111數A

此次考題，一般普遍認為難題較多。我有參與此次考試閱卷工作，所以最後會分享手寫題，學生答題的恐怖現象。

不太想談這一題。不過此題學生表現的數據很異常：多數的考生($32\mathrm{\%}$)選了錯誤的選項(2)，多於選正確選項(4)的考生($29\mathrm{\%}$)。 看看題目較合理的解釋是大部分學生忽略了最後問的是任選兩球（可為同一口味）的方法數而只計算任選兩球不同口味的方法數。 本題應該沒有什麼學生觀念錯誤的問題，所以就不談這題的數學，而利用這個機會說明一下大考中心的統計資料。

本題大考中心提供的選項分析資料如下：

例如數A成績在前三分之一的高分組考生中有$33\mathrm{\%}$本題選擇錯誤的選項(2)；而選擇正確選項(4)的僅佔$35\mathrm{\%}$. 要注意的是還有$28\mathrm{\%}$的高分組考生選擇了錯誤的選項(5)。猜測有相當數目的考生誤以為要計算排列數。全體考生(T組)選擇正確選項(4)的百分比$29\mathrm{\%}$ 就是本題的答對率。關於本題的答對率，大考中心提供的分組資料如下：

從上面的統計資料，這一題的答對率為$29\mathrm{\%}$。大考中心將答對率低於$30\mathrm{\%}$視為難題。本題放在第一題，出題者應該認為是易的題目，結果學生表現竟是難，真是大大出乎意料。我沒有去查，或許這是大考得分率最低的第一題吧！一般的難題因為答對率不高整體鑑別度D不會太高，不過一般來講高分組群之間的鑑別度D1,D2會高於低分組群之間的鑑別度D3,D4 (因為表現較差的同學大都不會做)；反之，易的題目高分組群之間的鑑別度D1,D2會低於低分組群之間的鑑別度D3,D4 (因為表現較好的同學大都會做)。本題的鑑別度$\mathrm{D}=14$不高，但鑑別最低分組的鑑別度$\mathrm{D}4=11$明顯高於其他D1,D2,D3. 也就是說雖然由答對率來看是難的題目，但由鑑別度來看它的本質是易的題目。

本題一開始提的是任選兩球不同口味，最後問的是任選兩球可同口味的組合數。可以看出出題者是想評量學生能否判別此二種組合數之不同。 不過從最後做答情況來看，選擇沒有不同這個錯誤選項的考生多於選擇正確選項的考生。 很難讓人相信會有這麼多考生有此認知的錯誤，所以我們傾向於認為大多數學生是疏忽沒看到。不過真正的原因為何就無從得知了。 希望老師在讓學生練習本題時，能確認學生出錯到底是認知上的還是疏忽的錯誤。若是認知上的錯誤，那事情就大條了，應及時導正。

看到有老師批評此題，學生沒用過這樣的計算機，很難對此情景有感。看到覺得有點好笑，數學那一道情境題學生都有親身體驗過？個人反而覺得，這是很好的素養題。 其一：沒有過多文字包裝，評量學生對數學符號運用的素養。其二：若學生將來買了個新的計算機，連使用說明書都看不懂，講了半天數學素養有何用。 查了一下，市面上真的有如題目敘述操作對數運算的計算機，所以若這不是素養題，那還有什麼是素養題？關於，素養或情境題的探討，我想留到後面幾題再談。 看看以下大考中心的數據，大家猜猜看，為什麼我要特別談論這個不算難的題目。

選項分析:

答對率與鑑別度:

讓我們看看如何幫助數學程度中等的學生克服操作抽象對數符號的障礙。不妨先問問學生認為${\log }_{a}b$ 是一個數字還是符號？ 我認為絕大多數的學生你告訴他${\log }_{a}b=3$, 很快的會答$a^3=b$, 但單獨給他們${\log }_{a}b$, 對他們來說它僅是一個符號，而不是一個數字。 所以看到${\log }_{a}b$, 可能僵在那裡不知道下一步要做什麼。可以告知學生事實上 ${\log }_{a}b$ 是一個數字，所以為了方便起見，我們可用一個字母 $r$ 來代表這個數字 (就像題目中用$a,b$表示兩個大於$1$的實數)，也就是說 ${\log }_{a}b=r$. 此時學生應該知道下一步就是寫下 $a^r=b$ 了. 而題目問 $a,b$ 的關係。 學生大概能理解目標就是要知道 $r$ 是多少了。這裡或許有些老師覺得要解 ${\log }_{a}b$ 乾脆就用 ${\log }_{a}b=x$ 來處理，強調最後要解出 $x$。 不過學生可能對 $x$ 和 $r$ 的感覺不同。直接寫 ${\log }_{a}b=x$, 學生可能感覺是要解方程式，而疑惑為什麼要解這個方程式。 用 $r$ 表示，學生可能比較能感覺是數字的操作，排除對解方程式的畏懼。當然學生每個人的感受不同，可以個別依其能理解的方式調整。

對於指數律很熟悉，但較畏懼對數律的同學，教其看到對數就將之設為一實數，應該會很有幫助。 因為如此一來，就可以完全用指數的性質處理問題，而不必碰觸到對數律(當然了若連指數律都有問題，那學對數一點意義都沒有， 還是先好好把指數清楚了再說)。例如回到原來的題目，當學生設好 ${\log }_{a}b$ 為 $r$ 這個實數後，我們便可問他那麼依題意 ${\log }_{b}a$ 會是那一個實數呢？ 學生若能回答 $\frac{9}{4}r$，接下來就是看他對於指數律的功力了。最後要注意，不是學生解出 $r$ 值就可以了。 詢問學生在解答的過程中是否需用到題目 $a>1,b>1$ 的假設，這也能幫助學生了解對數的重要觀念。

根據大考中心選項分析資料，第3題比第1題還誇張。全體考生選擇錯誤的選項(1)有$63\mathrm{\%}$遠遠高於選正確選項(5)的$12\mathrm{\%}$. 可怕的是高分組考生(H組)更有高達$65\mathrm{\%}$的考生選擇選項(1). 看了看題目，個人覺得會有這樣詭異的結果，仍可能是考生疏忽或是誤解了題目，觀念錯誤的成分較少。或許大部分考生看到這麼多文字， 草率閱讀過去，忘記了“變異”二字在統計上是個專有名詞，而解讀為“改變”，因此誤解題目問的是投影到哪一個直線與原數據改變最小。 大考中心應該做一個測試，或許換成問“標準差”學生的表現會好很多。若真是考生誤解題意，令人不解的是，大考中心從出題、 審題到試考層層關卡，為何無法察覺會造成大部分考生誤解呢？在這裡忍不住再碎碎唸一次，希望大考中心不要再強調什麼素養情境題 (至少數學A和數甲不要)。再怎樣的注意文字敘述，每一個人的解讀仍可能有所不同，絕不會像純粹數學的語句來的精準。 要談素養情境，平常在學校磨練即可。想想在這短短的考試時間，緊張處理數學問題都來不及了，還有誰能靜下來好好閱讀那繁瑣的文字呢？ 在這麼重要影響一生的考試，明明會的數學被搞成不會，真的很為學生抱屈(還好我不是在這時代考試)。 像這一題，無法解讀是學生觀念的問題或是誤解題意，這樣的評量在從教育的觀點根本沒意義。

不囉嗦了，其實這題不是要談這個的。大家有沒有發現，我把第3題和16題擺在一起。 要特別談它們是因為歷年來罕見在大考中，出現兩個題目是評量相同概念的(只差一個是在平面上，一個在空間中)。 第3題談的是平面上一個直線投影到另一個直線的問題；而16題談的是空間中一個平面投影到另一個平面的問題。

先看第3題。由於只談數學概念，不想拘泥太多於統計上。題目上的點大致上在一直線 $L_1$ 上。 我們想知道若另一條直線 $L_2$ 與 $L_1$ 的夾角為 $\theta$, 則 $L_1$ 上的點在 $L_2$ 的投影為何。 若 $L_1$ 上的一點與 $L_1,L_2$ 的交點 $P$ 的距離為 $d$, 則此點在 $L_2$ 的投影與 $P$ 的距離為 $d\cos \theta$. 所以由大家熟悉變異數的性質知，投影下來變異數變為原來的 $(\cos \theta {)}^2$ 倍。因此當 $\cos \theta =0$ (即 $L_1,L_2$ 夾角為 ${90}^{\circ }$) 時， 變異數最小。簡單來說就是當 $L_1$ 與 $L_2$ 垂直時, $L_1$ 附近上的點以投影到 $L_2$ 會比投影到其他直線來的密集。

平常學生可能常練習具體的一個點投影到直線的問題。不妨趁這個機會和學生談談一般情形的投影概念。也就是平面上，給定兩直線 $L_1,L_2$, 我們要探討 $L_1$ 投影到 $L_2$ 的情形。當 $L_1,L_2$ 為平行時，同學應該很容易看出 $L_1$ 上的點會一對一的整個投影到 $L_2$ 上，也就是說 $L_1$ 上不同的點會投影到 $L_2$ 上不同的點，而且 $L_2$ 上所有的點都會有 $L_1$ 上的點投影到它。 而當 $L_1,L_2$ 有交點且夾角為 $\theta$ 時, 由剛才的討論我們也知，當 $\cos \theta \ne 0$ 時 $L_1$ 上的點也會一對一的整個投影到 $L_2$ 上。 唯有當 $L_1,L_2$ 垂直時, $L_1$ 的點全部投影到 $L_1,L_2$ 的交點。也就是說這時候整個 $L_1$ 在 $L_2$ 上的投影僅有一點。

我們可以將上面平面上的問題推廣到空間中。從平面中的直線推廣的空間中的平面。也就是說，我們可以問空間中的平面 $E_1$ 投影到另一平面 $E_2$ 的問題。 大致上畫畫圖，複習一下平面夾角的定義，學生應該可以理解一般情形 $E_1$ 上的點會一對一的投影到整個 $E_2$ 上，只有在 $E_1,E_2$ 相垂直時， $E_1$ 在 $E_2$ 的投影會是 $E_1$ 與 $E_2$ 的交線。

若要仔細探討，仍可依 $E_1,E_2$ 是否平行來探討。當 $E_1,E_2$ 為平行時，很容易知道 $E_1$ 上的點會一對一的投影到整個 $E_2$ 上。而當 $E_1,E_2$ 不平行時，它們會相交於一直線 $L$, 我們可以利用 $L$ 得到 $E_1,E_2$ 的夾角 $\theta$。 也就是在 $L$ 上取一點 $P$, 然後過 $P$ 點在平面 $E_1$ 畫出一個與 $L$ 垂直的直線 $L_1$, 同樣的在 $E_2$ 上畫出與 $L$ 垂直的直線 $L_2$。事實上 $L_1,L_2$ 就是通過$P$點以$L$為法線的平面（即$E_1,E_2$的公垂面）分別與$E_1,E_2$所交的直線。 此時 $L_1,L_2$ 的夾角 $\theta$ 就定義為平面 $E_1,E_2$ 的夾角。 當 $\theta \ne {90}^{\circ }$ 時，和之前討論平面上兩直線的情況一樣，由於 $\cos \theta \ne 0$, 我們知道 $L_1$ 上的點會一對一的整個投影到 $L_2$ 上 (應補充說明此時$L_1$的點投影到平面$E_2$和投影到直線$L_2$是一樣的)。 所以當我們將 $P$ 在整個 $L$ 上移動後，可知 $E_1$ 上的點會一對一的投影到整個 $E_2$ 上。 而當 $E_1,E_2$ 垂直時，表示剛才所得的 $L_1$ 與 $L_2$ 垂直，所以 $L_1$ 的點都會投影到它們的交點 $P$。 所以將 $P$ 在 $L$ 上移動， 我們知 $E_1$ 上的點會投影到與 $E_2$ 的交線 $L$.

現在回到16題，我們看它的答對率與鑑別度。

題目給定一個平面 $E_1$ (其方程式為 $x-y+2z=3$). $E_1$ 上有兩相異直線 $L,L^{\prime }$. 接下來便是談到 $E_1$ 投影到另一平面 $E$ 的情況， 依題意這個投影把 $L,L^{\prime }$ 都投影到同一直線。然而前面提及當 $E,E_1$ 不是垂直時，$E_1$ 的點是以一對一的方式投影到 $E$ (其實也將 $E_1$ 上的線一對一的投影到 $E$ 上的線)。 所以此時不同的直線 $L,L^{\prime }$ 不可能投影到同一直線。也就是說，這題唯一的可能情況就是 $E_1$ 與 $E$ 相垂直。接下來，便是程序性的問題了，給定一平面，如何找到與之垂直的另一平面。 不知此題連中等程度同學都表現不好的原因是第一部分空間兩平面投影的概念，還是第二部分找相垂直的平面方程式？個人認為找平面方程式， 對於中等程度學生，常有練習，應不成問題。所以應該是空間概念不足的因素比較大。

其實一些概念，不需特別專門提及，而是在處理問題時，不要太強調技巧，多利用概念的方式處理。久了學生自然熟悉了解這些概念。例如這裡要找到與$E_1$垂直的平面$E$。應讓學生了解要決定一個平面，就先決定其方向，再利用平面上的點確定其方程式。這和在坐標平面決定一直線的概念是一樣的。決定一直線的方向可想辦法找到斜率(甚至也可介紹法向量概念)，知道其 $x,y$ 項係數後，再找到線上的點確定其常數項。各種例子都用這樣的概念處理，根本不必去記什麼“點斜式”、“兩點式”...等。至於坐標空間中平面的方向當然是法向量，找到法向量決定了$x,y,z$ 後，再找到一點代入得常數項即可。

本題中如何找到 $E$ 的法向量呢? 建議先介紹兩平面夾角開始，也就是在交線 $L$ 上找到分別在 $E_1$ 和 $E$ 上與 $L$ 垂直的向量 ${\stackrel{\rightharpoonup }{u}}_1$ 和 $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$. 依定義 ${\stackrel{\rightharpoonup }{u}}_1$ 和 $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ 的夾角就是 $E_1$ 和 $E$ 的夾角，所以 ${\stackrel{\rightharpoonup }{u}}_1$ 和 $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ 相垂直。指引到此處， 就應讓學生試看看能否看出 $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ 是 $E_1$ 的法向量（與$(1,-1,2)$平行）而 ${\stackrel{\rightharpoonup }{u}}_1$ 就是 $E$ 的法向量。 因此由 ${\stackrel{\rightharpoonup }{u}}_1$ 同時與 $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ 和 $L$ 垂直，學生應可利用外積求得 ${\stackrel{\rightharpoonup }{u}}_1$, 亦即 $E$ 的法向量了。至於 $E$ 上的點，更應檢視學生是否能自行找到。

老師也可嘗試不給題目原本$E_1$的平面方程式$x-y+2z=3$，改為僅給不平行兩直線 $L$ 和 $L^{\prime }$ 的方程式，來求 $E$ 的方程式。 學生或許會想用 $L,L^{\prime }$ 的方向向量，求出 $E_1$ 的法向量，然後再用一次外積得到 $E$ 的法向量。這樣做當然沒問題， 不過這時可以介紹線性組合的概念，利用 $E_1$ 上的向量都可以寫成 $L,L^{\prime }$ 的方向向量的線性組合， 直接用內積找到 $E_1$ 上與 $L$ 垂直的向量就可以了。

大考中心對於多選題，提供了所謂得分率的資料。所謂得分率指的是該題平均得分占原來分數的比率。以下是這一題的得分率與鑑別度:

大考出現許多這類抽象的平面向量問題，一般學生表現都不理想，讓我們看看怎樣能利用正確且讓學生容易理解的觀念處理這類問題。 很多老師會建議學生看到抽象的 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AB}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AC}$ 兩個不平行向量，就用具體的 $(1,0)$, $(0,1)$ 取代這兩個向量。用這個方法來表示其他的向量如何寫成 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AB}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AC}$ 的線性組合，是沒問題的。因為所有的向量寫成 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AB}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AC}$ 的線性組合其寫法是唯一的。而向量加法的規則和坐標表法加法規則一致，所以若用 $(1,0),(0,1)$ 計算得 $(a,b)$, 表示所得的向量為 $a\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AB}+b\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AC}$ 是正確無誤的，反之亦然。 也就是說用這個方法來幫助學生了解向量間的相對位置是沒問題的。例如本題，可設 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AB}=(1,0),$ $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AC}=(0,1)$, 再利用 $P$ 點坐標 $(a,b)$ 在 $A$ 點坐標 $(0,0)$, $B$ 點坐標 $(1,0)$, $C$ 點坐標 $(0,1)$ 所圍成的三角形內部 (即 $0<a<1$, $0<b<1$, $0<a+b<1$) 得 $Q$ 點坐標 $(b,a)$ 也在 $\mathrm{△}ABC$ 的內部。而 $R$ 點坐標 $(a,b-0.05)$, 若 $0<b<0.05$ 便會落在 $\mathrm{△}ABC$ 的外部，所以選項(1)是錯的。

這個方法在遇到內積、長度、面積等問題時，便要格外小心了。因為 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AB}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AC}$ 不一定垂直且 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AB}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AC}$ 的長度不一定等於 $1$, 所以絕對不能用坐標表示法直接計算這些值。例如選項(2)就不能因為 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AP}=(a,b),$ $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AQ}=(b,a)$ 就說 $|\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AP}|=|\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AQ}|$. 不過學生若能理解為何不能直接用坐標求長度， 考慮 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AB}=(2,0),$ $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AC}=(0,1)$ 這個例子， 馬上知選項(2)是錯的。還是要提醒一下學生，不能只用例子說一個選項是對的；但對於錯誤的選項，只要找到例子說明它是錯的就足夠了。例如選項(5)我們僅要考慮$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AB}=(1,0),$ $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AC}=(0,1)$ 以及 $a=0.5$, $b=0.01$ 的情況，就可由 $P$ 點坐標為 $(0.5,0.01)$, $R$ 點坐標為 $(0.5,-0.04)$ 得到 $\mathrm{△}ABP$ 面積小於 $\mathrm{△}ABR$ 面積， 因而得知選項(5)是錯誤的。其實此題選項(1)(5)相對簡單(很容易找到反例)，大多數學生在此出錯真的相當可惜。

選項(3)(4)其實是最困難的，有多少考生僅由特例正確而直接認為正確，就不得而知了。要證明這兩個選項在所有情況都正確，必需用到面積的性質了。 我們盡量用學生可以理解的方式來解釋。考慮 $\mathrm{△}DEF$ 和 $\mathrm{△}DEG$. 由於底都是 $\overline{DE}$ 很容易知道如果 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{FG}$ 與 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{DE}$ 平行，則由於高相等， 就可得 $\mathrm{△}DEF$ 和 $\mathrm{△}DEG$ 的面積相等。 我們可以利用這個方法，判斷兩三角形是否面積相等。例如選項(4)， 由於 $\mathrm{△}BCP$ 和 $\mathrm{△}BCQ$ 有共同的底 $\overline{BC}$, 我們只要檢查是否 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PQ}$ 與 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{BC}$ 平行即可。事實上 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PQ}=\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AQ}-\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AP}=(b-a)(\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AB}-\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AC})=(b-a)\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{CB}.$ 由於平行是線性組合的關係，所以若學生不熟悉用抽象符號操作向量， 也可讓他們用前面所提，以坐標表示線性組合的係數的方式處理。此時 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PQ}$ 可用 $(b,a)-(a,b)=(b-a,a-b)=(b-a)(1,-1)$ 表示，而 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{BC}$ 可用 $(0,1)-(1,0)=(-1,1)$ 表示，所以仍可得 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{PQ}$ 與 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{BC}$ 平行。

我們可以用向量的方法談論更一般有關 $\mathrm{△}DEF$ 和 $\mathrm{△}DEG$ 的問題。也就是考慮向量 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{DE}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{DF}$ 所圍的三角形(為了方便，這裡略去 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{EF}$) 和向量 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{DE}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{DG}$ 所圍的三角形。如果 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{DG}=r\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{DF}+t\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{DE}$， 此時由圖可看出，向量 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{DE}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{DG}$所圍的$\mathrm{△}DEG$面積和向量 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{DE}$, $r\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{DF}$ 所圍的三角形相等。因此知 $\mathrm{△}DEG$ 的面積會是$\mathrm{△}DEF$面積的 $|r|$ 倍。 讓我們看看選項(3)。將 $\mathrm{△}ABP$ 視為 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AB}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AP}$ 所圍的三角形。由於 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AP}=b\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AC}+a\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AB}$, 利用剛才的看法知 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AB}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AP}$ 所圍的$\mathrm{△}ABP$面積會等於 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AB}$, $b\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AC}$ 所圍的三角形面積，即 $b$ 倍的 $\mathrm{△}ABC$ 面積(注意，照理這裡要加絕對值，即 $\mathrm{△}ABC$ 的 $|b|$ 倍，但由題意知 $b>0$)。這裡的推導仍僅用線性組合的關係，所以同學可以大膽使用坐標來表示， 也就是將 $\mathrm{△}ABP$ 視為向量 $(1,0)$ 和向量 $(a,b)$ 所圍的三角形面積。馬上看出它會等於向量 $(1,0)$ 和向量 $(0,b)$ 所圍的三角形面積，也就是向量 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 所圍的三角形面積的 $b$ 倍。注意這裡 $(1,0)$ 代表向量 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AB}$, $(0,1)$ 代表向量 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AC}$，它們所圍的三角形面積是 $\mathrm{△}ABC$ 面積，未必是直角坐標系中 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 所圍的三角形面積 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. 千萬不要用這種方法，然後下結論說 $\mathrm{△}ABP$ 的面積是 ${\displaystyle \frac{b}{2}}$，而應該說 $\mathrm{△}ABP$ 的面積是 $\mathrm{△}ABC$ 面積的 $b$ 倍。 同樣的方式處理 $\mathrm{△}ACQ$ (視為向量 $(0,1)$ 和向量 $(b,a)$ 所圍的三角形), 也可得其面積為 $\mathrm{△}ABC$ 面積的 $b$ 倍，故選項(3)正確。

在課堂上介紹行列式與面積體積關係時，應該都會提到行列式 multilinear (多重線性）的代數性質，其實就是源於計算面積、體積。 這個性質所求出行列式的值取決於如何定出單位矩陣的值。因為在直角坐標系中單位矩陣的向量都互相垂直且長度是 $1$, 所以我們會定其行列式為體積或面積的基本單位 $1$. 當我們定一般的兩不平行向量 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AB}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AC}$ 分別為 $(1,0)$, $(0,1)$ 時， 可以利用坐標運算的方法去求其他向量如何寫成 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AB}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AC}$ 的線性組合， 由於行列式的運算是依循線性組合關係的，所以我們可以利用這些坐標直接利用行列式來計算其面積，但別忘了最後求出的值必須乘上 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AB}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AC}$ 所圍的平行四邊形面積。例如本題若要算$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AP}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AQ}$所圍的平行四邊形面積，我們便可計算$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right|=a^2-b^2$, 而說它的面積會是$\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AB}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AC}$所圍的平行四邊形面積的 $|a^2-b^2|$ 倍。 當然了若僅探討面積的大小關係或是否相等，就用這些行列式去比較即可，這也是為什麼選項(3)(4)，用直角坐標去做是對的，在一般斜坐標情況也會對的原因。

總之，對於抽象符號的向量運算有障礙的學生，利用實際的坐標運作，處理問題會很有幫助。不過一定要學生分清楚，這樣的運作在哪些情況是正確可行的； 哪些情況(例如求內積、長度)是不正確的。

這題和前一題一樣，若給出數字大家都會做，但用抽象的符號表示數字，就一塌糊塗。巧的是兩題的得分率幾乎一樣，全對率都很低(這一題更低)。

更有趣的是，看看選項分析，選擇錯誤的選項(4)的比率也異常的高，而這個選項也和前一題選項(5)一樣，是抽象和具體的數字混搭。

很難理解此題為何得分率如此之低，當然了選項(4)所顯現與前一題一樣的問題，就是學生對於數字的大小概念太過死板，以為是絕對的，而沒有大小其實是相對的概念。 老師在講解此題後，不妨問學生，選項(4)改為代“一兆”進去 $f$ 是否會對呢。令我不解的是，本題雖然係數為抽象符號 $a,b,c$, 但問的問題都不牽涉到代數的操作。 反而由三次多項式的圖形，就可完全解答此題，為何得分這麼差呢？選項(1)就是利用對稱中心在 $x=1$ 以及根在 $x=0,1$ 知道有第三個根(其實連第三根在$x=2$都不需用到)。 當然了如果沒看到 $x=0$ 是一根就完蛋了，我不大相信得分率低是這因素。 選項(2)由圖形知是正確的。選項(3)由 $y=f(x)$ 的圖形是先取 $y=g(x)$ 對稱再上升 $3$ 單位，所以是錯的。選項(4)已提過，若了解首項係數 $a$ 越接近 $0$, $x>0$ 的部分其圖形下降的趨勢越緩慢，就應該知道這是錯的。最後一個選項，學生若了解所謂近似直線就是切線，則由三次圖形可知在對稱中心的斜率為正，故這個選項也是錯的。

不知課綱為何在高一安排了三次多項式的單元。更慘的是，介紹了用三次配方的方法找對稱中心。整個學生學習的重心完全轉移到三次配方， 而忽略了對稱中心的意義。我相信很多考生看到對稱中心，也不管題目是問什麼，就開始操作繁複的三次配方或綜合除法，反推 $a,b,c$ 的關係。問題是係數都是抽象的符號，有的可能用背公式，有的 可能就硬著頭皮配方下去。若真是如此，那得分率這麼低就合理了。其實我問了很多大學教授，也都搞不懂為何要學三次配方。要找三次函數對稱中心，不是用微積分找反曲點就可以了嗎？ 何必用這麼繁複的方法。更令人不解的是，它不像二次配方法，不只可以找極值，之後找二次多項式的根也需用到。但三次配方之後完全沒有用處了。 所以老師在高三複習三次函數時，可以完全忽略三次配方的問題，好好專注於圖形上對稱、平移等概念即可。 反正剛好教了微積分，對稱中心就交給二次微分來做，一次近似就交給一次微分就夠了。 例如這一題，即便題目要求出 $a,b,c$ 的關係，也可以馬上搞定。由 $g(x)=-a{x}^3+b{x}^2-cx$ 且其圖形對稱中心（即反曲點）為 $(1,0)$, 由 $g(1)=0,g^{″}(1)=0$ 馬上可得 $-a+b-c=0$ 以及 $-6a+2b=0$, 亦即 $b=3a,c=2a$. 所以 $g(x)=-a(x^3-3x^2+2x)$. 你看, 很妙吧！即便 一開始沒有想到對稱的性質，依然可以找到 $x=2$ 這個根。其實這沒什麼特別，因為反曲點就是對稱中心啊！老實說，本題選項(5)若是給斜率是正的，就 沒法用圖形來處理了。此時就非得求出 $a,b,c$ 的關係，接著我們也仍可不管配方或綜合除法，利用一次近似就是切線，求出斜率為 $f^{\prime }(-1)=3a-2b+c=-a$. 很多老師都沒有用微積分解這題，很好奇的問一聲 “why not”？

選填題大考中心未提供選項分析，只提供以下的答對率與鑑別度：

由於大考未提供選填題考生的答題分析，這裡僅提出個人認為學生可能發生的錯誤。平時練習時建議老師多要求寫下作答過程以了解學生哪裡觀念不正確。 第一種可能的錯誤是學生想從原來的方程組直接操作高斯消去法，希望能化成題目所給的增廣矩陣。例如原方程組的第二式 ${\displaystyle x+ay+\frac{8}{3}z=7}$ 其 $x$ 項係數為$1$, 一般我們就會把它換到第一列。 再加上換到第一列後通常高斯消去法就不會再更動第一列，所以同學看到增廣矩陣的第一列所代表的方程式為 $x+2y+bz=7$, 就誤以為 $a=2$, ${\displaystyle b=\frac{8}{3}}$. 這裡錯誤的地方就是誤以為利用高斯消去法化簡到係數矩陣為上三角時，所得到的增廣矩陣是唯一的。這是錯誤的，例如本題的增廣矩陣若將第3列乘以$-1$加到第1列，所得的式子就變為$x+2y=7$了。第二種可能的錯誤就是“濫用克拉瑪公式”，這不能算是觀念的錯誤，至少看到解唯一，由克拉瑪想到係數矩陣行列式不為$0$, 而得 $b\ne 0$ 是不錯的想法。只是這類問題接下來利用克拉瑪處理幾乎不可行。克拉瑪由於可確實寫下解的形式，所以在理論的推導較有用處，例如一個整係數方程組若知有唯一解，則可由克拉瑪知它的解皆為有理數。學生可能因為它可以知道解的樣子，所以在過去閱卷的經驗裡，常看到學生使用克拉瑪公式。要知克拉瑪在一般解方程組是很沒效率的，更何況本題的係數有未定元，當然會相當複雜。或許是這個原因，108課綱並未強調三元一次方程組的克拉瑪公式。不過個人覺得讓學生了解有唯一解等價於係數矩陣行列式不為$0$是重要的。

最後提醒一下老師，此題唯一解的假設我們僅用在增廣矩陣的$b\ne 0$。也就是說原方程組是否真的有唯一解，並沒有在解題中用到。所以在出類似題目給學生練習時要注意，還是得檢查原式是否有唯一解，以確保題目的正確性。

可以預期此題答對率會低但全體考生$5\mathrm{\%}$的答對率，未免太低了吧！前$20\mathrm{\%}$的考生也不到二成的學生答對。反倒是後$20\mathrm{\%}$的考生還有$1\mathrm{\%}$答對。 不管是真的會做，或是猜答，都很厲害。

原本也不想談論此題，程序有點多，以級分制考量，考生看到此題可以先放到一邊。不過看到許多老師講解此題馬上就畫出這四頂點的相關位置， 真的覺得不妥。不能說反正答案僅有一個，表示各種情況的結果都一樣，所以只要考慮一種情況，就交代了事。我們不是要教學生會做此題， 我們應該趁此機會讓學生了解其中原理，這樣以後碰到相關問題，才不會有疑慮。即使碰到稍有變化的情形也能應付自如。

本題大致上來說可分兩部分，第一就是給定空間中不共面四點如何求含四點為頂點的平行六面體體積；第二就是求最大值。 求最大值部分應該就是用柯西不等式或三角疊合處理，沒什麼好談的。反而是第一部分相信有許多同學和我一樣，因為不了解各點在此平行六面體的相關位置，而有所疑慮，遲疑不敢下手。首先我們可以問學生：給定空間中不共面四點 $A,B,C,D$, 有多少個平行六面體是以 $A,B,C$ 為其底面的三個頂點？首先我們考慮底面以 $A,B,C$ 為頂點的平行四邊形有幾種。平行四邊形總共有四個頂點，所以 $A,B,C$ 這三個頂點，一定有一個與其他兩個相鄰。 也就是說我們有 $A$ 與 $B,C$ 相鄰； $B$ 與 $A,C$ 相鄰； $C$ 與 $A,B$ 相鄰，如圖示這三種。 很容易看出來任兩種會有一共同邊（例如：$A$ 與 $B,C$ 相鄰； $B$ 與 $A,C$ 相鄰 這兩種有$\overline{AB}$為共同邊）而另一點到此共同底邊的距離就是高，所以這三種平行四邊形的面積相同。 而每一種平行四邊形上的任一頂點都可以與 $D$ 相連而形成平行六面體（例如若平行四邊形的$A$與$D$相連表示將此平行四邊形的$A$點平移到$D$點， 所形成以$\overline{AD}$為一邊的平行六面體）。所以總共可以有 $12$ 種平行六面體。由於它們的底面積皆相同，而 $D$ 到平面 $ABC$ 的距離就是高， 因此這 $12$ 種平行六面體的體積皆相同。

接下來就是如何計算體積的問題了。既然它們的體積皆相同，我們當然就挑其中一種來算即可。例如選 $A$ 與 $B,C,D$ 皆相鄰的情形來做。 問問看學生能想到幾種方法。我們當然可以用剛才的想法：先求 $A,B,C$ 所形成的平行四邊形面積；再求它們所在的平面方程式以便算出 $D$ 點到此平面的距離（即高）。 我們也可用向量的方法求底面積和高：利用 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AB}$ 與 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AC}$ 的外積求出底面積； 再與 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AD}$ 內積得到體積。第三種，學生應該也會想到了，就是用 $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AB},$ $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AC}$, $\stackrel{{\displaystyle \rightharpoonup }}{AD}$ 所成的矩陣行列式求得體積。 學生應該毫無疑問的認為此題以行列式求體積最方便了。不過要讓他們了解，用行列式的方法並不容易幫助我們知道為何所有情況的平行六面體體積都一樣。反而是最複雜難算的第一種方法，很容易讓我們理解這一事實。所以，雖然都可以求體積，但沒有哪個最好，那個不好的問題。我們不該只學其中一種就好；應該要去理解學會各種處理問題的方法，這樣才能在遇到問題時能用最合適的方法處理。