年金数理（過去問）

2020年度

問題１（１）

𝑥 歳の被保険者数が次のとおり表される定常人口に達した年金制度において、新規加入者は 𝑎 歳のみで加入するものとし、脱退時平均年齢は42歳とする。

あるときから新規加入者数が定常人口に達したときの新規加入者数の 𝑏 (0<𝑏<1) 倍になったとする。新規加入者数が減少し始めてから 𝑎 年後の平均年齢が、新規加入者数が減少し始める前の平均年齢より5歳上昇したとき、𝑏として最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。

ポイント解説

以下の用語を正しく理解していると解ける問題です。

1. 定常人口（年金数理のテキスト13頁を参照）
2. 脱退時平均年齢（年金数理のテキスト　第１章練習問題５を参照）
3. 平均年齢（年金数理のテキスト　第１章練習問題５を参照）

まず、直感的にわかりやすい「平均年齢」を考えてみます。例えば、以下のようなシンプルなケースで考えてみると…

この場合の平均年齢は25歳です。これは、以下の計算に基づいて算出されます。

すなわち、年齢の合計を人数の合計で割ったものが平均年齢です。この問題の場合、生存数を表す関数は連続関数なので、離散的に合計するのではなく積分を用いて合計します。したがって、定常人口での平均年齢は、

これを計算すると、

次に、脱退時平均年齢を考えてみます。平均年齢と同様に、シンプルなケースで考えてみると…

この場合の脱退時平均年齢は35歳です。平均年齢と同様の考え方ですね。

この年金制度の加入年齢を20歳とした上で、全員20歳で加入した場合を想定すると、

加入年数を用いて脱退時平均年齢を計算することもできます。

この第2項は離散的に合計していますが、年金数理のテキスト16頁のように積分を用いると、これは20歳の加入者に対する脱退時平均加入年数（生保数理の用語では平均余命）となります。平均余命に置き換えると、生保数理で登場する平均余命に関連する公式が使えるので便利です。

以上の考え方を本問に適用すると、

問題文で脱退時平均年齢は42歳と与えられているので、これを解くと、

となります。この値を使うと、定常人口における平均年齢は35歳であることがわかります。

長くなりましたが、あと一歩です。

計算した a を用いると、新規加入者が減少し始めてから21年後の平均年齢が40歳ということになります。 平均年齢は、年齢の合計を人数の合計で割ったものであることを思い出すと、この場合の平均年齢は、

ここで、分母・分子ともに第1項は新規加入者の減少を考慮するために一律 b 倍しています。この平均年齢が40歳なので b について解くと、

となります。年金数理のテキスト第1章の練習問題５に似ているので、確実に点数を稼ぎたい問題です。

問題１（２）

𝐴, 𝐵 ,𝐶 を脱退事由とする三重脱退残存表がある。各脱退はそれぞれ独立にかつ1年を通じて一様に発生する。また三重脱退残存表から得られる 𝑥 歳の在職中の被保険者の脱退事由 𝐴, 𝐵, 𝐶 による予定脱退率をそれぞれ qAx,qBx,qCx とする。一方、脱退事由が 𝐴, 𝐵, 𝐶 それぞれ単独の場合の、各々単独の脱退残存表から得られる𝑥歳の在職中の被保険者の予定脱退率をそれぞれ qA∗x,qB∗x,qC∗x とする。 このとき、 qA∗x+qB∗x+qC∗x−(qAx+qBx+qCx) を表す算式として最も適当なものを選択肢の中から１つ選びなさい。

ポイント解説

脱退残存表に関する問題です。年金数理のテキストには脱退残存表に関する説明は多くありません。テキスト18頁を見ると、二重脱退残存表の場合、

これを、生存脱退率と死亡脱退率で書くと、

したがって、

となります。でも、テキストには三重脱退残存表の記載はありません。そんな時は、生保数理のテキスト（二見）を参照しましょう。第3章の脱退残存表の（3.2.7）に絶対脱退率の公式が載っています。

この式が成り立つためには、以下の条件が必要です。

• A脱退、B脱退、C脱退はそれぞれ独立に発生する。
• 脱退の発生は一年を通じて一様に起こる。

これは問題文に与えられているので、この問題に上式を使ってもOKということになります。

上式を少し書き換えると、

同様に、

この３つの式の左辺と右辺を合計すると、

ちなみに、脱退残存表にはいくつか近似式が登場します。どの式が近似式で、どの式が近似式でないのかも抑えて数式を扱う癖を身につけましょう。

2019年度

問題１（１）

ある年金制度は定常人口にあり、毎年度初に18歳で 𝑎 人、22歳で 2𝑎 人の新規加入がある。年金制度からの脱退は中途退職（加入中の死亡を含む）と定年退職の2種類があり、いずれも年１回期末に発生する。定年年齢は60歳であり、期初に59歳の被保険者はその年度中に中途退職もしくは定年退職により全員脱退する。中途退職による脱退率が全年齢で0.01であるとき、この年金制度の期初時点の平均年齢の値として最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。なお、平均年齢の算定は期初の新規加入の直後に行うものとする。また、必要であれば次の諸数値を使用しなさい。

＜諸数値＞

ポイント解説

平均年齢を求める問題です。年齢の合計を人数の合計で割ると平均年齢の計算ができることを思い出しましょう。

分母と分子を計算する前に、問題文をよく見ると「毎年度初に加入」「年1回期末に退職」とあり、本問題の人員分布は離散的であることがわかります。離散的な分布と連続的な分布の違いはストラテジー本の4.2で復習しましょう。同書の言葉を借りると、これは「期初ごと加入モデル」の問題となります。

• 一様加入モデル：新規加入が時間の経過に沿って常に一様に生じ、（期初で見ると）年齢は連続的に分布しているモデル
• 期初ごと加入モデル：新規加入が期初ごとにまとめて生じ、（期初で見ると）端数のない年齢の人のみが存在するモデル（つまり年齢は離散的に分布）

「平均年齢の算定は期初の新規加入の直後に行う」とあるので、新規加入直後の各年齢の人数を計算すればよいことがわかります。まず、18歳の人数は、

次に、19歳の人数は、 「脱退率が全年齢で0.01」とあるので、

同様に考えると、22歳の新規加入があるまでの年齢においては、

22歳で 2𝑎 人の新規加入があるので、

23歳の人数は、

同様に考えると、

人員分布を表す離散的な関数が求まったので、平均年齢は、

を計算すればよさそうですね。これを計算すると、平均年齢は38.5歳であることがわかります。

2018年度

問題１（１）

生存脱退と死亡脱退を脱退事由とする二重脱退残存表を考える。二重脱退残存表における記号を次のように定義する。

このとき、 q(w)xは常に0.05、 q(d)60 は0.005、x≥60に対して d(d)x が一定になるとき、この二重脱退残存表の最終年齢（残存者数が初めてゼロとなる年齢）に最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。なお、必要であれば次の諸数値を使用しなさい。

＜諸数値＞

ポイント解説

最終年齢とは、lx=0 を初めて満たす x のこと。したがって、 lx を求めればよさそうですね。

二重脱退の場合、

ここで、問題文より、

61歳の人数から順番に考えてみます。

なので、最終年齢を 60+m 歳とすると、

ここから順番に右辺の年齢を１歳ずつ引き下げてみます。

ここまで行くと、右辺の関係性が見えてきた感じでしょうか。右辺の年齢を60歳まで引き下げると、

この手の式変形は、次数と添え字の和が同一という部分に着目するとうまく式変形できると思います。

最終年齢では、

なので、これを m について解くと、

となります。最終年齢はこれに60を足したものなので、106.741歳となります。

問題１（２）

人員構成の異なる年金制度 A および年金制度 B はそれぞれ定常人口に達しており、期初に x 歳である被保険者の中途退職による脱退率（加入中の死亡を含む）はそれぞれ次のとおりである。

年金制度 A の被保険者数が年金制度 B の被保険者数の 2 倍である場合、「年金制度 A の新規加入者数 ÷ 年金制度 B の新規加入者数」の値として最も近いものを選択肢の中から1つ選びなさい。なお、計算の前提を次のとおりとする。

＜計算の前提＞

・年金制度 A および年金制度 B ともに加入年齢は20歳、定年年齢は60歳

・新規加入は期初に発生し、被保険者数の測定時期は期初の新規加入の直後とする

・定年退職による脱退は年1回期末、中途退職による脱退は年1回期央に発生する

・期初に59歳の被保険者は、期央の中途退職と期末の定年年齢到達により脱退する

ポイント解説

年金制度 A の x 歳の被保険者数を lAx とすると、

• （期初に発生した）新規加入者数は lA20
• 21歳の被保険者数は、新規加入者の内、20歳の期央で退職しなかった人なので、lA20×5960
• 22歳の被保険者数は、新規加入者の内、20, 21歳の期央で退職しなかった人なので、lA20×5960×5859=lA20×5860
• ...
• 59歳の被保険者数は、新規加入者の内、20, 21, ... , 58歳の期央で退職しなかった人なので、lA20×5960×5859...×2122=lA20×2160

これを合計すると、年金制度Aの被保険者数となるので、

同様に、年金制度 B の x 歳の被保険者数を lBx とすると、

• （期初に発生した）新規加入者数は lB20
• 21歳の被保険者数は、新規加入者の内、20歳の期央で退職しなかった人なので、lB20×99100
• 22歳の被保険者数は、新規加入者の内、20, 21歳の期央で退職しなかった人なので、lB20×99100×9899=lA20×98100
• ...
• 59歳の被保険者数は、新規加入者の内、20, 21, ... , 58歳の期央で退職しなかった人なので、lB20×99100×9899...×6162=lA20×61100

これを合計すると、年金制度Bの被保険者数となるので、

題意より、「年金制度 A の被保険者数が年金制度 B の被保険者数の 2 倍」なので、

したがって、 「年金制度 A の新規加入者数 ÷ 年金制度 B の新規加入者数」 は、

問題２（１）

① x 歳支給開始、年金額1を支給する連続払終身年金（年金制度Y）がある。利力 δ=0.02 、死力 μ=0.1 のとき、x 歳における年金現価を求めよ。なお、年金現価は小数点以下第３位を四捨五入して求めなさい。

② x 歳支給開始、年金額 αを支給する連続払の e˙x 年確定年金があり、x 歳における年金現価が年金制度 Y の x 歳における年金現価（小数点以下第３位を四捨五入する前）と一致した。 e˙x は x 歳の平均余命であり、δ と μ は①と同じ値とするとき、α を計算せよ。なお、 α は小数点以下第４位を四捨五入して求めなさい。また、必要であれば次の諸数値を使用しなさい。

＜諸数値＞

ポイント解説

①連続払いの終身年金現価率は、

ここで、死力が一定なので、

また、

したがって、

②最初に、平均余命を計算してみます。

x 歳支給開始、年金額 αを支給する連続払の e˙x 年確定年金の年金現価は、

これが、①で求めた年金制度Yの年金現価と一致するので、

これを α について解くと、 α=0.919 となります。

2017年度（平成29年度）

問題１（１）

定常人口に達している年金制度がある。この年金制度の加入年齢は20歳であり、x 歳の被保険者数 lx は次のとおりとする。

ある時から20歳で加入する被保険者数が0.5倍になり、この時から10年後の平均年齢は a 歳となった。a の値に最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。

ポイント解説

平均年齢に関する問題です。 年齢の合計を人数の合計で割ったものが平均年齢でした。この問題の場合、生存数を表す関数は連続関数なので積分を用いて合計します。

まず、当初の平均年齢を考えると、

20歳から40歳、40歳から60歳で被保険者数の関数が異なるので、分母・分子ともに積分区間を２つに分ける必要があります。

問題文で求められているのは、 「ある時から20歳で加入する被保険者数が0.5倍になり、この時から10年後の平均年齢」なので、

この２式を比べると、分母・分子ともに20歳から30歳の積分区間の関数に0.5が乗じられている部分が異なります。 「ある時から20歳で加入する被保険者数が0.5倍になり、この時から10年後の平均年齢」 を計算するので、20歳から30歳の人数の合計（分母）と年齢の合計（分子）を0.5倍している、ということです。

この積分を計算すると、平均年齢は40.12歳となります。

問題２（５）

ポイント解説

キャッシュバランス制度に関する問題です。年金数理のテキストには記載がないものの、実務の世界では普及している年金制度です。問題の解説に入る前に、キャッシュバランス制度の特徴を列挙します。

• 確定給付型と確定拠出型の両方の特徴を持つハイブリッド型制度
• 給付額は元利合計で決まる（この元利合計を仮想個人勘定残高と呼ぶ）
• 元利合計を構成するのは、拠出付与額と利息付与額
• この利息付与額のもとになる利息は変動することがある
• 年金額＝仮想個人勘定残高÷年金現価率
• この年金現価率のもとになる利息（給付利率と呼ぶ）も変動することがある

この問題で関係するのは、最後の点です。

①「この制度の年金額は、給付利率が3.0%のとき10であり、60歳時点の仮想個人別勘定残高を給付利
率に応じた15年間の確定年金現価率で除して計算される」とあるので、

ここで、確定年金現価率は期初払いで計算します。（以下、同様）

題意より、第1年度から第10年度の給付利率は2.5%、第11年度から第15年度の給付利率は3.5％なので、年金額が第11年度から変わることとなります。

60歳時点の15年保証終身年金の現価は、

ここで、確定年金現価率と計算基数で用いる利率は予定利率なので3.0%です。利率が複数登場するので、間違えやすいところ。落ち着いて、正しい数値を表からピックアップしましょう。

これを計算すると、年金現価は165となります。

②給付利率を3.5%に固定するので、年金額はB2 となります。「保証期間終了後の年金額が保証期間中の年金額のK 倍」となるので、①の現価を求める式の0.8がKになるということですね。すなわち、

ここで、第1項と第2項は統合できるので、

予定利率を2.5%に変更しているので、この式で用いる利率は2.5%です。

この現価が①の現価（165）と等しいので、これをKについて解くとK=0.56 となります。

2016年度（平成28年度）

問題１（１）

定常人口に達した年金制度があり、加入年齢は40歳、x 歳の被保険者数 lx は次のとおりとする。この年金制度の被保険者の脱退時平均年齢が 57.0 歳であるとき、a(0≤a≤9)の値に最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。

ポイント解説

脱退時平均年齢を計算する問題です。脱退時平均年齢は、新規加入年齢＋脱退時平均加入年数（生保数理で言うところの平均余命）で計算します。新規加入年齢は40歳なので、

l40=100 であり、問題文で与えられた lx の区間に注意しながら書き換えると、

なので、

脱退時平均年齢は57.0歳と与えられているので、この積分を計算すると、

問題２（１）

ポイント解説

①保証終身年金は、確定年金と据置終身年金の和として表現されます。

通常の連続払い確定年金の年金現価は、

ですが、この問題では年金額が 20−t なので、

次に、据置終身年金の部分の現価は、

ここで、

今、n=20, δ=log(1+i)=log1.02=0.01980 なので、20年保証終身年金の現価を計算すると181となります。