差距可能與猜答情形有關。 關於本題的答對率，大考中心提供的分組資料如下：

個人覺得雖 $3,5$ 兩題皆考兩個概念，但此題難度較高。第3題頭一個概念只是基本的等差數列，而本題一開始要用不等式確認中位數，確定後再評量排列組合，實屬不易。雖然大多數考生可以“猜”出中位數分別為 $25,26$，但程度較好的考生很可能多花時間在確定中位數為何。其實知道中位數後，問有多少分組方式，對大部分學生（排列或組合搞不清楚）已是不容易的，光是評量這一部分（或難一點問中位數為 $24,26$ 的情形）已是不錯的考題，且測驗目標也較明確。

兩組中位數差 $1$ 到底有那些可能，應該是大家較不熟悉的問題，所以這裡只探討這個問題。首先再強調一次，雖然從選項沒有出現加法，可知符合條件的這兩組中位數是唯一的。再用奇、偶來分組，可知中位數分別為 $25,26$。不過這只是應試時爭取時間萬不得已的應變方式，老師在講解時，仍應確實和學生探討為何僅有這一組中位數。也可將此問題推廣到中位數差距大於 $1$ 的情況。或許坊間有一些處理這類中位數問題的聰明方法或公式，不過這裡僅想用簡單不等式的概念處理。

首先我們假設甲組的中位數為 $m$，所以乙組的中位數為 $m+1$。由於甲組有 $12$ 個數字小於 $m$，而乙組有 $12$ 個數字小於 $m+1$，所以甲乙兩組包括 $m$ 共有 $25$ 個數字小於 $m+1$。因此原來 $1$ 到 $50$ 這 $50$ 個數字中的比較小的前 $25$ 個數字必都小於 $m+1$（這裡的邏輯學生務必要清楚），故得 $m+1>25$（即 $m>24$）。同樣的，甲組有 $12$ 個數字大於 $m$，而乙組有 $12$ 個數字大於 $m+1$，所以甲乙兩組包括 $m+1$ 共有 $25$ 個數字大於 $m$。因此原來 $1$ 到 $50$ 這 $50$ 個數字中的比較大的後 $25$ 個數字必都大於 $m$，故得 $26>m$。得證 $m=25$。

學生了解了這個看法，也可以嘗試處理中位數差距為 $2$ 的情況。同樣的設甲組的中位數為 $m$，乙組的中位數為 $m+2$。此時由 $m+2>25$ 得 $m>23$。再由 $26>m$，得知應該有 $m=24$ 或 $m=25$ 兩種情況。在甲組為奇數、乙組為偶數這種情況，將甲組的 $25$ 與乙組的 $24$ 交換就可得甲組中位數為 $24$、乙組中位數為 $26$ 的情況，所以 $m=25$ 是可能的。同理在用奇數、偶數分組的情況下，將乙組的 $26$ 與甲組的 $27$ 交換就可得甲組中位數為 $25$、乙組中位數為 $27$，也就是說 $m=25$ 也是可能的。切記，前面用不等式算出 $m$ 可能的範圍，並不表示這樣的 $m$ 一定成立，一定要找到例子確認才行。

多選題：

第7題，當成多選的第一題，表示出題者認為這是多選題中最易的題目。不過考完結果顯示並非如此，本題的得分率為 $47\mathrm{\%}$，遠低於第8題的 $66\mathrm{\%}$。讓我們先看第7題的得分率，大考中心提供的分組資料如下：

表中有打 * 的表示是正確的選項。整體考生（T）來看，錯誤的選項(2)被圈選的比率高達 $78\mathrm{\%}$。前$33\mathrm{\%}$ 的高分組（H）與後 $33\mathrm{\%}$ 的低分組（L）同樣都有 $73\mathrm{\%}$ 圈選這個選項。這表示高分組的考生並沒有比較厲害，和低分組的有同樣多的人在這個選項吃了虧。換算下來中間的 $33\mathrm{\%}$ 的考生，竟然有高達 $88\mathrm{\%}$ 圈選此錯誤選項。

數A剛考完後，就在新聞上看到幾位老師提到多選題有陷阱。我想就是指這一題的這個選項，老師們看出這是陷阱題，可惜大多數的考生並未看出。原來的函數定義域在正實數，所以圖形不會通過二、三象限。選項(2)取了平方，定義域變成非零實數，圖形通過二、三象限，所以當然與原來的不同。其實說是陷阱題，對出題者來說並不公平。這樣的說法，好像故意要陷害考生似的。其實前面提過，數學的嚴密性訓練，對學生來說是重要的，或許出題者就是要以此方式評量嚴密性。若從考生的立場，考試這麼緊張，還要注意一些細節好似要求太過了。不過出題者並不是沒有善意，觀察一下選項(3)不就是他們表達善意的方式嗎？考生做答時應該警覺到，一般多選題不會有兩個選項評量同樣概念的情形。所以建議老師多提醒學生處理多選題時，多注意選項間的關係，而不要每個選項都獨立思考。尤其現在很多的多選題，會在前面幾個選項利用簡單的問題引導處理後面較複雜的選項。把握這個原則，應該可以將多選題答得更好。不過話說回來，考試時爭取時間，大部分考生都不會回去看作答過的選項，如果此題將選項(2),(3)交換，所要表達的善意就更能讓人體會了。

第12題，當成多選的最後一題，表示出題者認為這是多選題中最難的題目。其實線性變換的問題，考生一直以來表現都不好，考完結果也顯示如此，本題的得分率為$36\mathrm{\%}$，雖然高於單選題最低的第3題，卻在多選題中與第9題得分率並列最低。讓我們先看大考中心提供第12題得分率的分組資料，再與第3題相比，會發現驚人的現象：

正常的情況，錯誤的選項高分組圈選的比例會低於低分組的；而正確的選項高分組的圈選比率會高於低分組的。然而本題正確的選項(2)，高分組圈選的比率為 $45\mathrm{\%}$低於低分組的$52\mathrm{\%}$。當然了，低分組的$52\mathrm{\%}$可能猜答的比率很高，不代表低分組的比高分組的懂得處理這個選項。不過高分組的有多於一半的考生錯答這個選項，有點令人不解。

若用代數方法處理這個選項，只要解聯立方程組$\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ a& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$很容易解得 $x=0$。也就是說只有 $y$軸 上的點會被此線性變換 $T$ 固定不動，也因此$\mathrm{△}ABC$的邊上只有$(0,0)$,$(0,1)$兩點固定不動。若用幾何來看，$(1,0),(0,1)$所連線段變換成 $(3,a),(0,1)$所連線段，當然只有 $(0,1)$ 被固定。同理$(-1,0),(0,1)$所連線段變換成 $(-3,-a),(0,1)$所連線段，也沒有其他點被固定。而$(1,0),(-1,0)$所連線段變換成 $(3,a),(-3,-a)$所連線段，若$a\ne 0$，僅有$(0,0)$被固定；而若$a=0$，則此變換將$(0,0)$固定往兩邊伸長，所以也僅固定$(0,0)$這一點。總而言之，比起其他選項，高分組的考生並不難知道此變換會固定$\mathrm{△}ABC$的邊上$(0,0)$,$(0,1)$兩點。會不圈選這個選項，或許是被選項敘述所影響。

到底是敘述上哪個部分造成影響，可能得靠大考中心問卷做進一步分析。個人猜測有可能是“至少”這兩個字。因為明明可以確定只有兩點，考生看到“至少”，會不會誤以為意指還有更多？其實出題者用“至少”或許是出於善意，希望考生直接由觀念知道$(0,0)$和$(0,1)$會被固定就可作答，而不必再確認是否還有其他的點被固定。不過高分組的考生觀念上應知，若邊上還有另外一點被固定，則此線性變換會固定所有的點。所以對他們來說這個“至少”二字或許沒有必要。還有其他的老師認為可能是敘述中“$\mathrm{△}ABC$的邊上”會讓考生誤以為是“$\mathrm{△}ABC$的某個邊上”。這也讓我想到一個問題，因為點$(0,1)$是頂點，會不會有許多考生疑惑頂點到底算不算在邊上？大考中心在談圖形的問題都會強調是否有包含圖形的邊界（例如第17題）。其實若從線段的角度來說兩個端點就是該線段的邊界。所以此題在敘述上若改為“$\mathrm{△}ABC$的邊界上”，就不會有前述兩種情況的誤解了。當然了，我們無法得知這個選項答對比率偏低的真正原因，不過題目敘述對考生的影響實在不容忽視。

選填題：

第14題的答對率，大考中心提供的分組資料如下：

當初看到這一題有點擔心，因為它評量的是多項式同餘的概念。為什麼這麼說呢？如果題目改為 $f(x)=x+1,g(x)=x-3,h(x)=-2$ 那麼答對率一定高出許多。 然而整數的同餘概念，在課綱老早就不提了，多項式的同餘就更不用說了。老實說，這個概念不難，學生學了容易懂也容易記。 但問題出在課綱未提及這個內容，若老師沒有教這個概念，考生在考試時能推敲出如何處理這個問題，實屬不易，而所花的時間也會與有同餘概念的考生有顯著的差距。 對於程度好的學生，相信老師在課堂上或多或少會提及同餘概念或做類似的練習；不過對於程度較差的學生，可能大部分的老師不會特別論及這個概念。 從考生分組得分率的表現，應該看出我的擔心是合理的。前$33\mathrm{\%}$的高分組本題的答對率為$76\mathrm{\%}$，而後$33\mathrm{\%}$的答對率卻僅有$4\mathrm{\%}$，致使本題為整卷鑑別度最高的一題。這和鑑別度也差不多的第2題不同。那一題，外積、平行、坐標化等基本概念老師都有教，只是學生能否學會的問題。然而這題，學生沒學同餘的概念，可能就無從下手。這一點比較像第5題，題目都有兩道關卡，然而第一道關卡評量的較不屬於課綱大家熟悉的範圍，第二關才是評量一般的課程範圍。不過若第一關卡住了，就無從評量到第二關了。這樣的題目自然答對率不會高。不過第5題出題者應該已經設定它是中偏難的問題，然而這題可能沒有預期會有這樣的結果。應該就是錯判了，有很大部分的考生不知道同餘的概念。

其實在談論多項式的除法原理時，適當的補充同餘的概念也可讓學生對於除法原理更加了解。或許這次考完，老師應該都會教同餘的概念了！事實上，108學測數學的第12題，

第16題的答對率，大考中心提供的分組資料如下：

學測數學近年來都有需用到垂直的概念來解題的題目，不過都需考生從題目的數據來發現這些垂直性質。例如：

110年學測選填G（答對率$21\mathrm{\%}$）：此題必需由 $A,D$ 分別到 $\overline{BC}$ 的中點距離 $8,4\sqrt{2}$ 以及已知的 $\overline{AD}=4\sqrt{6}$ 判斷出平面 $ABC$ 與平面 $DBC$ 垂直（其實若適當選取坐標，可以更容易看出）。

111學測數A題組題：此題需由小圓的半徑為$\sqrt{3}$，大圓的半徑為$\sqrt{4}$以及掃描棒長度為$1$，看出掃描棒一直都與小圓相切。

112學測數A第17題（答對率$10\mathrm{\%}$）：此題需由 $L_1,L_2$ 的參數式，看出 $L_1,L_2$ 的方向向量互相垂直，簡化此題所需的計算量。

今年的第16題和前面這幾題一樣，若能觀察出向量 $(2,-3),(3,2)$ 垂直較易作答。其實出題者也很有善意，在題目中將 $(2,-3),(3,2)$ 放在一起，強化看出它們垂直的“視覺效果”。不過由於題目敘述一開始已出現 $(2,-3)$ 以及 $(3,2)$，考生已知這兩個向量為何，可能不會太注意後面將 $(2,-3),(3,2)$ 放在一起的效果。事實上，從題目的敘述來說，如果先提$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$與$(2,-3),(3,2)$皆夾銳角，讓考生先了解這幾個向量的相關位置，再提$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$在$(2,-3),(3,2)$的投影，或許得分率還可以再提高一些。

如果沒注意到 $(2,-3),(3,2)$ 垂直，而直接設 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}=(x,y)$ 處理本題，計算之複雜幾乎無法解出此題；不過若將 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$ 設成 $(2,-3),(3,2)$ 的線性組合 $a(2,-3)+b(3,2)$ 來處理，即使一開始沒有看出 $(2,-3),(3,2)$ 垂直，也會因它們垂直的事實，仍能用內積解出此題。在探討內積的問題，將向量寫成一組互相垂直向量的線性組合（即“正交基底”的概念），是一個很好用的工具。在這裡，我們特別提出這樣的看法，或許老師可以介紹這樣的看法給學生，應該對他們有所幫助。

一般要將平面上的向量寫成兩個不平行向量的線性組合，學生可能覺得很麻煩（要去解聯立方程組）。不過我們可以很輕易的將一個向量寫成$(1,0)$,$(0,1)$的線性組合，不只因為牽涉的聯立方程組很簡單，還有一個看法可以讓我們了解正交基底的好處，就是是用內積。例如將 $(5,7)$ 寫成 $(1,0),(0,1)$ 的線性組合，我們可以設 $(5,3)=a(1,0)+b(0,1)$ 再將 $(5,3)$ 與 $(1,0)$ 內積得到 $a=5$。同理與 $(0,1)$ 內積就可得 $b=3$。這裡用到的只是 $(1,0)\cdot (1,0)=1$, $(0,1)\cdot (0,1)=1$ 以及 $(1,0)\cdot (0,1)=0$ 還有內積的性質。這一題我們就可以用這樣的概念 首先將 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$ 寫成 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{13}}}(2,-3)$ 與 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{w}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{13}}}(3,2)$ 的線性組合，即 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}=a\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}+b\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{w}$。注意這裡$\sqrt{13}$ 是 $(3,2),(2,-3)$ 的長度，除掉$\sqrt{13}$ 會使得 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u},\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{w}$ 與 $(1,0),(0,1)$ 有同樣的內積關係，即 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}\cdot \stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}=1$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{w}\cdot \stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{w}=1$ 以及 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}\cdot \stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{w}=0$。利用內積性質，我們可得 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$ 的長度為 $\sqrt{(a\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}+b\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{w})\cdot (a\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}+b\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{w})}=\sqrt{a^2+b^2}$ 且 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$ 在 $(2,-3)$ 的正射影長為 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}\cdot \stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}=(a\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}+b\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{w})\cdot \stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}=a$，以及 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$ 在 $(3,2)$ 的正射影長為 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}\cdot \stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{w}=(a\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}+b\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{w})\cdot \stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{w}=b$。所以依題意得 $a=\sqrt{a^2+b^2}-1,b=\sqrt{a^2+b^2}-2$，解出 $a=4,b=3$。因此 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{13}}}(2,-3)+{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{13}}}(3,2)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{13}}}(17,-6)$。 接下來將$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$與$(4,7)$內積得到$2\sqrt{13}$，再除以$(4,7)$的長度$\sqrt{65}$，求得$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$在$(4,7)$的正射影長${\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}}$。老師也可以讓學生練習看看將$(4,7)$寫成$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u},\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{w}$的線性組合，即由 $(4,7)\cdot \stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}=(4,7)\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{13}}}(2,-3)={\displaystyle \frac{-13}{\sqrt{13}}}$以及$(4,7)\cdot \stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{w}=(4,7)\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{13}}}(3,2)={\displaystyle \frac{26}{\sqrt{13}}}$知$(4,7)=-\sqrt{13}\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}+2\sqrt{13}\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{w}$。這樣就可以不必將 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}=4\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}+3\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{w}$展開，直接計算 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}\cdot (4,7)=4\times (-\sqrt{13})+3\times (2\sqrt{13})=2\sqrt{13}$。

總之，正交基底的概念只是簡單將 $(1,0)$, $(0,1)$ 推廣（不必牽涉基底的變換），就很方便處理內積、投影等概念。而且又能讓學生更加了解內積的性質，不妨介紹學生這樣的看法。

第17題的答對率，大考中心提供的分組資料如下：

讓我們回到這個題目數學的部分。老實說，我花了相當多時間將題目看了好幾遍。並不是看不懂題目，而是需要反覆閱讀確認沒有將題意弄錯也順便琢磨處理的方向。這個區域$R$的定義確實很難馬上就能判定出哪些點在$R$。我相信對很大多數的考生即使給一個具體的點，例如 $({\displaystyle \frac{5}{8}},{\displaystyle \frac{3}{8}})$，都有困難判定它是否在 $R$。這讓我想起去年的112學測數B第11題，有一半的考生不會判定一個點是否在圓內（選項(3)）。主要造成判斷困難的原因在於，一般學生習慣定義集合的方式是能直接由該點來判定是否符合要求，而本題卻需藉由其他的點（與該點距離為 $|x-y|$ 的點）來判定是否符合要求。簡單來說，若將 $R$ 的定義改成 $P(x,y)$ 到正方形 $OABC$ 四個邊的距離皆大於 $|x-y|$，應該就較易了解這個區域 $R$。不可否認，或許這個轉換也是出題者想要評量的重點，不過若大多數考生都卡在這個地方，後面利用不等式得到 $R$ 的範圍以及求 $R$ 的面積這兩項就都無法評量到了。個人覺得即使評量後面這兩項，對大部分學生都是困難的。特別是，若能善用對稱的概念，更能省去許多不必要的步驟，這都讓我覺得僅評量這兩項就是個很棒的題目了。

了解到 $P(x,y)$ 到正方形 $OABC$ 四個邊的距離都大於 $|x-y|$後，我們就快速的利用對稱的概念處理這個問題。若從對稱的角度來看，可將正方形$OABC$利用兩對角線，劃分成四個區域。我們就拿 $x-y>0$ 且 $x+y>1$ 這個區域來看好了。此時因為 $|x-y|=x-y$ 且 $y>1-x$，我們知道這個區域的點 $P(x,y)$ 與四個邊最近的距離是 $1-x$，所以此時 $P(x,y)$ 在 $R$ 的充要條件是 $1-x>x-y$。 因此推得在此區域 $R$ 中的點 $P(x,y)$ 需滿足 $x-y>0$, $x+y>1$ 以及 $2x-y<1$。也就是以 $(1,1)$, $({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$ 以及 $({\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})$ 為頂點的直角三角形內部。我們可以直接算面積，或利用 $({\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})$ 是 $({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$ 與 $(1,0)$ 連線段的三等分點，得到 $R$ 在這部分所佔的比率為 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$。最後再依對稱性知 $R$ 佔了整個正方形 $OABC$ 的 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$。

題組題：

本題和第2題一樣是空間坐標的題目，雖然本題整體答對率比第二題高，不過有趣的是，前$33\mathrm{\%}$的高分組甚至前$20\mathrm{\%}$的最高分組，在這兩題的答對率是一樣的。反而是低分組的考生在這題的答對率高於第2題的答對率，因而拉高了本題的答對率。 第18題的答對率，大考中心提供的分組資料如下：

若用幾何的角度處理這一題，我們知道向量 $(a,b,c)$ 和 $(1,0,0)$ 的夾角 $\theta$ 就是向量 $(a,b,c)$ 與 $x$-軸正向的夾角。由於 $\theta$ 是銳角，我們知道點 $(a,b,c)$ 在 $x$-軸的投影 $a$ 需大於 $0$。又點 $(a,b,c)$ 到 $x$-軸的距離為 $\sqrt{b^2+c^2}$，故由 $\tan \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{b^2+c^2}}{a}}\le \tan {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$。因此得證 $a\ge \sqrt{3b^2+3c^2}$。

若用幾何的角度處理這一題，首先由於考慮得點 $(a,b,c)$ 其中 $b=0$，所以我們僅需考慮 $xz$-平面（即 $y=0$）即可。如此一來，我們便可將原本比較複雜的三維空間的問題，簡化到平面來看。依題意，我們要考慮的點$P$就在 $xz$-平面的一、四象限，由直線 $z=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x$ 和 $z={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x$（斜率介於 $\tan {\displaystyle \frac{-\pi }{6}}$ 和 $\tan {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$）所夾的區域。而 $P$ 又在平面 $x-z=4$ 上，此平面與 $xz$-平面的交線方程式在 $xz$-平面就是直線 $x-z=4$，所以我們要考慮的區域就只是 $xz$-平面上直線 $x-z=4$ 分別與 $z=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x$ 和 $z={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x$ 相交的兩個交點的連線段。解聯立方程組 $x-z=4$, $x=-\sqrt{3}z$ 可得 $x-z=4$ 與 $z=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x$ 交點的 $z$ 坐標為 ${\displaystyle \frac{-4}{1+\sqrt{3}}}=-2(\sqrt{3}-1)$。同理可得，$x-z=4$ 與 $z={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x$ 交點的 $z$ 坐標為 $2(\sqrt{3}+1)$。也因此我們得到 $c$ 的最大範圍為 $2-2\sqrt{3}\le c\le 2+2\sqrt{3}$。最後由於 $x-z=4$ 的斜率大於 $0$，由圖形知此線段以 $x-z=4$ 與 $z=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x$ 的交點距離原點最近，又因為這兩直線夾角為 ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$，故由 $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ 以及交點 $z$ 坐標為 $2-2\sqrt{3}$，得此交點與原點距離為 $2(2\sqrt{3}-2)$。

有時利用幾何的看法不止讓我們減少一些計算（例如本題就可避免解二次方程及配方），也能幫助我們理解一些現象發生的原因。例如平面 $y=0$ 與平面 $x-z=4$ 相垂直，所以原點到平面 $x-z=4$ 的投影點 $Q$ 也會在 $xz$-平面上。也因此若考慮 $xz$ 平面，$Q$ 點是直線 $x-z=4$ 上距離原點最近的點。但在第18題，我們已知 $\overline{OQ}$ 與 $x$-軸的夾角為 ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$，不符合題設 $P$ 點的要求，所以 $\overline{OP}$ 的最小值，絕不是 $\overline{OQ}=2\sqrt{2}$。