112數A

此次考題，一般普遍認為題目較易，不過成績公佈後，考生表現並不理想。我有參與此次考試閱卷工作，從考生答題的狀況可看出大多數學生（指的是超過一半）並不知如何處理這個題組題。其實個人覺得此次考題整體來說並不容易，不過由於大多數的題目都可藉由基本的操作，不需較抽象的觀念也能答題，可能因此大家認為題目不難。

單選題：此次單選部分，按照大考中心的難易度分類，易的題目（答對率$60\mathrm{\%}$以上）有1題（第1題）；中易的題目（答對率$60\sim 45\mathrm{\%}$）有3題（第2,3,5題）；中難的題目（答對率$45\sim 30\mathrm{\%}$）有2題（第4,6題）。

第13題是選填題，再加上題幹較長又要設方程組，再求解；而第1題只要讀懂題意，了解指數率，就能作答。照理來說，第1題的得分率應該比較高。從此結果來看，低分組的學生對於用指數表示的數字仍覺陌生。老師在指導學生練習本題時，或許可以先轉換成問「計算機按了2以後，連續按 $x^2$ 三次，最後的數字為何?」學生或許會將數字乘開來計算。也要要求學生用2的次方來處理，這樣才能了解學生對指數運算的掌握能力。

從第4題的選項分析看來，很多同學可能僅考慮到前5個數字要遞增，而忽略後面數字遞減是要將第5個數字也算進去。老師講解排列組合問題，千萬不要強調訣竅，直接提及解題策略。 其實一開始使用列舉的方式，慢慢在幾個列舉的過程中找到好的分類方式來計數，才是高中學習排列組合所要強調的。本題看似排列的問題，卻是用組合觀點處理較易， 也是可以和學生好好探討的課題。可以問9個數字隨機排列，最後會符合題設的排序規定的機率為何，讓學生理解其中之不同。

此題整體答對率$35\mathrm{\%}$有點低(大考中心視為中偏難)。仍算排列組合的問題，只是加上了空間向量內積之元素。依題目的設定，大家很自然的會設定坐標系，以$O$為原點考慮其與$(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$所形成的正立方體。這樣的好處當然是容易求各向量間的內積。不過我們應該先釐清，這個問題會不會因為選取的頂點坐標不同而有不同的結果。當然了題目這樣問應該與坐標選取無關，不過學生還是應該了解其真正的原因，健全對內積的概念。當然了若改變各頂點之坐標，各向量的坐標表法也會改變。但兩向量的內積不只有用坐標表法的計算方式，它還有一個等價的定義，即兩向量長度之積乘上其夾角的餘弦值（或相對應的投影概念）。也就是說兩向量的內積只關係到它們的長度以及夾角，題幹探討的邊長為$1$的正立方體，這些向量的長度以及之間的夾角皆已固定，所以這些內積不會與所選頂點坐標有關，當然找最易計算的坐標最好。

前面所提，相信一般高分組的同學都理解，也相信是用前述的坐標表法處理。令人不解的是$7$個向量選兩個相異的向量內積，也僅有$21$種選取方式，為何高分組僅有$55\mathrm{\%}$的答對率呢？或許對於處理排列組合的問題，我們應該再次強調如何用分類的方式有系統的計數，而不是一再的練習一些特殊的解法。這一題因為有其對稱性，若能將向量做好分類再計算，不僅計算容易也不會有多算、少算的問題。可以讓學生想想有哪些分類方法（注意這裡分類強調的是能夠不多算或少算，而不是能很快的算，畢竟沒幾項，也快不到哪裡）。這裡舉的方法，應該是學生大多能想到的，也方便順便練習一些內積的性質。

由於隨機取兩個相異向量，所以每個選擇機率都是${\displaystyle \frac{1}{21}}$。我們可以先求所有的內積和再除以$21$就是期望值。如何算所有的內積呢？我們可以依向量的長度分類。$7$個向量中有$1$個長度為$\sqrt{3}$（即$(1,1,1)$）；$3$個長度為$\sqrt{2}$（即$(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)$）；$3$個長度為$1$（即$(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$）。根據這樣的分類，我們可以先考量長度為$\sqrt{3}$的向量與其他向量的內積。從幾何角度來看$(1,1,1)$在其他$6$個向量的投影就是該向量，所以這部分內積和為$3\times (\sqrt{2}{)}^2+3\times 1^2=9$。當然也可用坐標表示法直接算，由於內積有類似分配律的性質，我們可以將其他$6$個向量先相加再與$(1,1,1)$內積，同樣可得此部分內積和為 $(1,1,1)\cdot (3,3,3)=9$。同樣的我們可以算$3$組兩個長度為$\sqrt{2}$的向量內積。例如$(1,1,0)\dot{(}1,0,1)=1$，可由對稱性知這$3$組內積和為$3$。又長度為$1$的向量互相垂直，所以僅剩下要計算長度為$\sqrt{2}$與長度為$1$的向量的內積和。這可以分別計算，或是用剛才類似分配律的方式先將$3$個長度為$\sqrt{2}$的向量加起來（即$(1,1,0)+(1,0,1)+(0,1,1)=(2,2,2)$）以及$3$個長度為$1$的向量加起來（即$(1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)=(1,1,1)$）再內積得此部分內積和為 $(1,1,1)\cdot (2,2,2)=6$。故全部內積和為$9+3+0+6=18$，期望值為${\displaystyle \frac{6}{7}}$。

提到向量內積的分配律，或許同學會想到$(\stackrel{\rightharpoonup }{u}+\stackrel{\rightharpoonup }{v})\cdot (\stackrel{\rightharpoonup }{u}+\stackrel{\rightharpoonup }{v})=|\stackrel{\rightharpoonup }{u}{|}^2+|\stackrel{\rightharpoonup }{v}{|}^2+2\stackrel{\rightharpoonup }{u}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{v}$。這個式子當然對更多的向量也成立。所以我們可以將這$7$個向量相加再與自己內積，所得的值再扣掉這$7$個向量的長度平方和，就是任取兩個相異向量之和的$2$倍。這$7$個向量相加所得的向量是$(4,4,4)$（註：可讓學生思考一下，不直接列出計算這些向量和，而用排列組合的方式計算，也就是說看這$7$個向量中$x$坐標為$1$的向量有幾個，同樣算$y$坐標以及$z$坐標）。最後由 $(4,4,4)\cdot (4,4,4)=48$，扣掉這$7$個向量的長度平方和$(\sqrt{3}{)}^2+3\times (\sqrt{2}{)}^2+3\times 1^2=12$，得36。故可得任取兩個相異向量之和為${\displaystyle \frac{36}{2}=18}$。

多選題：此次多選部分，顯得平易近人，每一題都可以實際操作求得正確答案，雖然有幾個選項可直接用觀念解題，但直接計算也差不了太多時間。不過考完的結果，按照大考中心的難易度分類，易的題目有1題（第7題）；中易的題目有2題（第9,10題）；中難的題目有2題（第8,11題）；有1題難題（第12題）。

第7題的得分率，大考中心提供的分組資料如下：

第14題的答對率，大考中心提供的分組資料如下：

第12題不難，但表現不太亮眼，從大考中心公佈的得分率來看，對學生是難題。這不大意外，因為過去三角函數圖形是在高三範圍，108課綱移至高二，對於用學測考古題練習的同學，可能會忽略了這一塊。 第12題的得分率，大考中心提供的分組資料如下：

真的表現不是太好，連高分組得分率才$37\mathrm{\%}$(平均起來約錯兩個選項）。而五個選項全對佔全體考生的比率T也僅有$6\mathrm{\%}$. 題目是關於$y=\sin x+\sqrt{3}\cos x$ 的圖形。需將之化為${\displaystyle y=2\sin (x+\frac{\pi }{3})}$ 或 ${\displaystyle y=2\cos (x-\frac{\pi }{6})}$來處理，這部分相信高分組沒有問題。我們從選項分析來看看學生到底是哪些選項較不會掌握。

整體考生來看，錯誤的選項(4)被圈選的比率竟是各選項中最高（$71\mathrm{\%}$），而正確的選項(5)被圈選的比率竟低於$50\mathrm{\%}$。更有趣的是高分組和低分組在這兩個選項的圈選比率非常接近，表示高、低分組在這兩個選項錯誤的比率幾乎一樣。這表示學生對函數平移後的相關位置（選項4）以及三角函數相互間平移關係（選項5）不是很熟悉。

多選題，通常會在前面幾個選項利用簡單的問題引導處理後面較複雜的選項。建議老師多提醒學生注意這些選項間的提示與關聯性。例如本題，圖形的對稱性很重要，因為太重要了，出題者還好心的提醒兩次。另外講解此題，也不需太過要求圖形的正確性。約略畫出 $y=\sin x$ 的圖形（我習慣看正弦函數，若同學習慣餘弦就畫餘弦函數），注意對稱性以及平移後坐標軸、對稱軸位置即可。利如本題${\displaystyle y=2\sin (x+\frac{\pi }{3})}$就可約略畫圖如下：

對於選項(3)(4)，前面選項已提醒用對稱軸的概念處理。從上面圖示，我們知道當$x$從$0$到${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$, ${\displaystyle f(x)=2\sin (x+\frac{\pi }{3})}$的值從$\sqrt{3}$遞增到$2$。利用對稱的概念，當$x$從${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$到${\displaystyle 2\times \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}}$, $f(x)$的值從$2$遞減到$\sqrt{3}$。也就是說$y=f(x)$的圖形在$x$為$0$到${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$的範圍完全對稱於鉛直線 ${\displaystyle x=\frac{\pi }{6}}$（選項(1)所指${\displaystyle x=\frac{\pi }{6}}$為對稱軸是考慮$x$為整個實數的範圍）。同理$y=f(x)$的圖形在$x$為${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$到$2\pi$的範圍完全對稱於鉛直線 ${\displaystyle x=\frac{7\pi }{6}}$。簡單來說當我們考慮$f(x)=a$，其中$\sqrt{3}\le a<2$在$x\in [0,2\pi )$的解，其解會對稱於${\displaystyle x=\frac{\pi }{6}}$；而$f(x)=b$，其中$-2<b<\sqrt{3}$在$x\in [0,2\pi )$的解，其解會對稱於${\displaystyle x=\frac{7\pi }{6}}$。因此選項(3) $f(x)=\sqrt{3}$ 在$x\in [0,2\pi )$的範圍有兩個解，兩解之中點就是${\displaystyle x=\frac{\pi }{6}}$（事實上此二解為${\displaystyle 0,\frac{\pi }{3}}$）：同理選項(4) ${\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}}$在$x\in [0,2\pi )$的範圍有兩個解，兩解之中點就是${\displaystyle x=\frac{7\pi }{6}}$，故兩解之和為${\displaystyle 2\times \frac{7\pi }{6}>2\pi }$。

選項(5)很多同學不選的原因可能是看到${\displaystyle 4{\sin }^2\frac{x}{2}}$，就以為振幅是$4$與$f(x)$的振幅$2$不符，所以不可能是$y=f(x)$的平移。其實不然，這裡有一個平方，就把整個函數的值限制在$0,4$之間，所以$4$應是振幅的兩倍。其實同學看到平方以及${\displaystyle \sin \frac{x}{2}}$，應該要聯想到半角公式。所以 ${\displaystyle 4{\sin }^2\frac{x}{2}=2-2\cos x}$。接下來，老師可以幫學生整理並解釋，凡是$y=a+b\cos (rx+c)$ 和 $y=a+b\sin (rx+c)$的圖形皆可由$y=b\sin (rx)$（也可由$y=b\cos (rx)$）的圖形上下、左右平移得到。另外也可補充$y=b\sin (rx)$可由$y=\sin x$的圖形$y$方向伸縮$b$倍且$x$方向伸縮${\displaystyle \frac{1}{r}}$倍得到。

選填題：此次選填部分，按照大考中心的難易度分類，易的題目有2題（第13,14題）；難的題目有3題（第15,16,17題）。 難易度分配的不是很平均，不過選填幾乎無法猜答，稍有難度的題目，答對率往往不佳。前面已提過兩題易的題目。我們來看看程度中等的學生是否可能處理其餘的難題。

第15題的答對率，大考中心提供的分組資料如下：

大考出現許多這類抽象（沒有坐標）的平面向量問題，一般學生表現都不理想，這一題也不例外。對高分組學生來說本題算中偏易答對率還有$56\mathrm{\%}$，但低分組的答對率卻僅有$4\mathrm{\%}$。若從更細的五個能力分組的答對率來看，可以發現a組（前$20\mathrm{\%}$）答對率為$68\mathrm{\%}$，但之後各組表現就差很多了。也因此本題在區隔a,b兩組（前$20\mathrm{\%}$以及前$20\sim 40\mathrm{\%}$）考生的鑑別度D1，是全卷最高的。由此看來，好好讓學生理解如何處理這類題目，絕對對學測成績很有幫助（尤其是這類題目經常出現）。

看到垂直，許多老師喜歡用幾何的方式解題。沒錯!垂直這種特殊的幾何特性，真的有許多很厲害很好用的性質。例如本題，若知道 $D$ 在線段 $AB$ 之外，對數字“敏感”一點的人，由 $\overline{AD}=\overline{AB}+\overline{BD}$，馬上看出 $\frac{3}{5}\overline{AB}=\overline{CB}=\overline{BD}$。也就是說 $B$ 會是直角 $\mathrm{△}COD$ 斜邊 $\overline{CD}$ 的中點，也因此 ${\displaystyle \overline{OB}=\overline{CB}=\frac{3}{5}\overline{AB}}$。再由 $\mathrm{△}AOB$ 為直角三角形得 $\overline{OA}:\overline{OB}=4:3$。這個解法，看似簡捷快速，不過是在花時間思考後，整理出來的解法。現在高中課程中已不談這類平面幾何的方法，對學生來說在考試時這種幾何作法很難施得上力。更何況，這個做法僅適用於 $B$ 為 $C,D$ 的中點這個特殊狀況（或許出題者是為了讓數據好看，所以如此設計） 。若不是這種狀況，純幾何的解法可能更大費周章了。所以這類問題，還是建議使用坐標幾何的方法，不只學生較易操作，也適用於所有情況。在111數A第9題，我們曾經提及，這類抽象向量問題，可以直接設成坐標來處理。也就是說將抽象的 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$ 兩個不平行向量，用具體的 $(1,0)$, $(0,1)$ 取代這兩個向量。這樣的方法，對於將向量寫成 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$ 的線性組合特別有用。不過也要注意，若涉及內積或距離，由於原來$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$未必垂直且長度也未必是$1$，就不能直接用坐標表示來處理；不過還是可用坐標方式先寫成$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$ 的線性組合，再利用內積的性質處理。然而本題雖涉及垂直（與內積有關）但給定的兩向量$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OA}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OB}$相垂直，只是不知道長度而已，所以我們還是可以直接化為坐標來處理。也就是說令$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OA}=(a,0)$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OB}=(0,b)$。 接下來馬上可寫出${\displaystyle \stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OC}=(\frac{3}{5}a,\frac{2}{5}b)}$。至於決定 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OD}$的坐標表法，就僅剩分點公式而已。在直線$AB$上滿足$3\overline{AD}=8\overline{BD}$的$D$點有兩種可能：一個在線段$AB$上;另一個在線段$AB$外（較靠近$B$）。或許本題是這部分讓學生困擾而不知所措，以致於表現不好。其實若$D$和$C$一樣在線段$AB$上，則由$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OA}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OB}$相垂直知$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OC}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OD}$不可能垂直。所以只要考慮$D$在線段$AB$外的情形，得 ${\displaystyle D=(-\frac{3}{5}a,\frac{8}{5}b)}$。再由$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OC}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OD}$垂直，知${\displaystyle (\frac{3}{5}a,\frac{2}{5}b)\cdot (-\frac{3}{5}a,\frac{8}{5}b)=0}$，故得$9a^2=16b^2$。我們也可告訴學生不要擔心萬一看不出來$D$不能在線段$AB$上怎麼辦。可以鼓勵學生真的把這情況的$D$點坐標${\displaystyle (\frac{3}{11}a,\frac{8}{11}b)}$求出，此時$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OC}\cdot \stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{OD}=0$會導致${\displaystyle \frac{9}{55}{a}^2+\frac{16}{55}{b}^2=0}$的矛盾。讓學生理解，幾何上的不合理，利用坐標的方法也會導致代數上的不合理。數學的理論不可能會互相違背的。

若學生不喜用分點公式（像我一樣），也可鼓勵學生用向量的觀點處理。不建議學生利用$A,B$所在的直線方程式（$bx+ay=ab$）解$D$點坐標（$C$ 在直線 $2bx-3ay=0$，故 $D$ 在直線 $3ax+2by=0$上)，不過可讓他們試看看。了解這會很麻煩，或許能讓學生體會到向量的好處。由於$D$點在直線$AB$上滿足$3\overline{AD}=8\overline{BD}$，從向量的角度來看這會有兩種可能，即$3\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AD}=8\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{BD}$或$3\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AD}=8\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{DB}$。所以設$D$的坐標為$(x,y)$就可由$3(x-a,y)=8(x,y-b)$或$3(x-a,y)=8(-x,b-y)$，解出$D(x,y)$的兩種可能，再做下去。當然了，這樣的方式牽涉到一些抽象符號的操作，對於成績中下的學生可能有困難（搞不懂$a,b,x,y$哪些是未知數），那就直接背分點公式囉!

第16題的答對率，大考中心提供的分組資料如下：

在這一系列的大考試題解析的前言中提過，這些解析並不是要提供各種解法，而是希望能提供一些想法，幫助老師、學生注意一些可能沒有注意的概念。空間的問題大多數學生都學得不好，本題雖有多種解法，其實都是同一概念。希望能由介紹的幾種解法中，讓同學更熟悉一些有關空間的概念。這裡為了方便起見，令$P$點在平面$E$的投影為$Q$。依直覺設$Q$點坐標為$(x,y,z)$，利用$Q$到$A,B,C$的距離相等，我們得到方程式$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+z^2=x^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2=(x+2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-4{)}^2$。有的同學由$Q$在平面$E$上知$(x,y,z)$會滿足$x+z=2$，而將前面的方程式中的$z$用$2-x$取代（或將$x$用$2-z$取代）。不過這和將該方程式整理好後再取代是相同的，而且目前的方程式較容易看出其幾何意義，所以我們先不進一步將$z$取代為$2-x$。一般看到方程式$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+z^2=x^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2=(x+2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-4{)}^2$會嚇一跳，覺得是三元二次方程式蠻複雜的。其實觀察一下$x,y,z$的係數都是$1$, 平方項都可以消掉，所以別害怕，應該是三元一次方程組，可以勇敢地做下去。另外要注意，三個式子有兩個等號相連，是為了方便，其實是指 $\{\begin{array}{ll}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+z^2=x^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2& \cdots (K_1)\\ x^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2=(x+2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-4{)}^2& \cdots (K_2)\\ (x-2{)}^2+(y+1{)}^2+z^2=(x+2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-4{)}^2& \cdots (K_3)\end{array}$這樣的方程組。注意其中任兩個等式成立的解，同時也會使得另一個式子成立。所以我們只要選擇其中兩個式子取聯立即可。就選前兩個式子$K_1,K_2$吧！展開化簡可得以下的方程組：$\{\begin{array}{ll}4x-4y-4z=0& \cdots (H_1)\\ 4x-4z=-16& \cdots (H_2)\end{array}$。這看起來很面熟吧！就是一個直線的兩面式。很容易檢查平面$H_1$通過$A,B$的中點$(1,0,1)$且其法向量$(1,-1,-1)$也與$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{BA}=(2,-2,-2)$平行。也就是說$H_1$上的點與$A,B$中點的連線皆與直線$AB$垂直，因此這些點到$A$的距離和$B$的距離相等，這也完全符合當初方程式$K_1$要求的性質。所以空間中所有與$A,B$距離相等的點所成的集合就是$H_1$這個平面，稱之為$A,B$的中垂面。同樣的，$H_2$由式子$K_2$化簡而來，是通過$B,C$中點$(-1,1,3)$且以$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{BC}$為法向量的平面，即$B,C$的中垂面。也因此這兩個平面所交的直線$L$就是所有與$A,B,C$距離相等的點所成的集合。注意，我們不必利用式子$K_3$求$A,C$的中垂面，因為它也會與$H_1,H_2$交於$L$。既然$Q$在直線$L$與平面$E$上，故$L$與$E$的交點就是$Q$點。因此如前面所提，將$z=2-x$代入兩面式，就可得$Q$點坐標$(-1,-4,3)$。找到$Q$點後只要順著$E$的法向量$(1,0,1)$方向，碰到平面$z=1$就是$P$點了，由於$(-1,-4,3)+(-2)\times (1,0,1)=(-3,-4,1)$的$z$坐標為$1$，故得$P$點坐標為$(-3,-4,1)$。按照程序，找到$P$點後再用點到平面的距離即可。不過這裡可以略過此程序，因為$Q$點是$P$到$E$的投影點，而$\overline{PQ}$就是向量$(-2)\times (1,0,1)$的長度，即$2\sqrt{2}$。整個程序來看，要理解的空間概念蠻多的。我們不是要教會學生做這一題就可以，而是讓他們理解這些概念的關係，且能適時運用。或許可讓學生觀察$P$點也在兩中垂面的交線$L$上，看看學生能否說出原因。事實上依題意$P$點到$A,B,C$三點的距離皆相等，而這些中垂面的交線$L$的方向向量就是平面$E$的法向量。這些學生應該都能理解。

此題由於$P$點在平面$E$的投影$Q$，就是三角形$ABC$的外心，我們也可以用習慣找三角形外心的方法處理。也就是說我們可以利用平面$E$上$A,B$的中垂線與$B,C$的中垂線的交點得到$Q$。這裡特別說明一下這個方法，幫助大家了解在坐標空間中處理平面上的問題與坐標平面上的處理方式之差異性。在坐標平面上利用斜率的概念我們很容易找到過直線上一點且與該直線垂直的直線，如何處理空間中同樣的問題呢？由於空間中過直線上一點且與該直線垂直的直線有無窮多條，要找到落在特定平面的那一條直線，其方向向量就必須與該平面的法向量垂直（以確定這條線是“躺在這個平面上”）。本題要找到線段$AB$在平面$E$的中垂線，其方向向量就必須與直線$AB$的方向向量$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{BA}=(2,-2,-2)$以及$E$的法向量$(1,0,1)$垂直。利用外積得方向向量為$(1,2,-1)$，又$A,B$的中點為$(1,0,1)$，故得在平面$E$上，線段$AB$的中垂線的參數式為$(1+t,2t,1-t)$。同理得，在$E$上，線段$BC$的中垂線的參數式為$(-1,1+t^{\prime },3)$。因此解得$Q$點坐標為$(-1,-4,3)$。在坐標平面上還有一個方法求外心，就是設好外心坐標，利用內積處理其與一邊中點所形成的向量與該邊垂直。在空間中，也可如法炮製，只是要記得所設的外心坐標要在平面上。所以這一題，我們可以設$Q$點坐標為$(2-z,y,z)$（因為本題已知$P$點的$z$坐標為$1$，只要知道$Q$的$z$坐標就可以求得$P,Q$距離，所以直接將$x$以$2-z$取代，可以較快得到$z$）。利用$Q$到$A,B$的中點$(1,0,1)$所成向量與$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{BA}=(2,-2,-2)$內積為$0$，可得方程式：$y+2z=2$。同樣的，利用$Q$到$B,C$的中點$(-1,1,3)$所成向量與$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{BC}=(-2,0,2)$內積為$0$，可得方程式：$2z-6=0$。解聯立，同樣得$Q$點坐標為$(-1,-4,3)$。同學或許會好奇，當初$Q$點坐標若直接設成$(x,y,z)$，用這個方法，會得到什麼？記得前面提的兩中垂面$H_1,H_2$所相交的直線$L$吧!它通過$Q$點且其方向向量就是$E$的法向量。考慮$L$上另一點$R$，由於$R$在$E$的投影是$Q$，而$Q$和線段$AB$、線段$BC$的中點連線又分別與線段$AB$、線段$BC$垂直。所以由「三垂線定理」，$R$和線段$AB$、線段$BC$的中點連線也分別與線段$AB$、線段$BC$垂直。也就是說，若設$R$的坐標為$(x,y,z)$，$R$與$A,B$的中點$(1,0,1)$所成向量$(x-1,y,z-1)$會與$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{BA}=(2,-2,-2)$內積為$0$。同樣的$R$到$B,C$的中點$(-1,1,3)$所成向量$(x+1,y-1,z-3)$也與$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{BC}=(-2,0,2)$內積為$0$。因此我們依然得到$L$的兩面式： $\{\begin{array}{r}x-y-z=0\\ x-z+4=0\end{array}$。這是三垂線定理一個有趣的應用，在介紹三垂線定理時不妨介紹這一個看法。

第17題的答對率，大考中心提供的分組資料如下：

若兩歪斜線在“一般情況”以正常程序處理本題所談的問題，是有點複雜。不過本題兩歪斜線是在“特殊情況”，所以若有發現此情況，使用“特殊解法”所花的時間差距頗大。坦白說，在考試時能發現本題兩歪斜線方向向量是垂直的，實屬不易。在這裡，想提供一個看法，讓同學在處理歪斜線的問題，即使在一般情形，也不必花太多時間。我們先從正常的程序開始。$L_3$與$L_1,L_2$皆垂直，表示$L_3$就是$L_1,L_2$的公垂線。點$P$在$L_1$上，因為$L_1$與$L_3$垂直，所以$P$與$L_3$的距離為$3$表示$P$到$L_1,L_3$的交點$R$的距離為$3$。同理，令$L_2,L_3$的交點為$S$，依題意$Q$為$L_2$上與$S$距離為$3$的點。這裡$R,S$兩點就是大家熟悉的$L_1,L_2$公垂線段的兩端點（即$L_1,L_2$上最近的兩點），讓我們把它們求出來。首先用$L_1$的方向向量$(1,-1,1)$與$L_2$的方向向量$(2,1,-1)$外積得公垂向量$(0,1,1)$。接著利用參數式設$R$的坐標為$(1+t,1-t,2+t)$、$S$的坐標為$(2+2s,5+s,6-s)$，因此由$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{RS}=(1+2s-t,4+s+t,4-s-t)$需與$(0,1,1)$平行，得$R$的坐標為${\displaystyle (\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{7}{3})}$、$S$的坐標為${\displaystyle (\frac{4}{3},\frac{14}{3},\frac{19}{3})}$。接下來依題意找$P$點，即在$R$點沿著$(1,-1,1)$走$3$單位長，由於$(1,-1,1)$的長度為$\sqrt{3}$, 故$P$的坐標為${\displaystyle (\frac{4}{3}+\sqrt{3},\frac{2}{3}-\sqrt{3},\frac{7}{3}+\sqrt{3})}$或${\displaystyle (\frac{4}{3}-\sqrt{3},\frac{2}{3}+\sqrt{3},\frac{7}{3}-\sqrt{3})}$。同樣的方法得$Q$的坐標為${\displaystyle (\frac{4}{3}+\sqrt{6},\frac{14}{3}+\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{19}{3}-\frac{\sqrt{6}}{2})}$或${\displaystyle (\frac{4}{3}-\sqrt{6},\frac{14}{3}-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{19}{3}+\frac{\sqrt{6}}{2})}$。同學或許會奇怪，$P$, $Q$都各有兩種可能，到底要選哪一個來算$P,Q$的距離呢？沒錯！在一般的情況選不同的$P,Q$會有不同的距離，題目中的$L_1,L_2$因為處於特殊的關係，所以不會有影響。這個特殊關係，確實可以簡化此題所需的計算量。我們先不管，就任選兩點來計算（反正題目沒要求$P,Q$的選法）。例如都選前者，可得${\displaystyle \stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PQ}=(\sqrt{6}-\sqrt{3},4+\frac{\sqrt{6}}{2}+\sqrt{3},4-\frac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{3})}$故$P,Q$的距離為$\sqrt{50}$。

在考試時，看到這樣的數據，一定心慌很難正確算出答案。其實考試時若按照正常程序，看到這樣的數據，應該要另謀想法，出題者應該不是要評量計算能力。讓我們慢慢在剛才的程序中，找找有哪些步驟可以再精簡。首先，算$P,Q$的距離，我們是算向量$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PQ}$的長度，然而算$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PQ}$並不需要真的算$P,Q$的坐標。我們只需要利用向量的運算$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PQ}=\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PR}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{RS}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{SQ}$即可。這裡依題意$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PR}=\pm \sqrt{3}(1,-1,1)$, ${\displaystyle \stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{SQ}=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}(2,1,-1)}$。至於$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{RS}$我們也不必真正找出$R,S$的坐標，利用大家常用找歪斜線最短距離的方法，找出分別包含$L_1,L_2$的兩平行平面$E_1,E_2$，其中$E_1:y+z=3;E_2:y+z=11$。然後在$E_1$上任找一點，如$(0,0,3)$沿著法向量$(0,1,1)$, 發現$(0,0,3)+4(0,1,1)=(0,4,7)$會落在$E_2$，故知$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{RS}=(0,4,4)$（檢查一下真的與前面用$R,S$的坐標算的一樣）。大家或許會疑問，這樣在計算$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PQ}$的步驟上雖然省了一點時間，但所得的$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PQ}$和前面是一樣的（當然了，它們是同一向量）計算其長度依然複雜。沒錯，下一步驟就是如何用較快的方法計算$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PQ}$的長度，而不是直接用坐標計算。同學們應該知道向量的加法有交換律，也就是說我們將$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PQ}=\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PR}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{RS}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{SQ}$改寫成${\displaystyle \stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PQ}=(\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PR}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{SQ})+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{RS}=(\sqrt{3}+\sqrt{6},\frac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{3},\sqrt{3}-\frac{\sqrt{6}}{2})+(0,4,4)}$（這裡暫時先選擇$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PR}=\sqrt{3}(1,-1,1)$, ${\displaystyle \stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{SQ}=\frac{\sqrt{6}}{2}(2,1,-1)}$的情況來解釋）。為什麼先將$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PR}$和$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{SQ}$加起來呢？因為$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{RS}=(0,4,4)$是$L_1.L_2$的公垂向量，自然與$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PR}$和$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{SQ}$垂直，所以也和$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PR}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{SQ}$垂直。因此我們可以先求$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PR}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{SQ}$的長度與$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{RS}$的長度，再利用畢氏定理，求得它們加起來的長度。也就是說當$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u},\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$互相垂直時，要計算$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$的長度，我們可以考慮用畢氏定理$|\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}{|}^2=|\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}{|}^2+|\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}{|}^2$來計算$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$的長度。從這裡我們也知道，當初不必真正求$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{RS}$，只要知道$L_1,L_2$的距離為$4\sqrt{2}$即可。至於$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PR}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{SQ}$的長度呢？一般三維空間的向量，要嘛向量長得漂亮（指的是數據簡單）但長度很醜；要嘛向量長得醜但長度很漂亮。當$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u},\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$都長得漂亮，要算$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$的長度，直接加起來再算長度即可。然而當$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u},\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$長得醜但它們的長度還OK，我們可以考慮利用內積來算$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$的長度。亦即$$|\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}{|}^2=(\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v})\cdot (\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v})=|\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}{|}^2+|\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}{|}^2+2\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{u}\cdot \stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}.$$例如這裡要計算$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PR}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{SQ}$的長度，由$|\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PR}|=|\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{SQ}|=3$以及 ${\displaystyle \stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PR}\cdot \stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{SQ}=\sqrt{3}(1,-1,1)\cdot \frac{\sqrt{6}}{2}(2,1,-1)=0}$馬上算出$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PR}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{SQ}$的長度為$\sqrt{18}$。因此再由畢氏定理求出$P,Q$的距離為$\sqrt{18+32}=\sqrt{50}$。這一題，如果有看出$L_1,L_2$的方向向量是垂直的，只要算出$L_1,L_2$的距離，再由畢氏定理，就可算出$P,Q$的距離，比起原來按照程序來做真的是又快又準。也是因為$L_1,L_2$的方向向量垂直，雖然$P,Q$的選取各有兩種可能，但因為各種選法所得的$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PR},\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{SQ}$僅差個正負號，所以依然保持垂直，也因此由畢氏定理知算出的$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PR}+\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{SQ}$的長度都相同。當然了這在$L_1,L_2$的方向向量不垂直時就不對了。若理解剛才提及用內積求向量和之長度的訣竅，我們可以讓學生處理$L_1,L_2$的方向向量不垂直的情況，例如將$L_2$的方向向量改為$(5,1,-1)$然後一樣求$P,Q$的距離。不過要提醒學生，此時雖然$P,Q$的選取共有$4$種可能，不過$P,Q$的距離僅有兩種可能（因為對頂角相等）。

從此題的答對率看來，大部分同學可能對於歪斜線的問題覺得難處理，這裡提供一個利用投影處理歪斜線的方法。這個方法將空間的歪斜線問題，轉換成平面上的問題，或許能讓同學較容易處理歪斜線的問題。這裡用到的概念是平面$E_2$上的向量$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$投影到另一個與$E_2$平行的平面$E_1$上，所得的投影向量依然是$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{v}$。我們可以用平行平面的這個特性處理兩歪斜線的問題。就拿這題的兩個歪斜線$L_1,L_2$來說吧！我們就可利用分別包含$L_1,L_2$的兩平行平面$E_1:y+z=3;E_2:y+z=11$來處理。例如要求公垂線段分別在$L_1,L_2$的兩端點$R,S$。由於$S$在$E_1$的投影就是$R$我們只要將$L_2$投影到$E_1$的直線$L_2^{\prime }$求出，再找$L_1,L_2^{\prime }$的交點，就是$R$。由於$L_2$的方向向量在$E_1$的投影就是$L_2^{\prime }$的方向向量，故由前面所述向量投影到平行平面的性質知$L_2,L_2^{\prime }$有相同的方向向量。因此我們只要將$L_2$上的已知點$(2,5,6)$投影到$E_1$上，就可寫下$L_2^{\prime }$的參數式。由於$E_2$上的點沿著$(0,-4,-4)$就得它在$E_1$的投影點，我們得$L_2^{\prime }$的參數式為$(2+2s,1+s,2-s)$。因此求得$L_2^{\prime }$與$L_1$的交點${\displaystyle R=(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{7}{3})}$。又$S$在$E_1$的投影為$R$，故將$R$沿著向量$(0,4,4)$就得$S$的坐標${\displaystyle (\frac{4}{3},\frac{14}{3},\frac{19}{3})}$。讓我們用投影的概念處理第17題（當然不必去求$R,S$的坐標）。令$Q$點在$E_1$的投影為$Q^{\prime }$，由於$PQ{Q}^{\prime }$為直角三角形，我們又知道$\overline{Q{Q}^{\prime }}$就是$E_1,E_2$的距離$4\sqrt{2}$，因此只要知道$P,Q^{\prime }$的距離，就可用畢氏定理求出$P,Q$的距離。依題意$P$點與$R$點的距離為$3$，$Q^{\prime }$點與$R$點的距離也是$3$，我們只要知道$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{RP}$與$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{R{Q}^{\prime }}$夾角的餘弦值，就可以利用餘弦定理求出$P.Q^{\prime }$的距離了。所以由$L_1,L_2^{\prime }$的方向向量之內積知道它們是垂直的，得到$\overline{P{Q}^{\prime }}=3\sqrt{2}$，進而求得$\overline{PQ}=5\sqrt{2}$。讓我們順便處理前面所提$L_2$的方向向量改為$(5,1,-1)$情況。由於向量$(1,-1,1)$的長度為$\sqrt{3}$，而$(5,1,-1)$的長度為$3\sqrt{3}$，故由它們的內積$(1,-1,1)\cdot (5,1,-1)=3$得$L_1,L_2^{\prime }$夾角的餘弦值為${\displaystyle \frac{1}{3}}$。別忘了$L_1,L_2^{\prime }$還有另一個互補的夾角，其餘弦值為${\displaystyle -\frac{1}{3}}$。故在這個情況${\displaystyle {\overline{P{Q}^{\prime }}}^2=3^2+3^2\pm 2\times 3\times 3\times \frac{1}{3}}$，即$\overline{P{Q}^{\prime }}=2\sqrt{3}$或$2\sqrt{6}$。因此$\overline{PQ}=2\sqrt{11}$或$2\sqrt{14}$。投影的概念將空間歪斜線的問題轉化成平面的問題處理，這個方法對於投影概念清楚的學生應該很有幫助。

學生先算出$Q$點坐標後，不知道可以用坐標表示法來說明$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{BQ}=2\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AP}$，而是另外花時間用平行線同位角概念處理。也有的學生先說明$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{BQ}=2\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AP}$，卻不知用此訊息來求$Q$點坐標，而是另起爐灶找出$Q$點坐標。 第20題也有同樣的情況：

第19題要求說明$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{BQ}=2\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AP}$，依出題者的編排我原本以為學生會先求$Q$點再利用坐標方法說明這兩個向量之關係。結果我錯了，絕大多數學生（包含不會做的學生）都想用國中幾何的方法“證明”這個兩個向量之關係（想做$Q$點坐標的反而較少）。或許大多數學生對於國中學的平行線概念較熟悉，高中坐標幾何依然陌生吧！當然了大多數學生，這部分的證明寫得並不好，在此想提醒老師們，如何讓學生明白“證明”該寫些什麼。大多數學生懂得先說$\overline{BQ}=2\overline{AP}$，這沒問題。不過接著許多考生僅敘述「因為$\overline{BQ}$平行$\overline{AP}$所以成立」。這完全不是證明，只是將$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{BQ}=2\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AP}$的定義敘述一遍而已，完全沒有說明為何平行。好一點的會敘述例如「$\mathrm{\angle }QBO$與$\mathrm{\angle }PAO$互補」，但這仍不是證明，充其量只是表示該生知道要怎麼證明平行。還有許多考生寫「$\mathrm{\angle }QBO={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }PAO$」這和前者一樣意思，還是不行。再好一點的會寫「因為$\mathrm{\angle }PAO={180}^{\circ }-2\theta$, $\mathrm{\angle }QBO=2\theta$」。這好很多但仍不完美。不可否認的，會這樣寫的考生應該知道是怎麼一回事，但他沒有讓我們知道他是怎麼知道的。怎樣寫才是完整的說明呢？簡單來說在一般的情況$\mathrm{\angle }AOP=\theta$，並不一定會有$\mathrm{\angle }PAO={180}^{\circ }-2\theta$。所以必須說明因為$\overline{AP}=\overline{OA}$，故$\mathrm{\angle }APO=\mathrm{\angle }AOP=\theta$，因此$\mathrm{\angle }PAO={180}^{\circ }-2\theta$。同樣的在一般的情況也不一定會有$\mathrm{\angle }QBO=2\theta$，而是要用到題設$\mathrm{\angle }POQ={90}^{\circ }$以及$\overline{BQ}=\overline{OB}$。總之，將需要利用題設才能推得的結論，清楚敘述如何由題設推演至結論，這才是完整的說明。不過請不要籠統地對學生說將題設敘述一遍即可，僅提及題設沒有推演過程，或將題設敘述於不相干之處，都是無效的說明。 最後還要提醒學生的就是請不要看到${\displaystyle \sin \theta =\frac{3}{5}}$就寫$\theta ={37}^{\circ }$。這件事過去宣導多次，感覺起來近幾年來也比較少見了。沒想到今年又有死灰復燃之勢，仍然有許多考生用$\theta ={37}^{\circ }$來做。學生對於抽象符號的操作較不熟悉。很顯然的用實際數字處理，各個角度關係正確的比率高於用抽象的$\theta$來處理的考生。這兩種處理方式在層次上也有所不同。用具體數字者，很難知道最後平行的原因是否是因為這個特殊的角度，還是所有的角度即可(不需${\displaystyle \sin \theta =\frac{3}{5}}$的假設）。更何況有些考生記錯了用$\theta ={38}^{\circ }$ 或是 ${57}^{\circ }$ 還有更誇張的 ${30}^{\circ }$，他們最後算出來的也都是$\mathrm{\angle }QBO+\mathrm{\angle }PAO={180}^{\circ }$。即使他們計算都正確，我們是不是應該將他們與正確用抽象$\theta$處理的考生區隔出來？