112數B

此次數B考題，一般普遍認為比去年數B難，成績公佈後，確實頂、前、均三標都比去年少了一級分，有趣的是後標和底標卻也各比今年數A的後標和底標少了一級分。數B考科是一個尷尬的角色，原先數B是設定讓數學需求度低的學生學習，但卻又有許多校系將數B列入個人申請比序參採科目。要達到評鑑的功效，題目自然就不能太簡單。老實說對於數學需求度低的學生這份卷子算是難，不過參加數B的考生絕不是只有數學需求度低的學生，所以這樣的考題就還OK了。就舉今年來說，幾個當初課綱在數B弱化了學習目標而導入讓學習數B學生“欣賞”數學的題材，都拿來考了且難度不低。這確實達到讓數A跨考數B的學生分數不要衝太高的目的，但這樣的難度也不會讓原本選讀數B的學生佔到什麼便宜。大家都心知肚明，學生數學程度的差異性大，對於數A跨考的考生，數學成績的差距足以彌補其他科目之不足。依現在的氛圍，數B考科已經儼然變成數A成績不佳的原本修習數A學生的庇護所。對於學習數B的學生在刻意安排降低學習內容以及數學訓練的成熟度後，還要和一些數學訓練及成熟度高的人一起競爭他們能力所不能及的競賽，真的對他們不公平。建議大考中心以及大學相關科系，能將數學B這個考科僅視為能力檢定的考科。它的五標僅作為學生申請的一個門檻依據，而不將其級分加入成績的比序。這樣大家也就不在乎有多少人滿級分了。讓課綱當初訂定數學B學習內容的“美意”，對於這群所謂數學需求度低的學生有實質上的幫助，而不是讓他們在考場上受到二次傷害。

單選題：此次單選部分，按照大考中心的難易度分類，易的題目（答對率60%以上）有3題（第2,4,5題）；中易的題目（答對率60∼45%）有3題（第1,3,6題）；中難的題目（答對率45∼30%）有1題（第7題）。

112數B第1題

關於本題的答對率，大考中心提供的分組資料如下：
P Ph Pl Pa Pb Pc Pd Pe D D1 D2 D3 D4
46 71 20 77 60 48 31 14 51 17 12 17 17
原本以為是超級送分題，結果全體答對率P為46%差一點被視為中偏難的題目，是單選題中答對率第二低的。我不是很了解為什麼有這樣的結果，有些人認為是會錯意了，把三次方看成是三次多項式。讓我們看看此題的選項分析：
組別 未答 1 2 3 4 5
T 0 *46 13 16 24 2
H 0 71 2 6 21 0
L 0 20 28 26 23 4
從上面的資料很容易看出，這高分組（H：成績前33%的考生）確實選類似一般三次多項式圖形的選項(4)所占的比率蠻高的。但低分組（L：成績後33%的考生）就沒有這個現象，不過從選項分佈來看低分組考生此題可能大多數在猜答。按理來說，不太難的單選題由於猜答也有20%的答對率。本題低分組Pl答對率20%是單選最低。這是高一課程內容，學生的答題狀況真的令人不解。希望老師們能釐清到底問題出在何處？是不了解文字敘述（正比的意義），還是真的不知“三次方”的圖形？老師可以將問題改為 y=ax3（a>0）在第一象限的圖形，看看是否狀況比較好。也可更進一步問 y=a(x+1)3 的圖形，評量一下平移概念。

112數B第7題

此題就是數B特別讓學生“欣賞”的圓錐截痕問題。高分組的答對率很低(39)，即使是排序前20%的考生答對率也僅43%。其實題目不難，但高分組的答對率是全卷第二低的，估計原因是高分組考生應該大多數是修習數A的學生，對此題材不熟悉所致。至於低分組的表現，估計大多是猜答。試想，連第1題平面上的三次函數圖形都無法作答的同學，要去理解空間中圓錐的截痕，可能是太難為他們了。關於本題的答對率，大考中心提供的分組資料如下：
P Ph Pl Pa Pb Pc Pd Pe D D1 D2 D3 D4
30 39 23 43 31 29 29 20 16 12 2 0 9

老師可以用縱剖面（或側面）的看法，幫助學生整理出以下化簡為平面的處理方式。首先畫出母線所形成的兩直線L1,L2。注意L1,L2需畫到交點（即圓錐的頂點）而且儘量延伸出去。接著畫出要切出截痕的平面所代表的直線T，也盡量延伸出去直到確定與 L1,L2 的相交情形，我們就可將截痕非退化情形分類成如下圖幾種類型（這裡畫的是軸為鉛直線的情形）：

拋物線       橢圓       雙曲線

也就是說，當 T 僅與 L1,L2 其中一條相交（即與另一條平行），此時截痕會是拋物線；當 T 與 L1,L2 皆相交於 P 點的同側，則為橢圓（若 T,L1,L2 圍成以 T 為底的等腰三角形，則為圓）；當 T 與 L1,L2 相交於 P 點的異側，則為雙曲線。讓我們用這方法來處理這一題看看。依題意我們可以畫出側面圖 第7題側面圖也就是先畫出代表牆面的鉛直線 T1，依題意墻面上的截痕是拋物線，所以依前面所述我們畫出與 T1 平行的 L1，再畫 L2 與 L1 夾銳角(60∘)。由於地面與牆面垂直，我們可畫出代表地面的水平線 T2 （與 T1 垂直）。儘量延伸 T2，我們會發現它與 L1,L2交於 P 點的同側 （這是因為夾角為銳角），所以在地面的截痕為橢圓，又L1,L2,T2所圍的三角形不是以T2為底的等腰三角形，所以此截痕不會是圓（即兩軸不等長）。為什麼前面說要儘量延伸 L1,L2 呢？例如本題若將夾角改為鈍角（廣角的手電筒）那麼將L2 延伸出去如圖 廣角手電筒學生才能知道其實 T2 與 L1,L2 都相交，只是交在 P 點的異側，所以截痕會是雙曲線的一支。

其實圓錐截痕還有以下退化的情形：

兩相交直線       一直線       一點

這也讓我想到110年數B試辦考試的這一題:

110數B試辦第7題

一開始我只注意到“數學”上的條件（即“半滿”）而誤以為水面會將杯子的上下底各分割一半，因此錯將水面所代表的直線 T 畫通過 P 而錯答為兩相交直線。其實此題談的是“物理”的性質（即水面保持“水平”）。我們可以先畫代表置於水平桌面杯子側面邊緣的水平直線 L1，再畫另一邊的側面邊緣 L2 （記得儘量延伸），再將代表水面的水平直線 T 如圖畫上：試辦第7題側面圖就可以看出截痕為拋物線了。

多選題：此次多選部分，按照大考中心的難易度分類，易的題目（得分率60%以上）有1題（第8題）；中易的題目（得分率60∼45%）有1題（第10題）；中難的題目（得分率45∼30%）有1題（第9題）；還有兩個（得分率低於30%）難的題目（第11,12題）。

112數B第11題

第11,12題得分率，大考中心提供的分組資料如下：
# P Ph Pl Pa Pb Pc Pd Pe T D D1 D2 D3 D4
11 29 45 16 52 33 26 19 14 8 29 19 7 7 5
12 28 49 15 60 30 19 15 15 12 34 30 11 4 0

為什麼拿11,12題的得分率一起做比較呢？不是因為兩題皆為難題，而是第11題的整體得分率，比第12題的整體得分率高了1%，但高分群不管是成績在前三分之一的得分率Ph或前20%的得分率Pa，第11題都比第12題低。就連全對率T也是如此。第12題得分率低是可以預期的，

112數B第12題

因為對於原本修習數學A的學生，球面坐標不是在學習範圍內；而對於修習數學B的學生，許多對於學習三維空間的直角坐標系都有問題了，要了解球面坐標實在是難為他們了。令人不解的是第11題是高一共同學習的圓與直線單元，為什麼高分群的學生表現比第12題還不理想呢？讓我們從本題考生作答的選項分析來看看是否能知道什麼端倪。

組別 未答 1 2 3 4 5
T 0 *61 31 49 *63 54
H 0 73 11 34 75 53
L 0 43 52 58 50 50

本題成績表現在後面三分之一的低分組（L）的選項分析，不具參考價值（每個選項幾乎都有一半的考生選，看來大多是猜答）。至於表現在前三分之一的高分組(H)考生，一般容易的選項幾乎都會有八成（甚至九成）以上的高分組考生答對（即對的選項圈選的比率會高於 80%，而錯誤的選項圈選的比率會低於20%）。從這個角度來看對於大部分高分組考生，只有選項(2)是容易的。這頗令人訝異，因為選項(3)問的是P點是否在圓內？由題意知道此圓的半徑為a，應該沒問題；而P到圓心的距離為 a+c>a ，自然P在圓外這樣基本的觀念竟然有三分之一以上的高分組考生不知道，是不是很令人疑惑?或許大家太關注於圓的方程式，而忽略了強調圓的幾何意義，以致於不會判斷一個點是否在園內。課綱要求不去利用圓心與半徑關係探討兩圓的關係，造成學生對於圓的基本幾何概念薄弱或許是一個因素。另外，我對選項(1)有點意見。照理說符合條件的A點有兩個選擇，即 b=a 或 b=−a。問題是要排除 b=−a 會造成與題設 a>c 矛盾，並不是馬上可以看出來的（反而選項(2)(3)較直接）。然而若學生一開始就認為 A 點在第一象限，根本不會花時間檢查這一點，反而小心一點的考生要花時間排除 b=−a 的情形。既然這樣的選項，無法評量考生是否知道 A 點原本有兩個可能，題設便應該一開始就假設 A 點在第一象限（這樣選項(1)依然是個合理的問題）。知道 A,P 點坐標分別為 (a,a),(c,c)，便有很多方法處理選項(4),(5)。例如利用 AP⇀=(a−c,a−c) 且其長度為 a+c，或是用 OA― 等於 2a 也等於 2c+a+c 處理。在數A高分群的考生中對於處理這些抽象符號的運算大多沒什麼問題，選項(4)(5)高分群表現不佳，是不是修習數學B的學生（即使是高分群的學生）在抽象符號的運算這方面仍有待加強？另外依據過去閱卷以及教學現場觀察的結果，我發現學生解題，通常是看到題目所假設的條件，也不管題目問什麼，就先將這些條件能推演的結果一個一個列出來，再回來回答問題。這樣的習慣很不好，尤其在處理多選的問題時，往往有些選項是有提示性的；先不管選項問什麼不只花費了許多不必要的時間還有可能做白工。個人估計，此題會不會有許多考生以為 a,c 有固定解，所以花了很多時間想將之解出。然而由於解不出，因此就不知如何代入選項了。其實選項中已明白告知 a,c 有一定的比例關係。所以希望老師多多注意學生是否有這樣的問題，要學生多注意題目各選項間的連貫性，有了問題整體概念再作答，不要盲目作答。

選填題：此次選填部分，按照大考中心的難易度分類，第13題是介於中偏易和中偏難之間的題目（答對率45%）；第14,15題為中偏難；而第16,17題得分率低於 30% （甚至低於 20%）是難題。第16題摺紙問題，大家可能受國中處理過類似問題所影響，想用幾何方法處理。其實若知道架坐標處理，應該不難。第17題是排列組合問題，近年來大考的排列組合問題都不難，可是考生表現都不佳。這裡就拿選填的兩題排列組合問題（第14,17題）來討論。

112數B第14題

第14,15題答對率，大考中心提供的分組資料如下：
# P Ph Pl Pa Pb Pc Pd Pe D D1 D2 D3 D4
14 38 72 7 82 53 34 17 3 65 29 19 17 14
15 38 78 6 87 59 30 11 4 72 28 29 19 7

第14,15題皆為中偏難，高分組的表現尚可（對他們屬易），但低分組的表現與之落差很大（少了猜答機會，這是選填題普遍情況）。第14題是操作型的問題，而第15題較需觀念作答。

112數B第15題

有趣的是這兩類型的問題高分群在觀念型的問題表現較好，而低分群在操作型問題較會處理。強化低分組同學處理第14題這方面的能力，應機會較大。

排列組合的問題，不必強調太技巧性的算法（例如，看出 a,c 必需同奇同偶，所以是10個奇數中選兩個加上10個偶數中選兩個）；但也不要只叫學生排排看就好。可以告訴學生儘量用分類的方法計數。所謂分類就是要每個元素都要被分到一類，而且不同類不會有共同的元素。如此就能確保算出的個數不多也不少。當然了，分類的方法可能有很多，另一個要點就是，每一類的個數都好算。就拿14題來說，我們可以先想想如何將這些等差數列分類。這就關係到如何決定一個等差數列。學生應該都知道，只要知道公差以及某一項就可決定一個等差數列。所以我們可以用公差來分類，然後再利用其第一項（或第二項、第三項）來計算每一類有多少個符合題設的等差數列。例如公差是1, 的就有第一項是 1,2,…,18 這 18 個數列；公差是2, 的就有第一項是 1,2,…,16 這 16 個數列；公差是 3 就有 14 個；...。由這些例子應該可以猜出規律，就是公差是 d，就有 20−2d 個數列。所以最後一類應該是公差是 9 的有2 個。檢查一下沒有錯就可已確定共有 18+16+⋯+4+2=9(18+2)/2=90 個。

當然了，我們也可以用第一項（或第二項、或第三項）來分類。由於這是三項的等差數列，用等差中項（即第二項）來分類（每一類再用公差來計算其個數）應是不錯的選擇。第二項為 2 的只有公差為 1 的 1 個數列；第二項為 3 的有公差為 1,2 的 2 個數列；第二項為 4 的有 3 個數列；...。由這個規律看起來好像第二項為 b 的有 b−1 個數列，不過要注意例如在第二項為 19 的情況只能有公差為 1 的這一種，所以很顯然的，中間有轉折，公差不能越來越大下去。再仔細檢查，第二項為 10 的有公差為 1,2,…,9 的 9 個數列（公差10的話，第一項會是0）；但是第二項為 11 的情況就變成仍然有公差為 1,2,…,9 的 9 個數列（公差10的話，第三項會是21）。接下學生應可理解第二項超過11後，隨著第二項變大，有同樣第二項的數列個數就變少，也就是第二項為 12 的有 8 個：第二項為 13 的有 7 個；每類個數一直遞減到第二項為 19 的有 1 個。因此總共有 1+2+⋯+9+9+8+⋯+1=90 個。也可讓學生試試看以第一項來分類，能否歸納出計算每一類個數的方法。這樣用第一項的分類法，或許有的學生會覺得歸納出每類的個數困難度較高。我們不是每種分類法都要會算，重要的是讓學生知道，有時分類的方法會影響計算的難易度。用某一分類法計算時，若覺得複雜，換一個分類的方式或許會有幫助。接下來讓我們用分類的方法算一算最難的第17題。

111數B第17題

第17題的答對率，大考中心提供的分組資料如下：

P Ph Pl Pa Pb Pc Pd Pe D D1 D2 D3 D4
10 25 3 35 8 4 3 2 22 27 4 1 1
比起一些幾何、代數問題，17題本身數學並不難，全體 10% 的答對率真的很低。可能是無法馬上弄懂題意再加上是最後一題在心裡以及時間的考量，沒辦法好好定下心來處理！

有老師提及一個很快速的看法，本題的例子已給很大的提示：考慮 n=3 的情形，可將要計算的序列分成 00X 和 X00 兩種類型，其中 X 可以是 0,1,2 中任何數。所以 00X 和 X00 各有三種。過去在計算個數時由於 00X 中的 000 與 X00 中的 000 重複計算因此只有 3+3−1=5 種，然而本題（反其道而行）反而 000 要算兩次不扣除，所以有 6 次。同樣的 n=5 時可考慮 00XYZ, X00YZ, XY00Z, XYZ00 四種情形，每種情形有 33=27 個，又不扣掉重複的部分，故共有 4×27=108 個。這個方法真是又快速又準確。不過我們不是只要教學生會做這一題就了事，試想在考試這麼簡短的時間，能精準掌握這樣的方法且確認無誤而敢使用的人幾乎微乎其微。還是教學生正常分類的方式計數為要。

讓我們用最簡單直覺的方式分類，也就是以5位數中 0 的個數來分類，然後再在每一類中依 0 出現的樣式來計算 00 出現的次數。從最簡單的 5 個 0 開始。這一類當然只有一個五位數 00000，所以依題意 00 出現 4 次。接著就是 4 個 0 這一類，因為有 5 位數要放 4 個 0，所以這一類又可分成以下 C45=5 個子類：0000X,X0000, 000X0,0X000 以及 00X00。因為 X 僅能是 1 或 2，每一種皆有 2 個五位數，但前兩個 0000X,X0000 其 00 出現 3 次；後三個 000X0,0X000 以及 00X00 其 00 出現 2 次。故總共 00 出現 2×(2×3+3×2)=24 次。接著是有 3 個 0 這一類：由於 5 個位數要有 3 個 0，照理說會有 C35=10 個子類，不過我們排除沒有出現 00 的情況（即 3 個 0 皆分開的 0X0Y0 這一子類），可分成三個 0 在一起的 000XY,X000Y,XY000 這 3 個子類，以及剩餘有兩個 0 在一起且與另一個 0 分開的 10−1−3=6 個子類（即 00XY0,00X0Y,0X00Y,X00Y0,0XY00,X0Y00）。注意，我們僅需知道每種 0 連續出現的類型的個數，不必浪費時間真正列出這些子類（除非擔心算錯）。因每一個子類有 22=4 個，又三個 0 在一起的那 3 個子類 00 出現 2 次；而兩個 0 在一起且與另一個 0 分開的 6 個子類 00 出現 1 次，故這一類 00 出現 4×(3×2+6×1)=48 次。最後僅剩有 2 個 0 這一類：我們僅要算兩個 0 在一起有 4 個子類（即00XYZ, X00YZ, XY00Z, XYZ00，仍不必列出，這裡列出只是為了解釋）。每個子類有 23=8 個，故這類中 00 出現的次數為 8×(4×1)=32 次。全部算完後加總，共有 4+24+48+32=108 次。

當然了，我們也可直接用 00 出現的次數分類，即分成 00 出現4次（五個0）；00 出現3次 （四個0皆在一起）；00 出現2次（三個0在一起或兩個0在一起兩次）；以及 00 出現1次這 4 類。再在每一類中依 0 的個數計算 00 的次數。例如 00 出現1次的，又可分成有三個0和兩個0，這兩種。三個0的有 00XY0,00X0Y,X00Y0,0X00Y,0XY00,X0Y00 這 6 個子類；兩個0的有 00XYZ, X00YZ, XY00Z, XYZ00 這 4 個子類。所以 00 出現1次的共有 22×6+23×4=56 個。其餘類別用類似方法，我們有 00 出現4次的有 1 個；00 出現3次的有 4 個：00 出現2次的有 18 個。所以總共 00 出現的次數為 4×1+3×4+2×18+1×56=108

112數B題組題

這次手寫題，學生答題的狀況依然不佳。除了空白卷仍多之外，最常見的錯誤竟然是“看錯題目”。注意，我說的是“看錯題目”，而不是指題意不清所導致的“誤解題目”。例如第19題：

112數B第19題

很多考生P點算的是直線A1B3與直線A3B1的交點。這麼多學生發生這樣的錯誤，還真讓人訝異。題幹上不是明明白白的說P是L和M的交點嗎？不過讓我們看看題幹上L,M在哪裡。它們在定義P的前一、二行；而中間夾雜著與P點無關的直線A1B3與直線A3B1的交點。個人猜想，題目題幹太長，許多考生並沒有仔細閱讀，看到P點為兩線交點就誤以為L,M分別為直線A1B3與直線A3B1。看到學生好好地寫下了直線A1B3與直線A3B1的方程式，也正確求出它們的交點但不能得分，是不是覺得很可惜呢？曾經在有關素養導向的會議中聽到老師說很多人都教學生：「看到文字題，前面一大段都可以跳過，只要看後面問什麼就好。」即使很多老師像我一樣對（情境）素養題很“反感”，真的沒有必要對學生說這種沒有好處的話，好好教學生仔細閱讀吧！不過我也想為學生說說話，幫他們抱怨一下。老師出題時，應儘量將相關的訊息放在一起。本題P點的定義和L,M的描繪真的離得蠻遠的，中間穿插著無關的訊息。尤其是關於直線A1B3與直線A3B1的交點，這部分其實與18,19兩題皆無關，但它卻是20題所需重要的訊息。放在題幹上，考生可能忽略了這個訊息，造成處理第20題另一個“致命的錯誤”。我們先看一下20題：

112數B第20題

題目說蜜蜂停在"中間"的電線桿，而此電線桿也確實在第一根與第三根的中間，因為題幹說它們間距相等。又蜜蜂在此電線桿從底端到頂端1:2的位置，而20題的敘述中也說在畫布上代表蜜蜂的Q點也在畫布上代表電線桿的線段A2B2―從A2到B2的1:2的位置。問題是，要找到Q點坐標就必須知道A2,B2的坐標。如何找到A2,B2的坐標呢？由前面所述畫布上Q點位置與A2,B2的相關位置的比例關係是和真實世界中蜜蜂與中間電線桿底端與頂端的相關位置的比例是一致的。而中間的電線桿其底端所對應的是第一根與第三根電線桿底端的中點，所以很多考生都認為在畫布上代表此底端的A2也會在代表第一根與第三根電線桿底端的A1,A3的中點。很多學生發生這樣的錯誤，個人覺得合情合理。實在不能預期學生對單點透視法能熟悉到理解在真實世界的一些點畫在畫布上何時仍保持比例、何時沒有保持。當然還有一個重要因素就是有關於中間這根電線桿在畫布上的資訊，是藏在題幹上“直線A1B3與直線A3B1的交點在直線A2B2上”這句話。長長的題幹再加上經歷了 18,19 兩題，看來真的有許多考生忘記了還有這麼一個重要訊息。若將這句話放在與之有關的20題上，而不是題幹，或許對許多學生有幫助。

關於第20題，若了解題意照著做當然不難。不過前面所述，在電線桿上的點之間的比例和畫在畫布上的比例是一致的，但為何三根電線桿底座間距相等，畫在畫布上間距卻會不同呢？為何沒有保持等比例呢？學生或許會有這樣的疑惑與困擾。最後，就讓我們大致探討一下這個問題。單點透視法一個要注意的概念就是一般來說它不會保持原來長度間的比例關係。否則“消失點”（可以把它想像為類似無窮遠點的概念）就沒辦法畫在有限的畫布上。從這個概念來看，原來一樣間距的點，畫在畫布上若越靠近消失點就會顯得越短。所以三個電線桿底座雖間距相等，但它們所對應的點A1,A2,A3，由於 A1,A2 比較靠近消失點，所以 A1A2― 應該會短於 A2A3―。另一個有關於單點透視法要注意的概念就是，平行線未必仍保持平行。像題目中電線桿底座的連線以及頂端的連線是平行的（因為電線桿高度相等），不過畫在畫布上它們相對應的直線 L,M 卻不平行。然而題目中三個互相平行的電線桿，依題意畫在畫布上依然平行（皆與y軸平行）。就是因為它們依然平行，讓它們保有特殊的性質。還有一個關於單點透視法要注意的概念就是原來不同的點可能畫在畫布上同一點，要把三維空間的物體畫在二維平面上，這個還蠻好理解的，不過與本題沒有太大關係，就不多談了。剛才談的是空間的世界利用單點透視法畫在平面上無法保持的性質；至於單點透視法仍保有的性質就是：若原來空間中兩點 P,Q 畫在畫布上為相異點 P′,Q′，則直線 PQ 上的點畫在畫布上依然會在直線P′Q′上。這也是本題所用到的概念。假設我們是垂直面對三個電線桿所在平面，在畫布上畫下第一、第三根電線桿後，如何畫上第二根電線桿呢？由於電線桿的頂點、底部的連線段以及第一、第三根電線桿圍成了一個矩形，其對角線的交點就是第二根電線桿的中點。所以我們只要在此交點上畫一個與第一、第三根電線桿平行的線即可畫出第二根電線桿的位置。如圖示：正對電線桿 同樣道理，如本題，當視角沒有正對三個電線桿所在平面（且離第三根比較近）時，我們依然可用前面所述的方法由第一、第三根電線決定第二根電線桿在畫布所在的位置。原來的兩個對角線對應到畫布上的線段A1B3與線段A3B1，也因此第二根電線桿的中點（即兩對角線交點）就會對應到畫布上直線A1B3與直線A3B1的交點（令之為 R），也因此依題意通過R畫與直線A1B1（及直線A3B3）平行的直線就是A2,B2所在的直線。斜對電線桿由於直線A1B1與直線A3B3平行且A1B1―:A3B3―=1:2 利用相似形，我們知道 A2 會在線段 A1A3 上距離 A1 三分之一處（即 A1A2―:A2A3―=1:2），而不是中點。這也符合前面所述 A1A2― 應短於 A2A3―。 不過同樣利用直線A1B1與直線A3B3平行以及相似形，可得R依然會是A2,B2的中點。也就是說原來第二根電線桿的中點，畫在圖上依然是中點。事實上A1,B1的中點和A3,B3的中點連線會通過消失點P以及A2,B2的中點R。這也和原來三根電線桿的真實情況相吻合。因為三根電線桿等高，底座又在同一直線上，所以底座的直線與頂端所在直線是平行的，且與三根電線桿的中點連線平行。所以這三條平行線在單點透視法中所畫的直線會交於消失點P。現在大家應可大致了解，原來平行的三根電線桿利用單點透視法畫在畫布上由於依然平行，所以利用相似形概念可知，同一電線桿上的點畫在畫布上，其位置的比例關係是不變的。

結語：從這次數學B的考題，以及學生表現，忍不住想下個結語說說自己的看法。數學B宣稱是讓未來數學需求度低的學生修習，其實直白的說，這些學生大多都是數學能力較差的學生。課綱要凸顯數學B與數學A的不同，所增加的題材雖可說是希望學生以“欣賞”的角度讓學生了解一些以後可能會接觸的數學相關概念；但這些數學概念對數學成熟度不夠的學生仍是困難的。所以這些題材“欣賞”可以，拿來考試，大多數學生可能就“無福消受”了。就舉單點透視法來說，學生空間概念已不足，又要學空間到平面的轉換豈不更困難（當初不學投影不就是因為這原因嗎？）。雖然此次題目，不需真正了解太多概念，只要照著做就好；但是太多的點和線，一下在原來的空間、一下在圖上，沒有完整的概念當然容易搞混。所以在閱卷場上，看到考生代錯點、弄錯直線的比比皆是。近幾次的課綱演變，都有著一個怪異現象，就是會有一些新的題材加入，而下一個課綱會捨去或弱化這些新的題材（例如信賴區間、插值多項式等），但卻又加入另一些新的題材。然而在內容與教學現場沒有充分溝通之下這些新的題材都把大家搞得烏煙瘴氣的。造成不同代的學生都還要花一些時間去學一些前一代和後一代都沒學卻又很難搞懂的東西。弄得老師也苦、學生也苦。個人建議回歸基本內容，尤其是數學B更不需學多學雜。只要基本概念正確、邏輯推演能力夠成熟，將來遇到所需的數學時，自然能弄懂。數學不正是因為這樣才能在各方面有所應用嗎？而不是為了某個應用，而刻意的片面學習該處的數學。