(1) ⇒ (2) $x\in X$ とします。任意の点 $y\ne x$ に対して開集合 $U_y$ であって $y\in U_y$ かつ $x\notin U_y$ となるものを固定すれば $\bigcup _{y\in X\setminus \{x\}}{U}_y=X\setminus \{x\}$ であり、これは開集合なのでその補集合 $\{x\}$ は閉集合です。

(2) ⇒ (3) $x\in X$ を固定します。任意の $y\ne x$ に対して(2)より $X\setminus \{y\}$ は $x$ の開近傍であり、$\{x\}=\bigcap _{y\ne x}(X\setminus \{y\})$ です。このことにより、$x$ の全ての開近傍たちの共通部分は $\{x\}$ です。

(3) ⇒ (1) $x\ne y\in X$ とします。(3)より $x\in X$ の開近傍 $U$ であって $y\notin U$ となるものが取れるので $X$ は $T_1$ 空間です。

$T_1$ 空間において $1$ 点からなる部分集合は閉集合です。高々有限個の閉集合の和集合は閉集合なので、有限集合は閉集合です。

$a\ne b\in X$ の $2$ 点に収束したとします。開集合 $U,V$ であって $a\in U$ かつ $b\in V$ かつ $U\cap V=\varnothing$ となるものを取ります。点列 $\{x_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ が $a$ に収束することからある非負整数 $N_a$ であって任意の $n>N_a$ に対して $x_n\in U$ となるものを取ることができ、同様に非負整数 $N_b$ であって任意の $n>N_b$ に対して $x_n\in V$ となるものを取ることができます。$n>max\{N_a,N_b\}$ を取れば $x_n\in U\cap V=\varnothing$ となり矛盾です。よって、収束先は一意です。

(1) ⇒ (2) $x\in X$ を固定します。各 $y\ne x$ に対し、$x\in U_y$, $y\in V_y$, $U_y\cap V_y=\varnothing$ となる開集合 $U_y,V_y$ を固定します。$\overline{U_y}\subset V_y^c$ であり、$\overline{U_y}$ は $y\notin \overline{U_y}$ を満たす $x$ の閉近傍です。よって、$\bigcap _{y\ne x}\overline{U_y}=\{x\}$ です。このことにより、$x$ の全ての閉近傍たちの共通部分は $\{x\}$ です。

(2) ⇒ (1) $x\ne y$ を取ります。(2)より、$x$ の閉近傍 $F$ であって $y\notin F$ となるものが取れます。$U:=\mathrm{Int}F$, $V:=F^c$ とすれば、これが $x\in U$, $y\in V$, $U\cap V=\varnothing$ を満たす開集合になります。よって、$X$ はHausdorff空間です。

(1) ⇒ (3) $z=(x,y)\in \mathrm{\Delta }(X{)}^c$ とします。$x\ne y$ なので、開集合 $U_z,V_z$ であって $x\in U_z$, $y\in V_z$, $U_z\cap V_z=\varnothing$ となるものが取れます。$W_z:=U_z\times V_z$ は $z$ の開近傍であって $W_z\subset \mathrm{\Delta }(X{)}^c$ を満たします。各 $z\in \mathrm{\Delta }(X{)}^c$ に対してそのような $W_z$ を固定しておけば、$\mathrm{\Delta }(X{)}^c=\bigcup _{z\in \mathrm{\Delta }(X{)}^c}{W}_z$ であり、これは開集合です。よって、$\mathrm{\Delta }(X)$ は閉集合です。

(3) ⇒ (1) $x\ne y\in X$ を取ります。$(x,y)\in \mathrm{\Delta }(X{)}^c$ です。$X\times X$ は $X$ の開集合 $U,V$ を用いて $U\times V$ の形で表される部分集合たちからなる開基を持つので、$(x,y)$ の開近傍であって $U\times V$ の形かつ $\mathrm{\Delta }(X{)}^c$ に含まれるものが取れます。これが $x\in U$, $y\in V$, $U\cap V=\varnothing$ を満たしますもし $U\cap V\ne \varnothing$ とすると、その元 $z$ に対して $(z,z)\in U\times V\in \mathrm{\Delta }(X{)}^c$ となって矛盾です。。よって、$X$ はHausdorff空間です。

(1) $x\ne y\in A$ を取ります。$X$ が $T_1$ 空間なので、$X$ の開集合 $U$ であって $x\in U$ かつ $y\ne U$ となるものが取れます。この $U$ について $U^{\prime }=A\cap U$ は $x\in U^{\prime }$ かつ $y\notin U^{\prime }$ を満たす $A$ の開集合です。

(2) $x=(x_{\lambda }{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\ne y=(y_{\lambda }{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\in \prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{X}_{\lambda }$ を取ります。ある $\mu \in \mathrm{\Lambda }$ が存在して $x_{\mu }\ne y_{\mu }$ です、$X_{\mu }$ の開集合 $U_{\mu }$ を $x_{\mu }\in U_{\mu }$ かつ $y_{\mu }\notin U_{\mu }$ となるように取れば、$U:={\mathrm{pr}}_{\mu }^{-1}(U_{\mu })$ が $x\in U$, $y\notin U$ を満たす直積空間の開集合です。

(3) (1)とほぼ同じです。$x\ne y\in A$ に対し、それらを $X$ において分離する開集合 $U,V$ を取り、それぞれの $A$ との共通部分を考えればよいです。

(4) (2)とほぼ同じです。$X_{\mu }$ において $x_{\mu },y_{\mu }$ を分離する開集合 $U_{\mu },V_{\mu }$ を取れば、それらの射影 ${\mathrm{pr}}_{\mu }$ による逆像が直積空間において $x,y$ を分離する開集合です。

$(x,y)\notin \mathrm{\Gamma }(f)$ となる $(x,y)\in X\times Y$ を任意に取ります。$y\ne f(x)$ です。$Y$ の開集合 $U,V$ を $f(x)\in U$, $y\in V$, $U\cap V=\varnothing$ となるように取ります。このとき、$U\cap V=\varnothing$ より $f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V)=\varnothing$ であり、$f^{-1}(U)\times V\subset X\times Y$ は $\mathrm{\Gamma }(f)$ と交わらない $(x,y)$ の開近傍です。よって、$\mathrm{\Gamma }(f)$ は閉集合です。

補集合 $A^c=\{x\in X\mid f(x)\ne g(x)\}$ が開集合であることを示します。$x\in A^c$ とします。$Y$ の開集合 $U,V$ を $f(x)\in U$, $g(x)\in V$, $U\cap V=\varnothing$ となるように取ります。このとき、任意の $x^{\prime }\in f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)$ に対して $f(x^{\prime })\in U$ かつ $g(x^{\prime })\in V$ であり、$U\cap V=\varnothing$ より $f(x^{\prime })\ne g(x^{\prime })$ なので $x^{\prime }\in A^c$ です。よって、$f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)\subset A^c$ です。$f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)$ は $x^{\prime }$ の開近傍であり、$x^{\prime }$ を任意に取っていたことから $A^c$ は開集合です。よって、$A$ は閉集合です。

正則空間は定義から $T_1$ 空間なのでその $1$ 点集合は閉集合。よって、$T_3$ 空間であることから任意の相異なる $2$ 点 $x\ne y$ に対して $x\in U$ かつ $\{y\}\subset V$ かつ $U\cap V=\varnothing$ となるものが取れます。当然 $\{y\}\subset V$ は $y\in V$ と同値なので、Hausdorff空間であることが分かりました。

(1) ⇒ (2) $x\in X$ とその開近傍 $V$ を固定します。$X$ が正則であることから $x$ と $V^c$ を分離する開集合 $U,W$ を取れば、$x\in \bar{U}\subset W^c\subset V$ です。

(2) ⇒ (1) $x\in X$ と $x\notin A$ である閉集合 $A\subset X$ を固定します。$V:=A^c$ は $x$ の開近傍であり、(2)より $x$ の開近傍 $U$ であって $\bar{U}\subset V$ を満たすものが取れます。容易に分かるように $U$ と ${\bar{U}}^c$ が $x$ と $A$ を分離する開集合です。

(1) $x\in A$ と $A$ の閉集合 $B\subset A$ であって $x\notin B$ であるものを固定します。$X$ の閉集合 $F$ であって $B=F\cap A$ であるものを取ります。$X$ において $x$ と $F$ を分離する開集合 $U,V$ を取れば、それらと $A$ との共通部分として得られる開集合たちが $A$ において $x$ と $B$ を分離する開集合です。

(2) $x=(x_{\lambda }{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\in \prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{X}_{\lambda }$ と閉集合 $A\subset \prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{X}_{\lambda }$ を $x\notin A$ であるように固定します。$A^c$ は $x$ の開近傍であり、$x$ の開近傍 $V$ であって$$\prod _{\mu \in M}{V}_{\mu }\times \prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }\setminus M}{X}_{\lambda }(M\subset \mathrm{\Lambda },\mathrm{\#}M<+\mathrm{\infty },V_{\mu }:\text{open set})$$の形に表されかつ $V\subset A^c$ を満たすものが取れます。各 $\mu \in M$ に対して $V_{\mu }$ は $x_{\mu }$ の開近傍であり、命題2.3.16から $x$ の開近傍 $U_{\mu }$ であって $\overline{U_{\mu }}\subset V_{\mu }$ となるものが取れます。$$U:=\prod _{\mu \in M}{U}_{\mu }\times \prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }\setminus M}{X}_{\lambda }$$とおけば $U$ と ${\bar{U}}^c$ が $x$ と $A$ を分離する開集合です。

実際、これらが非交叉な開集合であること、$x\in U$ であることは容易であるし、$$\bar{U}=\prod _{\mu \in M}\overline{U_{\mu }}\times \prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }\setminus M}{X}_{\lambda }\subset \prod _{\mu \in M}{V}_{\mu }\times \prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }\setminus M}{X}_{\lambda }\subset A^c$$により $A\subset {\bar{U}}^c$ も従います。

(3) (4) $T_1$ 性は部分空間や直積空間で保たれる性質でした $($命題2.3.11$)$。

$x\in X$ と閉集合 $A\subset X$ を $x\notin A$ であるように固定します。正規空間は定義から $T_1$ 空間なのでその $1$ 点集合 $\{x\}$ は閉集合。よって、$T_4$ 空間であることから $\{x\}\subset U$ かつ $A\subset V$ かつ $U\cap V=\varnothing$ となるものが取れます。よって、$X$ は正則空間です。

(1) ⇒ (2) 閉集合 $A\subset X$ とその開近傍 $V$ を固定します。$X$ が正規であることから $A$ と $V^c$ を分離する開集合 $U,W$ を取れば、$A\subset \bar{U}\subset W^c\subset V$ です。

(2) ⇒ (1) 閉集合 $A,B\subset X$ であって $A\cap B=\varnothing$ となるものを取ります。$V:=B^c$ は $A$ の開近傍であり、(2)より $A$ の開近傍 $U$ であって $\bar{U}\subset V$ を満たすものが取れます。容易に分かるように $U$ と ${\bar{U}}^c$ が $A$ と $B$ を分離する開集合です。

開近傍 $U_1,\dots ,U_{k-1}$ を $\overline{U_1},\dots ,\overline{U_{k-1}},A_k,\dots ,A_n$ が互いに非交叉となるように構成されているとします。このとき、$A_k\subset {(\bigcup _{1\le i<k}\overline{U_i}\cup \bigcup _{k<i\le n}{A}_i)}^c$ であるので、命題2.3.20より $A_k$ の開近傍 $U_k$ を$$\overline{U_k}\subset {(\bigcup _{1\le i<k}\overline{U_i}\cup \bigcup _{k<i\le n}{A}_i)}^c$$であるように取ることができ、このとき、$\overline{U_1},\dots ,\overline{U_k},A_{k+1},\dots ,A_n$ は互いに非交叉です。よって、主張の条件を満たす開近傍 $U_1,\dots ,U_n$ が帰納的に構成されます。

1.8.4.1節$($系1.8.26$)$ で示しました。

$U\subset [a,b]$ を $($この区間における$)$ 開集合とし、各 $x\in f^{-1}(U)$ が内点になっていることを確かめます。これには以下の場合を確認すれば十分です。

注意として、$x\in A_r$ ならば $f(x)\le r$ は明らかであるし、$x\notin A_r$ であれば $r$ 以下の任意の $r^{\prime }\in R$ に対して $x\notin A_{r^{\prime }}$ であり、$f(x)\ge r$ が成立しています。

(i) $[a,c)\subset U$ となる $c\in (a,b]$ を取り、$a<r^{\prime }<r<c$ となる $r,r^{\prime }\in R$ を取れば$$x\in A_{r^{\prime }}\subset \mathrm{Int}{A}_r\subset f^{-1}([a,c))\subset f^{-1}(U)$$なので、$x$ は $f^{-1}(U)$ の内点です。

(ii) $f(x)\in (c,d)\subset U$ となる $c,d\in [a,b]$ を取り、$c<s<f(x)<t<d$ となるように $s,t\in R$ を取れば $x\in \mathrm{Int}{A}_t\setminus A_s\subset f^{-1}(U)$ であり、$x$ は $f^{-1}(U)$ の内点です。

(iii) $(c,b]\subset U$ となる $c\in [a,b)$ を取り、$c<r<b$ となる $r\in R$ を取れば $x\in A_r^c\subset f^{-1}(U)$ であり、$x$ は $f^{-1}(U)$ の内点です。

命題2.3.20を用いて $A$ とは交わらない $B$ の閉近傍 $C$ を固定しておきます。そして、非負整数 $n\in \mathbb{N}$ と整数 $0\le m\le 2^n$ を用いて $m/2^n$ と表される有理数全体からなる集合を $R$ とし、以下の条件を満たす閉集合族 $\{A_r{\}}_{r\in R}$ を構成します。

各非負整数 $n\in \mathbb{N}$ について、$R_n$ を整数 $m$ を用いて $m/2^n$ と表される $R$ の元全体からなる集合とします。$R_0=\{0,1\}$ においては $A_0:=A$, $A_1:=\mathrm{Cl}(C^c)$ と定め、以下は帰納的に定義していきます。$R_n$ の各元に対して条件の(ii)が成立するように $A_r$ たちが定義されているとして、各 $r=(2k+1)/2^{n+1}\in R_{n+1}\setminus R_n$ に対して $A_r$ を $A_{k/2^n}\subset \mathrm{Int}{A}_r$, $A_r\subset \mathrm{Int}{A}_{(k+1)/2^n}$ となる閉集合として構成できれば $R_{n+1}$ でも(ii)を満たすように構成されたことになりますが、これは $\mathrm{Int}{A}_{(k+1)/2^n}$ が $A_{k/2^n}$ の開近傍になっていることと命題2.3.20から $A_{k/2^n}$ の開近傍 $U$ であって $\bar{U}\subset \mathrm{Int}{A}_{(k+1)/2^n}$ となるものを取り、$A_r:=\bar{U}$ とすればよいです。以上により条件を満たす閉集合族が帰納的に構成されます。

写像 $f:X\to [0,1]$ を$$f(x):=\{\begin{array}{ll}inf\{r\in R\mid x\in A_r\}& (x\in A_1)\\ 1& (x\in A_1^c)\end{array}$$により定めます。これは補題2.3.25より連続であり、$f{|}_A\equiv 0$ は $A=A_0$ から、$f{|}_B\equiv 1$ は $B\subset \mathrm{Int}C=(\mathrm{Cl}(C^c){)}^c=A_1^c$ から従います。以上で目的の連続関数が得られました。

各 $s\in \mathbb{R}$ に対して $A$ の閉集合 $F_s,G_s$ を $F_s:=g^{-1}((-\mathrm{\infty },s])$, $G_s:=g^{-1}([s,+\mathrm{\infty }))$ と定めます。$A$ が閉なのでこれらは $X$ においても閉です。開集合列 $\{U_n{\}}_{n\in \mathbb{N}},\{V_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ を次の条件を満たすように構成します。

$U_{n-1},V_{n-1}$ まで構成されているとして $U_n,V_n$ を構成すればよいですが、$U_n$ が構成できることは $(\overline{U_{n-1}}\cup F_{r-1/n})\cap (\overline{V_{n-1}}\cup G_r)=\varnothing$ であること(b)から $\overline{U_{n-1}}\cap G_r=\varnothing$ が、(c)から $(\overline{U_{n-1}}\cup F_{r-1/n})\cap \overline{V_{n-1}}=\varnothing$ が分かります。$F_{r-1/n}\cap G_r=\varnothing$ は定義から明らかです。と命題2.3.20からよく、$V_n$ も同様に $(\overline{V_{n-1}}\cup G_{r+1/n})\cap (\overline{U_n}\cup F_r)=\varnothing$ と命題2.3.20から構成されるのでよいです。よって、帰納的に開集合列が構成されます。

$A_r:=\mathrm{Cl}\left(\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{U}_n\right)\cup F_r$ が条件を満たす閉集合であることを示します。いま、$$g^{-1}((-\mathrm{\infty },r))=\bigcup _{n\in {\mathbb{N}}_{+}}{F}_{r-1/n}\subset \bigcup _{n\in \mathbb{N}}{U}_n\subset {\left(\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{V}_n\right)}^c\subset {\left(\bigcup _{n\in {\mathbb{N}}_{+}}{G}_{r+1/n}\right)}^c=g^{-1}((r,+\mathrm{\infty }){)}^c$$であることに注意します。$g^{-1}((-\mathrm{\infty },r))\subset \mathrm{Int}{A}_r$ は明らかです。また、${\left(\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{V}_n\right)}^c$ が閉集合であることから $\mathrm{Cl}\left(\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{U}_n\right)\subset {\left(\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{V}_n\right)}^c$ であり、$\mathrm{Cl}\left(\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{U}_n\right)\cap A\subset F_r$ となるので、もちろん $A_r\cap A=F_r$ です。以上により $A_r$ が構成されました。

条件(ii)を満たす $A_0$ を補題2.3.27より取ります。$p,q$ を整数とし、$p<n<q$ の範囲で各条件を満たすように $A_n$ が構成されているとして $A_p,A_q$ を構成します。

$A_p$ は連続写像 $h_{p+1}:(\mathrm{Int}{A}_{p+1}{)}^c\cup A\to \mathbb{R}$ を$$h_{p+1}(x):=\{\begin{array}{ll}p+1& (x\in (\mathrm{Int}{A}_{p+1}{)}^c)\\ min\{g(x),p+1\}& (x\in A)\end{array}$$により定め$g^{-1}((-\mathrm{\infty },p+1))\subset \mathrm{Int}{A}_{p+1}$ より $(\mathrm{Int}{A}_{p+1}{)}^c\cap A\subset \{x\in A\mid g(x)\ge p+1\}$ となることに注意すれば $h_{p+1}$ はwell-definedであり、連続性は $(\mathrm{Int}{A}_{p+1}{)}^c$ への制限の連続性と $A$ への制限の連続性から従います。、この $h_{p+1}$ に対して補題2.3.27を適用すればよいです。$A_p\subset \mathrm{Int}{A}_{p+1}$ は $A_p\cap (\mathrm{Int}{A}_{p+1}{)}^c=\varnothing$ から従います。

$A_q$ は連続写像 $k_{q-1}:A_{q-1}\cup A\to \mathbb{R}$ を$$k_{q-1}(x):=\{\begin{array}{ll}q-1& (x\in A_{q-1})\\ max\{g(x),q-1\}& (x\in A)\end{array}$$により定め、この $k_{q-1}$ に対して補題2.3.27を適用すればよいです。$A_{q-1}\subset \mathrm{Int}{A}_q$ も明らかです。

$r\in \mathbb{Z}$ については補題2.3.28より取ります。$s<t\in R$ について各条件を満たす $A_s,A_t$ が得られているとして、$r:=\frac{s+t}{2}\in R$ に対して各条件を満たす $A_r$ が連続写像 $g^{\prime }:A_s\cup A\cup (\mathrm{Int}{A}_t{)}^c\to \mathbb{R}$ を$$g^{\prime }(x):=\{\begin{array}{ll}s& (x\in A_s)\\ min\{max\{g(x),s\},t\}& (x\in A)\\ t& (x\in (\mathrm{Int}{A}_t{)}^c)\end{array}$$により定義して補題2.3.27を適用して得られます。このことから $R$ 全体でも構成できることが容易に分かります。

補題2.3.29の閉集合列 $\{A_r{\}}_{r\in R}$ を取り、$A_{\mathrm{\infty }}:=\left(\bigcup _{r\in R}{A}_r\right)\setminus \left(\bigcap _{r\in R}{A}_r\right)$ とおきます。$A_{\mathrm{\infty }}$ は $A$ の開近傍です。写像 $h:A_{\mathrm{\infty }}\to \mathbb{R}$ を$$h(x):=inf\{r\in R\mid x\in A_r\}$$により定めます。これは補題2.3.25より連続であり、$A_r\cap A=g^{-1}((-\mathrm{\infty },r])$ より $A$ 上で $g$ に一致します。$A_{\mathrm{\infty }}^c$ は $A$ とは交わらない $X$ の閉集合であり、その閉近傍 $B$ であって $A$ とは交わらないものが取れます。ここでUrysohnの補題 $($定理2.3.26$)$ より連続写像 $k:X\to [0,1]$ であって $k{|}_A\equiv 1$ かつ $k{|}_B\equiv 0$ を満たすものを取り、連続写像 $f:X\to \mathbb{R}$ を$$f(x):=\{\begin{array}{ll}k(x)h(x)& (x\in A_{\mathrm{\infty }})\\ 0& (x\in \mathrm{Int}B)\end{array}$$と定めればこれが目的の $g$ の連続拡張です。$A_{\mathrm{\infty }}\cap \mathrm{Int}B$ において $kh$ が恒等的に $0$ を値に取ることに注意すれば確かに連続に定まっています。