112數甲

此次分科數甲考題，除了幾題計算稍顯複雜外，基本上沒有太難的題目。不過仍有幾題答對率低於預期，尤其是幾題不難的問題可能牽涉到符號操作，而不是具體的數字計算，作答的情況非常不理想。例如單選的2,3題以及多選的4,6題，都是沒有具體的數字可以計算，對大部分學生來說應該是困難的。造成不必計算的部份無法得分，而需計算的部分又有點複雜也得不到好處，這可能就是成績不如預期的原因。

單選題

單選題一般來說應是穩定軍心用的，不過沒想到2,3兩題考生的表現並不是如此，應該是學生對符號操作的能力欠佳有關。關於單選的三題，考生作答的 PD 值如下：（關於 PD 值請參考大考中心“一起來認識學測與指考的試題答對率”）

讓我們回到今年的第3題。題目選項已表明要考慮積分的區間是 $[0,3]$。高中教的黎曼和僅考慮將區間均分的情況，所以一般來講每個分割的間距$\mathrm{△}x$應是每單位長分成$n$等分，即$\mathrm{△}x=\frac{1}{n}$（如上面110那題）;或是整個區間$[0,3]$分成$n$等分，即$\mathrm{△}x=\frac{3}{n}$。知道可能的$\mathrm{△}x$後接下來便是要知道每個分割區間的端點，以便將區間上的點代入被積分的函數。若 $\mathrm{△}x=\frac{1}{n}$，則在區間[0,3]所分割出的$3n$等分中各區間的端點依序為$0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\dots ,\frac{3n-1}{n},\frac{3n}{n}$;而若 $\mathrm{△}x=\frac{3}{n}$，則在區間[0,3]所分割出的$n$等分中各區間的端點依序為$0,\frac{3}{n},\frac{6}{n},\dots ,\frac{3n-3}{n},\frac{3n}{n}$。也就是說，若$\mathrm{△}x=\frac{1}{n}$，則黎曼和應該要有$3n$項;而若$\mathrm{△}x=\frac{3}{n}$，則黎曼和應該要有$n$項。看看題目，發現僅有$n-1$項（這有點奇怪），不過和$n$項僅差$1$項（事實上只要差固定的有限項）最後算極限時差距會趨於$0$所以極限會一樣，因此本題應是以$\mathrm{△}x=\frac{3}{n}$來分割的黎曼和。了解這點就不難發現選項（3）才是正確的。

其實學生到高三已學會$\mathrm{\Sigma }$這個summation符號，應該讓學生用$\mathrm{\Sigma }$來表示黎曼和，較容易看出此極限是哪一個定積分（或許這也是考題故意不用$\mathrm{\Sigma }$來表示的原因）。原式可表為 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\frac{3}{n^2}\sqrt{4n^2+9k^2}}$。因為有$n-1$項所以知道$\mathrm{△}x=\frac{3}{n}$，每個分割區間的端點為$\frac{3k}{n}$，故原式可寫成${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\frac{3}{n}\sqrt{4+{\left(\frac{3k}{n}\right)}^2}}$。而此和與${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{3}{n}\sqrt{4+{\left(\frac{3k}{n}\right)}^2}}$僅差一項$\frac{3}{n}\sqrt{4+3^2}$，因此當$n$趨近於$\mathrm{\infty }$時會趨近於同一極限${\displaystyle {\int }_0^3\sqrt{4+x^2}dx}$。

這題的轉折$n-1$項（而不是$n$項）以及每個分割的長度$\mathrm{△}x=\frac{3}{n}$（而不是$\mathrm{△}x=\frac{1}{n}$），可能就是造成得分率低的原因。我們從以下考生的選項分析可見端倪。

多選題

多選題中考生的表現，依大考中心的分類，除了第5題為中偏易外，其餘為中偏難到難。這裡就大致談一下較難的那幾題。考生成績的 PD 值如下：

會特別談這一題是看到很多老師在解說此題時，直接就考慮$a=2$, $b=5$ 的情況。或許老師這樣處理的用意，是考量前面提的學生對符號操作不熟悉，所以用具體數字教學生處理。但這是不正確且非常危險的。首先學生可能誤以為由題設，$a,b$就一定是$2$和$5$，再加上若真的用$a=2,b=5$作答此題，每個選項都能答對，更會誤導學生以為這是正確的解法。事實上題目是要考慮所有符合題設的$a,b$，當然不能用特定的$a,b$來決定其他的情況是否會對。或許有老師認為「$a=2,b=5$是符合題設的最小區間，若對於最小區間是對的，那對更大的區間當然也就對了。所以這樣的解法沒有問題」。這乍聽之下好像滿合理的，不過事實上仍不正確。選項（3）就很可能出問題。例如題目改為$-2,2$滿足$|x-a|\le b$。此時滿足的最小區間為$a=0,b=2$，而且$-1,1$仍滿足$|x-a|\le \frac{b}{2}$。但當$a^{\prime }=2,b^{\prime }=4$時，$-2,2$滿足$|x-a^{\prime }|\le b^{\prime }$，可是$-1,1$就不滿足$|x-a^{\prime }|\le \frac{b^{\prime }}{2}$了。所以對最小的區間成立，並不代表對一般的區間仍成立。更何況若原來題目是考慮$|x-a|<b$，那就找不到$a,b$會是會是所謂的最小區間了，那怎麼辦？所以還是要回歸用抽象的符號讓學生操作。

整個操作並不難，大家應該都了解 $|x-a|\le b$ 等同於$a-b\le x\le a+b$。接下來就是單純的不等式問題了。也可鼓勵學生用區間的概念來看這個不等式。有了區間概念就知道本題主要的關鍵就是 $-3,7$，額外 $-1,4$ 的條件是多餘的，反而會造成干擾。看到有些老師解題時還把$-1,4$拿來驗證，就失去了讓學生了解區間概念的機會了。至此我們知道本題的條件就只有 $7\le a+b$ 以及 $a-b\le -3$ 而已。由此不等式，可以解得 $b\ge 10$，而若 $b=a$ 馬上得 $0\le -3$ 的矛盾，選項（1）、（4）、（5）應該算簡單。選項（2）只是問是否 $-7\ge -a-b$ 以及 $3\le -a+b$。因為和原不等式一致所以正確。而選項（3）問的是可否推得 $\frac{7}{2}\le a+\frac{b}{2}$ 以及 $a-\frac{b}{2}\le -\frac{3}{2}$，這當然就不對了。其實選項（5）有很好的提示作用，可以幫我們找到選項（3）錯誤的反例。選項（5）告訴我們當 $b=a$ 時 $|x-a|\le b$ 不可能有小於 $0$ 的數在之中，所以選項（3） $|x-a|\le \frac{b}{2}$ 在 $a=\frac{b}{2}$ 的情況就會錯。此題選項若將（4）（5）置前不知是否對考生有幫助。

剛看到此題時，就覺得考生作答情形一定不妙。若對線性獨立概念熟悉的學生了解題目的本意作答起來應該沒問題；不過對它不熟悉的學生很可能連題目問什麼都不知道。結果本題確實是多選題中得分率最低的。從下面選項分析來看，每個選項被圈選的比率都達一半以上，考生應是是猜答的居多。

行列式是否等於$0$與向量是否線性獨立有關。我們先用線性獨立的觀點看這個問題。選項（1）假設兩向量垂直，所以是線性獨立的，因此行列式不為$0$，正確。選項（2）即使 $\stackrel{\rightharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ 是平面 $z=0$ 上的兩平行向量，當然一樣可找到不在平面 $z=0$ 的向量與它們垂直所以此選項錯誤。選項（3）${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{w^{\prime }},\stackrel{\rightharpoonup }{w}}$ 外積不是零向量，表示它們不平行但又同時與$\stackrel{\rightharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{v}$垂直，所以$\stackrel{\rightharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{v}$一定平行，也就是說行列式為$0$，此選項錯誤。選項（4）由假設空間中所有向量皆可表為 $\stackrel{\rightharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{v},\stackrel{\rightharpoonup }{w}$ 的線性組合知 $\stackrel{\rightharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{v},\stackrel{\rightharpoonup }{w}$ 為線性獨立，所以 $\stackrel{\rightharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ 不平行，行列式不為 $0$，選項正確。選項（5）假設 $\stackrel{\rightharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ 不平行，而 $\stackrel{\rightharpoonup }{w}$ 與它們都垂直，所以 $\stackrel{\rightharpoonup }{w}$ 不會是平面 $z=0$ 上的向量，因此這三個向量是線性獨立，故得矩陣 $A$ 的行列式不為 $0$，此選項正確。

因為高中課程並未對線性獨立的概念有太多著墨，如何讓學生了解此題的評量重點有點難度，還好談的是二階行列式，學生應可以用平行的概念處理。先讓學生了解，整題主要評量的是若 $\stackrel{\rightharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ 這兩個在平面 $z=0$ 的向量是平行的，則可有許多不平行的向量同時與 $\stackrel{\rightharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ 垂直，而若 $\stackrel{\rightharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ 不平行，則僅有與向量 $(0,0,1)$ 平行的向量會同時與 $\stackrel{\rightharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ 垂直。接下來比較難的便是邏輯問題了，也就是對於「若...則...」這樣的敘述方式是否了解。例如選項（2）、（3）談的都是假設有與 $(0,0,1)$ 不平行的向量同時與 $\stackrel{\rightharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ 垂直，所以 $\stackrel{\rightharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ 必需平行。選項（5）由 $\stackrel{\rightharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ 不平行知 $\stackrel{\rightharpoonup }{w}$ 必為 $(0,0,t)$ 其中 $t\ne 0$ 所以 $A$ 的行列式為 $t\left|\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right|$，故不為 $0$。比較難的還是選項（4），因為由假設可知 $t\ne 0$，否則三個向量都在平面 $z=0$ 上，無法表示所有坐標空間的向量，但是知道 $t\ne 0$ 後，可能因當初處理選項 （2）時知道 $t\ne 0$ 未必可推得行列式$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|\ne 0$，因此反而沒有選這個選項。事實上此選項的題設比選項（2）的題設 $t\ne 0$ 條件強得多。即使 $t\ne 0$ 但 $\stackrel{\rightharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ 平行，仍無法表示所有坐標空間的向量。總之，這個地方，維度的概念仍是需要的。

前4個選項還好，最後一個選項相信許多考生會列式但覺得計算複雜。這次考題大家喊計算複雜，這個選項應該是其中之一。看看選項分析，令人訝異的是選項（4）答得很好，表示考生大多有對稱的概念；不過類似概念的選項（3）卻有超過一半的考生誤選，考生作答的狀況實在難以理解。

在此想談談選項（5）這個複雜的計算，除非見過，要在考場上臨時想到什麼快速的方法計算，實非易事。不過在講解時，不妨花一點時間討論一下它的計算，讓學生對二項式的性質有更進一步的了解。我們從算 $E(X_1),E(X_2)$ 開始談。只投一次，期望值為 $\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 7=6$。因為對稱的關係，這正是投一正面，一反面所得數字的平均數。投兩次的話，期望值為 ${\displaystyle C_0^2(\frac{1}{2}{)}^2\times (2\times 5)+C_1^2\times (\frac{1}{2}{)}^2\times 12+C_2^2(\frac{1}{2}{)}^2\times (12-2\times 5)}$。由於二項式係數的對稱性（即 $C_0^2=C_2^2$）以及投兩次正面，兩次反面所在時鐘位置的對稱性（即 $10$ 和 $2$ 的平均數為 $6$）我們可以把此期望值整理成 $$(C_0^2(\frac{1}{2}{)}^2\times 6+C_1^2\times (\frac{1}{2}{)}^2\times 6+C_2^2(\frac{1}{2}{)}^2\times 6)+C_1^2\times (\frac{1}{2}{)}^2\times 6=6(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{)}^2+3=9.$$注意中間項，即一正一反的情況所在位置是 $12$ 比平均數多 $6$，所以為了湊二項式，就把這部分 $C_1^2(\frac{1}{2}{)}^2\times 6$ 提出來。現在應該大概知道怎麼回事了。 同樣的投三次，期望值為 $C_0^3(\frac{1}{2}{)}^3\times 2+C_1^3(\frac{1}{2}{)}^3\times 5+C_2^3(\frac{1}{2}{)}^3\times 7+C_3^3(\frac{1}{2}{)}^3\times 10$。一樣用對稱性知會等於 $C_0^3(\frac{1}{2}{)}^3\times 6+C_1^3(\frac{1}{2}{)}^3\times 6+C_2^3(\frac{1}{2}{)}^3\times 6+C_3^3(\frac{1}{2}{)}^3\times 6=6(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{)}^3=6$。

從這裡我們可歸納出，當投擲 $n$ 次，若 $k\ne \frac{n}{2}$，則由於投出 $k$ 次正面（$n-k$次反面）與投出 $k$ 次反面（$n-k$次正面）其機率相同，且二者所在時鐘位置的平均值為 $6$ 故在計算期望值中此二項的值會等於 $C_k^n(\frac{1}{2}{)}^n\times 6+C_{n-k}^n(\frac{1}{2}{)}^n\times 6$。因此當投擲次數為奇數時，期望值為 $6$；而當投擲次數為偶數 $2m$ 時，投擲$m$次正面，$m$次反面的情況在計算期望值時此部分的值為 $C_m^{2m}(\frac{1}{2}{)}^{2m}\times (12)$，故可推得期望值為 $6(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{)}^{2m}+C_m^{2m}(\frac{1}{2}{)}^{2m}\times 6$。 也因此我們算得 $E(X_8)=6(1+C_4^8(\frac{1}{2}{)}^8)$。

講解此題時老師可以讓學生試著用 $z=a+bi$ 代入解 $a,b$ 的方式處理看看，讓學生理解像這類僅牽涉乘法與共軛的複數問題，用極式處理的好處。選項中提及絕對值與主輻角就是提醒考生用極式處理。但考生表現仍不佳，可見大多數學生對極式的運算很不熟悉。會拿此題出來探討，主要還是看到選項（5）連前$33\mathrm{\%}$的高分組考生都有近六成圈選，實在令人訝異。高分組中有近六成的考生選擇選項（3），表示他們知道若 $\alpha$ 滿足式子，則 $i\alpha$、$i(i\alpha )=-\alpha$ 以及 $-i\alpha$ 都會滿足。那麼為何選項（5）還有同樣比率的考生覺得僅有 $3$ 個非零複數會滿足式子呢？難不成他們是被代數基本定理誤導，以為這是三次多項式所以會有三個複數根。但若真是如此，那麼 $0$ 也是一個解，不就應該僅有兩個非零複數會滿足啊？不管如何，老師應該可以在此讓學生知道 $z^3-4i\bar{z}$ 並不是一個複係數的多項式。因為式子裡有 $\bar{z}$，沒有一般多項式的除法原理，所以無法套用代數基本定理。最簡單的例子就是 $z-\bar{z}$，雖然 $z$ 僅有一次，但所有實數都滿足 $z-\bar{z}=0$，所以它有無窮多解。另一方面 $z\bar{z}=-1$，就沒有任何複數會符合，所以無解。

選填題

選填題由於猜答不易，得分率往往相對偏低。依大考中心的分類，第10題為中偏難，其餘兩題視為難，尤其第11題答對率僅$2\mathrm{\%}$，真的令人吃驚。我們大致談一下這兩個難題。首先，考生成績的 PD 值如下：

直角因為有很好的幾何性質，所以此題作法還蠻多的。不過也因為有很多性質好用，學生反而不知要用哪一個，而不知所措。其實看到直角，也可鼓勵學生用坐標試看看。坐標的代數做法較直接，比較沒有幾何不知用那個方法的困擾。不過用坐標處理問題，一定要鼓勵學生適時使用向量這個工具，而不是只有點，直線這樣的概念。或許是108課綱把坐標平面上的直線與圓和向量分在不同學年，學生較難將兩者連結。這兩年下來，發現學生在處理點、線問題時還是習慣使用高一的方法，而不知很多情況用向量的看法更好處理。

此題如何架坐標呢？由於 $\mathrm{\angle }C$ 是直角，當然是把 $C$ 點視為原點。然後依個人喜好定 $A$ 點、$B$ 點那個在 $x$ 軸、$y$ 軸。讓我們定 $A,B$ 的坐標分別為 $(0,\sqrt{3})$, $(2,0)$。接下來的工作就是找到 $M,N$ 兩點的坐標了。先找 $N$，因為 $\mathrm{△}ANC$ 是頂角為 ${120}^{\circ }$ 的等腰三角形，$N$ 到底邊 $\overline{AC}$ 的高在 $\overline{AC}$ 的中垂線上且長度為 ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\tan {30}^{\circ }=\frac{1}{2}}$。所以我們只要在 $\overline{AC}$ 的中點 $(0,\frac{\sqrt{3}}{2})$ 往 $\mathrm{△}ABC$ 的外部，沿著與 $\stackrel{\rightharpoonup }{CA}=(0,\sqrt{3})$ 垂直的方向移動 $\frac{1}{2}$ 的距離，即向量 $(-\frac{1}{2},0)$，就可得到 $N$ 點坐標 $(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$。同理，在 $\overline{AB}$ 的中點 $(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$ 往 $\mathrm{△}ABC$ 的外部，沿著與 $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}=(2,-\sqrt{3})$ 垂直的方向移動 $\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$ 的距離，即向量 $\frac{1}{2\sqrt{3}}(\sqrt{3},2)$，就可得到 $M$ 點坐標 $(\frac{3}{2},\frac{5\sqrt{3}}{6})$。

每次都不太想談排列組合的問題，不過後來都有某些原因（大多是答對率太低）不得不談。這次還是無法例外，答對率 $2\mathrm{\%}$，真是太可怕了。沒有拿出來關心一下好像很不應該。不知這是否是歷年來答對率最低的一題，不過真的參不透為什麼會這麼低。 或許是本卷計算太多，大部分考生沒有充分時間處理這一題。但也有人認為，題目的情境是機率，但最後問的竟是排列，處理方式策略不同當然影響答對率。個人也覺得這個因素影響頗大。畢竟處理機率問題很少會分成兩個樣本空間處理，而這題的排列問題分成從9張牌抽（8僅有一張）和從10張牌抽（兩個8同時出現）兩種情況處理會容易多了。當然了本題答對率這麼低真正的因素很難斷定，但個人還是認為數學歸數學，減少不必要的情境干擾比較好。

回來談題目數學本身。本題談的是“或”的問題，也就是滿足條件(1)或條件(2)的排列有幾種。這樣的問題比較難，由於一般來說“且”比較好算（畢竟個數比較少），所以通常我們會用“取捨原理”（這是課綱的說法，我習慣用“排容原理”）來處理“或”的問題。也就是說若符合條件(1)的集合為 $A$，符合條件(2)的集合為 $B$，則符合條件(1)或條件(2)的個數應為 $\mathrm{\#}(A)+\mathrm{\#}(B)-\mathrm{\#}(A\cap B)$。不過本題在策略上計算 $A$ 的個數時有點複雜（其實牽涉到處理 $A\cap B$），所以應該換一個角度思考。常常建議老師教導排列組合問題時，讓學生學習到“分類”的概念。多嘗試幾種不同的分類方式，讓學生了解如何找到好的分類。分類就是將集合分割成不相交的情況，其實意味著避免用到“取捨原理”。例如本題在處理時分類成有兩個 $8$ 和 沒有兩個 $8$ 兩類，就容易多了。事實上我們是將 $A\cup B$ 分割成 $A\setminus (A\cap B)$（即 $A$ 扣掉 $A\cap B$ 的部分）以及 $B$ 兩部分，就可以各別算它們的個數加起來得到答案了。此題 $B$ 的部分原本就好算，而 $A\setminus (A\cap B)$ 也是大家熟悉的從 $1,2,\dots ,9$ 這九張牌中，排出大於 $6400$ 的個數。總之，別忘了在處理“或”的問題時還有這一招。

非選擇題

今年手寫題的表現，依然令人心寒。大家都說今年計算複雜，但是沒有親自閱卷實在無法體會，很大部分考生千奇百怪的計算錯誤。撇開後面確實較複雜的計算，連 12 題正確計算的考生已經不多了。

我們就談談 12, 13 題閱卷時看到的情況。其他題目也是一些程序性的問題（答題的考生就更少了），就不多談了。

在計算 $\stackrel{\rightharpoonup }{CO}$ 與 $\stackrel{\rightharpoonup }{CP}$ 夾角的餘弦值，就改到數量頗驚人的卷子在計算 $\stackrel{\rightharpoonup }{CO}$ 與 $\stackrel{\rightharpoonup }{CP}$ 的內積時就出錯了，更別說還要接著計算 $\stackrel{\rightharpoonup }{CO}$ 與 $\stackrel{\rightharpoonup }{CP}$ 的長度，最後還有一個除掉長度乘積的計算，能正確計算此餘弦值的考生已經不多了。更訝異的是有相當多的考生是用餘弦定理處理此餘弦值的，除了計算稍微複雜外，題目已用向量表達，學生避開向量處理，很難理解其背後因素。是否與我前面所提，將平面坐標圓與直線單元與向量單元分成不同學年，造成缺乏這方面整合的能力。這在第 13 題就更明顯了。處理 $y=f(x)$ 在 $P$ 點的切線 $L$ 後，接下來只要說此直線 $L$ 也是圓 $\mathrm{\Omega }$ 在 $P$ 點的切線。圓心 $C$ 到 $P$ 點所形成的向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{CP}$ 剛才已經知道了，不就說明 $\stackrel{\rightharpoonup }{CP}$ 與 $L$ 垂直即可？不過見到絕大多數的解法是用了一些（各式各樣）不知那裡學到的切線公式。當然在這裡並不是要去區分哪一種解法好，不過108課綱在條目 G-11A-1 平面向量單元備註上提及：「請注意連結 10 年級所學的基礎」，若老師能在此單元中幫學生將過去圓與直線相關問題相連結，應能讓學生對向量的用處有更進一步的認識。