写真は『第１回関東すうがく徒のつどい』におけるルベーグ積分の講演にて(講演予定だった人が休演のため臨時で).

とりあえず関数f:X\to [0, \infty]としよう.

\sum_{a\gt 0}\left(\inf_{x\in X, f(x)\gt a}f(x)\right)|\{x\in X:f(x)\gt a\}|
=\int_{(0, \infty)}\left(\inf_{x\in X, f(x)\gt a}f(x)\right)|\{x\in X:f(x)\gt a\}|da

が収束すれば, それをfのルベーグ積分という(高木『解析概論』, 谷島『ルベーグ積分と関数解析』). ここで絶対値は長さや面積または体積みたいなものである. 

ただし長さは常に0以上かつ無限大以下(無限大でもよい)とする. \{x\in X:f(x)\gt a\}はバラバラの交わらない部分に分けられたり空集合や１点だけの集合かもしれないから, 少なくとも空集合の長さはゼロで, １点だけの集合の長さもゼロで, 高校数学の個数定理や線型代数の次元定理みたいに, 交わらないか１点でしか交わらない集合たちの和集合の長さは, 長さの和とする. 

fは有界でなくとも連続でなくともよい. とにかく和が一意的に決まればよい. Xはユークリッド空間でなくてもよい. ほぼ言われないがXは有界でなくても, そもそも位相を考えなくてもよい. リーマン積分で一様収束するなら関数列の積分と極限を入れ替えても等しいのはXが有界な時である. ルベーグ積分なら非有界でも一様収束しなくてもよい.

下から階段みたいに積み木みたいに, 横に広がったり縮まる底辺に高さの下限を掛けて, グラフが囲む図形の測度を近似していく. 詳しく言うと, 区分求積法やリーマン積分で図形を縦に近似した代わりに, 横に近似したい.

Xとその部分集合に抽象的に測度を決めるとゼロ以上の値の関数の積分が決まる. 一般には, 正の部分の積分が有限, かつ, 負の部分にマイナスを付けて正にした関数の積分が有限なら, これらの差と定める(多変数関数の広義リーマン積分と同様). 詳しくは, 単関数(階段関数)による「積分」の近似の意味が上の式である.

ディリクレ関数\chi_\mathbb Qは\R上でルベーグ積分できて値はゼロである. ルベーグ積分ではfが可積分と|f|が可積分は同値である. リーマン積分ではf(x)=\chi_\mathbb Q(x)-\chi_{\R-\mathbb{Q}}(x)=\pm 1で定めたfに対して|f|=1は[2, 3]でリーマン可積分だがfはリーマン可積分ではない(不連続点全体の集合, つまり無理数の集合は長さがゼロではないから). ここから逆算すると, 長さが決まる集合の補集合にも長さが決まればよいはずである. 互いに交わらない可算個の集合の和集合の長さが, それぞれの長さの和に完全に等しいなら, 「どんな集合Xにも」ルベーグ積分が決まる. 普通の体積|A|=\int_{\R^N}\chi_Aはリーマン積分で決まるが 「互いに交わらない可算個の集合の和集合の長さが, それぞれの長さの和に完全に等しい」はリーマン積分による体積では反例がある.

Xを\N, \Zまたはその部分集合とし, Xの部分集合に要素の個数(数え上げ測度)を対応させると, 関数とは数列でありルベーグ積分は数列の和である. Xをユークリッド空間とし, Xの部分集合にルベーグ測度を決めると, リーマン積分から決まる体積の拡張になり, よくあるルベーグ積分である. Xを距離空間とし, Xの部分集合にハウスドルフ測度を決めると, 線積分や面積分など多様体における積分を抽象化できる. X自体の長さを1と決めると, 長さとはすなわち確率で, 関数とは確率変数でありルベーグ積分は期待値である.

ルベーグ積分はリー群(多様体であり群でもある図形)の理論で使われる. 私の研究ではXをユークリッド空間だけではなく, 5以上の自然数の成す集合にして数え上げ測度を使った箇所もある. シュレディンガー方程式の理論ではスペクトル測度によるルベーグ積分が使われている(谷島『ルベーグ積分と関数解析』, 北田『数理解析学概論』).

ルベーグ積分を使うと, 意味のある多くの関数空間が完備になるから, 偏微分方程式の解の存在を示すのに都合がよい.

実はユークリッド空間におけるルベーグ積分は, 測度論を使わず(ルベーグ測度零集合の概念だけで)以下のように定義できる. ユークリッド空間における関数が零集合(杉浦『解析入門Ⅰ』)を除いて定義され, 有界閉集合の外でゼロになり, かつユークリッド空間から零集合を除いた集合で連続なら, ユークリッド空間全体でリーマン可積分だから, 零集合を除いて定義された有界閉集合の外でゼロになる連続関数の成す集合C_0にノルムをu\mapsto\int_{\R^N} |u|で決めたノルム空間の完備化をL^1とする. ユークリッド空間においては, このノルムでコーシー列となるC_0の関数列u_nを取り, 列の積分の極限\lim_n \int_{\R^N} u_nを, 極限関数u\in L^1のルベーグ積分の定義としてもよい. 列の積分の極限が存在し同じuに収束する関数列の取り方によらずuのルベーグ積分と定義できる(一意的に決まる)ことが知られている(黒田『関数解析』の付録).