$TM$ のRiemann計量を各 $p\in \partial N$ において $(T_p(\partial M){)}^{\mathrm{\perp }}\subset T_{p}N$ であるように取りいつものように局所的なRiemann計量を $1$ の分割を用いて貼り合わせることで作ります。$p\in \partial N$ の近傍では命題3.2.20の形の座標近傍との同一視のもとで標準的なRiemann計量を与えておけば、その計量に対しては $(T_p(\partial M){)}^{\mathrm{\perp }}\subset T_{p}N$ であり、また、このようなRiemann計量の $($重み付きの$)$ 和として得られるRiemann計量はこの条件を保ちます。また、この条件は $(T_{p}N{)}^{\mathrm{\perp }}\subset T_p(\partial M)$ と同値であるので、これで(ii)が成立します。、$TN\subset TM{|}_N$ の直交補空間を像とするように束写像 $\nu N\to TM{|}_N$ を取ればよいです。

$M$ の座標近傍系 $\{(U_{\lambda },{\phi }_{\lambda }){\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ に従属する $1$ の分割 $\{h_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ を取ります。各 $U_{\lambda }$ に対し、局所座標系 ${\phi }_{\lambda }$ の定める標準的な局所自明化 ${\psi }_{\lambda }:T{U}_{\lambda }\to U_{\lambda }\times {\mathbb{R}}^n$ が存在するので、これによる同一視の下、$T{U}_{\lambda }$ の各点 $(p,v)\in T{U}_{\lambda }$ における接空間の標準的直和分解$$T_{(p,v)}(T{U}_{\lambda })\cong T_p{U}_{\lambda }\oplus T_v(T_p{U}_{\lambda })$$を与えます。$T{U}_{\lambda }$ 上のベクトル場 $Y^{\lambda }$ を各点 $(p,v)\in T{U}_{\lambda }$ について$$Y_{(p,v)}^{\lambda }=v\oplus 0\in T_p{U}_{\lambda }\oplus T_v(T_p{U}_{\lambda })$$とすることにより定めれば、これは $U_{\lambda }$ の境界に適合したスプレイです自明なスプレイといいます。。$TM$ 上のベクトル場 $Y$ を$$Y=\sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}(h_{\lambda }\circ \pi {|}_{U_{\lambda }})Y^{\lambda }$$と定め、これが $M$ の境界に適合したスプレイであることを示します。

まず、各 $(p,v)\in TM$ に対して ${\pi }_{\ast }{Y}_{(p,v)}=v$ であることは$${\pi }_{\ast }{Y}_{(p,v)}={\pi }_{\ast }(\sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{h}_{\lambda }(p)Y_{(p,v)}^{\lambda })=\sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{h}_{\lambda }(p)v=v$$から分かります。そして、各 $(p,v)\in TM$, $s\in \mathbb{R}$ に対して $s\cdot ({\mu }_s{)}_{\ast }(Y_{(p,v)})=Y_{(p,sv)}$ であることは$$\begin{array}{rcl}s\cdot ({\mu }_s{)}_{\ast }(Y_{(p,v)})& =& s\cdot ({\mu }_s{)}_{\ast }(\sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{h}_{\lambda }(p)Y_{(p,v)}^{\lambda })\\ & =& \sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}(h_{\lambda }(p)s\cdot ({\mu }_s{)}_{\ast }(Y_{(p,v)}^{\lambda }))\\ & =& \sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}(h_{\lambda }(p)Y_{(p,sv)}^{\lambda })=Y_{(p,sv)}\end{array}$$から分かり、$Y$ は $M$ のスプレイです。最後にスプレイ $Y$ が境界に適合していることですが、これは各 $Y^{\lambda }$ がそうなのでそうです。

まず、各 $p\in N$ に対して $Y_{(p,0)}=0$ なので $N\subset {\mathcal{V}}^{\prime }$ と $\exp {|}_N:N\to M$ が包含写像に一致することは明らかです。各 $p\in N$ に対して $(p,0)\in \nu N$ のある近傍が ${\mathcal{V}}^{\prime }$ に含まれていることと $(p,0)\in \mathrm{Reg}(\exp )$ であることを示します。

(i) $p\in \mathrm{Int}N$ の場合

$\mathcal{V}$ が $(p,0)\in TM$ の近傍を含むことを示せば ${\mathcal{V}}^{\prime }$ が $(p,0)\in \nu N$ の近傍であることは明らかなのでそうします。$(p,0)\in TM$ の相対コンパクト開近傍 $\mathcal{U}$ を取るとき、ある正実数 $\epsilon >0$ が存在して $\mathcal{U}$ の各点でその点を始点とする区間 $[-\epsilon ,\epsilon ]$ において定義された積分曲線が存在します。上で行った考察により、${\mu }_{\epsilon }(\mathcal{U})$ の各点に対して区間 $[-1,1]$ において定義された積分曲線が取れるので $(p,0)$ の開近傍である ${\mu }_{\epsilon }(\mathcal{U})$ は $\mathcal{V}$ に含まれます。

$(p,0)\in \mathrm{Reg}(\exp )$ であることは$${\exp }_{\ast }(T_{(p,0)}{\mathcal{V}}^{\prime })={\exp }_{\ast }({\nu }_{p}N)\oplus T_{p}N={\nu }_{p}N\oplus T_{p}N=T_{p}M$$から従います。

(ii) $p\in \partial N$ の場合

$p\in M$ の適当な開近傍を ${\mathbb{R}}_{+}^m$ の開集合 $U$ と同一視し、$Y$ を $U$ の境界に適合したスプレイ、$N$ を $U$ の境界に適合した部分多様体と考えることにします。$Y$ を ${\mathbb{R}}^m$ の開集合 $U^{\prime }$ におけるスプレイに拡張し、部分多様体 $N$ も $U^{\prime }$ の境界を持たない部分多様体 $N^{\prime }$ に拡張、合わせて法束 $\nu N\subset TU$ も $\nu N^{\prime }\subset T{U}^{\prime }$ に拡張しておきます。$p\in \mathrm{Int}{N}^{\prime }$ なので(i)の場合の結果から、$(p,0)\in \nu N^{\prime }$ の十分小さい近傍 ${\mathcal{U}}^{\prime }$ において $C^{\mathrm{\infty }}$ 級写像 $\exp :{\mathcal{U}}^{\prime }\to U^{\prime }$ が定まり、$(p,0)\in \mathrm{Reg}(\exp )$ です。そこで、必要であれば ${\mathcal{U}}^{\prime }$ を小さく取り直すことで $\exp$ は埋め込みとしてよいです。いま、$Y$ が $U$ の境界に適合したスプレイであることと各 $q\in \partial N$ に対して ${\nu }_{q}N\subset T(\partial U)$ であることから、制限として埋め込み $\exp :\nu N^{\prime }{|}_{\partial N}\cap {\mathcal{U}}^{\prime }\to \partial U$ が得られます。よって、必要ならば再び ${\mathcal{U}}^{\prime }$ を小さく取り直すことで制限として境界に適合した埋め込み $\exp :\nu N\cap {\mathcal{U}}^{\prime }\to U$ が得られ、これは $\nu N\cap {\mathcal{U}}^{\prime }\subset {\mathcal{V}}^{\prime }$ を意味します。$(p,0)\in \mathrm{Reg}(\exp )$ であることは制限しても変わりません。

命題3.4.6より $\nu N$ における零切断 $N$ の開近傍 ${\mathcal{V}}^{\prime }$ で定義された境界に適合した $C^{\mathrm{\infty }}$ 級写像 $\exp :{\mathcal{V}}^{\prime }\to TM$ であって $\exp {|}_N$ が包含写像に一致し、さらに $N\subset \mathrm{Reg}(\exp )$ を満たすものが存在します。

$N$ の相対コンパクト開集合による局所有限開被覆 $\{U_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ と正実数の族 $\{{\epsilon }_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ を各 $i\in \mathbb{N}$ について $\nu N$ の開集合$$V_i=\{(p,v)\in \nu N\mid p\in U_i,v\in {\nu }_{p}N,|v|<{\epsilon }_i\}$$が条件

を満たすように取ります。さらに、開被覆 $\{U_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ の細分である開被覆 $\{U_i^{\prime }{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ であって各 $i\in \mathbb{N}$ について ${\overline{U^{\prime }}}_i\subset U_i$ となるものを取り、${\mathcal{V}}^{\prime }$ の閉集合 $A_i$ と $B_{i,j}$ を各 $i<j\in \mathbb{N}$ に対して$$A_i=\{(p,v)\in \nu N\mid p\in {\overline{U^{\prime }}}_i,v\in {\nu }_{p}N,|v|\le {\epsilon }_i\},$$$$B_{i,j}=\{(p,v)\in \nu N\mid p\in {\overline{U^{\prime }}}_j\setminus U_i,v\in {\nu }_{p}N,|v|\le {\epsilon }_j\}$$により定義します。以下、必要であれば ${\epsilon }_i$ たちを小さく取り直すことで常に$$\exp (A_i)\cap \exp (B_{i,j})=\mathrm{\varnothing }$$を満たすようにできることを示します。

$i\in \mathbb{N}$ を $\exp (A_i)\cap \exp (B_{i,j})\ne \mathrm{\varnothing }$ となる $j>i$ が存在する最小の $i$ とします。まず、必要であれば ${\epsilon }_i$ を小さく取り直すことで $A_i\cap N\subset U_i$ となるようにします。$\exp (A_i)\cap \exp (B_{i,j})\ne \mathrm{\varnothing }$ となる各 $j>i$ に対し、${\overline{U^{\prime }}}_j\setminus U_i\subset \nu N\setminus A_i$ であることから正実数 ${\epsilon }_j^{\prime }>0$ であって$$\{(p,v)\in \nu N\mid p\in {\overline{U^{\prime }}}_j\setminus U_i,v\in {\nu }_{p}N,|v|\le {\epsilon }_j^{\prime }\}\subset {\mathcal{V}}^{\prime }\setminus A_i$$となるものが存在するので、各 ${\epsilon }_j$ を ${\epsilon }_j^{\prime }$ で置き換えます必ず ${\epsilon }_j^{\prime }<{\epsilon }_j$ であることには注意。。このとき、この $i$ について全ての $j>i$ で $\exp (A_i)\cap \exp (B_{i,j})\ne \mathrm{\varnothing }$ を満たすようになります。この操作を高々可算回繰り返すことで欲しかった ${\epsilon }_i$ たちが得られます。

さて、必要であればさらに小さく取り直して ${\epsilon }_i$ たちは単調減少とした後、$N\subset {\mathcal{V}}^{\prime }$ の開近傍 ${\mathcal{V}}^{″}\subset {\mathcal{V}}^{\prime }$ を$${\mathcal{V}}^{″}=\bigcup _{i\in \mathbb{N}}\{(p,v)\in \nu N\mid p\in U_i^{\prime },v\in {\nu }_{p}N,|v|<{\epsilon }_i\}(\subset \bigcup _{i\in \mathbb{N}}\mathrm{Int}{A}_i)$$と定めれば $\exp {|}_{{\mathcal{V}}^{″}}$ が $($境界に適合した$)$ 埋め込みを与えることを示します。そのためには単射性を示せば十分です。ある $2$ 点 $(p,v),(q,w)\in {\mathcal{V}}^{″}$ が存在して $\exp (p,v)=\exp (q,w)$ であったとします。$(p,v)\in \mathrm{Int}{A}_i$, $(q,w)\in \mathrm{Int}{A}_j$ となる $i,j$ を取り、必要であれば $2$ 点を入れ換えて $i\le j$ とします。$i=j$ のときは $\exp$ の $\mathrm{Int}{A}_i\subset V_i$ における単射性から $(p,v)=(q,w)$ です。$i<j$ のとき、$\exp (A_i)\cap \exp (B_{i,j})=\mathrm{\varnothing }$ から $q\in {\overline{U^{\prime }}}_j\setminus U_i$ ではありえないので $q\in U_i$ となりますが、${\epsilon }_j<{\epsilon }_i$ より $(q,w)\in V_i$ なので $\exp$ の $V_i$ における単射性から $(p,v)=(q,w)$ となります。以上より $\exp$ は ${\mathcal{V}}^{″}$ 上で単射です。

境界に適合した開管状近傍を構成します。開被覆 $\{U_i^{\prime }{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ に従属する $1$ の分割 $\{h_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ を用いて定義される $N$ 上の正値 $C^{\mathrm{\infty }}$ 級関数$$R=\sum _{i\in \mathbb{N}}{\epsilon }_i{h}_i:N\to (0,\mathrm{\infty })$$と、もう一つ、原点の近傍において恒等的写像 $G$ が $N\subset \nu N$ の各点で $C^{\mathrm{\infty }}$ 級写像となっていることが明らかになるのでこうしておきます。な $C^{\mathrm{\infty }}$ 級同相写像 $h:[0,\mathrm{\infty })\to [0,1)$ を用いて埋め込み $G:\nu N\to \nu N$ を$$G:(p,v)\mapsto \{\begin{array}{ll}(p,R(p)h(|v|){\displaystyle \frac{v}{|v|}})& (v\ne 0)\\ (p,0)& (v=0)\end{array}$$により定めます。$\mathrm{Img}G\subset {\mathcal{V}}^{″}$ に注意して、埋め込み $g=\exp \circ G:\nu N\to M$ が $N\subset M$ の境界に適合した開管状近傍です。その制限として境界に適合した管状近傍が得られます。

境界において常に内側を向くベクトル場を構成してその生成するフローを考えればよいです。そのフローは $\partial M\times \{0\}\subset \partial M\times [0,\mathrm{\infty })$ の開近傍 ${\mathcal{V}}^{\prime }$ で定義され $\partial M\times \{0\}$ の各点で正則なので $($開$)$ 管状近傍の存在と同様に $($開$)$ カラー近傍の存在が示されます。

各 $p\in N$ に対して線形同型$${\psi }_p:((g_1{)}_{\ast }{)}_{(p,0)}^{-1}\circ ((g_0{)}_{\ast }{)}_{(p,0)}:T_{(p,0)}(\nu N)\to T_{p}M\to T_{(p,0)}(\nu N)$$は $T_{p}N\subset T_{(p,0)}(\nu N)$ を保つのでファイバー成分の同型$${\phi }_p:T_0({\nu }_{p}N)\to T_0({\nu }_{p}N)$$を誘導します。標準的に $T_0({\nu }_{p}N)\cong {\nu }_{p}N$ なので、この ${\phi }_p$ たちにより束同型 $\phi :\nu N\to \nu N$ が誘導されます。

この $\phi$ に対して境界に適合した開管状近傍のisotopyを構成します。$($開管状近傍 $g_0$, $g_1\circ \phi$ に対して同様の手続きで定まる束同型 $\nu N\to \nu N$ は恒等写像です。そこで、$g_1$ を $g_1\circ \phi$ で取り換えておくことで最初から $\psi =(g_1{)}_{\ast }^{-1}\circ (g_0{)}_{\ast }$ が恒等写像 $\phi$ を誘導するとして議論します。$)$

境界に適合した開管状近傍のisotopyの存在を次の流れで示します。

(step 1) $N$ の相対コンパクト開近傍による開被覆 $\{U_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ を取ります。$\nu N$ にRiemann計量を与え、各 $\lambda \in \mathrm{\Lambda }$ に対して正実数 $R_{\lambda }>0$ を$$g_0(\{(p,v)\in \nu N\mid p\in \overline{U_{\lambda }},|v|\le R_{\lambda }\})\subset \mathrm{Img}{g}_1$$となるように取ります。$\{U_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ に従属する $1$ の分割 $\{h_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ を取り、$N$ 上の正値 $C^{\mathrm{\infty }}$ 級関数 $R$ を $\sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{R}_{\lambda }{h}_{\lambda }$ として定めます。このとき、$$g_0(\{(p,v)\in \nu N\mid p\in \overline{U_{\lambda }},|v|\le R(p)\})\subset \mathrm{Img}{g}_1$$です。原点の近傍で恒等的な $C^{\mathrm{\infty }}$ 級同相写像 $h:[0,\mathrm{\infty })\to [0,1)$ を用いてisotopy $G:\nu N\times I\to \nu N$ をファイバーごとに$$(v,t)\mapsto \{\begin{array}{ll}((1-t)|v|+tR(p)h(R(p{)}^{-1}|v|)){\displaystyle \frac{v}{|v|}}& (v\ne 0)\\ 0& (v=0)\end{array}$$と定めれば $G_0={\mathrm{Id}}_{\nu N}$ かつ$$\mathrm{Img}{G}_1\subset \{(p,v)\in \nu N\mid p\in \overline{U_{\lambda }},|v|\le R(p)\}$$なので $F_t=g_0\circ G_t$ をisotopyとして取ることで $\mathrm{Img}{F}_1\subset \mathrm{Img}{g}_1$ です。isotopy $G$ が $N$ の近傍を動かさないことから $(G_0{)}_{\ast }{|}_N=(G_1{)}_{\ast }{|}_N$、よって、$(F_1{)}_{\ast }{|}_N=(g_0{)}_{\ast }{|}_N$ です。

(step 2) 各点 $(p_0,v_0)\in \nu N$ に対し、その近傍において$$\underset{t\to 0}{lim}H(p,v,t)=(p,v)$$であることを示します。$p_0\in N$ の開近傍 $U$ 上の局所座標系と $U$ 上の $\nu N$ の局所自明化を固定し $\nu N{|}_U\cong V\times {\mathbb{R}}^r\subset {\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^r$ と同一視しておきます。$(p_0,v_0)$ の $\nu N{|}_U$ における相対コンパクト開近傍 $W$ を取るとき、$T\in (0,1]$ を十分小さく取れば $H(W\times (0,T])\subset \nu N{|}_U$ です。よって、同一視 $\nu N{|}_U\cong V\times {\mathbb{R}}^r$ の下で $W\times (0,T]$ における $H$ の底空間成分とファイバー成分への分解 $H=(A,B)$ を考えることができ、また、同じく $g_1^{-1}\circ g_0$ の $(g_1^{-1}\circ g_0{)}^{-1}(\nu N{|}_U)\cap \nu N{|}_U$ における同様の分解 $g_1^{-1}\circ g_0=(\alpha ,\beta )$ を取ることができます。このとき、$$A(p,v,t)=\alpha (p,tv),$$$$B(p,v,t)=t^{-1}\cdot \beta (p,tv)$$です。成分ごとに極限を取れば$$\underset{t\to 0}{lim}H(p,v,t)=(\alpha (p,0),d{\beta }_{(p,0)}(0,v))=(p,{\phi }_p(v))=(p,v)$$です。この極限により $H$ を $W\times [0,T]$ の写像に拡張します。このとき、$A$ が $W\times [0,T]$ において $C^{\mathrm{\infty }}$ 級であることは明らかであり、$B$ が $W\times [0,T]$ において $C^{\mathrm{\infty }}$ 級であることは十分小さな正実数 $\epsilon >0$ について $W\times (-\epsilon ,T+\epsilon )$ における $C^{\mathrm{\infty }}$ 級写像$$\overline{\beta }(p,v,t)=\beta (p,tv)$$が $C^{\mathrm{\infty }}$ 級写像 $\gamma$ を用いて$$\overline{\beta }(p,v,t)=t\gamma (p,v,t)$$の形で表されること $($予備知識 補題4.2.72$)$ から分かります。よって、$H$ は ${\mathrm{Id}}_{\nu N}$ を $g_1^{-1}\circ g_0$ につなぐisotopyです。

(step 3) $\mathrm{Img}{g}_0\subset \mathrm{Img}{g}_1$ であったとして、(step 2)におけるisotopy $F$ を取ります。$F_t=g_1\circ H_{1-t}$ とすれば $F$ が欲しかったisotopyです。境界に関する条件も今までの構成を追えば満たされていることが分かります。

各 $t\in I$ に対して $\mathrm{Img}{F}_t\subset M$ 上のベクトル場 $X^t$ を $X_{F(p,t)}^t={\displaystyle \frac{\partial F}{\partial t}}(p,t)\in T_{F(p,t)}M$ により定めます。$F$ が境界に適合した開管状近傍のisotopyであることから各 $X^t$ が境界に適合していることには注意。$M\times I$ の開部分集合 $U$ と閉部分集合 $K$ をそれぞれ$$U=\bigcup _{t\in I}\mathrm{Img}{F}_t\times \{t\},K=\bigcup _{t\in I}\mathrm{Img}(F_t{|}_{\mathcal{N}(\nu N)})\times \{t\}$$により定め実際に、$U$ が開であることは $F$ が境界に適合していることから、$K$ が閉であることは $N$ のコンパクト性より $\mathcal{N}(\nu N)$ もコンパクトであることから。、$C^{\mathrm{\infty }}$ 級関数 $h:M\times I\to [0,1]$ を $\mathrm{supp}h\subset U$ かつ $h{|}_K\equiv 1$ となるように取ります。各 $t\in I$ に対して $Y^t\in \mathfrak{X}(M)$ を $h_t{X}^t$ により定めれば $M$ 上の境界に適合した時間変化するベクトル場 $\tilde{Y}=\{Y^t{\}}_{t\in I}$ を得ます。この $\tilde{Y}$ に関するフローが欲しかったambient isotopyを与えます。

命題3.4.12の証明と同様に、各 $t\in [0,1]$ に対して $\mathrm{Img}{F}_t\subset M$ 上で定まるベクトル場を $M$ 上の境界に適合したベクトル場に拡張することで得られる時間変化するベクトル場のフローを考えれば良いです。

境界に適合した管状近傍の定義から $g_0,g_1$ は境界に適合した開管状近傍 $\nu N\to M$ に拡張し、これも同じ記号で書くことにします。命題3.4.10を用いて束同型 $\phi :\nu N\to \nu N$ と $g_0$ を $g_1\circ \phi$ に結ぶ境界に適合した開管状近傍のisotopyを取り、このisotopyに対して命題3.4.12を適用すればよいです。

$g_0$, $g_1$ がそれぞれ $g_0(0)$, $g_1(0)$ の管状近傍であることは簡単です開管状近傍に拡張することを示しておく必要はありますが省略します。。まず、$M$ の連結性から $g_0(0)$ を $g_1(0)$ に移すambient isotopyが存在するのでこれにより最初から $p=g_0(0)=g_1(0)$ としてよいです。向きに関する仮定から $\phi =((g_{1\ast }{)}_0{)}^{-1}(g_{0\ast }{)}_0:T_0{D}^n\to T_0{D}^n$ は向きを保つので線型変換 $\phi$ は $G{L}^{+}(n,\mathbb{R})$ の元とみなせます。$G{L}^{+}(n,\mathbb{R})$ の連結性から再びambient isotopyにより $\phi =I_n$ としてよく、あとは管状近傍の一意性からambient isotopyにより $g_0$ と $g_1=g_1\circ \phi$ を結ぶべばよいです。